POMIARY I NIEPEWNOŚCI
|
|
- Dagmara Szczepańska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 POMIARY I NIEPEWNOŚCI Oto kilka powodów dla których ten dział jest interesujący: fizyka jest nauką przyrodniczą i dlatego podstawową sprawą jest pomiar i ocena jego niepewności, zagadnienia przedstawione w tym dziale mogą być pomocne przy opracowywaniu danych na pracowni fizycznej, jest bardzo różnorodny, ponieważ zawiera zagadnienia nie tylko z różnych dziedzin fizyki, ale także z zakresu statystyki, ma szerokie znaczenie praktyczne i to nie tylko w fizyce Podstawowe rozważania o pomiarach i niepewnościach Niezależnie od tego jak elegancka jest teoria w fizyce zawsze czeka ją konfrontacja z rzeczywistością, czyli z doświadczeniem (chyba, że postąpimy jak w dowcipie krążącym na wydziale teorii fizyki: jeżeli jakaś teoria nie potwierdza się w doświadczeniu to tym gorzej dla doświadczenia). Przeprowadzając, zaś eksperymenty i wykonując w nich pomiary musimy mieć świadomość, że niezależnie od tego jak dokładnymi przyrządami dysponujemy to nigdy nie wyznaczymy danej wielkości fizycznej jednoznacznie, pomimo iż mierzona wielkość może posiadać konkretną wartość (choć i to występuje nieczęsto) Mając tą świadomość nie musimy starać się za wszelką cenę wykonywać jak najdokładniejszych pomiarów. Ważniejszą rzeczą jest umiejętność oszacowania niepewności pomiarowej. Słowo niepewność jest o tyle lepsze ponieważ mówiąc błąd sugerujemy, że coś wykonaliśmy źle (przykładowo najnowsze i najdokładniejsze pomiary stałej Hubble a mają dużą niepewność ale błędne nie są). Mierząc daną wielkość fizyczną poprzez porównanie jej z odpowienim wzorcem dokonujemy pomiaru bezpośredniego (np. pomiar długości pokoju), natomiast z pomiarem pośrednim mamy do czynienia wówczas, gdy wyznaczana wielkość jest jakąś funkcją wielkości mierzonych (np. pomiar pola powierzchni pokoju polega na zmierzeniu jego długości i szerokości i przemnożeniu ich przez siebie) W pomiarach istotną sprawą jest pojęcie wzorca danej wielkości fizycznej. Określa się go najczęściej korzystając z takich zjawisk fizycznych w krórych jedna 1
2 z wielkości fizycznych jest stała (np. za wzorzec sekundy służy okres promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przy przejściu elektronu pomiędzy odpowiednimi orbitami w atomie cezu). Na podstawie wzorca skaluje się przyrządy pomiarowe (np. emitowany z Hamburga na falach długich sygnał wzorca czasu może synchronizować zegary) które porównują mierzoną wielkość fizyczną z wzorcem i wyznaczają jej wartość (np. to że czas trwania ruchu wynosi 3s) Analizując niepewności pomiarowe najważniejszą sprawą jest charakter ich występowania i dlatego możemy je podzielić na: 1. niepewności systematyczne 2. niepewności przypadkowe Ad. 1 Tego rodzaju niepewności występują wówczas gdy np. dany przyrząd jest uszkodzony i zawyża lub zaniża mierzoną wielkość fizyczną. Przykładowo jeżeli zegar kwarcowy upadnie to może się zdarzyć że stabilizujący drgania kryształ kwarcu obluzuje się i dzięki temu zegar będzie np. dodawał 1 sekundę na godzinę (systematycznie) Tego typu niepewności, jeśli nie są za duże i jeśli nie mamy możliwości pomiary innym przyrządem, są bardzo trudne do wyeliminowania. Ad. 2 Z tego rodzaju niepewnościami mamy do czynienia gdy wartości wielkości mierzonej zmieniają się przypadkowo w skutek niemożliwych do oszacowania czynników. Przykładowo mierząc czas trwania jakiegoś zjawiska możemy włączyć i wyłączyć stoper dokładnie ale możemy się pomylić aż o 0.4s i nie ma możliwości oszacowania refleksu osoby obsługującej stoper. Tego typu niepewności są trudne do oszacowania ale bardzo łatwe do wyeliminowania; wystarczy po prostu daną wielkość zmierzyć kilka razy i wyciągnąć średnią arytmetyczną. Wykonując dany pomiar na jego niepewność składa się wiele czynników, które można sklasyfikować następująco: 1. Czynniki związane z przyrządem 2. Czynniki związane z odczytem 3. Czynniki zewnętrzne 2
