WSTĘP. Trochę geometrii elementarnej

WSTĘP. Trochę geometrii elementarnej W tym rozdziale będziemy używać oznaczeń przyjętych w szkole; w szczególności, punkty będziemy oznaczać dużymi literami łacińskimi. 0.1. Twierdzenie Pitagorasa Znane od czasów starożytnych twierdzenie Pitagorasa ma wiele dowodów. Przytoczymy tu jeden z nich, dowód Euklidesa. 0.1.1. Twierdzenie. Dany jest trójkąt prostokątny o wierzchołkach A, B, C i kącie prostym przy wierzchołku C. Jeżeli a, b, c są długościami boków przeciwległych odpowiednio punktom A, B, C, to c 2 = a 2 + b 2. Dowód (rys. 1). Wykorzystuje się następujące dwa fakty dotyczące pól trójkątów: Trójkąty o wspólnej podstawie i trzecim wierzchołku leżącym na prostej równoległej do podstawy mają równe pola; każda izometria płaszczyzny, w szczególności każdy obrót, zachowuje pole dowolnego trójkąta. Korzystając z tych faktów pokazujemy, że jeżeli M jest spodkiem wysokości trójkąta (ABC) z wierzchołka C, to 1 2 b2 = P ( (AF B)) = P ( (ACD)) = P ( (AMD)). Analogicznie dowodzimy, że 1 2 a2 = P ( (EMB)). Zatem kwadrat o wierzchołkach A, B, D, E, o polu c 2, został podzielony na dwa trójkąty o polu 1 2 a2 i dwa trójkąty o polu 1 2 b2. Stąd otrzymujemy c 2 = a 2 + b 2. 1

0.2. Jak Eratostenes zmierzył długość równika Około r. 230 p.n.e. Eratostenes udowodnił, że równik ( obwód Ziemi ) ma długość 40 tys. km. Jego pomiar jest oparty na tym, że kąt między kierunkami prostopadłymi do powierzchni ziemi w dwóch punktach jest proporcjonalny do odległości sferycznej tych punktów, tzn. długości łuku wielkiego okręgu przechodzącego przez te dwa punkty. Eratostenes wiedział, że odległość między Aleksandrią i leżącym na południe od niej (blisko zwrotnika Raka) Assuanem wynosi około 800 km. Kąt między kierunkami prostopadłymi do powierzchni Ziemi w Aleksandrii i Assuanie zmierzył badając kąt padania promieni słonecznych w Aleksandrii w dniu, w którym promienie słoneczne padały w Assuanie prostopadle (patrz rys 2). Obliczył, że kąt ten jest równy 7, 2 o. Ponieważ 7, 2 o = 1 50 360o 1, więc 800 km stanowi długości równika. 50 Obliczenia Eratostenesa są obarczone pewnym błędem, ponieważ w rzeczywistości Aleksandria i Assuan leżą tylko w przybliżeniu na tym samym południku: współrzędne geograficzne Aleksandrii są 31,2 N i 29,92 E, a Assuanu - 24,05 N i 32,54 E; (zwrotnik Raka - 23,26 N). 0.3. Dlaczego warto uogólniać? Zagadka. Kulę ziemską opasano wzdłuż równika ściśle przylegającą taśmą, a następnie przedłużono tę taśmę o 1 metr zachowując jej kolisty kształt. Czy mysz może przecisnąć się teraz pod tą taśmą? Niech l będzie długością równika, r - jego promieniem a R - promieniem większego koła utworzonego przez przedłużoną taśmę. Ponieważ l = 2πr, więc 2πR = 2πr + 1, a zatem R r = 1 2π > 1 8. Ten wynik jest o tyle zaskakujący, że nie zależy od r! Oczywiście przez szparę szerokości ponad 1 m przejdzie nawet kot! ([2]). 8 2

