Koerla P. Metoa Elemetów Skończoych, teora zastosowaa 67 IX. ZAGANIENIA EORII PLASYCZNOŚCI Oraczymy sę o cał sprężysto-plastyczych.. Zaaee jeowymarowe Postawowe moele cała sprężysto plastycze oraz ch aalo mechacze pokazao a rys. 9.. Rys. 9.. Moele sprężysto-plastycze materału; raca plastyczośc
Kurs a Stuach oktorackch Poltechk Wrocławskej (wersja: luty 7) 68. Zaaee trójwymarowe założea. Materał zachowuje sę sprężyśce opók e osąe powerzch plastyczośc (powerzcha racza).. la materału aa jest powerzcha plastyczośc w przestrze aprężeń: ( ) f ( ) ( ; ) f ( ) ( κ) bez wzmocea, (9.) la wzmocea, (9.) κ ze raca plastyczośc w próbe jeoosoweo ścskaa, κ - parametr wzmocea.. Całkowte okształcea jako superpozycja okształcea sprężysteo plastyczeo (waże la małych ftezymalych okkształceń) ( e) ( p) ε ε + ε (9.) ze: ( e) ε - okształcea sprężyste, ( p) ε - okształcea plastycze. 4. Prawo plastyczeo płyęca: a) stowarzyszoe prawo plastyczeo płyęca: ( ) ε p λ, (9.4) ze: λ przyrost eokreśloeo parametru, Rys. 9. b) estowarzyszoe prawo plastyczeo płyęca: ( ) ε p λ, (9.5) ze: λ przyrost eokreśloeo parametru, () potecjał plastyczy. Rys. 9.
Koerla P. Metoa Elemetów Skończoych, teora zastosowaa 69. Powerzcha plastyczośc Jest to powerzcha oraczająca pole aprężeń w trakce procesu obcążaa ( ) ( ) ( ) ; κ κ f. (9.6) Różczkując powyższa zależość κ κ +, (9.7).... 6 6 κ κ +. (9.8) Przyjmjmy ozaczee λ κ κ λ κ κ A A. (9.9) Po postaweu o () mamy λ A. (9.) Całkowte okształcee a powerzch plastyczej ( ) ( ) p e ε ε ε +, (9.) przyrost okształcea ( ) ( ) λ + + p e ε ε ε. (9.) Rówaa () (4) w zapse macerzowym λ ε A. (9.) Z powyższeo ukłau ależy wyzaczyć zwązek kostytutywy e zawerający eokreśloej zmeej λ. W tym celu możąc lewostroe rówae perwsze przez wyzaczamy λ ε, (9.4) postawając astępe powyższe wyrażee o rueo rówaa mamy
Kurs a Stuach oktorackch Poltechk Wrocławskej (wersja: luty 7) 7 ε + A λ λ. (9.5) I ostatecze rówae kostytutywe la stau a powerzchę plastyczośc otrzymujemy jeżel o rówaa (5) postawmy λ, tak ε, (9.6) ze: ep ep A +. (9.7) 4. Rówae kostytutywe la procesu sprężysteo procesu bereo (zejśce z powerzch plastyczośc) ( e) ε ε lub ε. (9.8) la procesu czyeo (a powerzch plastyczośc) ( e) ( p) ε ε + ε lub ep ε. (9.9) ep Macerz ep : symetrycza la stowarzyszoeo prawa płyęca, esymetrycza la estowarzyszoeo prawa płyęca. Zaczee parametru A: a) eala plastyczość (bez wzmocea) A, (9.) b) plastyczość ze wzmoceem. W rówau powerzch plastyczośc (, κ ) parametr κ zwązay jest ze zmaą powerzch plastyczośc: parametr κ wyraża eerę okształceń plastyczych (p) (p) (p) ε + ε +... + 6ε6 κ ε, (9.) po postaweu: ε λ mamy: κ λ κ, oraz, λ (9.) wracając o wcześejszeo ozaczea mamy: κ A A. κ λ κ (9.) Parametr A moża tak wyzaczyć, jeżel zaa jest jawa fukcja (, κ ) (p) wzlęem κ.
