Wykład 2. Zdarzenia niezależne i prawdopodobieństwo całkowite

Transkrypt

1 Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Zdarzenia niezależne i prawdopodobieństwo całkowite dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra lektroniki, WIT AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 1

2 lan: Niezależność zdarzeń losowych rawdopodobieństwo całkowite Rozwiązywanie zadań wykorzystujących poznany materiał Twierdzenie ayes a Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 2

3 rawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń rzypomnijmy z poprzedniego wykładu definicję prawdopodobieństwa warunkowego: A A A Definicja to może być zapisana w postaci: A A A A co pozwala obliczyć prawdopodobieństwo iloczynu dowolnych dwóch zdarzeń. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 3

4 Zdarzenia niezależne W szczególnym przypadku z definicji prawdopodobieństwa warunkowego wynika co następuje: A A A Jeżeli A to wynik zdarzenia A nie ma żadnego wpływu na zdarzenie Zdarzenia A i określa się wtedy jako niezależne. Dla dwóch zdarzeń niezależnych obowiązuje: A A Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 4

5 Zdarzenia niezależne rzykład 2.1: Dzienna produkcja części do silników samolotów wynosi 850 w pewnym przedsiębiorstwie. Niestety 50 z nich nie spełnia właściwych norm jakościowych, co powoduje, że są odrzucane jako wadliwe. Zakładamy, że wybieramy dwa elementy z dziennej produkcji ale zanim wylosujemy drugi element, pierwszy oddajemy losowanie ze zwracaniem. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że drugi element jest wadliwy pod warunkiem, że pierwszy wylosowany element jest wadliwy zdarzenie A, czyli A. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 5

6 Zdarzenia niezależne Rozwiązanie przykładu 2.1: Ze względu na sposób losowania ze zwracaniem, przy drugim losowaniu zbiór, z którego losujemy nadal zawiera 850 elementów, w tym 50 wadliwych. Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia nie zależy od tego czy pierwszy wylosowany element był wadliwy czy nie, co oznacza: A Natomiast, prawdopodobieństwo, że oba elementy wylosowane są wadliwe jest iloczynem prawdopodobieństw A i : A A A ,0035 Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 6

7 Zdarzenia niezależne? rzykład 2.2: Jak w przykładzie 2.1, dzienna produkcja części do silników samolotów wynosi 850 w pewnym przedsiębiorstwie. Niestety 50 z nich nie spełnia właściwych norm jakościowych, co powoduje, że są odrzucane jako wadliwe. Zakładamy, że wybieramy dwa elementy z dziennej produkcji ale tym razem przed wylosowaniem drugiego elementu, pierwszego nie oddajemy losowanie bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że drugi element jest wadliwy pod warunkiem, że pierwszy wylosowany element jest wadliwy zdarzenie A, czyli A. Czy zdarzenia A i są niezależne? Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 7

8 Zdarzenia niezależne? Rozwiązanie przykładu 2.2: Ze względu na sposób losowania bez zwracania, przy drugim losowaniu zbiór, z którego losujemy zawiera 849 elementów, w tym 49 wadliwych pierwszy element wylosowany był wadliwy. Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia warunkowego: A rawdopodobieństwa zdarzenia zależy od tego czy pierwszy element był wadliwy zdarzenie A czy nie był zdarzenie A : 50 Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 8 A' Zdarzenia A i prawdopodobnie nie są niezależne, ale jak obliczyć bezwarunkowe prawdopodobieństwo? 849

9 rawdopodobieństwo całkowite Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: A A A A jest użyteczny przy obliczaniu prawdopodobieństwa zdarzenia, które zależy od przebiegu innych zdarzeń. rzykład 2.3: rzy produkcji półprzewodników istnieje prawdopodobieństwo np. 0.10, że niekontrolowane zanieczyszczenie elementu spowoduje awarię całego układu. rawdopodobieństwo tego, że wystąpi awaria układu przez element niezanieczyszczony wynosi W danym procesie produkcji około 20% elementów jest poddanych wysokiemu poziomowi zanieczyszczeń. Jakie jest prawdopodobieństwo awarii układu zawierającego jeden taki element? Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 9

10 rawdopodobieństwo całkowite Dla zdarzenia takiego, że: Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 10 ' ' ' A A A A A A + + A ' A A A' ' A A

11 rawdopodobieństwo całkowite rzykładu 2.3: Wystąpienie awarii całego układu oznaczymy jako zdarzenie F ang. failure. Zdarzenie, że element jest poddany wysokiemu poziomowi zanieczyszczeń oznaczmy H. F H i F H ' H i H ' Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite: F F H H + F H ' H F ' Wynik może być interpretowany jako średnia ważona dwóch prawdopodobieństw awarii. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 11

12 Dla k zdarzeń parami wykluczających się ang. exclusive i wyczerpujących wszystkie możliwości ang. exhaustive: 1, 2,..., k, prawdopodobieństwo zdarzenia : Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 12 Ω k i i k k k gdzie : K K A' rawdopodobieństwo całkowite

