Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza
Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów fizycznych. amodzielne wykonywanie doświadczeń.. Nauka obsługi prostych i trochę bardziej skomplikowanych urządzeń pomiarowych. WYKONYWANIE POMIARÓW 3. Nauka podstaw opracowania wyników pomiarów Nauka poprawnego wyznaczania wielkości fizycznych Nauka pomiaru zależności fizycznych i ich opisu Nauka poprawnej prezentacji wyników Niniejszy wykład stanowi wstęp do ostatniego punktu.
Pomiar bezpośredni Rodzaje pomiarów Pomiar, w którym konkretna wielkość fizyczna mierzona jest bezpośrednio przy pomocy określonego przyrządu Przykłady: Pomiar długości linijką Pomiar czasu stoperem
Rodzaje pomiarów Pomiar pośredni Pomiar, w którym dana wielkość fizyczna mierzona jest pośrednio poprzez pomiar innych wielkości fizycznych Przykład: Pomiar prędkości poprzez pomiar drogi (linijka) i czasu (stoper) v s t
Jak dokładne są nasze pomiary? Niepewności i błędy Każdy pomiar,nawet najstaranniejszy i najdokładniejszy nie jest doskonały i ma skończoną dokładność!!! Obarczony jest niepewnością pomiarową a może i błędem!-( Wynik pomiaru= (wartość wielkości mierzonej, niepewność pomiarowa) jednostka Wynik pomiaru bez podania dokładności doświadczenia (niepewności pomiarowej) jest bezwartościowy. Konwencja zapisu wyników pomiarowych: podaje się tylko dwie cyfry znaczące niepewności, a jeżeli zaokrąglenie do jednej cyfry nie zmieni wartości więcej niż o 10% to podaje się tylko jedną cyfrę wynik pomiaru obliczamy o jedno miejsce dziesiętne dalej niż miejsce dziesiętne niepewności, a następnie zaokrąglamy wg. normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono niepewność pomiarową. Masa = (100.0147 ± 0.00035) g
Jak dokładne są nasze pomiary? Niepewności i błędy Niepewność pomiaru - dwa rodzaje: 1. Niepewności przypadkowe - powodowane przez skończoną dokładność przyrządów pomiarowych. Niepewności systematyczne powodowane przez systematyczny błąd urządzenia mierzącego. źle wyskalowana (wytarowana) waga stoper, który spieszy Błąd pomiarowy wynika z błędu popełnionego w czasie pomiaru lub odczytu. Błąd może być popełniony przez urządzenie (np. awaria) lub przez odczytującego (np. zła skala na linijce: cale zamiast cm) Rodzaje błędów: 1. Błędy grube - np zły odczyt. Błędy przybliżenia popełniono błąd tworząc przybliżony model
Jak dokładne są nasze pomiary? Przykład niepewności pomiarowych wyniki pomiarów długości przedmiotu linijką A podziałka 1mm: 30, 31, 9, 3, 31, 8, 30, wyniki pomiarów długości przedmiotu linijką B podziałka 1mm: 33, 31, 34, 35, 3, 34, 33, Oba pomiary są obarczone niepewnością przypadkową rozrzut wyników wokół określonej wartości erie pomiarów różnią się: jedna z linijek jest źle wyskalowana wprowadzając niepewność systematyczną Niepewności systematyczne mogą być trudne do wykrycia, interpretacji i eliminacji. gf
Niepewności przypadkowe pomiarów bezpośrednich Przykład: pomiar okresu drgań wahadła Dokładny stoper (0.01s) Czas reakcji człowieka jest rzędu 0.s
Wyniki kolejnych pomiarów okresu i-ty T pomiar i [s] 1.01.00 3 1.98 4 1.69 5.34 6 1.91 7.0 8.06 9.18 10.10 11.05 1 1.7 13.19 14.3 15 1.71 16 1.69 17 1.99 18.0 19 1.83 0 1.89 Naszym zadaniem jest podanie wyniku i jego niepewności
