Statystyka Inżynierska dr hab. inż. Jacek Tarasiuk AGH, WFiIS 2014 Wykład 1 ODSTAWY RACHUNKU RAWDOODOBIEŃSTWA ojęcie, Własności, rawdopodobieństwo i, Twierdzenie
Definicja Zdarzenie (doświadczenie) nazywamy losowym, jeżeli może być powtarzane w tych samych warunkach, jego wynik nie może być przewidziany w sposób pewny, a zbiór wszystkich możliwych wyników jest znany jeszcze przed zajściem zdarzenia. Każdy pojedynczy wynik zdarzenia losowego nazywany jest zdarzeniem elementarnym. 1.Definicja i pojęcie 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych nazywany jest przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczany bywa jako Ω. Dowolny podzbiór Ω nazywany jest zdarzeniem (nie elementarnym). 2 odstawy rachunku
Definicja Definicja Laplace a prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: gdzie oznacza liczbę elementów zbioru. kn A Definicja von Misesa: A lim n n gdzie liczba wystąpień zdarzenia w n próbach. k n A A A 1.Definicja i pojęcie 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo W matematyce najczęściej używa się definicji Kołmogorowa, którą można znaleźć w każdej książce i w Wikipedii. Definicja ta jest przydatna zwłaszcza przy dowodzeniu twierdzeń. 3 odstawy rachunku
Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 1. rawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0. rawdopodobieństwo, że w serwisie naprawiającym wyłącznie samochody produkcji francuskiej znajdziemy BMW jest równe zero. 0 0 marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W7 100 110 290 184 187 177 135 95 235 170 2.Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo 4 odstawy rachunku
Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 2. rawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1. I 1 marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W7 100 110 290 184 187 177 135 95 235 170 2.Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo tego, że w serwisie znajdziemy jakikolwiek zepsuty francuski samochód wynosi jeden. 5 odstawy rachunku
Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 3. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, to: rawdopodobieństwo znalezienia w serwisie samochodu młodszego niż dwa lata jest mniejsze lub równe prawdopodobieństwu tego, że znajdziemy w serwisie samochód młodszy niż trzy lata. A B marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W7 100 110 290 184 187 177 135 95 235 170 2.Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo A B 6 odstawy rachunku
Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 4. Jeżeli zdarzenia A 1,, A n są rozłączne, to: A A A 1 n 1 A n marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W7 100 110 290 184 187 177 135 95 235 170 2.Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo znalezienia w serwisie samochodu marki Citroen lub eugeot: C C 100 110 210 A 2 A 1 A 4 A 3 7 odstawy rachunku
Citroen eugeot Renault Kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 5. rawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń: A B A B A B marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W7 100 110 290 184 187 177 135 95 235 170 2.Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo znalezienia w serwisie samochodu, któremu zepsuły się hamulce lub układ kierowniczy (lub jedno i drugie): K H K H K H K H 184 187 65 306 A AB B 8 odstawy rachunku
Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Własności 6. Jeżeli zdarzenia A i A dopełniają się (są przeciwne), to: rawdopodobieństwo, że zepsuło się cokolwiek innego niż hamulce: A A' 1 marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W7 100 110 290 184 187 177 135 95 235 170 H' 1 H 2.Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo \A H' 1 187 313 A 9 odstawy rachunku
rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (podobnie B pod warunkiem, że A): A B A B B B A A B A A B A B B B A A 2. Własności 3.rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo, że zepsuł się układ kierowniczy pod warunkiem, że samochód jest starszy niż 7 lat: K odczas gdy: K W 7 68 68 W7 W7 170 170 0.4 184 K 0. 368 10 odstawy rachunku
Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 rawdopodobieństwo rawdopodobieństwo, że uszkodzeniu uległ układ elektryczny pod warunkiem, że samochód ma trzy lata lub mniej: marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W7 100 110 290 184 187 177 135 95 235 170 rawdopodobieństwo, że samochód ma trzy lata lub mniej jeśli wiadomo, że uszkodzeniu uległ układ elektryczny: E W3 34 E W3 0.36 W3 95 E W3 34 W 3 E 171 E 0.204 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo 11 odstawy rachunku
rawdopodobieństwo - przykłady W opinii profesora Jacka Jassema, kierownika Kliniki Onkologii i Radioterapii Akademii Medycznej w Gdańsku, palenie tytoniu jest odpowiedzialne za 90% przypadków raka płuc. Inne statystyki mówią nawet o 96%. 12 http://forumzdrowia.pl/id,442,art,741,ptitle,palenie-a-nowotwory-zlosliwe.htm R 0. 9 Aktualnie ilość palących w olsce szacuje się na 12-13 milionów. Sam rak płuc zabiera w olsce rocznie 24 tysiące istnień ludzkich. http://pl.wikipedia.org/wiki/dym_tytoniowy 24000 p 0,002 q 1 p 0.998 12000000 rawdopodobieństwo, że przez 50 lat ktoś nie umrze na raka płuc q 50 0,904, czyli: R 1 q 50 0. 096 (naprawdę jest jeszcze troszkę mniejsze) Niemal połowa wieloletnich palaczy spontanicznie zrywa z nałogiem na ok. 2,5 roku przed diagnozą raka płuca, a większość robi to zanim zauważy jakiekolwiek symptomy choroby - wynika z pracy, którą opublikowano w marcu 2013 w "Journal of Thoracic Oncology".
rawdopodobieństwo - przykłady Akwizytor firmy farmaceutycznej, przekonuje że: Spośród 100 chorych, którym podano lek, 80 wyzdrowiało!!! Spośród 120 chorych, którzy wyzdrowieli, 80 brało lek!!! W N L 80 20 100 B 40 120 A ilu było chorych, którzy nie brali leku i nie wyzdrowieli? 13
rawdopodobieństwo - przykłady Akwizytor firmy farmaceutycznej, przekonuje że: Spośród 100 chorych, którym podano lek, 80 wyzdrowiało!!! Spośród 120 chorych, którzy wyzdrowieli, 80 brało lek!!! W N L 80 20 100 B 40 10 50 120 30 150 A ilu było chorych, którzy nie brali leku i nie wyzdrowieli? W 80 100 W B 40 50 L 0. 8 0. 8 14
Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B są niezależne, gdy: a skoro: więc z tego wynika, że: A B A B A B A B B B A A A B A B A B Oznacza to, że zajście jednego zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo zaistnienia drugiego ze zdarzeń. 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 4.Niezależność zdarzeń 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo I odwrotnie, możemy powiedzieć, że zdarzenia są zależne jeśli zajście jednego z nich wpływa na prawdopodobieństwo zaistnienia drugiego (a nie jak to czasami się mylnie rozumie, wywołuje drugie zdarzenie). 15 odstawy rachunku
Citroen eugeot Renault kierowniczy hamulcowy elektryczny inny 3 lub mniej między 3 a 7 powyżej 7 Niezależność zdarzeń Sprawdźmy, czy znalezienie w serwisie Citroena i samochodu starszego niż 7 lat są niezależne? W C marka układ wiek C R K H E I W3 W5 W7 100 110 290 184 187 177 135 95 235 170 C W 7 34 100 170 17000 7 200 C W7 C W7 34 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 4.Niezależność zdarzeń 5. rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo Na tej podstawie wnioskujemy, że zdarzenia te są niezależne. 16 odstawy rachunku