13 Czy zdarzenia są niezależne? Dalszy ciąg przykładu 2.2: Znaleźliśmy, że prawdopodobieństwo zdarzenia wylosowania wadliwego elementu w drugim losowaniu bez zwracania zależy od wyniku pierwszego losowania zdarzenie A w pierwszym losowaniu wadliwy element; zdarzenie A - w pierwszym losowaniu dobry element A A' Czy zdarzenia A i są niezależne? Obliczmy bezwarunkowe prawdopodobieństwo ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. A A + A ' A ' A Odpowiedź: zdarzenia A i nie są niezależne! Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 13

14 rawdopodobieństwo awarii układu rawdopodobieństwo całkowite przykład do samodzielnego rozwiązania oziom zanieczyszczeń Udział elementów zanieczyszczonych 0,1 Wysoki High 20% H 0,01 Średni Medium 30% M 0,001 Mały Low 50% L Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 14

15 rzykład 2.4: oniższy układ pracuje, jeżeli jest połączenie pomiędzy punktami a i b. rawdopodobieństwo, że pojedynczy element pracuje dane jest na rysunku. Załóżmy, że elementy mają awarię niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że układ pracuje? T-zdarzenie, że element górny ang. top przewodzi Rozwiązywanie zadań wykorzystujących poznany materiał T lub T 1 [ T ' ] -zdarzenie, że element dolny ang. bottom przewodzi prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 15

16 Rozwiązywanie zadań wykorzystujących poznany materiał Rozwiązanie przykładu 2.4: Aby rozwiązać zadanie trzeba znać prawa De Morgana: T ' T' ' T ' T' ' Zdarzenia i T są niezależnie więc: T lub T 1 [ T ' ] 1 T' ' 2 2 ' and ' T' ' T' ' T Odpowiedź: rawdopodobieństwo, że układ pracuje wynosi: lub 1 T' ' T Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 16

17 Rozwiązywanie zadań wykorzystujących poznany materiał rzykład 2.5: Jakie jest prawdopodobieństwo działania układu? Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 17

18 Rozwiązywanie zadań wykorzystujących poznany materiał Rozwiązanie przykładu 2.5: W pierwszej kolumnie: 1 1 0, ,1 3 W drugiej kolumnie: 1 1 0, ,05 2 rawdopodobieństwo, że system działa: 1 0, ,05 3 0,99 0,987 Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 18

19 Twierdzenie ayes a roste przekształcenie definicji prawdopodobieństwa warunkowego: A A A A A prowadzi do wzoru: A A A, dla > 0 Jest to użyteczne twierdzenie gdy nie znamy pełnej tablicy jak w następującym przykładzie 2.6 Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 19

20 rzykład 2.6 Zdarzenie D oznacza, że cienka warstwa ma wadę; F oznacza, że ma skazę na powierzchni. lement wadliwy Skaza na powierzchni: Tak F Nie F Razem Tak D Nie D Razem W tabeli podany jest udział skaz powierzchniowych na cienkich warstwach do stwierdzenia ich wadliwości. Możemy z tabeli wyczytać że: D F 0, 25 F 0, 1 D Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 1 20

21 rzykład 2.6 Jeżeli znamy pełną tablicę to możemy np. obliczyć prawdopodobieństwo tego, że część jest wadliwa pod warunkiem, że ma skazę na powierzchni: F D Jeżeli nie dysponujemy pełną tablicą to możemy obliczyć prawdopodobieństwo F/D z twierdzenia ayes a: F D F D Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład D F D F 10 38

22 Twierdzenie ayes a Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład > dla Dla k zdarzeń parami wykluczających się ang. exclusive i wyczerpujących wszystkie możliwości ang. exhaustive: 1, 2,..., k, prawdopodobieństwo zdarzenia 1 pod warunkiem zajścia dowolnego zdarzenia : k k K

23 Ilustracja twierdzenia ayesa rzykład 2.7: Na dużej populacji zdrowych i chorych na daną chorobę pacjentów szpitala przeprowadzono test w celu ustalenia czy nowy sposób leczenia jest skuteczny. rawdopodobieństwo zdarzenia warunkowego S/D, że dodatni wynik testu S identyfikuje osobę chorą D wynosi S/D0,99. rawdopodobieństwo zdarzenia warunkowego S /D, że ujemny wynik testu S prawidłowo identyfikuje osobę zdrową D wynosi S /D 0,95. rawdopodobieństwo wystąpienia choroby w populacji wynosi D0,0001. rzeprowadzono na Tobie test, którego wynik jest dodatni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jesteś chory? Rozwiązanie przykładu 2.7: D-zdarzenie jesteś chory; S- zdarzenie, że wynik testu jest dodatni; szukamy D/S. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 23

24 Ilustracja twierdzenia ayes a Rozwiązanie przykładu 2.7: D-zdarzenie jesteś chory; S- zdarzenie, że wynik testu jest dodatni; szukamy D/S. rawdopodobieństwo zdarzenia S/D, że wynik testu jest dodatni a pacjent jest zdrowy S/D 1-S /D 0,05 S/D0,99; S /D 0,95; D0,0001 Z twierdzenia ayes a D S S D D S D D + S / D ' D ' 0,99 0,0001 0,99 0, ,05 1 0,0001 D S 0, 002 Nawet jeśli wynik testu jest dodatni to prawdopodobieństwo tego, że jesteś chory jest małe. Dlaczego? Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 2 24