ZESZYTY TEORETYCZNE RACHUNKOOŚCI, tom 48 (04), arszawa 2009 r. Dźwge ekoomcze w przedsęborstwe o produkcj weloasortymetowej Adam Żwrbla *. Klka uwag wstępych Zjawsko dźwg ekoomczych jest mmaete zwązae z pojęcem operacyjego oraz fasowego progu retowośc. Zajdowae progu retowośc w przypadku produkcj weloasortymetowej jest zagadeem metodologcze dość trudym. ąże sę to z faktem, ż ma sę tu do czyea z tzw. agregatem, który z matematyczego puktu wdzea jest loczyem skalarym wektora lośc sprzedaży wektora marży jedostkowej, zaś agregacja wąże sę z utratą formacj szczegółowych. Na temat wspomaych progów retowośc ukazało sę ostato w lteraturze fachowej klka wartoścowych opracowań (Ćwąkała-ałys, Nowak, 2005; elcarek, 2005; Żwrbla, 2008). Jedakże lcze publkacje dotyczące problematyk dźwg ekoomczych są ograczoe do produkcj jedoasortymetowej, co z jedej stroy ułatwa ch aalzę, zaś z drugej ogracza praktycze wykorzystae tegoż zjawska. Było to spracją dla autora, aby podjąć trud opsu aalzy zjawska dźwg ekoomczych w przestrze -wymarowej, tj. w przypadku produkcj weloasortymetowej 2. * Dr Adam Żwrbla, adukt ydzału Społeczo-Ekoomczego yższej Szkoły Gospodark w Bydgoszczy; adukt ydzału Nauk Społeczych Techczych SHE we łocławku. Zob. p. artykuły A. Żwrbl, które zostały opublkowae w roku 2007 a łamach Zeszytów Teoretyczych Rachukowośc w tomach 36 (92), 39 (95) oraz 4 (97), a także artykuł T. Bereta z roku 2008, zameszczoy w tome 46 (02) wymeoych ZTR oraz artykuł J. elcarka wydrukoway w 2006 roku w tome 3 (87) ZTR. 2 A. Ćwąkała-ałys. Nowak (2005) podjęły te temat, przedstawając cekawe rozważaa w swojej ksążce (2005, s.200 23). Także J. elcarek (2006) zmerzył sę z tym problemem w swom artykule. Zesz. 33(89) 45
To ewątplwe teresujące zagadee autor przedstawa w ejszym artykule według astępującego porządku: ) aalza zwązku mędzy operacyjym a fasowym progem retowośc; 2) wprowadzee pojęca skumulowaych dźwg ekoomczych; 3) wyprowadzee zależośc mędzy stopam dźwg ekoomczych; 4) uogólee stop dźwg ekoomczych. Jako pukt wyjśca dla swoch rozważań autor przyjmuje klasycze rozumee dźwg ekoomczych, tj. jako wrażlwość zysku operacyjego oraz retowośc kaptałów własych a zmaę tylko jedego czyka sprawczego tych welkośc. 2. Zwązek mędzy operacyjym a fasowym progem retowośc Prog retowośc, wąsko defowae, wykają z astępujących rówań: ) 0 operacyjy próg retowośc, () 2) EBT 0 fasowy próg retowośc, (2) gdze: qm KS to zysk operacyjy, (3) EBT qm KS I to zysk brutto, (4) przy czym: q < q, q2,..., q > wektor lośc (wolumeu) sprzedaży, m < m, m2,..., m > wektor jedostkowych marż pokryca, m p kz (,2,..., ), p ( kz ) cea jedostkowa (koszt jedostkowy zmey) -tego asortymetu, KS koszty stałe operacyje, I koszty fasowe (odsetk) 3. 3 Fasowy próg retowośc jest to welkość (wartość) produkcj, przy której astępuje zrówae przychodu z kosztam operacyjym fasowym łącze, zob. T. Dudycz (2002, s. 9). Zesz. 33(89) 46
Pogłęboa aalza operacyjego progu retowośc dla produkcj weloasortymetowej prowadz do dwóch podstawowych formuł, tj. 4 : ) ujęce loścowe KS BEP, (5) S 2) ujęce wartoścowe gdze: S przy czym: q s q j KS BEP, (6) s m średoważoa marża pokryca, (7) j k r średoważoa stopa marży pokryca, (8) wskaźk struktury loścowej; k w j w j wskaźk struktury wartoścowej, w q p wartość sprzedaży -tego asortymetu, m r (,2,..., ) stopa jedostkowej marży pokryca -tego produktu. p śwetle defcj fasowego progu retowośc aalogcze (jak wyżej) formuły przyjmą astępującą postać: ) ujęce loścowe KS + I BEPF, (9) S 2) ujęce wartoścowe KS + I BEPF ( ). (0) Z porówaa formuł (6) oraz (0) powstaje prosta rówość: I BEP F ( ) BEP( ) +, () 4 elowątkowy ops metod aaltyczych rachuku progu retowośc produkcj -asortymetowej przedstawa A. Żwrbla (2008). Notabee, do wymeoego artykułu wkradł sę chochlk drukarsk wywołując tzw. koflkt ozaczeń. Otóż, we wzorach (35), (39) oraz (63) zamast ltery w powa wystąpć ltera k, gdyż chodz o strukturę w ujęcu wartoścowym. Zesz. 33(89) 47