3 Ad. 1 Będą to najczęściej niepewności systematyczne zależne od wykonania przyrządu lub jego stanu technicznego. Przykładowo analogowy miernik napięcia ma skrzywioną wskazówkę i wskutek tego zawyża wartość mierzonego napięcia i 1V. Ad. 2 W zależności od sposobu odczytu wielkości fizycznej mogą pojawiać najczęściej niepewności przypadkowe. Przykładowo odczytując wartość napięcia z miernika analogowego możemy patrzeć na wskazówkę pod różnymi kątami i za każdym razem otrzymywana wartość napięcia będzie nieco inna (jest to tzw. błąd paralaksy i aby go ograniczyć umieszcza się pod wskazówką lusterko i odczytując należy uważać aby wskazówka pokryła się ze swoim odbiciem) Ad. 3 W tym przypadku mogą występować zarówno niepewności systematyczne jak i przypadkowe w zależności jak warunki zewnętrzne oddziałują na pomiar. Przykładowo miernik napięcia wyskalowany w temperaturze 20 o C ale mierzący przy 40 o C będzie wprowadzał trudną do oszacowania niepweność systematyczną, natomiast gdy podczas pomiaru nastąpi zakłócenie (np. choćby poprzez docierające do nas stale cząstki promieniowania kosmicznego) to będziemy mieć do czynienia z niepewnością przypadkową. Niepewności względne i bezwzględne Przypuśćmy, że wykonujemy pomiar długości deski przymiarem stolarskim mającym podziałkę co 0.5cm i uzyskujemy wynik: 84cm, jednak koniec naszej deski leży trochę pomiędzy sąsiednimi działakami przymiaru (84cm a 84.5cm) Z powodu braku dokładnej podziałki możemy przyjąć, że niepewność wyznaczenia długości deski wynosi 0.5cm w wynik naszego pomiaru będzie następujący: l = (84.0 ± 0.5)cm 3
4 Oznacza to, że w wyniku pomiaru otrzyaliśmy nie liczbę a przedział gdzie mierzona wielkość powinna się zawierać: l (83.5,84.5)cm Oszacowana wartość niepewności nazywa się niepewnością bezwzględną wyznacza ona zatem przedział w którym powinna znaleźć się mierzona wielkość fizyczna, a zatem w ogólności gdy mierzymy wielkość x, to wynik tego pomiaru zapisujemy następująco: x = x np ± x gdzie: x np to wynik pomiaru (wielkość najbardziej prawdopodobna), x niepewność bezwzględna, Niepewność bezwzględna wyznaczająca przedział w którym powinna znaleźć się mierzona wielkość jest bardzo użyteczna przy porównywaniu i mamy dwa rodzaje takiego porównywania: 1. ocena rozbieżności porównywanie dwóch wyników pomiaru tej samej wielkości fizycznej, 2. porównanie wielkości zmierzonej z uznaną (np. tablicową) Ad. 1 Rozważmy doświadczenie w którym dwie osoby mierzą tą samą rezystancję otrzymując następujące wyniki: R = (40 ± 5)Ω R = (42 ± 8)Ω Rożnica (rozbieżność) 2Ω jest mniejsza niż mniejsza z niepewności pomiarowych (5Ω) a zatem nie jest znacząca i pomiary są spójne Ad. 2 4
5 W tym przypadku rozważmy doświadcznie w którym mierzono prędkość dźwięku w powietrzu i otrzymano wynik: v = (329 ± 5) m s Po odszukaniu wielkości tablicowej okazało się że wynosi ona: 331 m s, mieści się ona w przedziale wyznaczonym przez niepewność bezwzględną ((324, 334)) więc wynik pomiaru można uznać za zadowalający. Warto w tym miejscu przytoczyć dwie reguły, użyteczne przy wyznaczaniu niepewności bezwzględnych: reguła podawania niepewności na pracowni wstępnej niepewności powinny być zwykle zaokrąglane do jednej cyfry znaczącej, reguła podawania odpowiedzi ostatnia cyfra znacząca w kążdym wyniku powinna zwykle być tego samego rzędu co niepewność Powyższe reguły wyjaśnimy na przykładzie. Niech nasze doświadczenie polega na wyznaczeniu przyspieszenia ziemskiego (g) i otrzymano w nim wynik: g = ± m s 2 Stosując regułę podawania niepewności nasz wynik należy zapisać jako: g = ± 0.02 m s 2 ale wówczas odpowiedź należy podać w następującej formie: g = (9.82 ± 0.02) m s 2 Analizując wartość niepewności bezwzględnej możemy ocenić czy pomiar jest dobry czy nie ale musimy znać wartość wielkości mierzonej, ponieważ niepewność bezwzględna x = 1cm przy pomiarze długości deski to niezbyt dobry pomiar, zatomiast wyznaczając z taką niepewnością odległość Ziemia-Księżyc 5
