KOMPENDIUM Z MATEMATYKI

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Metody obliczania całek ε = mc Michał Stukow Błażej Szepietowski

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Michał Stukow Błażej Szepietowski Metody obliczania całek Gdańsk

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Uniwersytet Gdański Copyright by Michał Stukow, Błażej Szepietowski Skład komputerowy (LaTeX): Michał Stukow, Błażej Szepietowski Projekt okładki i strony tytułowej: All rights reserved Uniwersytet Gdański Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Instytut Matematyki 8-95 Gdańsk, ul. Wita Stwosza 57

Spis treści Wstęp 7 Część. Całki nieoznaczone 8 Rozdział. Określenie całki i najprostsze sposoby jej obliczania 9.. Proste przykłady 9.. Podstawowe wzory.. Liniowa zmiana zmiennych 4.4. Pochodna logarytmiczna 6.5. Zadania 7 Rozdział. Całkowanie przez podstawienie 9.. Proste przykłady 9.. Uwagi o notacji.. Podstawienia liniowe.4. Podstawienia wielomianowe.5. Podstawienia trygonometryczne 5.6. Podstawienia logarytmiczne 7.7. Podstawienia wykładnicze 8.8. Całki z pierwiastkami 9.9. Zadania Rozdział. Całkowanie przez części.. Metoda całkowania przez części.. Wielomian razy sinus lub kosinus 5.. Wielomian razy funkcja wykładnicza 7.4. Funkcja potęgowa razy funkcja logarytmiczna 8.5. Funkcja wykładnicza razy sinus lub kosinus 4.6. Funkcje cyklometryczne 4.7. Zadania 44 Rozdział 4. Funkcje wymierne 45 4.. Rozkład funkcji wymiernej 45 4.. Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju 49 4.. Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju 5 4.4. Całkowanie dowolnej funkcji wymiernej 55 4.5. Wzór redukcyjny 59 4.6. Zadania 6 4

Rozdział 5. Funkcje trygonometryczne 6 5.. Podstawowe tożsamości 6 5.. Podstawianie za sinus lub kosinus 6 5.. Podstawienie uniwersalne 65 5.4. Podstawianie za tangens 66 5.5. Zadania 68 Rozdział 6. Funkcje niewymierne 69 6.. Pierwiastki z 69 6.. Pierwiastki z funkcji liniowej i homograficznej 7 6.. Różniczki dwumienne 7 6.4. Podstawienia trygonometryczne 76 6.5. Całki postaci a +b+c 6.6. Całki postaci a + b + c 79 6.7. Całki postaci A+B (A + B) a + b + c 8 a +b+c 6.8. Metoda współczynników nieoznaczonych 8 6.9. Podstawienia Eulera 8 6.. Zadania 86 Rozdział 7. Inne klasy funkcji 88 7.. Funkcje hiperboliczne 88 7.. Całkowanie funkcji hiperbolicznych 89 7.. Podstawienia hiperboliczne 9 7.4. Zadania 9 Część. Całki oznaczone 9 Rozdział 8. Metody obliczania całek oznaczonych 94 8.. Podstawowe własności 95 8.. Całkowanie przez części i przez podstawienie 97 8.. Zadania 98 Rozdział 9. Całki niewłaściwe 99 9.. Całka w granicach nieskończonych 99 9.. Całka z funkcji nieograniczonej 4 9.. Zadania. 8 Rozdział. Zastosowania całek 9.. Pole obszaru 9.. Długość krzywej.. Objętość bryły i pole powierzchni obrotowej.4. Zadania 5 Rozdział. Odpowiedzi do zadań 7 Rozdział 7 Rozdział 8 Rozdział 9 5 78

Rozdział 4 Rozdział 5 Rozdział 6 Rozdział 7 Rozdział 8 Rozdział 9 Rozdział Bibliografia 4 6

Wstęp Celem niniejszego skryptu jest dostarczenie studentom I roku kierunków matematycznych podręcznego zbioru metod obliczania całek. Treść skryptu jest bogato ilustrowana w pełni rozwiazanymi przykładami, a na końcu każdego rozdziału zamieściliśmy wybór zadań samodzielnego rozwiazania. Dobierajac zadania staraliśmy się, aby były one różnorodne oraz aby nie były uciażliwe rachunkowo. Do wszystkich zadań zamieściliśmy odpowiedzi, a do większości z nich również wskazówki. Treść skryptu koncentruje się wokół rachunkowych metod liczenia całek i całkowicie pomija aspekty teoretyczne zwiazane z teoria całki. Autorzy Gdańsk, marzec 7

Część Całki nieoznaczone

ROZDZIAŁ Określenie całki i najprostsze sposoby jej obliczania.. Proste przykłady O całce nieoznaczonej należy myśleć jak o operacji odwrotnej do liczenia pochodnej. Dokładniej, obliczenie całki f () sprowadza się do znalezienia takiej funkcji F, że F () = f (). Funkcję F nazywamy w tej sytuacji funkcja pierwotna do f. Zadanie.. Oblicz (4 + 5). Jeżeli pamiętamy jak się liczy pochodne, to bez trudu zgadujemy wynik. (4 + 5) = + 5. Tak jest, bo ( + 5) = 4 + 5. Zadanie.. Oblicz ( sin + cos ). Majac w pamięci wzory na pochodne sinusa i cosinusa, zgadujemy ( sin + cos ) = cos + sin. Jeżeli nie jesteśmy pewni wyniku, to sprawdzamy ( cos + sin ) = sin + cos. Uważny czytelnik powinien dostrzec pewna nieścisłość w powyższych rachunkach: funkcja + 5 nie jest jedyna funkcja, której pochodna jest równa 4 + 5. Inna funkcja o tej własności to na przykład + 5 +, albo dowolna funkcja postaci + 5 + C, gdzie C R. Okazuje się jednak, że jest to jedyna możliwa niejednoznaczność: każde dwie funkcje pierwotne funkcji f () różnia się o stała. Która z tych funkcji jest więc wartościa całki (4 + 5)? Ponieważ nie jesteśmy w stanie w sensowny sposób wyróżnić żadnej z nich, przyjmujemy, że wartościa całki sa wszystkie te funkcje na raz (czyli wartościa całki nieoznaczonej jest zbiór wszystkich 9

. PROSTE PRZYKŁADY funkcji pierwotnych, a nie pojedyncza funkcja). Zwykle zapisujemy to w postaci (4 + 5) = + 5 + C, gdzie C R. Oczywiście równie dobrze mogliśmy napisać (4 + 5) = + 5 + + C, gdzie C R, bo jest to dokładnie ten sam zbiór funkcji. Powyższy komentarz może na poczatku wydawać się trochę abstrakcyjny, ale musieliśmy go zrobić w miarę szybko, żeby wyjaśnić dlaczego we wszystkich wynikach będzie występowała stała C. Zadanie.. Oblicz. Oczywiście za funkcję pierwotna można wziać funkcję stale równa, ale już wiemy, że wynikiem liczenia całki będzie cały zbiór funkcji: w tym przypadku zbiór funkcji stałych. = C, C R. Od tej pory nie będziemy już specjalnie zajmować się stała C po prostu będziemy ja zawsze dopisywać na końcu do wyniku. Zadanie.4. Oblicz ( + sin ). Myślimy: jaka musi być funkcja, żeby jej pochodna było? Na pewno musi być, ale liczac pochodna na dół spadnie, więc musimy dopisać z przodu, żeby otrzymać współczynnik. Podobnie z sin : funkcja pierwotna będzie cos, ale liczac pochodna z cos otrzymamy współczynnik ( jest z pochodnej wnętrza). Zatem musimy z przodu dopisać (żeby otrzymać współczynnik ). Zatem ( + sin ) = cos + C. Zadanie.5. Oblicz. Liczymy =.

. PODSTAWOWE WZORY Wiemy jak się liczy pochodna funkcji potęgowej: ( a ) = a a. Zatem w wyniku liczenia powyższej całki musi wyjść funkcja + =. Na końcu dopisujemy z przodu współczynnik, aby się skrócił przy liczeniu pochodnej. Mamy więc = = + C = + C. Zadanie.6. Oblicz Ponieważ (ln ) = mamy = ln + C. Zadanie.7. Oblicz 5e. Ponieważ (5e ) = 5e mamy 5e = 5e + C... Podstawowe wzory Następujace wzory łatwo sprawdzić, różniczkujac funkcje po prawej stronie:

. PODSTAWOWE WZORY α = α+ + C dla α =, α + = ln + C, e = e + C, a = a ln a + C, sin = cos + C, cos = sin + C, cos = tg + C, sin = ctg + C, = arctg + C, + = arc sin + C. = ln + C. Po- Jedyny wzór, który prawdopodobnie wymaga komentarza, to winno być jasne, że = ln + C = ln + C, o ile >. Jeżeli natomiast < to mamy (ln ) = (ln( )) = ( ) =, co pokazuje, że = ln + C dla <. Ponieważ różniczkowanie jest operacja liniowa (czyli ( f + g) = f + g oraz (α f ) = α f ), podobna własność ma całka nieoznaczona. ( f () + g() ) = α f () = α f () + f (). g(), Pierwszy wzór oznacza, że całkujac sumę funkcji możemy całkować każdy składnik osobno. Drugi pozwala wyłaczać stałe przed znak całki. Zadanie.8. Oblicz ( cos ).