zaś z formuły () wyka astępująca relacja: gdze: S j q j p j BEP( ) BEPF ( ) ( ) ( ) S S sprzedaż skumulowaa. Ostatecze otrzymujemy zależość: I S czyl S BEP S S BEP S ( ) F ( ) I, (2) T O TF I ( I 0 ), (3) gdze: S BEP( ) TO operacyja stopa skumulowaej marży bezpeczeństwa, (4) S T F S BEPF ( ) fasowa stopa skumulowaej marży bezpeczeństwa 5, (5) S q m skumulowaa marża pokryca, (6) I I wskaźk udzału odsetek w skumulowaej marży pokryca. (7) Nowo wprowadzoy wskaźk I określa dystas dzelący oba rodzaje stopy skumulowaej marży bezpeczeństwa. Pojawa sę o jako kokreta welkość ekoomcza, czyl e jest tylko welkoścą sztuczą, stworzoą dla pewych rozważań. 3. Agregatowe dźwge ekoomcze Ogóle borąc, ma rację bytu stwerdzee R. achały (200, s. 36), ż z dźwgą ma sę do czyea wówczas, gdy zmaa wartośc pewych welkośc ekoomczych powoduje węcej ż proporcjoalą zmaę ych welkośc ekoomczych. 5 prowadzoe określea są wzorowae a propozycj.a. Nowaka zameszczoej w pracy: A.A. Jaruga,.A. Nowak, A. Szychta (200, s. 428 429). Zesz. 33(89) 48
Pogłęboa aalza zjawska dźwg ekoomczych w przypadku produkcj jedoasortymetowej prowadz do kokluzj, ż swostym zapalkem, który uruchama zjawsko dźwg ekoomczych, jest realzacja tzw. waruku koeczego dostateczego zastea dźwg (zob. tab. ). Tabela. Charakterystyka mechazmu dźwg ekoomczych Dźwga operacyja fasowa Źródło: opracowae włase. aruek koeczy dostateczy Zmaom wolumeu sprzedaży Pojawają sę operacyje koszty stałe odpowada węcej ż proporcjoala zmaa wartośc zysku w strukturze kosztów operacyjego Charakterystyka jakoścowa waruku Istee operacyjego Pojawa sę dodat (ujemy) progu retowośc efekt dźwg operacyjej Zmaom zysku operacyjego Pojawają sę stałe koszty fasowe odpowada węcej ż proporcjoala zmaa ROE Charakterystyka jakoścowa waruku Istee fasowego progu retowośc Pojawa sę dodat (ujemy) efekt dźwg fasowej Całoścowy ops tegoż zjawska moża oprzeć a czterech tzw. atrybutach dźwg, czyl a (Żwrbla, 2007d, s. 345): zasadze dzałaa dźwg (efekce dźwg), stopu dźwg (wskaźku efektu dźwg), parametrze stopa dźwg, ryzyku dźwg 6. Pożej zostaą przedstawoe dwa podejśca metodologcze, które prowadzą do uzyskaa stosowych formuł, będących loścowym wyrazem zjawska dźwg ekoomczych w przestrze -asortymetowej. 6 edług. Skoczylas Ryzyko dźwg fasowej kaptał obcy: kaptał własy,zaś Ryzyko operacyje aktywa trwałe : aktywa obrotowe, zob. aśewsk, Skoczylas (2002, s. 350). K. Jajuga (2007, s. 3) do podstawowych rodzajów ryzyka fasowego zalcza m.. ryzyko operacyje. kotekśce złożoośc tych pojęć, autor artykułu wprowadzł określee ryzyko dźwg, co ozacza możlwość eosągęca efektu wykającego z zastosowaa dźwg. Zesz. 33(89) 49
3.. Stopeń dźwg ujęce agregatowe Stopeń dźwg operacyjej (ag. degree of operatoal leverage DOL). Stopeń dźwg operacyjej wyraża wrażlwość zmay zysku operacyjego a zmaę wolumeu sprzedaży, przy czym owa wrażlwość jest przedstawaa relatywe (w ujęcu procetowym). Założee I: Isteje q j ozacza to dodawae lczb maowaych q. j amy zatem model postac: gdze: Q q j j ( Q, ) Q KS, (8) S zagregoway wolume produktów, S jak we wzorze (7). Należy zauważyć, że przekształcając odpowedo agregat q m, uzyskujemy dwa e agregaty Q oraz S, które dla 3 produktów stają sę względe ezależe od sebe w ramach przedzału stotośc (Żwrbla, 2008, s. 65). Agregat Q jest loścową