Wynik pomiaru średnia arytmetyczna wielkością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej jest wartość średnia pomiarów wartość oczekiwana [estymator wartości oczekiwanej]
Niepewność pojedynczego pomiaru Wielkością najlepiej opisującą niepewność pojedynczego pomiaru jest rozrzut pomiarów wokół wartości średniej odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru [estymator odchylenia standartowego]
Niepewność wyniku niepewność średniej arytmetycznej Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej można zmniejszać zwiększając liczbę pomiarów n
Zwiększanie statystyki - zmniejszanie niepewności Niepewności przypadkowe możemy zmniejszyć wykonując wielokrotne pomiary danej wielkości budujemy statystykę Definicje wartość oczekiwana (wartość średnia) odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru odchylenie standardowe wartości średniej n 1 ( n n( n 1) i1 1 n 1 n ( n 1 i1 i i n i1 i ) ) i i 1 30 31 3 9 4 3 5 31 6 8 Σ i =181 30, d i = i - -0, 0,8-1, 1,8 0,8 -, Σd i =0 d i =( i -) 0,04 0,64 1,44 3,4 0,64 4,84 Σd i =10,84 d 1,8 = 1,5 = 0,6
Rozkład Gaussa Dla niepewności przypadkowych rozkład wielkości mierzonych wokół wartości prawdziwej dany jest rozkładem Gaussa (, ) 1 ( ) / ( ) e Prawdziwa wartość mierzonej wielkości utożsamiana z wartością oczekiwaną W przedziale [-,+ ] mieści się 68,3% wszystkich wyników W przedziale [-3,+3 ] mieści się 99,8% wszystkich wyników UWAGA!!! Przy skończonej liczbie pomiarów parametry rozkładu można tylko estymować (przybliżać)
Rozkład Gaussa cd. Dla niepewności przypadkowych rozkład wielkości mierzonych wokół wartości prawdziwej dany jest rozkładem Gaussa (, ) 1 ( ) / ( ) e UWAGA!!! Często odchylenie standardowe wielkości średniej (wyniku) oznaczane jest jako σ a wartość średnia (wartość oczekiwana, wynik) jako 0
Małe serie pomiarów Dla małej liczby pomiarów: daje zaniżoną wartość niepewności Współczynnik tudenta Liczba pomiarów Poziom ufności n a0.688 a0.95 a0.99 1.837 1.706 63.657 3 1.31 4.303 9.96 4 1.197 3.18 5.841 5 1.141.776 4.604 6 1.11.58 4.03 7 1.09.447 3.707 8 1.077.365 3.5 9 1.066.306 3.355 10 1.059.5 3.5 Poziom ufności prawdopodobieństwo z jakim wyznaczony przedział zawiera wartość rzeczywistą mierzonej wielkości.
Zapis niepewności zaokrąglanie Podaje się tylko dwie cyfry znaczące estymatora niepewności. Liczymy co najmniej trzy i zaokrąglamy zawsze do góry. Wynik pomiaru obliczamy o co najmniej jedno miejsce dziesiętne dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglono błąd, a następnie zaokrąglamy wg. normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono błąd. notatki sprawozdanie Bez sensu
Zapis niepewności prezentacja Z użyciem odchylenia standardowego [poziom ufności 68%] lub
Zapis niepewności prezentacja Z użyciem symbolu ± Uwaga! symbol ± zarezerwowany jest dla niepewności rozszerzonej [maksymalnej]. Z grubsza: dla poziomu ufności co najmniej 95% -wtedy należy użyć dwa [trzy] razy szerszego przedziału (lub innego współczynnika tudenta). ymbol ± najczęściej używany jest w medycynie, przemyśle, instrukcjach.