. PODSTAWOWE WZORY ( ) cos = cos = tg + C. ln Zadanie.9. Oblicz Liczymy = = = + C = + C. Zadanie.. Oblicz ( 5 + ). ( 5 + ) = 5 + = 4 4 5 + + C. Przy odrobinie wprawy środkowy krok powyższego rachunku wykonujemy w pamięci i na ogół piszemy krótko ( 5 + ) = 4 4 5 + + C (po kolei obliczamy całkę z każdego składnika). Zadanie.. Oblicz 4 + Liczymy 4 + = ( + ) = = 4 4 + ln + C. Zadanie.. Oblicz +. + = ( + ) = 5 + 6 = 8 8 + 6 7 7 6 + C.

. LINIOWA ZMIANA ZMIENNYCH 4 Zadanie.. Oblicz n Liczymy n = n = + + n + C = n n n + n + C. Zadanie.4. Oblicz + 6. Liczymy + 6 = ( = ) 6 + ( 6 = ( ) ln + ln + C = ln ln + C. ) ( ) + = Zadanie.5. Oblicz tg. Liczymy sin tg = cos = ( ) = cos cos cos = = tg + C. Zadanie.6. Oblicz. Liczymy = = = arc sin + C... Liniowa zmiana zmiennych Korzystajac ze wzoru na pochodna funkcji złożonej łatwo obliczyć, że

. LINIOWA ZMIANA ZMIENNYCH 5 [ f (a + b)] = a f (a + b). Równość ta pozwala łatwo przewidzieć jak zmieni się całka jeżeli zamiast podstawimy w niej wyrażenie liniowe postaci a + b. Zadanie.7. Oblicz sin( ). Wiemy, że całka z sinusa to minus cosinus. Zatem spodziewamy się wyniku postaci cos( ). Jeżeli jednak policzymy pochodna z tej funkcji, to otrzymamy sin( ). Musimy więc z przodu dodać. sin( ) = cos( ) + C. Zadanie.8. Oblicz 5+. Ponieważ wyrażenie to dokładnie pochodna pierwiastka y =, spodziewamy się wyniku postaci 5 +. Jeżeli jednak policzymy pochodna z tego wyrażenia, to otrzymamy z przodu współczynnik 5 pochodzacy z pochodnej wnętrza. Zatem dopisujemy z przodu współczynnik 5. 5 + = 5 + + C. 5 Zadanie.9. Oblicz (9 5) 7. Wiemy, że funkcja pierwotna do 7 jest 8 8, zatem spodziewamy się wyniku postaci 8 (9 5)8. Jeżeli policzymy pochodna z tego wyrażenia okaże się, że musimy dodać z przodu współczynnik 5. (9 5) 7 = 4 (9 5)8 + C. Zadanie.. Oblicz sin.

.4 POCHODNA LOGARYTMICZNA 6 Korzystajac ze wzoru cos = sin mamy sin = ( cos ) = sin + C. 4 Zadanie.. Oblicz 4 4+. Zwiniemy mianownik do pełnego kwadratu (postać kanoniczna) i skorzystamy ze wzoru + = arctg + C. 4 4 + = ( ) + = arctg( ) + C..4. Pochodna logarytmiczna Korzystajac ze wzoru na pochodna funkcji złożonej łatwo obliczyć, że [ ln f () ] = f () f () Wzór ten pozwala łatwo zgadnać całkę nieoznaczona z wyrażeń postaci f () (czyli gdy f () licznik ułamka jest pochodna mianownika). Wyrażenie tej postaci jest czasem nazywane pochodna logarytmiczna. Zadanie.. Oblicz +6+ + ++. Ponieważ ( + + + ) = + 6 + mamy + 6 + + + + = ln + + + + C. Zadanie.. Oblicz +. Liczymy + = + = ( + ) + = = ln + + C = ln( + ) + C.

.5 ZADANIA 7 Zadanie.4. Oblicz e e +5. Ponieważ (e + 5) = e mamy e e + 5 = ln e + 5 + C = ln(e + 5) + C. Zadanie.5. Oblicz tg. Liczymy tg = sin (cos ) cos = cos = ln cos + C. Zadanie.6. Oblicz ln. Ponieważ (ln ) = mamy ln = ln = ln ln + C. Zadanie.7. Oblicz + +. Liczymy + + = + + + = arctg + ln( + ) + C..5. Zadania Zadanie.8. Oblicz całki a) b) ( + 5 ) c) ( + ) d) +8 + e) (+) f) + +8+6 + Zadanie.9. Oblicz całki a) b) 5 c) d)

.5 ZADANIA 8 e) 4 f) + g) + 4 h) ( ) Zadanie.. Oblicz całki a) b) e c) + d) 5 + Zadanie.. Oblicz całki a) e +5 b) e c) e 4+5 d) (e + ) e) +e e f) ( + e ) Zadanie.. Oblicz całki a) cos b) sin( ) c) ctg d) cos e) f) cos g) cos sin cos cos sin cos sin h) cos 5 Zadanie.. Oblicz całki a) (4 9) b) 5 c) + d) e) ++ f) 6 + + g) + + Zadanie.4. Oblicz całki a) 4 + b) c) cos +sin d) e e e) ++ f) g) h) sin + ( +) arctg tg cos +cos

ROZDZIAŁ Całkowanie przez podstawienie.. Proste przykłady W poprzednim rozdziale widzieliśmy, że nie jest trudno przewidzieć jak zmieni się całka, jeżeli zmienimy w niej zmienna na wyrażenie liniowe a + b. Spróbujmy się przez chwilę zastanowić jak będzie przypadku nieliniowej zmiany zmiennej, np. gdy zamieniamy na. Ponieważ cos = sin, więc spodziewamy się, że cos powinna mieć coś wspólnego z sin. Jeżeli jednak policzymy pochodna tej funkcji, to otrzymamy dodatkowy czynnik (z pochodnej wnętrza), którego niestety nie ma w wyjściowej całce. Morał jest taki, że nie jesteśmy w stanie łatwo obliczyć całki cos, natomiast cos = sin + C. Uogólnieniem powyższej obserwacji jest tzw. wzór na całkowanie przez podstawienie: ϕ () f (ϕ()) = F(ϕ()), gdzie F = f Zadanie.. Oblicz e +. Próbujemy sytuację sprowadzić do powyższego wzoru z ϕ() = + i f () = e. e + = () e + = ( + ) e + = e + + C. Zadanie.. Oblicz cos sin. Mamy ϕ() = sin i f () =. cos sin = (sin ) (sin ) = (sin ) + C. 9

. UWAGI O NOTACJI Zadanie.. Oblicz e (+e ). Mamy ϕ() = + e oraz f () =. e ( + e ) = ( + e ) ( + e ) = + e + C. Zadanie.4. Oblicz ln. Tym razem mamy ϕ() = ln i f () =. ln = ln = (ln ) ln = (ln ) + C... Uwagi o notacji Powyższe przykłady były o tyle proste, że łatwo (w pamięci) można było zgadnać funkcję pierwotna do funkcji f. Na ogół jednak sytuacja jest bardziej skomplikowana i zmiana zmiennych ma jedynie zamienić wyjściowa całkę na inna całkę, która może być prostsza do policzenia. W takiej sytuacji wzór na całkowanie przez podstawienie wygodniej jest zapisać w postaci f (ϕ())ϕ () = f (t) dt, gdzie t = ϕ(). Należy myśleć, że wzór ten pozwala zastapić dowolne wyrażenie (funkcję ϕ) zmiennej literka t i liczyć otrzymana całkę, w której zmienna jest już t. Zamiana ta wymaga jednak zastapienia wyrażenia ϕ () wyrażeniem dt. W szczególności, w wyjściowej całce musi znajdować się czynnik ϕ (). Zadanie.5. Oblicz ln. Podstawiamy t = ϕ() = ln. W takim razie ϕ () = i mamy ln = (ln ) (ln ) = t dt = t + C = ln + C. Zauważmy, że literka t pełniła tylko pomocnicz a rolę przy liczeniu całki, więc na koniec wróciliśmy do oryginalnej zmiennej.