charakterystyką koszyka produktów, zwaego też produktem umowym (zob. Śwderska, 2003, s. 5 24). Owe koszyk traktuje sę jakby to był jede produkt, a to upodaba rachuek dźwg do przypadku produkcj jedoasortymetowej. Korzystamy z matematyczej defcj elastyczośc, co prowadz do astępującej formuły: Q E Q ( ), (9) Q a stąd otrzymujemy: Q DOL( Q) S, czyl qm DOL( Q) agregatowy stopeń dźwg operacyjej. (20) q m KS Iterpretacja ekoomcza: Jeśl agregat Q wzrośe (zmaleje) o %, to: ) każdy z jego elemetów ulege takej samej zmae e ma zmay struktury loścowej agregatu, 2) zysk wzrośe (zmaleje) o DOL%, 3) DOL będze mejszy (wększy) dla owych waruków, S Zesz. 33(89) 50
j 4) operacyja stopa skumulowaej marży bezpeczeństwa (T o ) będze mejsza (wększa) dla owych waruków, 5) loścowy wartoścowy próg retowośc w ujęcu sumaryczym e ulegą zmae 7. Założee II: Ne steje q j tz. e jest możlwe dodawae lczb maowaych q. Korzystamy wówczas z formuły: gdze: Q w j wartość sprzedaży, j jak we wzorze (8). ożemy zatem apsać: Q KS, (2) ( Q, ) Q KS, (22) a stąd mamy Q DOL( Q ), czyl qm DOL( Q ). (23) q m KS Iterpretacja ekoomcza: Jeśl agregat Q wzrośe (zmaleje) o % to: ) każdy z jego elemetów ulege takej samej zmae e ma zmay struktury wartoścowej agregatu, 2) zysk wzrośe (zmaleje) o DOL%, 3) DOL będze mejszy (wększy) dla owych waruków, 4) operacyja stopa skumulowaej marży bezpeczeństwa (T o ) będze mejsza (wększa) dla owych waruków, 5) wartoścowy próg retowośc w ujęcu sumaryczym e ulege zmae 8. 7 yprowadzoa formuła (20) oraz jej pogłęboa terpretacja stawają pod zakem zapytaa zasadość mówea o dźwg operacyjej cey, jedostkowych kosztów zmeych oraz kosztów stałych, co propouje J. elcarek (2006). 8 Jeśl przedsęborstwo e poos kosztów stałych, wówczas powstaje zjawsko tzw. lewarowaa, zob. Ostaszewsk, Ccrko (2005, s. 47). Ozacza to, że zmay procetowe zysku operacyjego są take same jak zmay procetowe sprzedaży wydaje sę, że to mał a myśl J. Duraj (997, s. 46) psząc Ne zmea sę wtedy zysk operacyjy, mmo wzrostu sprzedaży. Zesz. 33(89) 5
Stopeń dźwg fasowej (ag. degree of facal leverage DFL). Stopeń dźwg fasowej wyraża wrażlwość (w ujęcu względym) zmay retowośc kaptałów własych (ROE) a zmaę zysku. Sęgamy po formułę postac: I ROE( ), (ag. retur o equty), (24) E gdze: E kaptały włase,, I jak we wzorach (3) (4). Zgode ze wzorem a elastyczość otrzymujemy: DFL, czyl I DFL q m KS q m KS I agregatowy stopeń dźwg fasowej. (25) Iterpretacja ekoomcza: Jeśl zysk operacyjy wzrośe (zmaleje) o %, wówczas wskaźk retowośc kaptałów własych (także zysk brutto) wzrośe (zmaleje) o DFL%. Stopeń dźwg całkowtej (ag. degree of total leverage DTL). Stopeń dźwg całkowtej wyraża wrażlwość zmay retowośc kaptałów własych a zmay sprzedaży. Korzystając z modelu a retowość kaptałów własych pojęca elastyczośc tej retowośc względem Q DTL q j j otrzymujemy ( Q) agregatowy stopeń dźwg całkowtej. (26) q m KS I q m Iterpretacja ekoomcza: Jeśl agregat loścowy Q (wartoścowy Q ) wzrośe (zmaleje) o %, to: ) każdy z jego elemetów ulege takej samej zmae e ma zmay struktury loścowej (wartoścowej) agregatu, 2) wskaźk retowośc kaptałów własych wzrośe (zmaleje) o DTL%, Zesz. 33(89) 52