Koerla P. Metoa Elemetów Skończoych, teora zastosowaa 7 5. eora plastyczośc Pratla Reuss a Założea: a) małe okształcea, b) materał eale sprężysto plastyczy z warukem HMH (może być z zotropowym wzmoceem), c) waże jest stowarzyszoe prawo płyęca. Powerzcha plastyczośc:, 4 5 6 ( κ ) ( ) + ( ) + ( ) + ( + + ) ( κ), (9.4) lub, 4 5 6 ( κ ) ( s + s + s ) + s + s + s s s, (9.5) ze: m m m m m m + s +, (9.6) 4 5 6 aksjator tesora aprężea, s ewator tesora aprężea, m ( + + ). Jeoosowy sta aprężea baae ośwaczale Rys. 9.4 Nech parametr κ ozacza pracę aprężeń a okształceach plastyczych: Wówczas (p) (p) ( ε ) ε κ. (9.7)
Kurs a Stuach oktorackch Poltechk Wrocławskej (wersja: luty 7) 7 κ κ (p) ε ( p) (p) ε κ ε H, (9.8) ze (p) ε (p) ukłaze ε ). (p) H jest taesem kata achylea wykresu ( ) w trakce uplastyczea (w ε Z rysuku H E. E / E 6. Powerzche plastyczośc wyrażoe przez ezmek tesora aprężea Zwykle powerzchę plastyczośc wyrażamy przez ezmek: I - perwszy ezmek tesora aprężea, + + m ( s + s + s ) + s + s s J 4 5 + 6 - ru ezmek ewatora aprężea, J s s s + s4 s5 s6 s s5 s s6 s s4 - trzec ezmek ewatora. Powerzche plastyczośc w przestrze aprężeń łówych oraz a płaszczyźe ewatorowej: Płaszczyza ewatorowa jest prostopała o os hyrostatyczej patrz rysuek Rys. 9.5. Ops przestrze Hah- Westeraar Parametram (współrzęym) przestrze Hah- Westeraar są: (ξ,ρ,θ). Zwązk trasformacyje: ξ ρ ( s + + s + + s ) J τ oct (9.9)
Koerla P. Metoa Elemetów Skończoych, teora zastosowaa 7 Powerzcha plastyczośc w hpoteza resk (, κ ) ( J, θ, κ ) J s( θ + π) ( κ) (9.) ρ (9.) lub (, θ, κ ) ρs( θ + π) ( κ) la θ 6 Rys. 9.6. Powerzcha plastyczośc resk; (a) w przestrze aprężeń, (b) Przekrój płaszczyzą, (c) a płaszczyźe ewatorowej Powerzcha plastyczośc w hpoteza Hubera-Mssesa-Heckeo ( J, κ ) J ( κ). (9.) Rys. 9.7. Powerzcha plastyczośc Hubera-Mssesa-Heckeo; (a) w przestrze aprężeń, (b) Przekrój płaszczyzą, (c) a płaszczyźe ewatorowej Powerzcha plastyczośc w hpotezy Coloumba Mohra
Kurs a Stuach oktorackch Poltechk Wrocławskej (wersja: luty 7) 74 I π π ( I, J, θ, κ ) s φ( κ) + J s θ + s φ( κ) cos θ + c( κ) cosφ( κ) (9.) lub π ( ξ, ρ, θ, κ) ξs φ( κ) + ρs θ + + ρcos θ + s φ( κ) 6c( κ) cos φ( κ) (9.4) π la θ ze parametry zależe o κ: c(κ), φ(κ). J π, Rys. 9.8. Powerzcha plastyczośc Coloumba Mohra; (a) w przestrze aprężeń, (b) a płaszczyźe ewatorowej Powerzcha plastyczośc w hpotezy rucker a Praer a: ( I J, κ ) a I + J b,, (9.5) Rys. 9.9. Powerzcha plastyczośc rucker a Praer a; (a) w przestrze aprężeń, (b) a płaszczyźe ewatorowej
Koerla P. Metoa Elemetów Skończoych, teora zastosowaa 75 ze: a s φ( κ) ( s φ( κ) ), b 6c ( κ) cosφ( κ) ( s φ( κ) ), parametry: c(κ), φ(κ) zależe o κ. 7. Graet fukcj plastyczośc Przy formułowau alorytmów umeryczych występuje zawsze koeczość wyzaczea raetu fukcj plastyczośc. Jeżel ta fukcja jest wyrażoa przez ezmek tesora aprężea, wówczas ( I, J, J ) I + I J M () I + M () J + J J + M J () J la poszczeólych hpotez macerze M (), M (), M () są wyzaczoe poae w lteraturze. (9.6) 8. Materał sprężysto plastyczy. Uoóloa teora Zakłaa sę, że la owoleo pozomu aprężea materał okształca sę sprężyśce plastycze e ma wyraźej powerzch plastyczośc. Ozacza to, że przez każy pukt przestrze aprężeń przechoz powerzcha plastyczośc o zmeającym sę współczyku wzmocea. Wektory ormale jeostkowe: Rys. 9. o powerzch (, κ), (9.7)
Kurs a Stuach oktorackch Poltechk Wrocławskej (wersja: luty 7) 76 o powerzch ( ) cost. (9.8) Rys. 9. Wyróżamy trzy stay obcążea: obcążee: >, ocążee: <, sta eutraly. Zakłaa sę, że zae są macerze sprężysto plastycze la każeo ze stau obcążea ocążea, stą: L ε la obcążea, U ε la ocążea. la stau eutraleo: przyjmuje sę zwykle jako Macerze sprężysto plastycze: L U ( H L + ), ( H + ). U L. (9.9) W jakm stopu macerz jest róża o macerzy sprężystej ecyują współczyk H L H U. Jeżel mamy o czyea z okształceam sprężystym to H. Jeżel H to materał staje sę eale plastyczy. Uwaa: take założea są la wększośc materałów realstycze (zwykle brak wyraźej racy plastyczośc) oraz łatwejsze są la ch alorytmy komputerowe. 9. Alorytmy oblczeń komputerowych Stosujemy metoy przyrostowe.
Koerla P. Metoa Elemetów Skończoych, teora zastosowaa 77. Przyjmujemy przy- ay jest sta -ty la obcążea Q. Wyzaczae są parametry q rost obcążea Δ Q. la kolejych teracj -tej wyzaczamy: macerz styczą K, przyrost Δ q oraz Δ ε, Δε,ε, przyrost aprężeń Δ ε róże metoy wyzaczaa tej całk. A) Oblczae Δ metoa bezpośreą ze Δ k l l Δε k, (9.4) L jest macerzą sprężysto plastyczą la kolejych pozomów aprężea + k l Δ. (9.4) Rys.9. Lczba ocków a które sę zel przezał e jest określoa zależy o typu zaaa. B) Oblczae Δ Δ metoa ejawą + [( θ) + θ ] Δε. (9.4) + Macerze jest elowe ależy rozwązać teracyje. wyzaczae a końcach przezału. la ustaloeo (,) θ rówae Rys. 9.
Kurs a Stuach oktorackch Poltechk Wrocławskej (wersja: luty 7) 78 W przypaku zetermowaej powerzch plastyczośc: L ep U la obcazea la ocazea