Analiza niepewności pomiarów

Transkrypt

1 Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda

2 Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej losowej Pytania kontrolne? zmienna losowa wariancja odchylenie standardowe odchylenie standardowe eksperymentalne estymator rozkład prawdopodobieństwa zgodność, obciążenie, efektywność jeżeli przedziały klas 0 oraz n to wielobok liczebności krzywej rozkładu prawdopodobieństwa

3 Szczecin; Paweł Majda 3 Interpretacja graficzna prawdopodobieństwa wystąpienia cechy populacji w przedziale <a,b> Dla rozkładu normalnego mamy: d g P 687 0, ) ( , ) ( d g P , ) ( d g P 1 ) ( d g

4 Odchylenie standardowe i jego wpływ na kształt krzywej Gaussa Graficzna interpretacja odchylenia standardowego dla rozkładu normalnego Wpływ wartości odchylenia standardowego na kształt krzywej rozkładu normalnego a) krzywa rozkładu normalnego b) pierwsze i drugie różniczkowanie krzywej rozkładu normalnego 1 n n i1 i 1 n n 1 i1 i Szczecin; Paweł Majda 4

5 Standardowy (standaryzowany) rozkład normalny N(0,1) Carl Friedrich Gauss Szczecin; Paweł Majda 5

6 Krzywa rozkładu jednostajnego (równomiernego, prostokątnego) Rozkład prostokątny wykorzystywany jest często do szacowanie niepewności standardowej metodą typu B dla granicznego błędu dopuszczalnego przyrządu pomiarowego MPE (ang. maimum permissible error). Przyjmuje się wówczas a= MPE oraz Szczecin; Paweł Majda 6

7 Krzywa rozkładu trójkątnego Szczecin; Paweł Majda 7

8 Rozkład t-studenta dla n-1=, 5 i 10 stopni swobody oraz rozkład N(0,1) William Sealy Gosset, (pseudonim Student) t 1, n Szczecin; Paweł Majda 8

9 Wpływ liczby stopni swobody oraz poziomu istotności a na wartość zmiennej standaryzowanej rozkładu t-studenta Pytanie ile razy powtarzać eksperyment? 3.9 t 1, n1 t 1, n1 t [-] a = 0.01 a = 0.0 a = 0.03 a = 0.05 a = liczba stopni swobody: n-1 Program Ecel oblicza wartość statystyki t-studenta (dla przedziału dwustronnego) jako funkcję: =ROZKŁAD.T.ODW(a;n-1) Szczecin; Paweł Majda 9

10 Centralne twierdzenie graniczne rachunku prawdopodobieństwa Jedno z najważniejszych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, uzasadniające powszechne występowanie w przyrodzie rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego. Jeżeli Y c1 X1 c X... c n X n n i1 i wszystkie Xi mają rozkłady normalne, to rozkład Y c i X i także jest normalny. Jednakże nawet jeżeli rozkłady Xi nie są normalne to rozkład Y, na mocy CTG, można aproksymować rozkładem normalnym (przy założeniu, że zmienne Xi są niezależne. Na podstawie CTG można w wielu sytuacjach zakładać, że zmienna losowa, którą jesteśmy właśnie zainteresowani, ma rozkład normalny. () R i 1 Wartość zmiennej standaryzowanej splotu rozkładów jest ścisłym sposobem wyznaczania współczynnika rozszerzenia dla niepewności rozszerzonej pomiaru!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

11 Rozważania praktyczne Rozkład prostokątny m=0,5 Liczba próbek 10 Liczba próbek 100 Liczba próbek Szczecin; Paweł Majda 11

12 Rozważania praktyczne Rozkład normalny m=10; s=1 Liczba próbek 10 Liczba próbek 100 Liczba próbek Szczecin; Paweł Majda 1

13 Rozważania praktyczne Rozkład Weibulla l=10 parametr skali k=40 parametr kształtu Dla k=3.4 przypomina rozkład normalny Liczba próbek 10 Liczba próbek 100 Liczba próbek Szczecin; Paweł Majda 13

14 Rozważania praktyczne wiarygodność oszacowania niepewności pomiaru Przedział ufności odchylenia standardowego czyli także niepewności pomiaru P n 1 s n 1 c, n1 c s 1, n1 1 gdzie: n<30 liczna pomiarów, odchylenie standardowe populacji generalnej, s odchylenie standardowe z próby, (1-) poziom ufności, c wartość krytyczna rozkładu chi-kwadrat dla określonego poziomu istotności i liczby stopni swobody. s = 1 = 0, Szczecin; Paweł Majda 14

15 Dziękuję za uwagę Szczecin; Paweł Majda 15