3) DTL będze mejszy (wększy) dla owych waruków, 4) fasowa stopa skumulowaej marży bezpeczeństwa (T F ) będze mejsza (wększa) dla owych waruków, 5) próg retowośc w ujęcu sumaryczym e ulege zmae. 3.2. Stopeń dźwg ujęce wektorowe Sęgamy po pojęce elastyczośc cząstkowej, czyl dla fukcj postac: y f ( x, x2,..., x ) (27) stosujemy formułę postac: y x E x y (,2,..., ), (28) x y gdze: y pochoda cząstkowa rzędu perwszego fukcj f względem zmeej x x. Jest to mara lorazu przyrostów względych (procetowych) fukcj welu zmeych w relacj a przyrosty względe poszczególych zmeych ezależych. Stopeń dźwg operacyjej Dla fukcj ( q, q2,..., q ) qm KS (29) otrzymujemy: qm DOL (,2,..., ) -ty stopeń dźwg operacyjej. (30) Zatem wektorow wolumeu sprzedaży q < q, q2,..., q > moża przypsać stopeń dźwg operacyjej w ujęcu wektorowym postac: Iterpretacja ekoomcza: DOL < DOL, DOL2,..., DOL >. (3) ektor DOL formuje, o le procet zme sę zysk operacyjy z tytułu jedoprocetowej zmay wolumeu sprzedaży każdego z -asortymetów. Su- Zesz. 33(89) 53
mując te wpływy otrzymujemy wpływ rówoczesej zmay składków agregatu, czyl agregatowy stopeń dźwg operacyjej DOL. Stopeń dźwg całkowtej Dla fukcj EBT ( q, q2,..., q ) qm KS I (32) otrzymujemy: qm DTL (,2,..., ) -ty stopeń dźwg całkowtej. (33) EBT Zatem wektorow wolumeu sprzedaży q < q, q2,..., q > moża przypsać stopeń dźwg całkowtej w ujęcu wektorowym postac: Iterpretacja ekoomcza: DTL < DTL, DTL2,..., DTL >. (34) ektor DTL formuje, o le procet zme sę zysk brutto z tytułu jedoprocetowej zmay wolumeu sprzedaży każdego z -asortymetów. Sumując te wpływy otrzymujemy wpływ rówoczesej zmay składków agregatu, czyl agregatowy stopeń dźwg całkowtej DTL. Stopeń dźwg fasowej Dla fukcj postac I ROE( ) (35) E otrzymujemy welkość skalarą postac: ROE DFL ROE DFL. (36) EBT Iterpretacja ekoomcza: Sęgamy po terpretację zameszczoą przy wzorze (25). Netrudo zauważyć, ż spełoa jest zależość: DTL DOL o DFL. (37) Zesz. 33(89) 54
3.3. Parametr stopa dźwg ujęce skalare przypadku produkcj jedoasortymetowej parametr stopa dźwg jest po prostu bezwzględą marą wrażlwośc, dlatego został azway charakterystyką perwszą modelu zysku lub modelu retowośc (Żwrbla, 2007d, s. 348 349). edług kocepcj T. Dudycza (2002, s. 00 dalsze) są to dźwge ekoomcze w ujęcu statyczym. Dźwga operacyja (ag. operatg leverage OL). Parametr stopa dźwg operacyjej określa wrażlwość zmay zysku pod wpływem zmay sprzedaży. Przyjmuje o astępującą postać: OL, czyl OL Q m k p. (38) Posłkując sę podejścem T. Dudycza, zajdujemy udzał kosztów stałych w koszce całkowtym dla sprzedaży w progu retowośc, czyl: KS KS OL, gdze: KZ q kz. (39) KC KZ + KS Sęgamy po koszyk asortymetowy loścowego progu retowośc, tj.: < BEP, BEP2,..., BEP >, (40) gdze: KS q BEP (,2,..., ) (Żwrbla, 2008, s. 65 ). q m tedy otrzymujemy czyl: qm KS OL( BEP ), (4) qkz q p KS( + ) q m OL( BEP ) k r stopa globalej marży pokryca, (42) przy czym: r, k jak we wzorze (8). Zesz. 33(89) 55
Iterpretacja ekoomcza: Parametr OL formuje, o le zme sę w przyblżeu zysk operacyjy, jeśl wartość sprzedaży zme sę o jedostkę, tj. o jede agregat Q. Następe będzemy meć formuły: Dźwga fasowa (ag. facal leverage FL). ROE FL. (43) E Iterpretacja ekoomcza: Parametr FL formuje, o le w zme sę w przyblżeu retowość kaptałów REO, jeśl zysk operacyjy zme sę o jedostkę. Dźwga całkowta (ag. total leverage TL). ROE TL 9. (44) Q E Iterpretacja ekoomcza: Parametr TL formuje, o le w zme sę w przyblżeu retowość kaptałów REO, jeśl wartość sprzedaży zme sę o jedostkę, tj. o jede agregat Q (por. Jajuga, 2007, s. 42). 3.4. Parametr stopa dźwg ujęce wektorowe Korzystamy z pojęca gradetu fukcj, będącego wektorem złożoym z pochodych cząstkowych perwszego rzędu. Dźwga operacyja amy zatem dla fukcj astępujący wektor: Zesz. 33(89) 56 ( w, w,..., w w r KS (45) 2 ) grad ( ) <,,..., w w 2 w >, (46) czyl OL < r, r 2,...,. r >, (47) gdze: w, r jak we wzorze (8). 9 Tak rozumaa dźwga operacyja (fasowa, całkowta) róż sę od tzw. pozomu wsperaa operacyjego (fasowego, całkowtego), która jest ozaczaa tym samym akromem (por. Duraj, 997, s. 44 dalsze).