. PODSTAWIENIA LINIOWE Powyższy rachunek na ogół zapisujemy w skrótowej formie: ln = t = ln dt = = t dt = t + C = ln + C. Wygodnie jest myśleć, że równość dt = otrzymaliśmy z równości t = ln poprzez policzenie pochodnej z obu stron: z lewej strony po t, a z prawej strony po oraz dopisanie symboli dt i, czyli (t) dt = (ln ). Zadanie.6. Oblicz sin(7 ). Podstawiamy t = 7. sin(7 ) = t = 7 dt = = sin t dt = cos t + C = cos(7 ) + C. W powyższym rachunku zupełnie mechanicznie podstawiliśmy dt zamiast. Raz jeszcze podkreślmy, że podstawiajac t = ϕ() musimy zamienić wyrażenie ϕ () na dt. Na przykład, podstawienie t = w całce sin jest nieskuteczne, bo nie umiemy w tej całce znaleźć wyrażenia ϕ () =. Wprawdzie możemy to wyrażenie wpisać na siłę, ale otrzymana całka nie jest dużo prostsza od wyjściowej. sin sin = = t = dt = = sin t t dt... Podstawienia liniowe Zadanie.7. Oblicz ( 5) 4 Podstawiamy t = 5 ( 5) 4 = t = 5 dt = = t 4 dt = = t 4 dt = t + C = ( 5) + C. Zadanie.8. Oblicz a+b, gdzie a =.

Podstawiamy a + b = t. a + b =. PODSTAWIENIA LINIOWE t = a + b dt = a = t a dt = a t dt = = a ln t + C = ln a + b + C. a Zadanie.9. Oblicz 9 5 +. Podstawiamy t = 5 +. 9 t = 5 + 5 + = dt = 5 = t 9 dt = 5 = 9 5 t 9 + C = 9 5 t 9 t + C = 9 5 (5 + ) 9 5 + + C. Zadanie.. Oblicz ( ) sin( 4). Podstawiamy t = 4. ( ) sin( 4) = t = 4 dt = = t sin t dt = 4 t sin t dt = = 8 cos t + C = 8 cos( 4) + C. Zadanie.. Oblicz. Podstawiamy t =. = t = dt = = ( t) t dt = t 4 t dt = = 4 t 4 7 t 7 + C = 4 ( ) 4 7 ( ) 7 + C. Zadanie.. Oblicz ( ).

.4 PODSTAWIENIA WIELOMIANOWE Podstawiamy t =. ( ) = t = ( t + dt = = t dt = t + ) t = ln t t + C = ln + C. dt = Zadanie.. Oblicz 4 +9. Będziemy się starali sprowadzić tę całkę do całki 4 + 9 = 9 = 6 +. t = dt = = 9 4 9 + = 9 ( ) + = dt t + = 6 arctg t + C = 6 arctg + C. dt t + = Zadanie.4. Oblicz 5+4. Będziemy się starali sprowadzić tę całkę do całki. = 5 + 4 = = = 9 4 + 4 = ( ) 9 dt t 9 ( ) = ( = arc sin t + C = arc sin ) = t = dt = = + C..4. Podstawienia wielomianowe Zadanie.5. Oblicz całkę ( +4) 5.

.4 PODSTAWIENIA WIELOMIANOWE 4 Podstawiamy t = + 4. ( + 4) 5 = t = + 4 dt = ( ) = t 5 dt = = 4 t 4 = 4( + 4) 4 + C. t 5 dt = Zadanie.6. Oblicz całkę sin (+ ). Podstawiamy t = +. sin ( + ) = t = + dt = 4 = 4 dt sin t = 4 ctg t + C = = 4 ctg( + ) + C. Zadanie.7. Oblicz całkę +4 Podstawiamy t = + 4. + 4 = t = + 4 dt = = t dt = t + C = + 4 + C. Zadanie.8. Oblicz +. + = t = + dt = = = ( 5 t 5 t (t ) t dt = (t t ) dt = ) + C = 5 ( + ) 5 ( + ) + C. Zadanie.9. Oblicz.

.5 PODSTAWIENIA TRYGONOMETRYCZNE 5 = + = arc sin + = arc sin + + C. = t = dt = dt t = arc sin + t + C = = Zadanie.. Oblicz 4. Podstawiajac t = sprowadzimy dana całkę do całki = t = 4 dt = = = arc sin + C.. dt = arc sin t + C = t.5. Podstawienia trygonometryczne Zadanie.. Oblicz cos (sin +). Podstawiamy t = sin +. cos (sin + ) = t = sin + dt = cos = t dt = t + C = = (sin + ) + C. Zadanie.. Oblicz sin 5 5 cos. Podstawiamy t = 5 cos. sin 5 5 cos = t = 5 cos dt = sin = t 5 dt = 5 6 t 6 5 + C = 5 6 (5 cos ) 6 5 + C.

.5 PODSTAWIENIA TRYGONOMETRYCZNE 6 Zadanie.. Oblicz cos 5 Będziemy dażyć (używajac jedynki trygonometrycznej) do postawienia t = sin. cos 5 = cos (cos ) = cos ( sin ) = = t = sin dt = cos = ( t ) dt = ( t + t 4 ) dt = = t t + 5 t5 + C = sin sin + 5 sin5 + C. Zadanie.4. Oblicz sin cos +sin. Podstawiamy t = + sin. sin cos + sin = t = + sin dt = sin cos = (t ) dt t = = t ln t + C = ( + sin ) ln( + sin ) + C. Zadanie.5. Oblicz arctg +. Podstawiamy t = arctg. arctg + = t = arctg dt = = t dt = t + C = + arctg + C. Zadanie.6. Oblicz. Ponieważ to dokładnie pochodna arc sin, możemy spróbować podstawić t = arc sin. Mamy wtedy = sin t oraz = t = arc sin dt = = sin t dt.

.6 PODSTAWIENIA LOGARYTMICZNE 7 Teraz korzystamy ze wzoru cos t = sin t. sin t dt = ( cos t) dt = t sin t + C = 4 = arc sin sin( arc sin ) + C. 4.6. Podstawienia logarytmiczne Zadanie.7. Oblicz ln. Podstawiamy t = ln. ln = t = ln dt = = t dt = t + C = (ln ) + C. Zadanie.8. Oblicz ln +ln. Podstawiamy t = + ln. ln + ln = t = + ln dt = = (t ) t dt = (t 4 t ) dt = = 7 t 7 4 t 4 + C = 7 ( + ln ) 7 4 ( + ln ) 4 + C. Zadanie.9. Oblicz ln. Podstawiamy t = ln. = t = ln ln dt = = dt t = arc sin t + C = arc sin(ln ) + C. Zadanie.. Oblicz ln tg sin cos.

Podstawiamy t = ln tg. Wtedy dt = tg cos.7 PODSTAWIENIA WYKŁADNICZE 8 = cos sin cos = sin cos. Zatem ln tg sin cos = t = ln tg dt = sin cos = t dt = t + C = (ln tg ) + C..7. Podstawienia wykładnicze Zadanie.. Oblicz e (e +5) 7 Podstawiamy t = e + 5. e (e + 5) 7 = t = e + 5 dt dt = e = t 7 = = t 7 dt = 6 t 6 + C = 6(e + 5) 6 + C. Zadanie.. Oblicz e e +e. Podstawiamy t = e. e e = t = e + e dt = e = t + dt = t t = t + dt = ln(t + ) + C = ln(e + ) + C Zadanie.. Oblicz e e. Podstawiamy t = e. e e = e e e = t = e dt = e = t + t dt = = ( ) (t + t ) dt = 9 9 5 t 5 4 + t + C = = 45 (e ) 5 4 + 7 (e ) + C.

.8 CAŁKI Z PIERWIASTKAMI 9 Zadanie.4. Oblicz e +e. Ponieważ e + e = e (e + e )e = e e +, możemy podstawić t = e. e e + = t = e dt = e = dt + t = arctg t + C = arctg e + C..8. Całki z pierwiastkami Zadanie.5. Oblicz 5 + Podstawiamy t = 5 + (równie dobrze możemy podstawić t = 5 + ). 5 + = t = 5 + t dt = = (t 5)t(t) dt = t 4 5t dt = = 5 t5 t + C = 5 ( 5 + ) 5 ( 5 + ) + C. Zadanie.6. Oblicz +ln. Podstawiamy t = + ln (równie dobrze możemy podstawić t = + ln ). + ln = t = + ln t dt = = t t dt = t + C = ( + ln ) + C. Zadanie.7. Oblicz ( +).

.8 CAŁKI Z PIERWIASTKAMI Podstawiamy t 6 =. ( + ) = t 6 = 6t 5 dt = = 6t 5 dt t (t + ) = 6 t t + dt = ( = 6 ) t dt = 6t 6 arctg t + C = + = 6 6 6 arctg 6 + C. Zadanie.8. Oblicz e 4 e +. Podstawiamy t 4 = e +. e 4 e + = t 4 = e + (t 4t dt = e = 4 ) 4t dt = (4t 6 4t ) dt = t = 4 7 t7 4 t + C = 4 4 (e 7 + ) 7 4 4 (e + ) + C. Zadanie.9. Oblicz Podstawiamy t =. Wtedy. t dt = ( ) = oraz = t = t dt = ( = ) + C. t ( t) dt = t + C = = Zadanie.4. Oblicz.