1. GEOMETRIA METRYCZNA Nazwa geometria, która pochodzi (z greckiego) od mierzenia Ziemi, obejmuje obecnie szeroką gałąź matematyki (a może także pewien sposób patrzenia na różne zjawiska). Rozdział ten, w którym zajmujemy się geometrią metryczną, jest najbliższy pierwotnemu znaczeniu terminu geometria (Przykłady 1-5), ale również pokazuje dość odległe powiązania (Przykład 6). Dla dowolnego niepustego zbioru X wprowadza się metrykę ρ, która jest pewną funkcją na parach punktów zbioru X; wartość ρ(x, y) tej funkcji nazywamy odległością punktów x, y, a parę (X, ρ) - przestrzenia metryczną (por. Def. 1.1). 1.1. Definicja. Niech X będzie niepustym zbiorem a ρ : X X R funkcją o wartościach rzeczywistych. Para (X, ρ) jest przestrzenią metryczną a funkcja ρ - metryką jeżeli są spełnione następujące warunki: (i) ρ(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = y; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) dla dowolnych x, y X (t.j. funkcja ρ jest symetryczna); (iii) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) dla dowolnych x, y, z X (t.j. ρ spełnia nierówność trójkąta ). Liczbę ρ(x, y) nazywamy odległością punktów x, y, a zbiór B(a, r) określony przez wzór B(a, r) := {x X ρ(x, a) r} dla danego a X i r > 0 - kulą o środku a i promieniu r w przestrzeni (X, ρ). Zbiór A X jest ograniczony jeżeli jest zawarty w pewnej kuli. 1.2. Twierdzenie. Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Wtedy (1) ρ(x, y) 0 dla dowolnych x, y X; (2) ρ spełnia nierówność wielokąta: dla każdego naturalnego k 2 i dowolnych x 1,..., x k X, ρ(x 1, x k ) Σ k 1 i=1 ρ(x i, x i+1 ). (1.1) k Dowód. (1): Niech x, y X. Na mocy warunków (iii), (i), ρ(x, y) + ρ(y, x) ρ(x, x) = 0, 3

a stąd na mocy symetrii (warunek (ii)), 2ρ(x, y) 0, więc ρ(x, y) 0. (2): Dowód indukcyjny. Dla k = 2 warunek (1.1) k jest nierównością trójkąta. Założmy, że k 3 i warunek ten jest spełniony dla k 1: ρ(x 1, x k 1 ) Σ k 2 i=1 ρ(x i, x i+1 ). Wtedy, na mocy (iii), ρ(x 1, x k ) ρ(x 1, x k 1 ) + ρ(x k 1, x k ), a stąd i z założenia indukcyjnego (1.1) k 1 otrzymujemy (1.1) k. Dany zbiór X można na ogół zmetryzować na różne sposoby, t.zn. określić dla niego wiele różnych metryk. 1.3. Definicja. Dla dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ρ) i niepustego podzbioru X 0 zbioru X, funkcja ρ X 0 jest oczywiście metryką w zbiorze X 0. Zwykło się oznaczać ją też symbolem ρ. Parę (X 0, ρ) nazywa się podprzestrzenią metryczną przestrzeni (X, ρ). Przykład 1. Metryka dyskretna Dla danego zbioru X, określamy funkcję ρ : X X przez wzór ρ(x, y) := { 0 jeżeli x = y 1 jeżeli x y Jest ona metryką, t.zw. metryką dyskretną. Dowolna kula w tej przestrzeni jest całym zbiorem X. Przykład 2. Metryka kartezjańska a) Niech X będzie zbiorem liczb rzeczywistych ( prosta liczbową ): X = R. Wzór ρ(x, y) := x y określa odległość, która jest długością odcinka o końcach x, y. Przykład a) jest szczególnym przypadkiem (dla n = 1) następującego: 4

b) Niech X = R n. Dla dowolnych punktów x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) zbioru X wzór ρ(x, y) := Σ n i=1(x i y i ) 2 określa odległość kartezjańską, a przestrzeń metryczna (R n, ρ) jest przestrzenią kartezjańską n-wymiarową. Zajmiemy się teraz innymi metrykami w zbiorze R n. Ograniczymy nasze przykłady do przypadku płaszczyzny, t.j. n = 2. Uogólnienie (niektórych z nich) na R n dla dowolnego naturalnego n nie jest trudne, podobnie jak dowód, że są to metryki. Przykład 3. Metryka miejska, ρ (ang. taxi metric - widać niektórzy wolą jeździć taksówką, niż chodzić pieszo...) Niech X = R 2. Dla dowolnych punktów x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), ρ(x, y) := x 1 y 1 + x 2 y 2. Kulą o środku a i promieniu r na płaszczyźnie z metryką miejską jest kwadrat, którego wierzchołkami są punkty jednostkowe e 1, e 1, e 2, e 2 na odpowiednich osiach X 1, X 2 układu współrzędnych (rys.3). Przykład 4. Metryka maximum, ρ max Dla dowolnych x = (x 1, y 1 ), y = (y 1, y 2 ), ρ max (x, y) := max{ x 1 y 1, x 2 y 2 }. Kulą o środku a = (a 1, a 2 ) i promieniu r w przestrzeni (R 2, ρ max ) jest kwadrat o wierzchołkach (rys.4). (a 1 + r, a 2 + r), (a 1 r, a 2 + r), (a 1 r, a 2 r), a 1 + r, a 2 r) Przykład 5. Metryka kolejowa, ρ o Intuicyjnie, jeżeli mamy węzeł kolejowy o i możemy poruszać się tylko po torach (prostoliniowych) przechodzących przez o, praktyczna odległość między dwoma punktami odpowiada właśnie metryce kolejowej określonej jak następuje. Niech ρ będzie metryką kartezjańską w R 2 ; 5

