Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2

3 błąd pomiaru = x i x 0 Błędy pomiaru dzielimy na: Błędy przybliżenia Błędy przeoczenia (systematyczne) Pomyłki

4 Niepewności ze względu na przyczyny występowania możemy podzielić na: Niepewność wzorcowania Niepewność eksperymentatora Niepewność przypadkowa

5 Niepewność wzorcownia przyrządów takich jak linijka czy termometr odpowiada tzw. działce elementarnej tzw. odstępowi sąsiadujących kresek podziałki zaznaczonej na skali przyrządu

6 Mikroamperomierz wskazówkowy na zakresie 200μA ze skalą podzieloną jest na 100 działek ma działkę elementarną Δ d I=2μA, natomiast cyfrowy mikroamperomierz wskazujący, na przykład, wartość 197,32μA ma działkę elementarną Δ d I=0,01μA. Typowa linijka lub miarka zwijana ma działkę elementarną Δ d I=1mm. Bardzo często w instrukcji przyrządu pomiarowego można odczytać np. dokładność (0,8%+dgd). Oznacza to, że niepewność wzorcowania Δ d X= 0,8%*odczytana wartość + działka (i) elementarna (e).

7 Dla przyrządów analogowych takich jak woltomierze niepewność wzorcowania jest obliczana na podstawie tzw. klasy przyrządu. Klasa przyrządu wyraża stosunek procentowy niepewności maksymalnej x do pełnego wychylenia miernika w danym zakresie. Oznacza to, że wartości odczytana z miernika może się różnić od wartości prawdziwej x 0 maksymalnie o ± x.

8 Niepewność eksperymentatora jest oceniana subiektywnie przez niego samego na podstawie informacji na temat samego pomiaru np. widoczności skali czy też stabilności pomiaru.

9 Linijką jednokrotnie zmierzyłem wysokość i szerokość książki. Mierząc wysokość H okładki i odczytałem: przyłożyłam linijkę do dobrze przyciętej H=228 mm. Dokładność eksperymentatora oceniłem na Δ e H=1mm (linijka dobrze przylegała do krawędzi, miałem tylko problem z odczytem). Niepewność wzorcowania linijki wynosi Δ d H=1mm. Wniosek: niepewność maksymalna pomiaru wysokości jest sumą obu niepewności ΔH= Δ d H + Δ e H= 2mm. Mogę teraz powiedzieć: wysokość książki wynosi mm. H=(228±2) Pomiar szerokości książki dał następujący wynik : L=165 mm. Ze względu na obły grzbiet książki, dokładność eksperymentatora pomiaru jej szerokości oceniłem na Δ e H=2mm. Dlatego wynik końcowy to: L=(165±3) mm

10 Mierzę woltomierzem napięcie baterii. Mimo iż miernik może mierzyć z dokładnością Δ d U=0,002V to wskutek zakłóceń ostania cyfra miga i daje się odczytać U=1,56 V. Muszę przyjąć, że o dokładności pomiaru decyduje niepewność eksperymentatora Δ e U=0,01 V. Wynik końcowy ma postać: U=(1,560±0,022) V (1,56±0,02) V

11 Niepewność przypadkowa występuje w trakcie pomiaru systematycznie i objawia się statystycznym rozrzutem wyników przy czym źródeł rozrzutu nie jesteśmy wstanie rozróżnić. Miarą rozrzutu jest odchylenie standardowe: S x

12 Kiedy w trakcie doświadczenia dokonujemy wielokrotnie pomiarów tej samej zmiennej to należy oprzeć się analizie niepewności na statystyce.

13 Z teorii wynika, że tzw. wartość najbardziej prawdopodobną (zbliżoną do rzeczywistości) dla serii pomiarów tej samej wielkości stanowi wartość średnia wszystkich wykonanych pomiarów:

14

15 Dla dużej ilości pomiarów do oceny statytycznej niepewności przypadkowej wartośći średniej korzystamy z rozkładu Gaussa. Odchylenie standardowe S x w rozkładzie Gaussa należy rozumieć w tym sensie, że wartość rzeczywista x 0 znajduje się w przedziale <x - S x, x + S x > z prawdopodobieństwem p wynoszącym około 0,683 (prawdopodobieństwo to nazywa się poziomem ufności).