.9 ZADANIA Liczymy podstawiajac t 6 =. = t 6 = 6t 5 dt = = 6t 5 t t dt = 6t t dt = s = t ds = dt = 6(s + ) s = ds = + s + s + 6 ds = s s ( = 6 s + s + + ) ( ds = 6 s s + ) s + s + ln s + C = = s + 9s + 8s + 6 ln s + C = = (t ) + 9(t ) + 8(t ) + 6 ln t + C = = ( 6 ) + 9( 6 ) + 8( 6 ) + 6 ln 6 + C..9. Zadania Zadanie.4. Oblicz całki (postaraj się zgadnać wynik nie podstawiajac) a) cos(4 ) b) cos 4+sin c) e sin cos d) e e) ln f) sin g) arctg h) + e i) tg cos j) e e k) arc sin l) sin +cos Zadanie.4. Oblicz całki a) sin(a + b), a = b) 6 5 c) (4 +9) 5 d) ( ) e ( ) ( ) e) e ( ) f) +5 g) h) 4 + + i) 5 Zadanie.4. Oblicz całki a) ( + ) cos (+) 5 b) ( ) 8 c) 4 e 5 d) ++ e) f) ( +) ( +) ( ) 5 g) 5 + h) 4 i) cos 5 4 + + j) sin ( +) k) 6 Zadanie.44. Oblicz całki a) cos 6 5 + sin b) (arctg ) 5 d) cos (+sin ) 5 e) sin +cos 5 + c) sin 7 + f) ( ) tg cos g) cos sin cos Zadanie.45. Oblicz całki a) 8 ln b) ln c) + ln d) ln 5+ln e) ln ln(e 5 ) ln f) ln(cos ) 6 ctg Zadanie.46. Oblicz całki a) e b) 7 (e ) + 5 c) 8 + d) e e) f) 4 e ++e g) e e +e +e 6

.9 ZADANIA Zadanie.47. Oblicz całki a) sin b) c) + 6 ( ) d) ( ) Zadanie.48. Oblicz całki a) e b) + cos 9sin c) +e e +e + +

ROZDZIAŁ Całkowanie przez części.. Metoda całkowania przez części Zacznijmy od przypomnienia wzoru na pochodna iloczynu dwóch funkcji: [u()v()] = u ()v() + u()v (). Po scałkowaniu obu stron otrzymujemy [u()v()] = u ()v() + u()v (). Zauważmy, że całka po lewej stronie równa się u()v(). Stad, przenoszac ostatnia całkę na druga stronę równości otrzymujemy wzór na całkowanie przez części: u ()v() = u()v() u()v (). Po jego zastosowaniu, obliczenie całki po lewej stronie sprowadza się do policzenia całki po prawej stronie, która powinna być prostsza. Metoda całkowania przez części nie jest tak uniwersalna jak całkowanie przez podstawienie, niemniej pozwala na obliczenie wielu całek. Żeby zastosować wzór na całkowanie przez części do całki f (), funkcję podcałkowa f () musimy przestawić w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których jedna jest pochodna jakiejś znanej nam funkcji. Żeby metoda była skuteczna, po zastosowaniu wzoru powinniśmy otrzymać prostsza całkę. Zadanie.. Oblicz całkę cos Funkcja podcałkowa jest iloczynem dwóch funkcji, więc możemy próbować całkowania przez części. Przyjmijmy u () = cos, v() =, u() = sin, v () =. Podstawiamy do wzoru i liczymy: cos = u = cos v = u = sin v = = sin sin = sin + cos + C. Całkę cos udało nam się sprowadzić do znacznie prostszej całki sin, która obliczyliśmy bezpośrednio. Zauważmy, że mogliśmy przyjać także u (v) =, v() = cos, u() =, v () = sin. Jednak wtedy wzór na całkowanie przez części prowadzi do bardziej skomplikowanej całki sin.

. METODA CAŁKOWANIA PRZEZ CZEŚCI 4 Zadanie.. Oblicz całkę arctg. Przyjmiemy u () =, v() = arctg(), u() =, v () = +. Zauważmy, że gdybyśmy chcieli przyjać na odwrót u () = arctg(), v() =, to mielibyśmy problem z dobraniem funkcji u(). Sprawdźmy teraz, czy całkowanie przez części prowadzi do prostszej całki. arctg = u = v = arctg u = v = = arctg + Ostatnia całkę możemy obliczyć bezpośrednio: Zatem + = = arctg + C. + arctg = ( arctg + arctg ) + C. +. Zadanie.. Oblicz całkę Zauważmy, że cos cos. jest pochodna funkcji tg, więc naturalnie jest przyj ać u () = cos, v() =, u() = tg, v () =. Podstawiamy do wzoru na całkowanie przez części. cos = u = v = cos u = tg v = = tg tg. Całkę tg obliczymy przez podstawienie t = cos. sin tg = cos = t = cos dt = sin = = ln t + C = ln cos + C. dt t = Zatem cos = tg ln cos + C.

. WIELOMIAN RAZY SINUS LUB KOSINUS 5.. Wielomian razy sinus lub kosinus Metoda całkowania przez części pozwala na obliczenie całek n sin(a), n cos(a), gdzie a = jest stała rzeczywista, a n jest liczba naturalna. Należy przyjać u () = sin(a) lub cos(a), v() = n u() = a cos(a) lub a sin(a), v () = n n. Wtedy całkowanie przez części prowadzi do całki n cos(a) lub n sin(a). Zatem po n-krotnym całkowaniu przez części dojdziemy do prostej całki sin(a) lub cos(a). Zadanie.4. Oblicz całkę sin Liczymy sin = u = sin v = u = cos v = = cos + cos = = cos + sin + C 4 Zadanie.5. Oblicz całkę cos cos = u = cos v = u = sin v = = sin sin Ostatnia całkę również obliczamy przez części sin = u = sin v = u = cos v = = cos + cos = = cos + sin + C. Zatem cos = sin + cos sin + C. Analogicznie można obliczać całki P() sin(a), P() cos(a),

. WIELOMIAN RAZY SINUS LUB KOSINUS 6 gdzie P() jest dowolnym wielomianem. Przyjmujac u () = sin(a) lub u () = cos(a) oraz v() = P(), po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy całkę P () cos(a) lub P () sin(a). Jeżeli P() ma stopień k, to jego pochodna P () ma stopień k, zatem całkujac przez części jeszcze k razy, za każdym razem będziemy zmniejszać stopień wielomianu o jeden, aż dojdziemy do prostej całki sin(a) lub cos(a). Zadanie.6. Oblicz całkę ( + ) cos. Całkujemy dwa razy przez części. ( + ) cos = u = cos v = + u = sin v = + = = ( + ) sin ( + ) sin = u = sin v = + u = cos v = = = ( + ) sin + ( + ) cos cos = = ( + ) sin + ( + ) cos sin + C. Zadanie.7. Oblicz całkę sin. Jest to całka innego typu niż w poprzednich zadaniach, bo sinus jest podniesiony do kwadratu. Pozbywamy się kwadratu przyjmujac Sposób. u () =, v() = sin, u() =, v () = sin cos = sin, sin = u = v = sin u = v = sin = sin sin. Ostatnia całkę również obliczamy przez części sin = u = sin v = u = cos v = = cos + cos = = cos + sin + C. 4 Zatem sin = sin + cos sin + C = 4 = sin + (cos sin ) sin cos + C = = ((sin + cos ) sin cos ) + C = ( sin cos ) + C.

. WIELOMIAN RAZY FUNKCJA WYKŁADNICZA 7 Sposób. Oznaczamy szukana całkę przez I. I = sin sin = u = sin v = sin u = cos v = cos = sin cos + sin cos + sin = sin cos + sin = = sin cos + I cos = I = sin cos + + C I = ( sin cos ) + C... Wielomian razy funkcja wykładnicza Aby obliczyć całkę n e a, gdzie a = jest stała rzeczywista, a n jest liczba naturalna, należy przyjać u () = e a, v() = n, u() = a ea, v () = n n Wtedy całkowanie przez części prowadzi do całki n e a, a zatem po n-krotnym całkowaniu przez części dojdziemy do prostej całki e a. Ta metodę można stosować dla dowolnej funkcji wykładniczej, ponieważ a = e (ln a). Jeżeli w miejscu n mamy dowolny wielomian P() stopnia n, to analogicznie przyjmujemy v() = P() i całkujac przez części obniżamy stopień wielomianu o jeden. Po n-krotnym całkowaniu przez części dojdziemy do całki e a. Zadanie.8. Oblicz całkę e Liczymy e = u = e v = u = e v = = e e = e e + C. Zadanie.9. Oblicz całkę. Liczymy = u = v = u = ln v = = ln ln = ln = ln ln (ln ) + C.