Zapis niepewności prezentacja Wyniki pomiarów i obliczeń najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest przedziale od 0,01 do 1000. Można używać: przedrostków, [m,m,m, G] itd. lub notacji potęgowej typu 10 6, 10-6 I=0.0000311 A ± 0.0000001 A I=(31.1 ± 0.1) m A I=(31.1 ± 0.1) 10-6 A
Czynniki wpływające na wzrost niepewności pomiaru w pomiarach mogą się pojawić niepewności związane z urządzeniem, przy pomocy którego wykonujemy pomiar. Na przykład: niepewność skali Δ d związana z odległością między działkami na skali miernika Zazwyczaj przyjmujemy odległość między dwoma kolejnymi działkami, choć gdy te są daleko można przyjąć połowę albo nawet 1/3 tej odległości niepewność klasy przyrządu Δ k k klasa zakres 100 Uwaga!!! Przyrządy cyfrowe mają zaniedbywalne niepewności w stosunku do niepewności przypadkowej
Niepewność w pomiarach pośrednich (propagacja odchylenia standardowego i niepewności maksymalnej) n f z,... 1, n f z,... 1, 1... 1 n n z f f f W pomiarach pośrednich istnieją związki funkcyjne pomiędzy poszukiwaną wielkością a wielkościami mierzonymi: Wartość oczekiwana tej wielkości jest funkcją z wartości oczekiwanych jej poszczególnych zmiennych: Odchylenie standardowe tej poszukiwanej wielkości jest funkcją odchyleń wielkości mierzonych t l v np. t l v np. 1 t l v t l t np. n n z f f f... 1 1 W wielu przypadkach można stosować przybliżony wzór (metoda różniczki zupełnej t l v t l t 1 np.
Teoria Pochodne Pochodna funkcji potęgowej Przykłady f f f ( ) f ( ) Aln n A B ( ) f1( ) f( ) f f Pochodna funkcji logarytmicznej f f AB Pochodna sumy i różnicy funkcji f1 n An B B ( ) Ae f ( ) f1( f( )) ABe 1 Pochodna funkcji wykładniczej 1 f f f f f f /3 f ( ) 3 3 f ( ) 3 f ( ) Pochodna funkcji złożonej e 3.8 ln f ( ) 3 1/ 1 f ( ) ln 3 1/ f 3. 8 f f f 5,7e 3 1 3 1 1/ 1
Propagacja niepewności - przykłady l l l 1 l l 1 l v l t 1 l v l t t t t At t At gt 1 1 a a gt t gt t s l l 1 s l l1 l1 l R R e 0 A/ T R R T 0 A e A/ T T
Graficzne przedstawianie wyników wykresy Wyniki eksperymentu wygodnie przedstawić przy pomocy wykresu Oglądowe przedstawienie wyników, Graficzne przedstawienie zależności wyników pozwala na wyznaczenie pewnych zależności, s vt U RI Na wykresie łatwiej wychwycić pewne empiryczne relacje między wielkościami.
Graficzne przedstawianie wyników wykresy czy ten wykres jest dobry?
Graficzne przedstawianie wyników - wykresy czy ten wykres jest już dobry?
Graficzne przedstawianie wyników - wykresy czy ten wykres jest już dobry?
Graficzne przedstawianie wyników - wykresy czy ten wykres jest już dobry?
Graficzne przedstawianie wyników - wykresy czy ten wykres jest już dobry?
Graficzne przedstawianie wyników - wykresy czy ten wykres jest już dobry?
Graficzne przedstawianie wyników - wykresy czy ten wykres jest już dobry?
Graficzne przedstawianie wyników - wykresy czy ten wykres jest już dobry?
Graficzne przedstawianie wyników - wykresy źle dobrze
Literatura [1] I Pracownia fizyczna, Andrzej Magiera red., Oficyna Wydawnicza IMPUL, Kraków 006; http://www.if.uj.edu.pl/pl/edukacja/pracownia_i/strona1.htm [] J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, Wydawnictwo Naukowe PWN, W-wa 1999. [3] G. L. quires, Praktyczna fizyka, PWN, Warszawa 199. [4] A. Zięba, Postępy Fizyki, tom 5, zeszyt 5, 001, str.38-47. [5] http://www.fis.agh.edu.pl/~pracownia_fizyczna/pomoce/opracowaniedanychpomiarowych.pdf [6] A. Zięba, Analiza danych w naukach ścisłych i technice, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 013. [7] http://users.uj.edu.pl/~ufkamys/bk/smop1.htm