6 nasz pomiar będzie bardzo dobry. Widzimy więc że dobrze by było wprowadzić taki rodzaj niepewności który uwzględnia wartość mierzonej wielkości fizycznej; jest to niepewność względna definiowana następująco: NW x = x x np 100% Pokazuje ona nam (procentowo) jak dokładny jest rozważany pomiar, nie oznacza to jednak że pomiary z dużą niepewnością względną są z definicji bezużuteczne. Istnieją bowiem wielkości fizyczne które można zmierzyć łatwo i dokładnie oraz takie których pomiar jest trudny i niepewności względne są duże. Przenoszenie niepewności w pomiarach pośrednich Przypuśćmy że dokonukemy pomiaru pola powierzchni pokoju w kształcie prostokąta; jest to pomiar pośredni, ponieważ najpierw należy zmierzyć długość i szerokość a następnie pomnożyć uzyskane liczby przez siebie. Posługujemy się przymiarem na którym minimalny odstęp między działkami wynosi 0.5cm i oceniamy, że taka właśnie będzie nasza niepewność bezwzględna pomiaru. Uzyskane przez nas wartości są następujące: a = (100.0 ± 0.5)cm b = (200.0 ± 0.5)cm Pole powierzchni naszego pokoju wynosi zatem S np = ab = 20000cm 2, ale istotnym jest pytanie: jaka jest niepewność usyskanego wyniku, czyli jak niepewności a i b przeniosły się na obliczonie pole powierzchni? Określają to następujące reguły przenoszenia niepewności. Jeżeli dane są wyniki pomiarów... x = x np ± x i y = y np ± y... przy pomocy których obliczamy sumę, różnicę, iloczyn, iloraz oraz wyrażenie potęgowe: s = x + y, r = x y, m = x y, d = x y, p = xα 6
7 to niepewności tych obliczeń są następujące: s = x + y, r = x + y, m m np = x x np + y y np, d = x + y, d np x np y np p = α x p np x np Widać zatem, że niepewność bezwzględna sumy lub różnicy jest sumą niepewności bezwzględnych, a niepewność względna iloczynu lub ilorazu jest sumą niepewności względnych. Zastosujmy teraz nasze reguły do przykładu z pokojem. Mamy do czynienia z niepewnością iloczynu więc najpierw obliczmy niepewności względne czynników: a a np = = b b np = = Korzystając z reguły przenoszenia niepewności dla iloczynu, mamy: S S np = a a np + b b np = = Zatem niepewność bezwzględna wynosi: S = = 150 I ostateczna odpowiedż jest następująca: S = S np ± S = (20000 ± 150)cm 2 W przypadku gdy pomiary wielkości służących do obliczeń sumy, różnicy iloczynu lub ilorazu są niezależne okazuje się, że podane powyżej wzory przeszacowują nieco niepewności; można powiedzieć że są to reguły najmniej korzystnego przypadku. Lepszym oszacowaniem jest wzięcie pierwiastka z sumy kwadratów i wówczas odpowiednie reguły przenoszenia błędów są następujące: 7
8 s = ( x) 2 + ( y) 2, r = ( x) 2 + ( y) 2, m m np = ( x ) 2 + y x np y np ) 2 d d np = ( x ) 2 + y x np Niepewności przypadkowe. Rozkład normalny Wykonując jakiś pomiar który posiada dużą niepewność przypadkową (np. wspominany już wcześniej pomiar czasu stoperem) najłatwiej jest zmniejszyć niepewność tego pomiaru wykonując go np. kilkanaście razy i jako wynik (wartość najbardziej prawdopodobną) podać średnią artymetyczną. Jeżeli dany jest zbiór n wyników pomiaru: {x 1,x 2,...,x n } wówczas taką średnią obliczamy oczywiście następująco: y np ) 2 x np =< x >= x 1 + x x n n Należy jednak pamiętać, że możemy tak postąpić jeżeli: pomiary były niezależne pomiary były przeprowadzane w tych samych warunkach pomiary były przeprowadzane tym samym przyrządem W przeciwnym razie sprawa się komplikuje, bo np. gdy pomiary przeprowadzane są z różną dokładnością to należy używać tzw. średniej ważonej w której największy wpływ na wynik mają pomiary o jak najmniejszej niepewności. Sama jednak średnia arytmentczna nie mówi nam jednak nic o tym czy wyniki pomiarów są bliskie sobie, czy też są porozrzucane i dlatego wprowadza się pojęcie odchylenia standardowego, które określamy następująco: σ = (x 1 < x >) 2 + (x 2 < x >) (x n < x >) 2 n 1 8