.4 FUNKCJA POTEGOWA RAZY FUNKCJA LOGARYTMICZNA 8 Zadanie.. Oblicz całkę e Dwukrotnie całkujemy przez części. e = u = e v = u = e v = = e + e = = u = e v = u = e v = = e e + e = = e e e + C. Zadanie.. Oblicz całkę e. Ponieważ e nie jest pochodna żadnej znanej nam funkcji, natomiast (e ) więc przyjmiemy u () = e, v() =. u e = = e v = u = e v = = e e = = e, = e e = e ( ) + C..4. Funkcja potęgowa razy funkcja logarytmiczna Aby obliczyć całkę k (ln ) m, gdzie m jest liczba naturalna, a k dowolna liczba rzeczywista, przyjmujemy u () = k, v() = (ln ) m. Zadanie.. Oblicz całkę ln. ln = u = u = v = ln v = = ln = ln + C. Zadanie.. Oblicz całkę ln.

.4 FUNKCJA POTEGOWA RAZY FUNKCJA LOGARYTMICZNA 9 ln = u = u = 4 4 v = ln v = = 4 4 ln 4 = 4 4 ln 4 6 + C. Zadanie.4. Oblicz całkę ln. ln = u = u = v = ln v = = ln ( ln = ln 4 9 + C = = ) + C. Zadanie.5. Oblicz (ln ) (ln ) = u = v = (ln ) u = v = ln = (ln ) Ostatnia całkę również obliczamy przez części ln = u = v = ln u = v = = ln = ln 4 + C. ln = Zatem (ln ) = (ln ) ln + 4 + C. Zadanie.6. Oblicz całkę ln. Ta całkę najprościej jest obliczyć przez podstawienie t = ln, ale można również przez części. Oznaczmy szukana całkę przez I. Liczymy: ln I = = u = v = ln ln u = ln v = = (ln ) = (ln ) I I = (ln ) + C I = (ln ) + C

.5 FUNKCJA WYKŁADNICZA RAZY SINUS LUB KOSINUS 4 Zadanie.7. Oblicz całkę ln( + ). ln( + ) = u = v = ln( + ) u = v = = ln( + ) + + = ( = ln( + ) + ) = ln( + ) + + + = = ln( + ) + arctg + C..5. Funkcja wykładnicza razy sinus lub kosinus Całkowanie przez części w ciekawy sposób stosuje się do obliczenia całek e a sin b, e a cos b. W obu przypadkach przyjmujemy u () = e a, u() = a ea. e a sin b = u = e a v = sin b u = a ea v = b cos b = = a ea sin b b e a cos b a e a cos b = u = e a v = cos b u = a ea v = b sin b = = a ea cos b + b e a sin b a Tak więc każda z tych całek wyraża się przez druga. Jeśli teraz podstawimy do pierwszego wzoru wyrażenie z drugiego wzoru, to otrzymamy równanie względem pierwszej całki, z którego wynika, że e a sin b = Analogicznie obliczamy druga całkę a sin b b cos b a + b e a + C. e a cos b = b sin b + a cos b a + b e a + C. Powyższych wzorów nie opłaca się uczyć na pamięć. Znacznie lepiej jest pamiętać sposób ich wyprowadzenia i powtarzać go w konkretnych przykładach. Zadanie.8. Oblicz całkę e sin.

.5 FUNKCJA WYKŁADNICZA RAZY SINUS LUB KOSINUS 4 Oczywiście możemy podstawić do wzoru, ale wyobraźmy sobie, że go nie mamy przed soba. Wtedy całkujemy dwukrotnie przez części. I = e sin = u = e v = sin u = e v = cos = e sin e cos = = u = e v = cos u = e v = sin = e sin e cos e sin = = e sin e cos I I = e sin e cos + C I = e sin e cos + C. Zadanie.9. Oblicz całkę cos. Całkujemy dwukrotnie przez części. I = cos = u = v = cos u = ln v = sin = = ln cos + sin ln (ln )I = cos + sin = u = v = sin u = ln v = cos = = cos + ln sin cos = ln = cos + ln sin ln I (ln + ln )I = cos + ln sin + C I = (ln ) cos + sin (ln ) + C. + Zadanie.. Oblicz całkę e sin. Pozbędziemy się kwadratu przy sinusie korzystajac z tożsamości (sin ) = sin cos = sin. Całkujemy przez części e sin = u = e u = e v = sin v = sin = e sin e sin.

.6 FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE 4 Ostatnia całkę oznaczamy przez I i liczymy I = e sin = u = e v = sin u = e v = cos = e sin e cos = = u = e v = cos u = e v = sin = e sin e cos 4 e sin = = e sin e cos 4I 5I = (sin cos )e sin cos + C I = e + C. 5 ( ) e sin = e sin sin cos + C. 5.6. Funkcje cyklometryczne Metoda całkowania przez części pozwala obliczyć całki arc sin, arc cos, arctg, W każdym przypadku należy przyjać u () =, u() =. arcctg. Zadanie.. Oblicz całkę arctg. arctg = u = v = arctg u = v = = arctg + + Ostatnia całkę obliczamy przez postawienie t = +. + = t = + dt dt = = t = ln t + C = ln( + ) + C. Zatem arctg = arctg ln( + ) + C. Zadanie.. Oblicz całkę arc sin. u = v = arc sin arc sin = u = v = = arc sin

.7 FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE 4 Ostatnia całkę obliczamy przez postawienie t =. = t = dt = = t dt = Zatem = t + C = + C. arc sin = arc sin + + C. Obliczenie całek arc cos oraz arcctg pozostawiamy jako ćwiczenie. Zadanie.. Oblicz całkę arc sin. arc sin u = v = arc sin = u = v = arc sin = arc sin arc sin. = Zauważmy, że funkcję). jest pochodn a funkcji (sprawdź to, różniczkujac ostatnia arc sin = u = = arc sin + v = arc sin = u = v = = arc sin + + C. arc sin = arc sin ( arc sin ) + C. Zadanie.4. Oblicz całkę arctg. arctg u = v = arctg = u = v = + = arctg +. Ostatnia całkę obliczymy przez podstawienie t =, + = t = dt = = t t t + dt = + t dt = + = t + dt = t arctg t + C = arctg + C. arctg = arctg + arctg + C.

.7 ZADANIA 44.7. Zadania Zadanie.5. Oblicz całki a) sin b) sin 5 c) ( + ) sin d) ( + ) cos e) sin f) cos Zadanie.6. Oblicz całki a) e b) e c) e d) e cos e) e sin Zadanie.7. Oblicz całki a) ln b) ln( + ) c) ln( ) d) ( + ) ln Zadanie.8. Oblicz całki a) arc cos b) arc ctg c) arcctg

ROZDZIAŁ 4 Funkcje wymierne 4.. Rozkład funkcji wymiernej Funkcja wymierna to ułamek P(), którego licznik P() i mianownik Q() s Q() a wielomianami zmiennej. Na przykład funkcjami wymiernymi sa: + 7 + 4 + 5, +, 4 + + + +, + 8 ( + ) 6. Żeby obliczyć całkę z funkcji wymiernej, musimy najpierw znaleźć rozkład tej funkcji w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych. Funkcję wymierna nazywamy właściwa, jeśli stopień licznika (najwyższa potęga zmiennej ) jest mniejszy niż stopień mianownika. Dowolna funkcję wymierna P() możemy rozłożyć na sumę wielomianu W() i Q() R() funkcji wymiernej właściwej, w której stopień licznika R() jest mniejszy niż stopień mianownika Q(). Rozkład taki znajdujemy dzielac z reszta licznik przez mianow- Q() nik: P() W()Q() + R() = = W() + R() Q() Q() Q(). Zadanie 4.. Znajdź rozkład funkcji właściwej. na sumę wielomianu i funkcji wymiernej Stopień licznika wynosi i jest większy niż stopień mianownika. Dzielimy z reszta licznik przez mianownik: Zatem : + + = ( )( ) + = +. 45

4. ROZKŁAD FUNKCJI WYMIERNEJ 46 Funkcję wymierna postaci A, A =, ( + a) n nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję postaci B + C ( + p + q) m, B =, = p 4q <, nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju. Dowolna funkcja wymierna właściwa jest suma ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju. Żeby wyznaczyć składniki takiej sumy, musimy znać rozkład mianownika Q() na czynniki liniowe i kwadratowe: Q() = b( a ) n ( a k ) nk ( + p + q ) m ( + p l + q l ) m l, gdzie każdy czynnik kwadratowy jest nierozkładalny, to znaczy p i 4q i < dla i =,..., l. Liczby a,..., a k sa to wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu Q(). Zatem wyznaczenie rozkładu mianownika na czynniki nierozkładalne wymaga znalezienia wszystkich jego pierwiastków. Znajac rozkład mianownika jak powyżej, rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste ma postać: P() Q() = A + a + A ( + a ) + + A n ( + a ) n +... + A k + A k + a k ( + a k ) + + A kn k ( + a k ) n + k + B + C + B + C + p + q ( + p + q ) + + B m + C m ( + p + q ) m +... + B l + C l + B l + C l + p l + q l ( + p l + q l ) + + B lm l + C lml ( + p l + q l ) m l Tak więc każdy czynnik liniowy, który występuje w mianowniku Q() w potędze n i, wnosi do rozkładu funkcji wymiernej n i ułamków prostych pierwszego rodzaju, a każdy czynnik kwadratowy, występujacy w mianowniku w potędze m j, daje m j ułamków prostych drugiego rodzaju. Współczynniki A ij, B st, C st można obliczyć mnożac obie strony powyższej równości przez wspólny mianownik Q() i porównujac współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej. 7 Zadanie 4.. Znaleźć rozkład + na ułamki proste. (+)( )( ) Mianownik ma trzy czynniki liniowe, każdy w pierwszej potędze, więc funkcja jest suma trzech ułamków prostych pierwszego rodzaju: 7 + ( + )( )( ) = a + + b + Mnożac obie strony przez ( + )( )( ) otrzymujemy c. 7 + = a( )( ) + b( + )( ) + c( + )( ) = = (a + b + c) (4a + b) + (a b c).