Iterpretacja ekoomcza: ektor OL formuje, o le zme sę w przyblżeu każdy z elemetów sumy z tytułu zmay o jedostkę stóp jedostkowych wszystkch marż pokryca zwązaych z każdym. Dźwga fasowa ROE Poeważ E, przeto FL FL. (48) E yka to z faktu, ż wskaźk ROE, ujęty wzorem (35), jest fukcją skalarą o wartoścach skalarych. Ozacza to, że stopeń dźwg fasowej e zależy od wymaru przestrze asortymetowej, czyl jest ezmekem. Dźwga całkowta amy ogólą formułę postac: wr KS ROE( w w w, 2,..., ) E, gdze: w, r, KS, E jak poprzedo. (49) Ostatecze otrzymujemy wektor postac: r r2 r TL <,,..., >. (50) E E E Iterpretacja ekoomcza: ektor TL formuje, o le zme sę w przyblżeu każdy z elemetów sumy EBT EBT z tytułu zmay o jedostkę stóp jedostkowych wszystkch marż pokryca zwązaych z każdym. Zauważmy, ż zachodzą rówośc postac: TL FL OL, (5) OL OL o w, (52) TL TL o w, (53) Zesz. 33(89) 57
przy czym: w < w, w2,..., w >, w q p (,2,..., ) jak we wzorze (8). Ostate dwa wzory wskazują, ż OL oraz TL to ważoe agregaty, w przecweństwe do formuł DOL oraz DTL, które są agregatam prostym (eważoym), złożoym ze składków wektorów DOL oraz DTL. 4. Dekompozycja wskaźków dźwg ekoomczych Nektórych ekoomstów trygowało, czy mędzy dźwgam wyrażoym za pomocą stop dźwg steje powązae. Na przykład, Jacek Grzywacz (2008, s.97) psze: oże wydawać sę, że dźwga operacyja e ma bezpośredego zwązku ze strukturą kaptału. Zagadee to wąże sę jedak erozerwale z ryzykem gospodarczym przedsęborstwa oraz osągaą zyskowoścą dzęk odpowedemu kształtowau welkośc sprzedaży. Trudo jest zatem wykluczyć, czy decyzje dotyczące kształtowaa struktury kaptału mają wpływ a te czyk, które kształtują z kole pozom dźwg operacyjej. Brosław cherda (200, s. 22) uważa, że formuła wskaźka DTL wskazuje, że sły tkwące w strukturze majątku strukturze kaptału wzajeme sę potęgują, a czyk podoszące efektywość mają swe źródło zarówo w sferze rzeczowej, jak fasowej procesu gospodarowaa. zmacae sę sł tkwących w strukturze majątku kaptałów teresująco obrazuje rysuek. Rysuek. spółdzałae dźwg operacyjej fasowej zysk geeroway zysk etto a jedostkę kaptału sprzedaż zysk dźwga operacyja dźwga fasowa dzałae dźwg Źródło: B. cherda (red.) (2005, s. 228). Zesz. 33(89) 58
Z matematyczego puktu wdzea ROE ( q) ROE[ ( q)], to fukcja złożoa, przeto korzystając z pojęca pochodej fukcj złożoej otrzymujemy wzór: ROE q ROE q, (54) a stąd wyka relacja: TL OL FL. Następe mamy relację: ROE q q ROE ROE ( ) ( ROE q q ), (55) a stąd wyka rówość: DTL DOL DFL. Okazuje sę, że otrzymae formuły a stope dźwg ekoomczych wążą w swosty sposób merk I, który pojawł sę przy aalze progów retowośc. Na podstawe formuły (32) możemy apsać, że: DFL I amy zatem relację:, a stąd otrzymujemy DFL I q m q m. DFL, czyl DFL (, ) I DOL f DOL I. (56) podoby sposób otrzymamy zależość dla dźwg całkowtej DOL DTL, a węc DTL 2 (, ) I DOL f DOL I. (57) Korzystając z zależośc I DOL DTL oraz DTL DOL DFL otrzymujemy: DTL ( DFL ) I ( I 0 ), czyl DTL f ( DFL, I ). (58) 3 Zesz. 33(89) 59
śwetle powyższych współzależośc staje sę zasade stwerdzee arka Sudaka (999, s. 70), ż: ) dźwga operacyja dźwga I etapu, 2) dźwga fasowa dźwga II etapu. Rysuek 2 obrazuje wyprowadzoe powązaa mędzy wskaźkam efektywośc dźwg ekoomczych. Rysuek 2. Dagram współzależośc wskaźków efektywośc dźwg ekoomczych Źródło: opracowae włase. Przedstawoe wyżej rozważaa potwerdzają stee ścsłej współzależośc mędzy omawaym dźwgam ekoomczym 0. ydaje sę, ż jest to oczywste w kotekśce faktu złożoośc zjawsk gospodarczych. 5. Uogóloe dźwge ekoomcze gdze: Ogóle borąc, możemy apsać:, q2,..., q ) ( q ) ( q, (59) ( q ) q m α KS, przy czym α > 0 α. 0 ymeay wcześej J. elcarek (2006, s. 50 dalsze) rozważa dźwgę fasową jako fukcję tzw. superdźwg operacyjej. Zesz. 33(89) 60
