Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6F, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich Odbicie w zwierciadle p laskim w sensie geometrycznym opisuje symetria osiowa. Z prawa odbicia bowiem (k at padania jest równy k atowi odbicia promienia świetlnego). Zatem jesżeli obrazem punktu A jest punkt A (rys. 6F-01), to: odcinek [AA ] jest prostopad ly do p laszczyzny zwierciad la ǫ i środek S odcinka [AA ] leży na p laszczyźnie ǫ. Rys. 6F-01: Ilustracja zasady odbicia w zwierciadle p laskim Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok
2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa odbić... 06F 1.1. Odbicie w lustrze wody Rys. 6F-02: Za lożenia do zadania 6F.01: odwzorowany w perspektywie pionowej prostopad lościenny budynek [ABCDA B C D ]([A s B s C s D s A s B s C s D s ]) oraz krawȩdzie niecki basenu z wod a (linie proste przechodz ace przez punkt K(K s )); poziom wody utrzymuje siȩ na wysokości linii przechodz acych przez punkt K 0 (cdn) Rys. 6F-03: Znajdujemy obraz punktu K w symetrii wzglȩdem p laszczyzny lustra wody, w perspektywie pionowej jest koniec odcinka o pocz atku K s i środku K 0 (cdn) Zadanie 6F.01. Prostopad lościenny budynek znajduje siȩ obok basenu z wod a. Wyznaczyć odbicie tego budynku w lustrze wody basenu.
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa odbić... 06F 3 Rys. 6F-04: Konstruujemy proste przechodz ace przez punkt K s i odpowiednio przez Z 1 i Z 2 (korzystaj ac z podzia lek zbiegu) (cdn) Rys. 6F-05: Wyznaczamy punkt wspólny P s prostych: jednej zawieraj acej krawȩdź [A B ]([A s B s ]) budynku oraz drugiej zawieraj acej krawȩdź niecki basenu przechodz ac a przez punkt K(K s ) (cdn) Rozwi azanie. W perspektywie pionowej przyjmujemy rzuty budynku i basenu (rys. 6F-02) i na widocznych ścianach obudowy niecki basenu zaznaczamy poziom wody (p laszczyzna określona przez dwie proste przechodz ace przez punkt K 0 ). P laszczyzna ta jest p laszczyzn a zwierciad la - symetrii. Rzuty przyjmujemy (konstruujemy) w oparciu o podzia lki zbiegu (por. ), gdyż punkty zbiegu Z 1 i Z 2 oraz punkt g lówny O τ nie mieszcz a siȩ jednocześnie na rysunku. Budynek (wielościan [ABDCC A B D ] o widocznych na rysunku w rzucie krawȩdziach [A s B s ],
4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa odbić... 06F Rys. 6F-06: Znajdujemy punkt P 0 poziomu lustra wody wzglȩdem którego odbije siȩ punkt P s oraz prost a w p laszczyźnie poziomu lustra wody zawart a w p laszczyźnie ściany A s A s B s B s domu (leż ac a w p laszczyźnie symetrii) (cdn) Rys. 6F-07: Znajdujemy punkt A 0 oraz punkt A s - obraz punktu A s po odbiciu w wodzie (punkt A 0 jest środkiem odcinka [A s A s ]) (cdn) [A s C s ], [A s B s ], [A s C s ], [A s A s ], [B s B s ], [C s C s ]) i krawȩdzie niecki basenu (proste przechodz ace w rzucie przez punkt K s ) odbij a siȩ w wodzie symetrycznie wzglȩdem p laszczyzny poziomej (równoleg lej do p laszczyzny podstawy) przechodz acej przez punkt K 0 ). Zgodnie z zasad a odbicia (rys. 6F-01) i w lasnościami perspektywy pionowej obrazem punktu K(K s ) jest punkt K (K s ). Jest to koniec odcinka o środku K 0 i drugim końcu K(K s ) (w per-