4. ROZKŁAD FUNKCJI WYMIERNEJ 47 Porównujac współczynniki po obu stronach dostajemy układ równań a + b + c = 7 4a + b = a b c = którego rozwiazaniem jest a =, b =, c = 8. Stad 7 + ( + )( )( ) = + + 8 Zadanie 4.. Znaleźć rozkład 5 na ułamki proste. ( ) ( +) W mianowniku występuje czynnik liniowy w drugiej potędze i czynnik kwadratowy, zatem funkcja jest suma dwóch ułamków prostych pierwszego rodzaju i ułamka prostego drugiego rodzaju 5 ( ) ( + ) = a + b ( ) + c + d +. Mnożac obie strony przez wspólny mianownik otrzymujemy 5 = a( )( + ) + b( + ) + (c + d)( ) = = (a + c) + ( a + b c + d) + (a + c d) + ( a + b + d). Porównujac współczynniki otrzymujemy układ równań a + c = a + b c + d = 5 a + c d = a + b + d = którego rozwiazaniem jest a =, b =, c =, d = 6. 5 ( ) ( + ) = ( ) 6 +. Zadanie 4.4. Znaleźć rozkład na ułamki proste. +5 +8+4 Najpierw musimy rozłożyć mianownik na czynniki liniowe lub kwadratowe. W tym celu musimy odgadnać jeden jego pierwiastek. Łatwo sprawdzić podstawiajac, że = jest pierwiastkiem mianownika, zatem wielomian ten dzieli się przez ( + ). Dzielimy:

4. ROZKŁAD FUNKCJI WYMIERNEJ 48 + 4 + 4 + 5 + 8 + 4 : + + 4 + 8 + 4 4 + 4 4 + 4 4 + 4 + 5 + 8 + 4 = ( + )( + 4 + 4) = ( + )( + ) Funkcja wymierna jest więc suma trzech ułamków prostych pierwszego rodzaju: ( + )( + ) = a + + b + + c ( + ) = a( + ) + b( + )( + ) + c( + ) = = (a + b) + (4a + b + c) + b + c + 4 a + b = 4a + b + c = a =, b =, c = 4. b + c + 4 = + 5 + 8 + 4 = ( + )( + ) = + 4 ( + ). Zadanie 4.5. Znaleźć rozkład na ułamki proste. 6 7 Mianownik dzieli się przez : 6 7 = (6 7 ). Dwumian kwadratowy 6 7 ma dwa pierwiastki =, =, st ad mamy rozkład ( 6 7 = 6 ) ( + ). Funkcja wymierna jest suma trzech ułamków prostych pierwszego rodzaju: 6 7 = 6( )( + ) = a + b + c + ( ( = 6 a ) ( + ) ( + b + ) ( + c )) = = 6(a + b + c) + ( 7a + b 4c) a. a + b + c = 7a + b 4c = a =, b = 6, c = a =

4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH PIERWSZEGO RODZAJU 49 6 7 = 6 + + Wtedy 4.. Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju Ułamek prosty pierwszego rodzaju A ( + a) n = A całkujemy przez podstawienie t = + a. ( + a) n t = + a dt = = A t n dt. Całka po prawej stronie równa się A ln t + C, gdy n = albo n >. Stad otrzymujemy wzory A + C, gdy ( n)tn A = A ln + a + C, + a A ( + a) n = A + C, dla n >. ( n)( + a) n Zadanie 4.6. Oblicz całkę + Mianownik ma dwa pierwiastki = oraz =, więc rozkłada się na czynniki liniowe + = ( + )( ), a funkcja wymierna jest suma dwóch ułamków prostych pierwszego rodzaju + = ( + )( ) = a + + b ( = a ) + b( + ) = (a + b) a + 4b + = 5 { a + b = a = a + 4b = 5, b = 5. + + 5 = = 5 (ln ln + ) + C = 5 ln + + C. Zadanie 4.7. Oblicz całkę +.

4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH PIERWSZEGO RODZAJU 5 Rozkładamy ułamek pod całka na ułamki proste. Liczymy teraz całkę. + = + = ( )( ) = a + b = a( ) + b( ) = (a + b) a b { a + b = a =, b =. a + b = = ln ln + C Zadanie 4.8. Oblicz całkę +6+9. + 6 + 9 = + 6 + 9 = ( + ) = a + + b ( + ) = a( + ) + b a =, b =. + = ln + + ( + ) + + C. Zadanie 4.9. Oblicz całkę + +. + + = + ( + ) = a + b + c + + = a( + ) + b( + ) + c = (a + c) + (a + b) + b a + c = a + b = a =, b =, c =. b = + + = + + = ln + ln + + C. + =

4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU 5 4.. Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju Aby scałkować ułamek prosty drugiego rodzaju ułamki w następujacy sposób: A + B ( + p + q) n = A + p ( + p + q) n + C A + B ( rozbijamy go na dwa + p + q) n ( + p + q) n, gdzie C = B Ap. Pierwszy ułamek po prawej stronie ma w liczniku pochodna funkcji kwadratowej + p + q i całkujemy go przez podstawienie. + p ( + p + q) n = t = + p + q dt = ( + p) = t n dt. Stad otrzymujemy wzory + p + p + q = ln( + p + q) + C, + p ( + p + q) n = ( n)( + C, dla n >. + p + q) n Zauważmy, że w pierwszym z powyższych wzorów nie ma wartości bezwzględnej pod logarytmem. Mogliśmy ja opuścić dzięki założeniu p 4q <, co oznacza, że trójmian kwadratowy + p + q nie ma pierwiastków, a ponieważ współczynnik przy jest dodatni, więc funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie. Aby obliczyć całkę, sprowadzamy trójmian ( +p+q) + p + q do postaci n kanonicznej: ( + p + q) = ( + a) + b, gdzie a = p, b = 4q p 4. Pamiętajmy, że wyróżnik p 4q jest ujemny, więc b >. Liczymy (( + a) + b) n = b n (( +a b ) + ) = t = +a n b b dt = bdt = b n (t + ) n. Gdy n =, to ostatnia całka równa się arctg t + C, czyli ( + a) + b = b arctg + a b + C. Gdy n >, to stosujemy (n )-krotnie wzór redukcyjny dt (t + ) n = n n (t + + ) n n Wzór ten sprowadza obliczenie całki dt do całki dt (t +) n razy dojdziemy w końcu do znanej całki dt t + zadania ilustrujace jego stosowanie znajduj dt (t + ) n., zatem stosujac go n (t +) n. Wyprowadzenie wzoru redukcyjnego i a się w podrozdziale 4.5.

4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU 5 Zadanie 4.. Oblicz całkę +9. + 9 = 9 ( ) + = t = dt = = dt 9 t + = arctg t + C = arctg + C. Zadanie 4.. Oblicz całkę + ++. Całkę rozbijamy na dwie całki tak, aby w jednej licznik był pochodna mianownika, a w drugiej, żeby nie było w liczniku. + + + = + + + = A B. + + Liczymy teraz te prostsze całki A i B. A = = B = = + + + = t = + + dt = ( + ) = t dt = ln t + C = ln + + + C + + = ( + ) + = t = + dt = = t dt = arctg t + C = arctg( + ) + C. + Zatem + + + = A B = ln + + arctg( + ) + C. Zadanie 4.. Oblicz całkę ++.