16 Odchylenie standardowe w rozkładzie Gaussa obliczamy z zależności:

17 W przypadku mniejszej ilości pomiarów stosujemy tzw. rozkład Studenta do oceny statystycznej niepewności przypadkowej wartości średniej. Odchylenie standardowe w rozkładzie Studenta jest t n razy większe od odchylenia standardowego w rozkładzie Gaussa. Wartość t n zależy od ilości pomiarów oraz poziomu ufności.

18 Odchylenie standardowe wartości średniej dla rozkładu Studenta obliczamy z zależności: Wartości dla poziomu ufności p=0,683 n t n 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05

19 Wynikiem wielokrotnego pomiaru tej samej wielkości w tych samych warunkach jest średnia arytmetyczna poszczególnych rezultatów, natomiast jej niepewnością przypadkową jest odchylenie standardowe S x Dodatkowo należy pamiętać o niepewnościach wzorcowania.

20 Przyjmując dla obu typów niepewności wzorcowania prostokątny rozkład prawdopodobieństwa, ich odchylenie standardowe wynosi:

21 W przypadku kiedy w eksperymencie występują wszystkie możliwe niepewności pomiaru odchylenie standardowe wyznaczamy za pomocą zależności: Zastosowanie tego wzoru daje 68,3% pewności, że rzeczywista wartość x mieści się w granicach ( -S x, +S x ).

22 W celu wyznaczenia niepewności maksymalnej pomiary możemy zastosować zależność: Zastosowanie powyższego wzoru daje 99,7% pewności, że rzeczywista wartość x mieści się w granicach ( -S x, +S x ).

23 Wykonałem serię pomiarów czasu spalania zapałek. Uzyskałem osiem wyników: t 1 = 15s, t 2 = 16s, t 3 = 13s, t 4 = 14s, t 5 = 7s, t 6 = 15s, t 7 = 17s, t 8 = 16s. Pierwsza analiza pozwala na wyeliminowanie 5 pomiaru jako pomyłki (błędu grubego). Wynikiem pomiaru jest obliczona na podstawie wzoru średnia = s. Z tabeli wynika, że dla n=7 współczynnik krytyczny rozkładu Studenta wynosi t n =1,09. Dlatego odchylenie standardowe wartości średniej S ts jest równe 0,554s (wzór 0.2). Po uwzględnieniu niepewności wzorcowania Δ d t=1s, można obliczyć (wzór 0.5) i zapisać, że z prawdopodobieństwem 0.68, średni czas palenia się zapałek z tej próby wynosi: =(15.14±0.94) s.

24 Wynik pomiaru linijką wysokości krawężnika jest następujący L=156mm. Ze względu na zużycie linijki oraz obły kształt krawędzi krawężnika oszacowałem niepewność eksperymentatora na Δ e L=3mm. W powiązaniu z niepewnością wzorcowania Δ d L=1mm wyliczona na podstawie wzoru, niepewność standardowa pomiaru wynosi: S L =1,82574 mm. Wynik końcowy: L=(156±2)mm.

25 Zmierzyłem suwmiarką średnicę pręta. Otrzymałem wynik Φ=12,1mm obarczony niepewnością wzorcowania Δ d Φ=0,1 mm. Ponieważ niepewność eksperymentatora uznałem za równą zero, dlatego na podstawie wzoru niepewność standartowa pomiaru średnicy jest równa S Φ =0, mm. Wynikiem końcowym jest wartość: Φ=(12,10±0,06)mm. Uwaga: Wynik zaokrąglony o jeszcze jedno miejsce znaczące Φ=(12,1±0,1)mm nie będzie błędem, lecz będzie wyrazem większej ostrożności w ocenie pomiaru. W praktyce to oznacza, że wykonując tylko jeden pomiar możemy oszacować jego niepewność jako Δx=Δ d x+δ e x.

26 Niepewność standardową wielkości złożonej tzn. takiej w wyznaczeniu której należy wykonać pomiar wielkości pośrednich wyznaczamy z zależności:

27 Celem obliczenia energii kinetycznej wagonu, zmierzyłem jego prędkość i masę uzyskując następujące rezultaty: V=(31±2) m/s i m=(15.0±0.5) t. Energia kinetyczna wagonu wynosi:. Na podstawie wzoru: Wynikiem końcowym jest wartość energii kinetycznej wagonu, czyli E=(721±52) 10 4 J.