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa odbić... 06F 5 spektywie pionowej kierunek pionowy - prostopad ly do p laszczyzny podstawy jest równoleg ly do t la, zatem zachowany jest w rzucie środek odcinka). Ponieważ krawȩdzie niecki basenu s a równoleg le do p laszczyzny lustra wody, po odbiciu pozostan a również równoleg le (rys. 6F-04). Nastȩpnie w celu skonstruowania obrazu wierzcho lka A(A s ) odbitego w wodzie wyznaczamy Rys. 6F-08: Znajdujemy odbicie czȩści budynku widocznej w wodzie (czȩści krawȩdzi budynku przechodz acych przez punkt A s ) punkt wspólny P s prostych: jednej zawieraj acej krawȩdź [A B ]([A s B s ]) budynku oraz drugiej zawieraj acej krawȩdź niecki basenu przechodz ac a przez punkt K(K s ) (rys. 6F-05). Punkt A 0 prostej zawieraj acej krawȩdź [AA ] leż acy w p laszczyźnie lustra wody znajdujemy w przeciȩciu prostych A s A s, P 0 Z 1 (rys. 6F-07). 1.2. Odbicia wnȩtrz Zadanie 6F.02. Dane jest wnȩtrze pokoju z posadzk a kwadratow a na pod lodze, z wnȩk a okienn a i z biurkiem. Należy odbić to wnȩtrze w zwierciadle pionowym, którego p laszczyzna tworzy k at ϕ ze ścian a boczn a. Rozwi azanie. W perspektywie pionowej przyjmujemy rzut wnȩtrza o wymiarach 400cm 250cm 300cm z posadzk a kwadratow a o wymiarach 50cm 50cm, z otworem okiennym o wymiarach 150cm 175cm na wysokości 100cm w odleg lości po 50cm od obu krawȩdzi pionowych ściany (przy za lożeniu, że ściana ma grubość 50cm), z biurkiem o wymiarach (150cm 100cm 75cm z otworem 50cm 100cm 50cm) zajmuj acym na pod lodze 2 3 kwadratów (rys. 6F-09). Posadzka zosta la wyznaczona przez równe odcinki na prostej podstawy, proste równoleg le zbiegaj ace siȩ w punkcie g lównym oraz punkt zbiegu Z 1 = O τ. Konstrukcjȩ wnȩtrza wykonano w uk ladzie zredukowanym. Operacje znajdowania śladów zbiegu kierunków wnȩtrza pokoju i ich odbić w zwierciadle p laskim pionowym wzglȩdem p laszczyzny podstawy zrealizowano nastȩpuj aco. Po przyjȩciu zredukowanego k ladu oka O 1/2x (rys. 6F- 09a) i śladu zbiegu przek atnych kwadratów posadzki zredukowany (G 1/2 1 ) oraz rzeczywisty (G 1 = Z1 45 ) (rys. 6F-09a) skonstruowano promień zbiegu kierunku krawȩdzi p laszczyzny lustra z podstaw a (p laszczyzn a posadzki) określony przez k at ϕ - oś symetrii w p laszczyźnie
6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa odbić... 06F Rys. 6F-09: Operacje znajdowania śladów zbiegu kierunków wnȩtrza pokoju i ich odbić w zwierciadle p laskim pionowym wzglȩdem p laszczyzny podstawy: a) zredukowany k lad oka O 1/2x i ślad zbiegu przek atnych kwadratów posadzki zredukowany (G 1/2 1 ) oraz rzeczywisty (G 1 = Z1 45 ); a1) promień zbiegu kierunku krawȩdzi p laszczyzny lustra z podstaw a (p laszczyzn a posadzki) określony przez k at ϕ - oś symetrii w p laszczyźnie zbiegu p laszczyzny podstawy; a2) ślady zbiegu Z 1 = O τ i Z 2 kierunków linii g lównych pokoju (posadzki) i k aty jakie tworz a z osi a symetrii; a3) odbicie promieni zbiegu kierunków linii g lównych pokoju (posadzki); a4) wyznaczenie zredukowanych śladów zbiegu kierunków krawȩdzi p laszczyzny lustra z podstaw a (Z 1/2 0 ) i kierunków g lównych pokoju (Z 1/2 1, Z 1/2 2 ); a5) wyznaczenie rzeczywistych śladów zbiegu kierunków krawȩdzi p laszczyzny lustra z podstaw a (Z 0 ) i odbitych śladów zbiegu kierunków g lównych pokoju (Z 1, Z 2 ) Rys. 6F-10: Wnȩtrze pokoju z biurkiem i odwzorowane charakterystyczne ślady zbiegu
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa odbić... 