4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU 5 Sprowadzamy mianownik do postaci kanonicznej. = + + = = 7 7 4+ 6 (( ( + + ) = ( + 4 ) + 7 = 6 7 ) + ) = t = 4+ 7 dt = = 7 4 dt 7 6 (t + ) = 7 4 dt t + = arctg t + C = arctg 4 + + C. 7 7 7 Zadanie 4.. Oblicz całkę +5+6 ( +4)( +4+5) Mianownik jest iloczynem dwóch nierozkładalnych czynników kwadratowych, zatem funkcja podcałkowa jest suma dwóch ułamków prostych drugiego rodzaju. + 5 + 6 ( + 4)( + 4 + 5) = a + b + 4 + c + d + 4 + 5 + 5 + 6 = (a + b)( + 4 + 5) + (c + d)( + 4) = = (a + c) + (4a + b + d) + (5a + 4b + 4c) + 5b + 4d a + c = 4a + b + d = 5a + 4b + 4c = 5 5b + 4d = 6 a =, b =, c =, d =. + 5 + 6 ( + 4)( + 4 + 5) = + + 4 + + 4 + 5

Całkujemy ułamki proste 4. CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH DRUGIEGO RODZAJU 54 + + 4 = + 4 + + 4 = A + B A = + 4 = t = + 4 dt dt = = = ln t + C = ln( + 4) + C t B = + 4 = 4(( ) + ) = t = dt = = dt t + = = arctg t + C = arctg + C + 4 + 5 = + 4 + 4 + 5 7 + 4 D = + 4 + 5 = t = + 4 + 5 dt = ( + 4) = = ln( + 4 + 5) + C E = + 4 + 5 = ( + ) = arctg( + ) + C + + 5 + 6 ( + 4)( + 4 + 5) = A + B + D 7E = + 4 + 5 = D 7E dt = ln t + C = t = ln( + 4) + arctg + ln( + 4 + 5) 7 arctg( + ) + C. Zadanie 4.4. Oblicz całkę + ( ++) W mianowniku mamy nierozkładalna funkcję kwadratowa w drugiej potędze, więc szukamy rozkładu na dwa ułamki proste drugiego rodzaju. + ( + + ) = a + b + + + c + d ( + + ) + = (a + b)( + + ) + c + d = = a + (a + b) + (a + b + c) + b + d a = a + b = a + b + c = b + d = a =, b =, c =, d =. + ( + + ) = + + + ( + + ) = A B

Całkujemy ułamki proste A = = B = 4.4 CAŁKOWANIE DOWOLNEJ FUNKCJI WYMIERNEJ 55 + + = ( + ) + = (( + ) + ) = dt t + = arctg t + C = arctg + + ( + + ) = t = + + dt = ( + ) = + C t = + = dt = dt t = t + C = = + + + C + ( + + ) = A B = arctg + + + + + C. 4.4. Całkowanie dowolnej funkcji wymiernej Aby obliczyć całkę dowolnej funkcji wymiernej P() postępujemy w sposób nastę- Q() pujacy: ) Jeśli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to dzielimy z reszta licznik przez mianownik, żeby otrzymać rozkład P() R() = W() + Q() Q() gdzie W() jest wielomianem, a R() jest funkcj Q() a wymierna właściw a. Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, to przyjmujemy W() =, R() = P() i przechodzimy od razu do punktu ). ) Rozkładamy R() na ułamki proste Q() R() Q() = U () + + U n (). ) Całkujemy osobno wielomian W() i ułamki U (),..., U n (). Zadanie 4.5. Oblicz + ( + = + ) ( + )( = + ) = + + = ( + ) + = + ln + + C.

4.4 CAŁKOWANIE DOWOLNEJ FUNKCJI WYMIERNEJ 56 Zadanie 4.6. Oblicz 5 + 4 + ++ Dzielimy z reszta licznik przez mianownik: Liczymy 5 + 4 + = ( )( + + ) + 4 +. 5 + 4 + = ( 4 + ) + + + + + = = 4 4 + + + + + + + = 4 4 + A + B. + A = + + = t = + + dt dt = ( + ) = = ln t = ln( + + ) + C. t B = + + = ( + ) + 7 = ( ( ) ) t = + = 7 4 7 + 7 4 7 + dt = = 7 = dt 7 4 (t + ) = arctg t + C = arctg + + C. 7 7 7 5 + 4 + + + = 4 4 + ln( + + ) + 7 arctg + 7 + C. Zadanie 4.7. Oblicz + + = + = + 5 6 = ( + 5 6 ln ) + C = ( ) 5 6 + = Zadanie 4.8. Oblicz całkę 4 + Funkcja podcałkowa jest suma dwóch ułamków prostych pierwszego rodzaju, bo mianownik ma dwa pierwiastki rzeczywiste ( =, = ). Jednak zamiast rozkładać t a

4.4 CAŁKOWANIE DOWOLNEJ FUNKCJI WYMIERNEJ 57 funkcję na ułamki proste, lepiej jest zauważyć, że licznik jest równy pochodnej mianownika pomnożonej przez. Zatem najprościej jest całkować przez podstawienie. 4 + = t = + dt dt = 4 = = ln t + C = t = ln + + C. Zadanie 4.9. Oblicz 4 4 = ( )( + ) = ( )( + )( + ) = a + b + + c + d + = a( + )( + ) + b( )( + ) + (c + d)( )( + ) = = (a + b + c) + (a b + d) + (a + b c) + a b d. a + b + c = a b + d = a = a + b c =, b =, c =, d = a b d = 4 = + + = = ln ln + arctg + C = ln + arctg + C. Zadanie 4.. Oblicz 6 + 4 6 + 4 = 4 ( + ) = a + b + c + d 4 + e + f + = ( + )(a + b + c + d) + (e + f ) 4 = (a + e) 5 + (b + f ) 4 + (a + c) + (b + d) + c + d Porównujac współczynniki po obu stronach otrzymujemy a =, b =, c =, d =, e =, f =. ) ( 6 + 4 = + 4 + + = + arctg + C.

4.5 CAŁKOWANIE DOWOLNEJ FUNKCJI WYMIERNEJ 58 Zadanie 4.. Oblicz całkę ++ + + Funkcję pod ostatnia całk ( = ( ) + + = + + ) = + = + = + + ( )( + + ). a rozkładamy na ułamki proste + ( )( + + ) = a + b + c + + + = a( + + ) + (b + c)( ) = (a + b) + (a b + c) + a c a + b = a b + c = a =, b =, c =. a c = + ( )( + + ) = + + + = = ln + + + + + = A = = ln A B. + + + = t = + + dt = ( + ) = dt t = ln t + C = = ln + + + C. B = + + = ( + ) + = + 4 4 (( ) + ) = t = + dt = = = dt 4 (t + ) = arctg t + C = arctg + + C. + + = + ln ln + + arctg + + C. Zadanie 4.. Oblicz całkę ( +). ( ) ( ) + = = + + ( = 4 ) + + 4 ( + ) ( ) = + = 4 ln + 4 + + C.

4.5 WZÓR REDUKCYJNY 59 4.5. Wzór redukcyjny Wyprowadzimy wzór redukcyjny na obliczenie całki J n = Całkujemy przez części dt (t + ) n = u = v = (t +) n u = t v = nt Ostatnia całkę przekształcamy dt (t + ) n (n =,,,... ). (t +) n+ = t (t + ) n+ dt = (t + ) (t + ) n+ dt = t (t + ) n + n dt (t + ) n Podstawiajac to wyrażenie do poprzedniej równości otrzymujemy J n = a stad mamy zapowiadany wzór redukcyjny t (t + ) n + n(j n J n+ ), t (t dt + ) n+ dt (t + ) n+ J n+ = n t (t + ) n + n n Otrzymany wzór sprowadza obliczenie całki J n+ do całki J n. Stosujac go n razy dojdziemy w końcu do całki J, która znamy J = dt t = arctg t + C. + J n Zadanie 4.. Oblicz całkę ( +9). ( + 9) = = t = ( ( ) ) = 8 dt + = = dt 7 (t + ) = 7 J. Całkę J obliczamy podstawiajac n = do wzoru redukcyjnego J = t t + + J = ( ) t t + + arctg t.