28 Wyznaczone wielkości oraz ich niepewności należy zapisać w odpowiedni sposób. Możliwe jest wyznaczenie względnego odchylenia standardowego:

29 Obowiązują dwie przyjęte formy zapisu wyniku eksperymentu: X = (x ± u(x)) [jednostka] Bądź X= x [jednostka] ± w(x)

30 Prawidłowo zapisany wynik końcowy pomiaru wymaga, z reguły, zaokrąglenia. Zasada zaokrąglania jest następująca: odchylenie standardowe S x pomiaru pewnej wielkości X zaokrąglamy do takiego miejsca, aby pozostały tylko maksymalnie dwie cyfry znaczące, wynik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zostało zaokrąglone S x. Czasami się zdarza, że w przypadku pojedynczych pomiarów powinniśmy zaokrąglać błąd pozostawiając tylko jedną cyfrę znaczącą. Trzeba pamiętać, że zaokrąglamy wynik końcowy, a nie wyniki pośrednie!

31 Po opracowaniu pomiarów średnicy Φ drutu otrzymałem następujące wyniki: Φ=0, m i S Φ =5, m Po zaokrągleniu, wynik końcowy można przedstawić w formie Φ =(3,45±0.55) 10-3 m Φ =(345±55) 10-5 m Φ =345(55) 10-5 m

32 Wielu fizyków długo pracowało, aby uzyskać (i zapisać prawidłowo) tak dokładne stałe fizyczne np.: Ładunek elektronu (ładunek elementarny) e =(1, ± 0, ) C Stała Boltzmanna k = R/N A =(1, ± 0, ) J/K Stała Faradaya F = N A e =(96 485,3383 ± 0,0083) C/mol Stała grawitacyjna G N =(6,6742 ± 0,0010) m 3 /(kg s 2 ) itd.

33 Y [y] W celu graficznego przedstawienia wyników pomiarów można sporządzić wykres danej zależności X [x]

34 Y [y] ZLE X [x]

35 Kiedy przypuszczamy bądź wiemy, że jakaś wielkość z wielkością pośrednią jest związana zależnością funkcyjną typu: y=ax+b Możemy na podstawie wyników pomiaru wyznaczyć współczynniki prostej będącej wykresem tej zależności.

36 W celu wyznaczenia współczynników należy wykorzystać zależności: Gdzie:

37 Odchylenie standardowe dopasowania prostej można wyznaczyć z zależności: Istotnym parametrem jest również tzw. współczynnik korelacji, który powinien być jak najbliższy jedności;

38 Y[y] y = ax+b Parametr Wartosc Odchylenie stand A B R= X[x]

39 Na rysunku przedstawiono wyniki pomiaru długości fali dźwiękowej (λ=y) w funkcji częstotliwości tej fali (f=x).

40 Te same dane pomiarowe wykreślone są również poniżej. Tym razem zmienną x jest odwrotność częstotliwości fali, czyli 1/f. Ponieważ z wykresu można sądzić, że punkty układają się wzdłuż linii prostej można zastosować regresję (aproksymację) liniową.

41 Z wyników regresji liniowej przedstawionych na rysunku 3 można wyprowadzić następujące wnioski: 1. Wysoki współczynnik korelacji R= pozwala sądzić, że długość fali jest związana z jej częstotliwością zależnością λ =A+B/f, 2. Współczynnik proporcjonalności B mający wymiar [m/s] jest prędkością fali V=4897±35 [m/s], 3. Współczynnik A jest równy (0.025±0.047) [Hz] co jest zgodne z oczekiwaniem, że A=0, 4. Zależność λ =V/f jest potwierdzona przez powyższe dane doświadczalne, 5. Prędkość fali dźwiękowej o częstotliwości w zakresie od 800Hz do7500hz jest stała.

42 B. Kusz Metody wykonywania pomiarów oraz szacowanie niepewności pomiaru K. Kozłowski, R. Zieliński I Laboratorium z Fizyki część I Wydawnictwo PG