Nech poadto wtedy to mamy ( q / ) q / m α KS, (60) Δ ( q / ) ( q ) Δq m, (6) / przy czym Δq q q a stąd otrzymujemy Δ Następe mamy relację: (,2,..., ), Δq m. (62) Δ Δq m qm Δq ( ). q Zatem otrzymujemy formułę uogóloego stopa dźwg operacyjej postac: T ( ) DOL t, (63) gdze: Δq t (,2,..., ) tempo zma składków koszyka produktów, q DOL jak we wzorze (30). osk: Jeśl składk wyjścowego koszyka produktów ulegą zwększeu (zmejszeu) / / / / według wektora zma procetowych < t, t2,..., t >, gdze: t t 00%, wówczas: ) zysk zwększy (zmejszy) sę o T()%; 2) próg retowośc ulege zmae; 3) zysk operacyjy zwększy (zmejszy) sę o t DOL%, gdy t t cost. Jeśl weźmemy t 0,0 %, to otrzymamy T ( )% DOL DOL. Ozacza to, że wzór (63) a tempo zmay zysku moża uważać za uogóloy stopeń dźwg operacyjej. A. Ćwakała-ałys. Nowak (2005, s. 50 5) używają tej samej azwy w aalze wrażlwośc zysku a zmay wszystkch czyków kształtujących te zysk, zaś J. elcarek (2006) posługuje sę pojęcem superdźwga. edług ych autorów jest to problematyka zwązaa z tzw. możkam zysku, zob. Żwrbla (2006, s. 64 90). Zesz. 33(89) 6
aalogczy sposób otrzymamy formułę a uogóloy stopeń dźwg całkowtej, czyl: gdze: DTL jak we wzorze (33), t jak we wzorze (63). T ( EBT) DTL t, (64) Poeważ DTL DFL DOL, węc otrzymujemy zależość: T ( EBT) DTL t DFL T ( ) DFL T ( EBT) DFL, czyl T ( ) DTL t DOL t EBT stopeń dźwg fasowej. (65) Powyższa rówość wyka z faktu, że mamy relacje: DTL t ( Δqm ) t oraz DOL t EBT ( Δq m ) t. Otrzymalśmy zatem ogólą zależość: T( EBT) DFL T( ) (66) Z powyższych rozważań wyka, ż korzystae z formuły przedstawoej wzorem (20) oraz (26) ogracza aalzę do przypadku, gdy cały koszyk produktów ( produkt umowy ) ulega zmae o %, zaś formuły (63) (64) umożlwają rozpatrywae sytuacj, gdy każdy asortymet sprzedawaych produktów ulega dowolym zmaom loścowym. Poższy przykład lczbowy jest lustracją obu waratów symulacj zmay wektora asortymetu sprzedaży. Przykład lczbowy maju 2008 roku Cetrum Ogrodcze X sprzedało m.. cztery rodzaje sadzoek kwatów ozdobych, łącze w lczbe 3000 sztuk. Na podstawe szczegółowych formacj, zawartych w poższej tabel, ależy dokoać symulacj sprzedaży wymeoych sadzoek dla roku 2009. Zesz. 33(89) 62
Tabela. Rachuek wyków oraz dźwg operacyjej Lp. yszczególee Produkt Produkt Produkt Produkt A B C D Razem. Ilość (szt.) q 900 500 000 600 3000 2. Cea jedostkowa (zł/szt.) p 5 7 5 2,5 3. Koszt jed. zmey (zł/szt.) kz,5 3,6 2,2 2 4. arża jedostkowa brutto (zł/szt.) m 3,5 3,4 2,8 0,5 5. Przychody ze sprzedaży (zł) 450 4500 3500 5000 500 0 6. Koszty zmee (zł) 350 800 2200 200 6550 7. arża brutto (zł) 350 700 2800 300 7950 8. Koszty stałe (zł) KS 380 9. Zysk operacyjy (zł) 4770 0. Odsetk (zł) I 000. Zysk brutto (zł) EBT 3770 2. Dźwga operacyja (wersz 7: wersz 9) DOL 0,66 0,36 0,59 0,06,67 3. Dźwga fasowa (wersz 9 : wersz ) DFL,27 4. Dźwga całkowta (wersz 2 wersz 3) DTL 0,84 0,46 0,75 0,07 2,2 Źródło: opracowae włase.. Zajdujemy próg retowośc w ujęcu skalarym BEP KS q q m 3000, czyl BEP 380 200 sztuk (ogółem). 7950 2. Zajdujemy strukturę koszyka produktów (produktu umowego) q q2 q 3 s <,,..., >, czyl s <,,, >. 0 6 3 5 q q q 3. Zajdujemy próg retowośc w ujęcu wektorowym BEP < BEP, BEP2,..., BEP >, gdze: BEP BEP s (,2,..., ). Stąd węc mamy BEP <360, 200, 400, 240> Zesz. 33(89) 63
4. Zajdujemy agregatowy stopeń dźwg operacyjej, dźwg fasowej oraz dźwg całkowtej korzystając ze wzorów (20), (36) (37). 7950 4770 amy węc DOL ( Q), 67, DFL, 27 oraz DTL 2, 2. 4770 3770 5. Dokoujemy symulacj przyrostu zysku z tytułu zmay wolumeu sprzedaży. arat A Zakładamy, że w roku 2009 całoścowo sprzedaż wzrośe o 5%. Jeśl zwększymy o % agregat Q q, co ozacza, że każdy ze składków koszyka produktów q (szt.) < 900, 500, 000, 600 > zwększy sę o %, wówczas zysk operacyjy zwększy sę o,67%. Ne ulege atomast zmae próg retowośc w ujęcu skalarym. Zakładając zmaę sprzedaży o 5% całego agregatu, uzyskamy wzrost zysku operacyjego o 5,67% 8,35%, zaś zysk brutto zwększy sę o 8,35,27 0,6%. arat B Badamy, jak zme sę zysk operacyjy, jeśl zmay procetowe lośc sprzedaży produktów będą róże. eźmy pod uwagę astępujące zmay: t 5% produkt A ; t 8% produkt B ; % 2 t 3 5 produkt C ; t 2 4 % produkt D. Korzystamy ze wzoru (63), otrzymując: T( ) 0,66 5% + 0,36 8% + 0,59 5% + 0,06 2% 9,25%. Powyższy przykład wskazuje formułę (63) jako bardzej wygode arzędze wsperające progozowae zysku operacyjego ż stopeń dźwg operacyjej. Te ostat jest stosukowo ograczoym arzędzem aaltyczym, gdyż ejako wymusza jedakowy dla wszystkch składków koszyka produktów wzrost (spadek) wolumeu sprzedaży. 