9 Wyznacza ona tzw. przedzały ufności określone następująco. Jeżeli wykonaliśmy n pomiarów i na ich podstawie obliczyliśmy < x > i σ to wykonując następmy pomiar mamy: 68% szansę, że znajdzie się w przedziale: (< x > σ, < x > +σ) 95% szansę, że znajdzie się w przedziale: (< x > 2σ, < x > +2σ) 99.5% szansę, że znajdzie się w przedziale: (< x > 3σ,< x > +3σ) Wykorzystując odchylenie standardowe można także obliczyć także niepewność względną średniej arytmetycznej; wynosi ona: x = σ n A zatem ostateczny wynik naszej serii pomiarów wynosi: x = x np ± x =< x > ± σ n Analizując pomiary z niepewnością przypadkową można zauważyć, że najwięcej jest tych, które są bliskie średniej arytmetycznej, zaś tych które różnią się od średniej jest stosunkowo mało. Podobną sytuację mamy gdy np. analizujemy jak wysokie są osoby w danej grupie (np. w klasie) i okazyje się, że tych bardzo wysokich i bardzo niskich jest niewiele, zaś najwięcej jest osób średniego wzrostu. Ta ogólna prawidłowość opisana jest rozkładem normalnym (Gaussa), który jest zależnością prawdopodobieństwa (dokładniej gęstości prawdopodobieństwa) występowania danej cechy od ilości członków grupy którzy tą cechę posiadają. Opisuje ją następujący wzór: f <x>,σ = 1 σ x <x> 2Π e 2σ gdzie liczba e to podstawa logarytmu naturalnego jest ona niewymierna i wynosi: e = lim n ( n) n =
10 Zaś wykres tej zależności przypomina przypomina dzwon (dlatego nazywa się krzywą dzwonową) i wygląda następująco: f <x> σ σ σ x <x> Funkcja e x <x> 2σ jest dosyć nieprzyjemna analitycznie, ponieważ nie istnieje wzór na jej całkę nieoznaczoną, jednak da się obliczyć całkowite pole pod jej wykresem i okazuje się, że wcale nie jest nieskończone tylko wynosi: σ 2Π i nazywa się czynnikiem normalizacyjnym. Widać, zatem że pole pod wykresem funkcji f <x>,σ wynosi 1 co jest bardzo ważne dla funkcji opisującej prawdopodobieństwo. Zaznaczanie niepewności na wykresie. Regresja liniowa. Większość praw fizycznych to od strony matematyki funkcje, a zatem mają one konkretne wykresy, które da się sprawdzać doświadczalnie. Przykładowo analizując rozładowanie kondensatora bada się zależność natężenia prądu płynącego w obwodzie od czasu i zgodnie z teorią zależność ta powinna mieć postać: I(t) = I 0 e t τ ( ) gdzie: τ = RC to stała czasowa obwodu rozładowania kondensatora a fizycznie jest to czas po którym natężenie prądu w obwodzie spadnie e = krotnie. Przypuśćmy, że badaliśmy rozładowanie kondensatora mierząc natężenie prądu po kolejnych odcinkach czasu (np. co 4 sekundy) wraz z niepewnościami i 10
11 otrzymaliśmy następującą zależność: I I t t Niepewności pomiarowe (bezwzględne) przedstawiamy za pomocą krzyżyków lub prostokątów o długościacch równych podwójnej niepewności. Wyznaczają one obszar w którym powinien znaleźć się punkt na wykresie. Trudnym zadaniem jest jednak odpowiednie połączenie punktów pomiarowych i tu mamy kilka możliwości: za pomocą łamanej sposób najprostszy ale otrzymana figura nie ma żadnego znaczenia fizycznego, szczególnie gdy rozrzut punktów pomiarowych jest duży za pomocą krzywej dopasowanej przez metody statystyczne sposób najlepszy; znając charakter zależności (w naszym przypadku krzywa typu Ae Bx ) można tak dopasować parametry A i B aby jak najlepiej pasowała ona do otrzymanych w doświadczeniu punktów. za pomocą krzywej dopasowanej ręcznie mając np. krzywik do odpowiedniego typu krzywych można narysować taką krzywą aby była mnej więcej w równej odległości od każdego z punktów pomiarowych Niezależnie jaką metodę łączenia punktów wybierzemy to określenie, czy otrzymane w doświadczeniu punkty pomiarowe układają się na danej krzywej nie jest zadaniem łatwym i dlatego można postąpić w inny sposób; przekształćmy w tym celu równanie ( ) ( ) I(t) = e t τ I(t) ln I 0 I 0 ( ) = ln e t τ ( ) I(t) ln = t τ Jeżeli zaznaczymy na osi (OY) ln I(t) I 0, zaś na osi OX czas powinniśmy otrzymać 11 I 0
12 linię prostą, co pozwala łatwo ocenić, czy pomiary układają się na prostej czy nie, w naszym przypadku będzie ona następująca: ln I I 0 t Oprócz szybkiej oceny czy punkty wyznaczone z pomiarów leżą na prostej możemy statystycznie wyznaczyć prostą najlepiej dopasowaną do otrzymanych w doświadczeniu punktów. Procedurę tą nazywamy regresją liniową 12
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych Dr inż. Marcin Zieliński I Pracownia Fizyczna dla Biotechnologii, wtorek 8:00-10:45 Konsultacje Zakład Fizyki Jądrowej
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii 2007 Paweł Korecki 2013 Andrzej Kapanowski Po co jest Pracownia Fizyczna? 1. Obserwacja zjawisk i
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i