06F 7 Rys. 6F-11: Linie proste równoleg le do horyzontu h po odbiciu w lustrze należ a do pȩku o wierzcho lku Z2 (wszystkie punkty krawȩdzi zwierciad la z p laszczyzn a podstawy s a sta le - st ad odpowiadaj ace sobie proste przecinaj a siȩ na tej krawȩdzi) Rys. 6F-12: Linie proste maj ace ślad zbiegu w punkcie g lównym po odbiciu należ a do pȩku o wierzcho lku Z1 (wszystkie punkty krawȩdzi zwierciad la z p laszczyzn a podstawy s a sta le - st ad odpowiadaj ace sobie proste przecinaj a siȩ na tej krawȩdzi) zbiegu p laszczyzny podstawy (rys. 6F-09a1). Nastȩpnie skonstruwano ślady zbiegu Z 1 = O τ i Z2 kierunków linii g lównych pokoju (posadzki) i k aty jakie tworz a z osi a symetrii (rys. 6F-09a2). Odbicie promieni zbiegu kierunków linii g lównych pokoju (posadzki) wykonano w ten sposób, że promienie zbiegu odbito symetrycznie w p laszczyzźnie zbiegu wzglȩdem osi symetrii określonej w uk ladzie zredukowanym przez k at nachylenia ϕ p laszczyzny zwierciad la do p laszczyzny czo lowej pokoju (rys. 6F-09a3). Otrzymano zredukowane ślady zbiegu kierunków krawȩdzi p laszczyzny lustra z podstaw a (Z 1/2 0 ) i kierunków g lównych pokoju (Z 1/2 1,
8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa odbić... 06F Z 1/2 2 )(rys. 6F-09a4). Nastȩpnie wyznaczono rzeczywiste ślady zbiegu kierunków krawȩdzi p laszczyzny lustra z podstaw a (Z 0 ) i odbitych śladów zbiegu kierunków g lównych pokoju (Z1, Z 2 ) (rys. 6F-09a5). Na rysunku 6F-10 przyjmujemy już tylko rzeczywiste punkty Rys. 6F-13: Odwzorowanie krawȩdzi ściany i krawȩdzi otworu okiennego: linie proste pionowe po odbiciu w lustrze przechodz a na pionowe (wszak p laszczyzna symetrii jest pionowa). Wysokość linii zbiegaj acych siȩ w punkcie g lównym O τ przenoszona jest za pośrednictwem linii poziomej na p laszczyźnie poziomej Rys. 6F-14: Odwzorowanie wnȩki okiennej (poziome krawȩdzie wnȩki okiennej, równoleg le do linii horyzontu po odbiciu przechodz a przez punkt zbiegu Z 2 ) zbiegu Z 0 Z 1, Z 2, krawȩdź lustra z pod log a przechodz ac a przez punkt Z 0 oraz odwzorowan a czȩść wnȩtrza pokoju wraz z wnȩk a okienn a i biurkiem. Znajdujemy obrazy linii posadzki równoleg lych do horyzontu. Linie proste równoleg le do horyzontu h po odbiciu w lustrze
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa odbić... 06F 9 Rys. 6F-15: Odwzorowanie biurka: pokazano istotnie nowe linie potrzebne (prowadz ace do) do konstrukcji Rys. 6F-16: Odwzorowanie biurka: pokazano jedynie odwzorowane linie określaj ace biurko należ a do pȩku o wierzcho lku Z2 (wszystkie punkty krawȩdzi zwierciad la z p laszczyzn a podstawy s a sta le - st ad odpowiadaj ace sobie proste przecinaj a siȩ na tej krawȩdzi) (rys. 6F-11). Nastȩpnie znajdujemy obrazy linii posadzki maj acych jako punkt zbiegu punkt g lówny O τ. Linie proste maj ace ślad zbiegu w punkcie g lównym po odbiciu należ a do pȩku o wierzcho lku Z1 (wszystkie punkty krawȩdzi zwierciad la z p laszczyzn a podstawy s a sta le - st ad odpowiadaj ace sobie proste przecinaj a siȩ na tej krawȩdzi) (rys. 6F-12). Rysujemy odbicie otworu okiennego pamiȩtajçc, że wyznaczaj ace go linie przechodz a przez O τ i po odbiciu przez Z2, inne s a pionowe i po odbiciu pozostaj a pionowe. Zwracamy uwagȩ na fakt, że wysokość linii zbiegaj acych siȩ w punkcie g lównym O τ przenoszona jest za pośrednictwem linii poziomej na p laszczyźnie poziomej (rys. 6F-13, rys. 6F-14). Na rysunku 6F-15 pokazano istotnie nowe linie prowadz ace do konstrukcji, rysunku 6F-16 pokazano jedynie odwzorowane
10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa odbić... 06F Rys. 6F-17: Odbicie wnȩtrza w zwierciadle po usuniȩciu linii konstrukcyjnych (pomocniczych) linie określaj ace biurko. N rysunku 6F-17 przedstawiono odbicie wnȩtrza w zwierciadle po usuniȩciu linii konstrukcyjnych (pomocniczych). Literatura [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1995. [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1994. [Pal85] Z. Pa lasiński: Zasady perspektywy. Skrypt. Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Kraków 1985.