Stad ( + 9) = 54 = 8 4.6 ZADANIA 6 ( ) + + arctg + 9 + 54 arctg + C. + C = Zadanie 4.4. Oblicz całkę ( ++5). ( + + 5) = (( + ) + ) = t = + dt = = Całkę J obliczamy korzystajac dwa razy ze wzoru redukcyjnego ( J = 4 t (t + ) + 4 J = 4 t (t + ) + 4 = 4 t (t + ) + ( ) t 8 t + + arctg t + C. dt (t + ) = J. t t + + J ) = Zatem ( + + 5) = 4 + (( + ) + ) + ( 8 + ( + ) + ) + arctg( + ) + C. 4.6. Zadania Zadanie 4.5. Oblicz całki: a) b) c) d) e) + 9 +4 ( )(+) (+)(+) 7+ f) 6+5 g) +6 ++ h) 4 i) +4 ( ) +4 j) 4 ++4 k) 4 5 5+ l) + m) + + n) 7+ o) 6+ p) q) 4 r) 4 +9 s) ( ) t) + ( ++) u) + v) w) ) y) z) 4 ( +) + ( +)( +)

ROZDZIAŁ 5 Funkcje trygonometryczne 5.. Podstawowe tożsamości Całkowanie funkcji złożonej z funkcji trygonometrycznych często wymaga wykorzystania jednej lub kilku tożsamości trygonometrycznych. Oto najczęściej stosowane tożsamości: sin + cos = sin = sin cos cos = cos sin = sin = cos Zadanie 5.. Oblicz całkę sin. Najprostszy sposób policzenia tej całki, to skorzystanie ze wzoru cos = sin sin = cos. Liczymy ( sin = ) cos = sin + C 4 Zadanie 5.. Oblicz całkę Zauważmy, że sin +cos ( + cos ) = cos sin = sin. Całkujemy przez podstawienie sin + cos = t = + cos dt = sin = dt t = ln t = ln( + cos ) + C. Zadanie 5.. Oblicz całkę cos 4 6

Będziemy korzystali ze wzoru Liczymy 5. PODSTAWIANIE ZA SINUS LUB KOSINUS 6 cos = cos cos = ( + cos ). cos 4 = (cos ) = 4 ( + cos ) = = ( + cos + cos ) = 4 4 = 8 + sin + sin 4 + C 4 ( + cos + ( + cos 4)) = Do obliczania całek z funkcji postaci stosujemy tożsamości sin a cos b, sin a sin b, cos a cos b sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a b)], sin a sin b = [cos(a b) cos(a + b)], cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a b)]. Zadanie 5.4. Oblicz całkę sin 5 cos Zastosujemy wzór Liczymy sin 5 cos = sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a b)]. [sin 7 + sin ] = 4 cos 7 cos + C. 6 5.. Podstawianie za sinus lub kosinus Najprostsze podstawienia trygonometryczne to t = sin lub t = cos. Podstawienie t = sin stosuje się wtedy, jeśli funkcja podcałkowa zmienia znak, gdy zamienimy cos na cos, a t = cos stosuje się wtedy, jeśli funkcja zmienia znak przy zamianie sin na sin. Zadanie 5.5. Oblicz całkę tg

5. PODSTAWIANIE ZA SINUS LUB KOSINUS 6 tg = = sin cos = t t = cos dt = sin = dt = ln t + C = ln cos + C. Zadanie 5.6. Oblicz całkę sin ( cos ) +cos. sin ( cos ) + cos ( = ) + t = t = cos ( t) dt = sin = dt = + t dt = t ln + t + C = cos ln + cos + C. Zadanie 5.7. Oblicz całkę sin cos. sin cos = sin cos sin = = ( cos ) cos sin = t = cos dt = sin = ( t ) t dt = = (t 8 t ) dt = t 5 t 5 + C = cos 5 cos 5 + C. Zadanie 5.8. Oblicz całkę cos 5. cos 5 = cos 4 cos = ( sin ) cos = = t = sin dt = cos = ( t ) dt = ( t + t 4 ) dt = = (t t + 5 ) t5 + C = sin 9 sin + 5 sin5 + C

5. PODSTAWIANIE ZA SINUS LUB KOSINUS 64 Zadanie 5.9. Oblicz całkę sin 4 cos. sin 4 sin 4 cos = cos cos = t = sin dt = cos = t 4 t dt. Otrzymaliśmy całkę z funkcji wymiernej zmiennej t. t 4 (t t dt = 4 ( ) + t dt = t + + ) t dt = = dt t t (t )(t + ) = t t ( t ) dt = t + = t t (ln t ln t + ) + C = t t + ln t + t + C. sin 4 cos = sin sin + ln sin + sin + C. Zadanie 5.. Oblicz całkę cos 4 sin. cos 4 sin = sin ( cos ) sin = t = cos dt = sin = = dt (t )( t ) = dt 4 (t )(t ). Otrzymaliśmy całkę z funkcji wymiernej, która rozkładamy na ułamki proste. ( dt 4 (t )(t ) = ) dt t dt t = ( = ( ) ( dt t dt )) dt dt t + t t + = = 4 (ln t ln t + ) (ln t ln t + ) + C = 4 = 4 ln t t + 4 ln t t + + C. cos 4 sin = 4 ln cos cos + 4 ln cos cos + + C.

5. PODSTAWIENIE UNIWERSALNE 65 5.. Podstawienie uniwersalne Podstawienie t = tg nazywa się uniwersalnym, ponieważ pozwala ono zamienić dowolna całkę postaci R(cos, sin ), gdzie R(u, v) jest funkcja wymierna dwóch zmiennych u i v, na całkę funkcji wymiernej zmiennej t. Dla tego podstawienia mamy wzory: cos = cos sin cos + sin t = tg, = arctg t, = + t dt, = t + t, sin = sin cos cos + sin = t + t. Zadanie 5.. Oblicz całkę sin +4 cos. Stosujemy podstawienie uniwersalne t = tg. sin + 4 cos = t = tg = cos = t sin = t +t = + t 6t + 4( t ) + t dt = +t dt +t = dt t + ( t ) = Ostatnia całkę obliczamy korzystajac z rozkładu na ułamki proste Stad t + t + = (t + )(t ) = 5 dt t + t + = 5 dt t + 5 t + 5 dt t + t +. t. dt t = 5 ln t + ln t + C. 5 sin + 4 cos = 5 ln tg + tg + C. Zadanie 5.. Oblicz całkę 5 cos = 5 cos. t = tg = cos = t +t = = +t dt + t 5(t + ) ( t ) = + t dt = dt 4t + = dt (t) + = arctg(t) + C = arctg( tg ) + C.

5.4 PODSTAWIANIE ZA TANGENS 66 Zadanie 5.. Oblicz całkę +sin sin (+cos ). + sin sin ( + cos ) = t = tg = dt +t cos = t sin = t = +t +t + t +t = t ( + t ) + t dt = + t + t t( + t + t ) dt = +t +t t = ( + t + dt = t t + + ) dt = t = 4 t + t + ln t + C = 4 tg + tg + ln tg + C. Zadanie 5.4. Oblicz całkę sin cos +5. sin cos + 5 = t = tg = dt +t cos = t sin = t = +t +t + t = 4t ( t ) + 5( + t ) + t dt = dt t + t +. Ostatnia całkę obliczamy przez sprowadzenie mianownika do postaci kanonicznej. dt t + t + = dt (t + ) + 5 = dt 5 t+ 9 9 (( 5 ) + ) = u = t+ 5 du = 5 dt = = du 5 u + = arctg u + C = arctg t + + C 5 5 5 Stad sin cos + 5 = arctg tg + + C 5 5 5.4. Podstawianie za tangens Podstawienie t = tg stosuje się wtedy, jeśli funkcja podcałkowa nie zmienia się, gdy zamienimy jednocześnie cos na cos i sin na sin. Dla tego podstawienia mamy wzory:

5.4 PODSTAWIANIE ZA TANGENS 67 cos = t = tg, dt = cos = arctg t, = + t dt, cos cos + sin = + t, sin = sin cos + sin = t + t. Zadanie 5.5. Oblicz całkę sin 4 cos. sin 4 cos = t = tg dt = ( cos t sin = t = ) + t t + dt = = ( + t + ) t 4 dt = t t t + C = tg ctg ctg + C. Zadanie 5.6. Oblicz całkę + cos. + cos = t = tg = dt +t cos = = +t dt = t + = dt ) + = arctg ( t + +t t + C = dt + t = arctg tg + C. Zadanie 5.7. Oblicz całkę sin + cos sin cos +9 cos. sin + cos sin cos + 9 cos = tg + sin + 9 cos = t = tg = dt +t = t + sin = t cos = = t +t +t + 9 dt = t t + 9 dt + dt ( t ) + = = ln(t + 9) + arctg t + C = ln(tg + 9) + arctg tg + C

5.5 ZADANIA 68 Zadanie 5.8. Oblicz całkę ctg 4. Tutaj najlepiej jest podstawić t = ctg. Wtedy mamy tg = t, = arctg t, = t + = dt t + t ctg 4 = t = ctg = dt = t 4 t t + t + dt = 4 + t + (t = )(t ( + ) + t dt = t + ) + t dt = + dt = = t + t arctg t + C = ctg + ctg arctg ctg + C. Dla dowolnej liczby całkowitej k zachodzi ctg = tg( (k + ) π ), a ponieważ zbiorem wartości funkcji arctg jest przedział [ π (kπ, (k + )π), π ], więc dla arctg ctg = arctg tg( (k + ) π ) = (k + ) π. Ponieważ (k + ) π możemy właczyć do stałej całkowania C, więc ctg 4 = ctg + ctg + + C. 5.5. Zadania Zadanie 5.9. Oblicz całki: a) cos b) cos c) sin 4 d) sin cos e) sin sin f) cos cos Zadanie 5.. Oblicz całki: a) sin cos b) sin cos d) cos sin 8 e) sin c) sin cos f) tg Zadanie 5.. Oblicz całki: a) 5+4 cos b) +sin c) +cos d) sin +cos e) +tg f) tg tg