Bardziej szczegółowoWSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Dr Benedykt R. Jany I Pracownia Fizyczna Ochrona Środowiska grupa F1 Rodzaje Pomiarów Pomiar bezpośredni - bezpośrednio
Bardziej szczegółowoWstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński
Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów Ochrony Środowiska Teresa Jaworska-Gołąb 2017/18 Co czytać [1] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1999. [2] A. Zięba, Analiza
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów ZMIN Teresa Jaworska-Gołąb 2018/19 Co czytać [1] I Pracownia fizyczna, Andrzej Magiera red., Oficyna Wydawnicza IMPULS, Kraków 2006; http://www.1pf.if.uj.edu.pl/materialy/zalecana-literatura
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów ZMIN Teresa Jaworska-Gołąb 2017/18 Co czytać [1] I Pracownia fizyczna, Andrzej Magiera red., Oficyna Wydawnicza IMPULS, Kraków 2006; http://www.1pf.if.uj.edu.pl/materialy/zalecana-literatura
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii (2018) Autor prezentacji :dr hab. Paweł Korecki dr Szymon Godlewski e-mail: szymon.godlewski@uj.edu.pl
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów
Podstawy opracowania wyników pomiarów I Pracownia Fizyczna Chemia C 02. 03. 2017 na podstawie wykładu dr hab. Pawła Koreckiego Katarzyna Dziedzic-Kocurek Instytut Fizyki UJ, Zakład Fizyki Medycznej k.dziedzic-kocurek@uj.edu.pl
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI
LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)
Bardziej szczegółowoTemat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
Temat: SZCOWNIE NIEPEWNOŚCI POMIROWYCH - Jak oszacować niepewność pomiarów bezpośrednich? - Jak oszacować niepewność pomiarów pośrednich? - Jak oszacować niepewność przeciętną i standardową? - Jak zapisywać
Bardziej szczegółowoRozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Bardziej szczegółowoKARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU
Uniwersytet Rzeszowski WYDZIAŁ KIERUNEK Matematyczno-Przyrodniczy Fizyka techniczna SPECJALNOŚĆ RODZAJ STUDIÓW stacjonarne, studia pierwszego stopnia KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU NAZWA PRZEDMIOTU WG PLANU
Bardziej szczegółowoNiepewność pomiaru. Wynik pomiaru X jest znany z możliwa do określenia niepewnością. jest bledem bezwzględnym pomiaru
iepewność pomiaru dokładność pomiaru Wynik pomiaru X jest znany z możliwa do określenia niepewnością X p X X X X X jest bledem bezwzględnym pomiaru [ X, X X ] p Przedział p p nazywany jest przedziałem
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoZmierzyłem i co dalej? O opracowaniu pomiarów i analizie niepewności słów kilka
Zmierzyłem i co dalej? O opracowaniu pomiarów i analizie niepewności słów kilka Jakub S. Prauzner-Bechcicki Grupa: Chemia A Kraków, dn. 7 marca 2018 r. Plan wykładu Rozważania wstępne Prezentacja wyników
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Biologii A i B dr hab. Paweł Korecki e-mail: pawel.korecki@uj.edu.pl http://www.if.uj.edu.pl/pl/edukacja/pracownia_i/
Bardziej szczegółowoSMOP - wykład. Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów. Ewa Pawelec
SMOP - wykład Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów Ewa Pawelec 1 iepewność dla rozkładu norm. Zamiast dodawania całych zakresów uwzględniamy prawdopodobieństwo trafienia dwóch wartości: P x 1, x
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH
ĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH Pomiary (definicja, skale pomiarowe, pomiary proste, złożone, zliczenia). Błędy ( definicja, rodzaje błędów, błąd maksymalny i przypadkowy,). Rachunek błędów Sposoby
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów
Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Dzięki uprzejmości: Paweł Korecki Instytut Fizyki UJ pok. 256 e-mail: pawel.korecki@uj.edu.pl http://users.uj.edu.pl/~korecki
Bardziej szczegółowo02. WYZNACZANIE WARTOŚCI PRZYSPIESZENIA W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM ORAZ PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO Z WYKORZYSTANIEM RÓWNI POCHYŁEJ