rawdopodobieństwo - przykłady Akwizytor firmy farmaceutycznej, przekonuje że: Spośród 100 chorych, którym podano lek, 80 wyzdrowiało!!! Spośród 120 chorych, którzy wyzdrowieli, 80 brało lek!!! A ilu było chorych, którzy nie brali leku i nie wyzdrowieli? W N L 80 20 100 B 40 10 50 80 150 120 30 150 120 150 80 100 40 B 50 L 0. 8 W 0. 8 W L W L W 100 150 L W 120 150 100 150 80 150 17
rawdopodobieństwo TWIERDZENIE O RAWDOODOBIEŃSTWIE CAŁKOWITYM (ZUEŁNYM) Jeżeli zdarzenia A 1,, A n : wykluczają się parami (jak zajdzie jedno, to nie zajdzie żadne inne), sumują się do zdarzenia pewnego (któreś musi zajść), a ich są niezerowe (każde może zaistnieć), to prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś zdarzenia B wynosi: B B A A B A 1 1 n A n 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 5.rawdopodobieństwo 6. rawdopodobieństwo 18 odstawy rachunku
rawdopodobieństwo - przykłady Elementy elektroniczne w komórkach można montować w technologii A lub B. Technologia A powoduje błędy produkcyjne w 3% przypadków, a technologia B w 1.8% przypadków. W jednej z firm 30% komórek produkowanych jest w technologii A, a 70 % w technologii B. W wadliwa komórka, A technologia A, B technologia B W W A A W B B 0.020.3 0.0180.7 0. 0186 W Długoletnie doświadczenia pokazują, że część pisemna pewnego egzaminu jest istotnie trudniejsza od części ustnej. Część pisemną zdaje 60% zdających. Część ustną zdaje 95% dopuszczonych do egzaminu ustnego. Oblanie egzaminu pisemnego wyklucza zdawanie części ustnej. Aby zdać egzamin, trzeba pozytywnie zaliczyć obydwie części. E zdany egzamin, zdana część pisemna, U zdana część ustna E' E' E' ' ' E' 0.050.6 1.0 0.4 0. 43 E 1 E' 0. 57 U 19
rawdopodobieństwo TWIERDZENIE BAYESA Jeżeli zdarzenia A 1,, A n : wykluczają się parami (jak zajdzie jedno, to nie zajdzie żadne inne), sumują się do zdarzenia pewnego (któreś musi zajść), a ich są niezerowe (każde może zaistnieć), a prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B jest niezerowe to: A k B B Ak Ak B 2. Własności 3. rawdopodobieństwo 5. rawdopodobieństwo 6.rawdopodobieństwo To prawdopodobnie najważniejsze twierdzenie jakie aństwo dotychczas poznali i jedno z najbardziej pożytecznych w Waszym przyszłym życiu!!! 20 odstawy rachunku
rawdopodobieństwo - przykłady Załóżmy, że 1 mężczyzna na 1000 choruje na pewną chorobę. Rutynowy test wykrywa ją w 100%, a błędne wykrycie zdarza się w 0.5% przypadków. Losowo wybrany mężczyzna zostaje poddany badaniu i wynik jest pozytywny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest chory? C chory, pozytywny wynik testu C C C 1.00.001 C C C' C' 1.0 0.001 0.0050.999 0. 005995 1.00.001 0.005995 0. 1668 C 21
rawdopodobieństwo - przykłady W pewnym mieście istnieją dwa przedsiębiorstwa taksówkarskie: "Niebieskie taxi" (170 taksówek) i "Zielone taxi" (30 taksówek). ewnego wieczora zdarzył się wypadek. Taksówka potrąciła pieszego. Taksówkarz zbiegł z miejsca wypadku. Świadek twierdzi, że widział uciekającą zieloną taksówkę. Eksperyment sądowy wykazał, że w warunkach jakie panowały w chwili wypadku, świadek w 80% przypadków jest w stanie prawidłowo rozpoznać kolor taksówki. Co jest bardziej prawdopodobne, że wypadek spowodowała zielona czy niebieska taksówka? WN, WZ wypadek spowodowała N/Z taksówka SN, SZ świadek widział N/Z taksówkę (a przynajmniej tak twierdzi) WN SZ SZ WN WN SZ? SZ SZ WZ WZ SZ WN WN 0.2170 30 200 WZ 170 200 SZ SZ 0.8 0.2 0. 29 58 200 SZ WZ WZ SZ WN SZ 200 0. 586 SZ 200 0. 414 0.29 > WZ 0.830 0.29 22