6. Aalza cząstkowa wrażlwośc zysku oża też rozważać wrażlwość -tego zysku operacyjego a zmay welkośc sprzedaży -tego asortymetu. eźmy pod uwagę: ) -ty zysk operacyjy qm α KS (67) 2) -ty zysk brutto EBT q m α ( KS I), (68) + Zesz. 33(89) 64
przy czym: α > 0 oraz α. Korzystając z defcj elastyczośc fukcj, otrzymujemy astępujące formuły: ) elastyczość -tego zysku operacyjego względem wolumeu produkcj -tego asortymetu / qm DOL (69) 2) elastyczość -tego zysku brutto względem zysku operacyjego -tego asortymetu / DFL (70) EBT 3) elastyczość -tego zysku brutto względem wolumeu produkcj -tego asortymetu / qm DTL (7) EBT qm Jeśl przyjmemy, że α (,2,..., ), q m j wówczas otrzymujemy formułę: j j (72) amy wtedy / DOL q m q m KS DOL / / DOL dla j DOL j (,2,..., ). (73). (74) Poadto także będzemy meć: / / DFL DFL j dla j (75) oraz / / DTL DTL j dla j. (76) Otrzymae rówośc przemawają a ekorzyść stosowaa klucza podzału kosztów stałych postac (72). m Jeśl przyjmemy, że α (,2,..., ), (77) m j j Zesz. 33(89) 65
wtedy uzyskujemy astępujące formuły: // q // q BEP // q DOL ; DFL ; DTL q BEP q BEPF q BEPF, (78) gdze: KS BEP operacyjy próg retowośc, detyczy dla wszystkch produktów; BEP F m j j KS + I j m j fasowy próg retowośc, detyczy dla wszystkch produktów. Przyjmując, ż: ) operacyja stopa margesu bezpeczeństwa dla -tego asortymetu, // DOL zaś 2) fasowa stopa margesu bezpeczeństwa dla -tego asortymetu, // DTL moża zauważyć, że obe stopy wzrastają (maleją), gdy q rośe (maleje). 7. Uwag końcowe Psząc formułę DOL( Q) q m qm, gdze: α oraz α > 0, (79) ( q m α KS) mamy do czyea z tzw. relacją agregatów, przy czym stosuek / qm DOL (,2,..., ) azywa sę relacją cząstkową w podzborowośc 2. qm α ks oża udowodć, że każda relacja agregatów jest średą arytmetyczą ważoą relacj cząstkowych, jeżel waży sę elemetam z maowka, tj. welkoścam ( q m α KS). Na podstawe powyższego stwerdzea mamy rówość: 2 Podobe rozważaa moża przeprowadzć dla dźwg całkowtej, por. B. Szulc (972, s. 64 65). Zesz. 33(89) 66
DOL q m / ( Q) DOL. (80) Ozacza to, że relacja agregatów jest ważoą średą odpowedch relacj cząstkowych, co umyka uwadze, gdyż jest to średa występująca w postac ukrytej. elkość relacj agregatów zależy od: ) relacj cząstkowych, 2) proporcj wag. Podobe moża mówć o pozostałych relacjach agregatów zwązaych z dźwgą fasową oraz całkowtą. Formuła (80) dowodz poadto, że wskaźk DOL jest ezmekem klucza podzału (α ) kosztów stałych. Próg retowośc oraz stopeń dźwg operacyjej dźwg całkowtej w ujęcu wektorowym prowadzą do pojęca przestrze -wymarowej. Zasade staje sę przeto wprowadzee pojęca odległośc mędzy puktam przestrze progów retowośc, a także puktam przestrze dźwg operacyjej, czy też całkowtej. Przyjmując, że składowe wektorów wspomaych przestrze są welkoścam addytywym, moża sęgąć po tzw. metrykę mejską (Atoewcz, sztal, 997, s. 88 89). Poadto każdej z wymeoych przestrze -wymarowych moża przypsać stosowy układ współrzędych, a osach którego zajdują sę wartośc -tych progów retowośc lub -te dźwge ekoomcze. Jeśl będzemy chcel porówać dwa przypadk sprzedaży produktów, które są scharakteryzowae za pomocą wektorów: / / / / // // // // DOL < DOL DOL,..., DOL >, DOL < DOL DOL,..., DOL >,, 2, 2 to warto zaleźć odległość mędzy puktam przestrze dźwg operacyjej za pomocą wzoru: / // // / d( DOL, DOL ) DOL DOL. (8) O Nech poadto wektor DOL < 0,0,..., 0 > ozacza sta początkowy sprzedaży produktów wdzay przez pryzmat dźwg operacyjej, wówczas otrzymujemy: O d( DOL, DOL ) DOL DOL dla DOL 0 (,2,..., ). (82) Otrzymalśmy owe spojrzee a agregatowy stopeń dźwg operacyjej, który ozacza odległość (w rozumeu metryk mejskej ) dowolego puktu przestrze dźwg operacyjej od początku układu współrzędych (a osach tego układu są odkładae wartośc -tych stop dźwg). Zesz. 33(89) 67