TABELA INFORMACYJNA Imię i nazwisko autora opracowania wyników: Klasa: Ocena: Numery w dzienniku Imiona i nazwiska pozostałych członków grupy: Data: PRZYGOTOWANIE I UMIEJĘTNOŚCI WEJŚCIOWE: Należy posiadać
Bardziej szczegółowoWyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm.
2 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm. Nr pomiaru T[s] 1 2,21 2 2,23 3 2,19 4 2,22 5 2,25 6 2,19 7 2,23 8 2,24 9 2,18 10 2,16 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła
Bardziej szczegółowoWstęp do ćwiczeń na pracowni elektronicznej
Wstęp do ćwiczeń na pracowni elektronicznej Katarzyna Grzelak listopad 2011 K.Grzelak (IFD UW) listopad 2011 1 / 25 Zajęcia na pracowni elektronicznej Na kolejnych zajęciach spotykamy się na pracowni elektronicznej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych.
Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie ma następujące części: 1 Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma, metoda najmniejszych kwadratów. 2 Pomiar średnicy pręta.
Bardziej szczegółowoprzybliżeniema Definicja
Podstawowe definicje Definicje i podstawowe pojęcia Opracowanie danych doświadczalnych Często zaokraglamy pewne wartości np. kupujac telewizor za999,99 zł. dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl
Bardziej szczegółowoTutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi
Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi technicznej. 1. Wstęp Celem ćwiczenia jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoWyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym
Ćwiczenie 11A Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym 11A.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu mierzy się przy pomocy wagi siłę elektrodynamiczną, działającą na odcinek przewodnika
Bardziej szczegółowoCharakterystyka mierników do badania oświetlenia Obiektywne badania warunków oświetlenia opierają się na wynikach pomiarów parametrów świetlnych. Podobnie jak każdy pomiar, również te pomiary, obarczone
Bardziej szczegółowoSprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Zakład Miernictwa
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoGraficzne opracowanie wyników pomiarów 1
GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Celem pomiarów jest bardzo często potwierdzenie związku lub znalezienie zależności między wielkościami fizycznymi. Pomiar polega na wyznaczaniu wartości y wielkości
Bardziej szczegółowoĆw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego
2019/02/14 13:21 1/5 Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego 1. Cel ćwiczenia Wyznaczenie przyspieszenia
Bardziej szczegółowoO 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,
Bardziej szczegółowoBadanie widma fali akustycznej
Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 00/009 sem.. grupa II Termin: 10 III 009 Nr. ćwiczenia: 1 Temat ćwiczenia: Badanie widma fali akustycznej Nr. studenta: 6 Nr. albumu: 15101
Bardziej szczegółowoJak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki?
1 Jak poprawnie napisać sprawozdanie z ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki? Sprawozdania należny oddać na kolejnych zajęciach laboratoryjnych. Każde opóźnienie powoduje obniżenie oceny za sprawozdanie o 0,
Bardziej szczegółowoLaboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego błąd pomiaru = x i x 0 Błędy pomiaru dzielimy na: Błędy
Bardziej szczegółowoAutomatyka i pomiary wielkości fizykochemicznych. Instrukcja do ćwiczenia III. Pomiar natężenia przepływu za pomocą sondy poboru ciśnienia
Automatyka i pomiary wielkości fizykochemicznych Instrukcja do ćwiczenia III Pomiar natężenia przepływu za pomocą sondy poboru ciśnienia Sonda poboru ciśnienia Sonda poboru ciśnienia (Rys. ) jest to urządzenie
Bardziej szczegółowoOkreślanie niepewności pomiaru
Określanie niepewności pomiaru (Materiały do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu Materiałoznawstwo na wydziale Górnictwa i Geoinżynierii) 1. Wprowadzenie Pomiar jest to zbiór czynności mających na celu
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoWykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.
Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.. KEITHLEY. Practical Solutions for Accurate. Test & Measurement. Training materials, www.keithley.com;. Janusz Piotrowski: Procedury
Bardziej szczegółowoROZKŁAD NORMALNY. 2. Opis układu pomiarowego
ROZKŁAD NORMALNY 1. Opis teoretyczny do ćwiczenia zamieszczony jest na stronie www.wtc.wat.edu.pl w dziale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE (Wstęp do teorii pomiarów). 2. Opis układu pomiarowego
Bardziej szczegółowoRozkład Gaussa i test χ2
Rozkład Gaussa jest scharakteryzowany dwoma parametramiwartością oczekiwaną rozkładu μ oraz dyspersją σ: METODA 2 (dokładna) polega na zmianie zmiennych i na obliczeniu pk jako różnicy całek ze standaryzowanego
Bardziej szczegółowoRuch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia
Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoDokładność pomiaru: Ogólne informacje o błędach pomiaru
Dokładność pomiaru: Rozumny człowiek nie dąży do osiągnięcia w określonej dziedzinie większej dokładności niż ta, którą dopuszcza istota przedmiotu jego badań. (Arystoteles) Nie można wykonać bezbłędnego
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,
Bardziej szczegółowoPracownia Astronomiczna. Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu
Pracownia Astronomiczna Zapisywanie wyników pomiarów i niepewności Cyfry znaczące i zaokrąglanie Przenoszenie błędu Każdy pomiar obarczony jest błędami Przyczyny ograniczeo w pomiarach: Ograniczenia instrumentalne
Bardziej szczegółowoFizyka (Biotechnologia)
Fizyka (Biotechnologia) Wykład I Marek Kasprowicz dr Marek Jan Kasprowicz pokój 309 marek.kasprowicz@ur.krakow.pl www.ar.krakow.pl/~mkasprowicz Marek Jan Kasprowicz Fizyka 013 r. Literatura D. Halliday,
Bardziej szczegółowoWyznaczanie krzywej ładowania kondensatora
Ćwiczenie E10 Wyznaczanie krzywej ładowania kondensatora E10.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zbadanie przebiegu procesu ładowania kondensatora oraz wyznaczenie stałej czasowej szeregowego układu.
Bardziej szczegółowoWPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU
Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego WPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU 1. Błąd a niepewność pomiaru Pojęcia błędu i niepewności
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta
Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej Jacek Pawlyta Fizyka Teorie Obserwacje Doświadczenia Fizyka Teorie Przykłady Obserwacje Przykłady Doświadczenia Przykłady Fizyka Potwierdzanie bądź obalanie
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRACY WYJŚCIA ELEKTRONÓW Z LAMPY KATODOWEJ
INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA FIZYKI CIAŁA STAŁEGO Ć W I C Z E N I E N R FCS - WYZNACZANIE PRACY WYJŚCIA ELEKTRONÓW Z LAMPY
Bardziej szczegółowoMgr Kornelia Uczeń. WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa VII-Szkoła Podstawowa
Mgr Kornelia Uczeń WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa VII-Szkoła Podstawowa Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 254. Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora. Ustawiony prąd ładowania I [ ma ]: t ł [ s ] U ł [ V ] t r [ s ] U r [ V ] ln(u r )
Nazwisko... Data... Wydział... Imię... Dzień tyg.... Godzina... Ćwiczenie nr 254 Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora Numer wybranego kondensatora: Numer wybranego opornika: Ustawiony prąd ładowania
Bardziej szczegółowoTeoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.
Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej
Bardziej szczegółowoAnaliza korelacyjna i regresyjna
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Analiza korelacyjna i regresyjna Instrukcja do ćwiczenia nr 5 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, kwiecień 2014 Podstawy Metrologii i
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY
ĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY W trakcie doświadczenia przeprowadzono sześć pomiarów rezonansu akustycznego: dla dwóch różnych gazów (powietrza i CO), pięć pomiarów dla powietrza oraz jeden pomiar dla
Bardziej szczegółowoĆw. 2: Analiza błędów i niepewności pomiarowych
Wydział: EAIiE Kierunek: Imię i nazwisko (e mail): Rok:. (200/20) Grupa: Zespół: Data wykonania: Zaliczenie: Podpis prowadzącego: Uwagi: LABORATORIUM METROLOGII Ćw. 2: Analiza błędów i niepewności pomiarowych
Bardziej szczegółowoFIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma
FIZYKA LABORATORIUM prawo Ohma dr hab. inż. Michał K. Urbański, Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej, pok 18 Gmach Fizyki, murba@if.pw.edu.pl www.if.pw.edu.pl/ murba strona Wydziału Fizyki www.fizyka.pw.edu.pl
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien : Na ocenę dostateczną uczeń powinien: Na ocenę dobrą uczeń powinie: Na ocenę bardzo dobrą uczeń powinien: Na ocenę celującą
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoZajęcia wprowadzające W-1 termin I temat: Sposób zapisu wyników pomiarów
wielkość mierzona wartość wielkości jednostka miary pomiar wzorce miary wynik pomiaru niedokładność pomiaru Zajęcia wprowadzające W-1 termin I temat: Sposób zapisu wyników pomiarów 1. Pojęcia podstawowe
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2017/2018 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 60 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowo5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE
5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE Model klasyczny Gulliksena Wynik otrzymany i prawdziwy Błąd pomiaru Rzetelność pomiaru testem Standardowy błąd pomiaru Błąd estymacji wyniku prawdziwego Teoria Odpowiadania
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarowych i opracowanie wyników. Chemia C
Analiza niepewności pomiarowych i opracowanie wyników dr Anna Majcher 5 marca 2015 Chemia C I Pracownia Fizyczna, WFAiIS UJ Po co nam niepewności pomiarowe? Pytania: Jak daleko jest stąd do najbliższego
Bardziej szczegółowoLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne
LI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP II Zadanie doświadczalne ZADANIE D1 Cztery identyczne diody oraz trzy oporniki o oporach nie różniących się od siebie o więcej niż % połączono szeregowo w zamknięty obwód elektryczny.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 2: ZaleŜność okresu drgań wahadła od amplitudy
Wydział PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH Imię i nazwisko 1. 2. Temat: Rok Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wykonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 2: ZaleŜność okresu
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowo1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
Bardziej szczegółowoĆw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2
1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera)
Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. grupa II Termin: 17 III 2009 Nr. ćwiczenia: 112 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła
Bardziej szczegółowoKORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Bardziej szczegółowoF = e(v B) (2) F = evb (3)
Sprawozdanie z fizyki współczesnej 1 1 Część teoretyczna Umieśćmy płytkę o szerokości a, grubości d i długości l, przez którą płynie prąd o natężeniu I, w poprzecznym polu magnetycznym o indukcji B. Wówczas
Bardziej szczegółowoLVI OLIMPIADA FIZYCZNA (2006/2007). Stopień III, zadanie doświadczalne D
LI OLIMPIADA FIZYCZNA (26/27). Stopień III, zadanie doświadczalne D Źródło: Autor: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej. Andrzej ysmołek Komitet Główny Olimpiady Fizycznej,
Bardziej szczegółowoPodstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia
Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia 1. Zaokrąglij podane wartości pomiarów i ich niepewności. = (334,567 18,067) m/s = (153 450 000 1 034 000) km = (0,0004278 0,0000556) A = (2,0555 0,2014) s =
Bardziej szczegółowoCECHOWANIE TERMOELEMENTU Fe-Mo I WYZNACZANIE PUNKTU INWERSJI
INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA FIZYKI CIAŁA STAŁEGO Ć W I C Z E N I E N R FCS - 7 CECHOWANIE TERMOELEMENTU Fe-Mo I WYZNACZANIE
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1
Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY
Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoA6: Wzmacniacze operacyjne w układach nieliniowych (diody)
A6: Wzmacniacze operacyjne w układach nieliniowych (diody) Jacek Grela, Radosław Strzałka 17 maja 9 1 Wstęp Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, których używaliśmy w obliczeniach: 1. Charakterystyka
Bardziej szczegółowoPlan metodyczny do lekcji fizyki. TEMAT: Prawo Ohma. Opór elektryczny.
Opracowała mgr Renata Kulińska Plan metodyczny do lekcji fizyki. TEMAT: Prawo Ohma. Opór elektryczny. Cel ogólny: Badanie zależność natężenia prądu od napięcia w obwodzie prądu stałego. Sporządzenie wykresu
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY
Bardziej szczegółowo