zrost DOL DOL ozacza zatem oddalae sę puktu opsującego pozom dźwg operacyjej w ujęcu wektorowym od puktu zerowego tym samym wzrost zysku operacyjego. te sposób moża by skostruować krzywą wahań dźwg operacyjej, a awet budować progozę dla tej welkośc ekoomczej. Podobe rozważaa moża przeprowadzć w stosuku do dźwg całkowtej. Lteratura Atoewcz R., sztal A. (997), atematyka dla studetów ekoom. ykłady z ćwczeam, ydawctwo Naukowe PN. Beret T. (2008), Dźwga fasowa jej składowe: owa kocepcja metodologcza, Zeszyty Teoretycze Rachukowośc, tom 46 (02), SKwP, arszawa. Ćwąkała-ałys A., Nowak. (2005), Zarys metodologczy aalzy fasowej, ydawctwo Uwersytetu rocławskego, rocław. Dudycz T. (2002), Fasowe arzędza zarządzaa wartoścą przedsęborstwa, ydawctwo AE m. O. Lagego we rocławu, rocław. Duraj J. (997), Przedsęborstwo a ryku kaptałowym, PE, arszawa. Grzywacz J. (2008), Kaptał w przedsęborstwe jego struktura, Szkoła Główa Hadlowa w arszawe, arszawa. Jajuga K. (2007), Elemety auk o fasach, PE, arszawa. Jaruga A.A., Nowak.A., Szychta A. (200), Rachukowość zarządcza. Kocepcje zastosowaa, wyd. II, Społecza yższa Szkoła Przedsęborczośc Zarządzaa w Łodz, Łódź. achała R. (200), Praktycze zarządzae fasam frmy, ydawctwo Naukowe PN, arszawa. cherda B. (200), Aaltycza fukcja rachukowośc, ydawctwo AE w Krakowe, Kraków. cherda B. (red.) (2005) Podstawy rachukowośc. Aspekty teoretycze praktycze, (2005), ydawctwo Naukowe PN, arszawa. elcarek J. (2005), Podstawy teoretycze kocepcj CVP (koszt wolume zysk), ydawctwo I-Bs s. c., rocław. elcarek J. (2006), echazm superdźwg operacyjej, Zeszyty Teoretycze Rachukowośc, tom 3 (87), SKwP, arszawa. Ostaszewsk J., Ccrko T. (2005), Fase spółk akcyjej, Df, arszawa. Sudak. (999), Zarządzae fasam przedsęborstwa, Ofcya ydawcza Poltechk arszawskej, arszawa. Szulc B. (972), Statystyka dla ekoomstów, tom, PE, arszawa. Śwderska G.K. (red.) (2003), Rachukowość zarządcza rachuek kosztów, tom I, Df, arszawa. Zesz. 33(89) 68
aśewsk T., Skoczylas. (2002), Teora praktyka aalzy fasowej w przedsęborstwe, FRRwP, arszawa. Żwrbla A. (2006), ożk jako arzędze aalzy wrażlwośc zysku, Zeszyty Teoretycze Rachukowośc, tom 3 (87), SKwP, arszawa. Żwrbla A. (2007a), Dźwga fasowa próba krytyk oraz sytezy poglądów (artykuł dyskusyjy), Zeszyty Teoretycze Rachukowośc, tom 4 (97), SKwP, arszawa. Żwrbla A. (2007b), Dźwge ekoomcze produkt aalzy wrażlwośc modelu fasowego, Zeszyty Teoretycze Rachukowośc, tom 36 (92), SKwP, arszawa. Żwrbla A. (2007c), Nowe aspekty metodologcze dźwg operacyjej, Zeszyty Teoretycze Rachukowośc, tom 39 (95), SKwP, arszawa. Żwrbla A. (2007d), Rozwój metod loścowych aalzy ekoomczej, ydawctwo Adam arszałek, Toruń. Żwrbla A. (2008), etody aalzy progu retowośc produkcj weloasortymetowej, Zeszyty Teoretycze Rachukowośc, tom 46 (02), SKwP, arszawa. Streszczee Artykuł jest próbą przedstawea zjawska dźwg ekoomczych w przestrze -wymarowej. Autor propouje owe podejśce metodologcze do dźwg ekoomczych, które jest orygalym wkładem autora a polu metod aalzy ekoomczej. artykule autor ajperw wyjaśł stotę zjawska dźwg ekoomczych w przestrze -wymarowej a podstawe tzw. atrybutów dźwg, a astępe sformułował klka refleksj aukowych, ścśle zwązaych ze zjawskem dźwg ekoomczych. Summary Ecoomc leverages the multproduct compay The artcle s a attempt to explore the ssue of ecoomc leverages the - dmeso space. The author proposes a ew methodologcal treatmet to ecoomc leverages that s the orgal cotrbuto of the author the feld of methods of ecoomc aalyss. I ths artcle the author explas the ature of ecoomc leverages based o socalled leverage attrbutes. Fally, he formulates some scetfc reflectos, drectly coected wth the ecoomc leverages. Zesz. 33(89) 69