{ ρ(x, y) jeżeli x, y, o są współliniowe ρ o (x, y) := ρ(x, o) + ρ(o, y) jeżeli x, y, o są niewspółliniowe Kula o środku a i promieniu r w przestrzeni (R 2, ρ o ) wygląda inaczej w przypadku gdy r > ρ o (a, o) niż w przypadku gdy r ρ o (a, o) (rys.5). Jeżeli r > ρ(a, o), to kula ta składa się z kuli (w metryce kartezjańskiej ρ) o promieniu r ρ(a, o) i odcinka (por. [?]); jeżeli zaś r ρ(a, o), to kula o środku a i promieniu r w metryce kolejowej jest odcinkiem o środku a i długości 2r na prostej przechodzącej przez o i a. Przykład 6. Przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku [a, b] Niech a, b R, a b. Rozważamy zbiór X funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych, określonych na odcinku [a, b]. W zbiorze X określamy metrykę ρ: dla dowolnych f, g : [a, b] R (rys. 6). ρ(f, g) := sup{ f(t) g(t) t [a, b]} Przykład 7. Odłegłość Hamminga słów kodowych Słowo kodowe binarne o długości n jest to dowolny ciąg (x i ) 1=1,...,n {0, 1} n, t.zn. x i {0, 1} dla i = 1,..., n. Dla dowolnych słów kodowych x = (x 1,..., x n ) i y = (y 1,..., y n ), odległość Hamminga ρ Ham (x, y) jest to liczba wyrazów ciągu (x 1,..., x n ), dla których x i y i. Algorytm poprawiania błędów: Ustalamy pewien zbiór C słów kodowych. Dekoder odbiera i analizuje słowo kodowe x, znajduje najbliższe w sensie odległości Hamminga słowo kodowe x w zbiorze C i przyjmuje ciąg x za otrzymaną wiadomość. Twierdzenie. Dekoder C może poprawić do k błędów wtedy i tylko wtedy gdy min x,y C {ρ Ham(x, y) x y} {2k + 1, 2k + 2}. (Por. [11], Tw. 1.2.13) 6

Dowód. =: Załóżmy, że min x,y C {ρ Ham (x, y) {2k + 1, 2k + 2}. Wówczas dla dowolnych różnych x, y C kule B(x, k), B(y, k) są rozłączne, t.zn. dowolny wektor, który ma nie więcej niż k błędów, trafi do pewnej kuli B(x, k) i zostanie odkodowany jednoznacznie. = : Dekoder może poprawić k błędów, więc kule o promieniu k są parami rozłączne, zatem z nierówności trójkąta wynika, że odległość ich środków, ρ Ham (x, y), jest większa od 2k. Dekoder nie może poprawić więcej błędów, więc istnieją dwie kule o promieniu k + 1, które nie są rozłączne. Niech x 0, y 0 będą środkami tych kul; wtedy ρ Ham (x 0, y 0 ) 2k + 2. Zatem ρ Ham (x 0, y 0 ) = 2k + i dla i {1, 2}, przy czym oba przypadki są możliwe. 2. WIĘCEJ O PRZESTRZENIACH METRYCZNYCH W każdej przestrzeni metrycznej można wprowadzić pojęcie granicy ciągu punktów. 2.1. Definicja. Niech (x n ) n N będzie ciągiem punktów przestrzeni metrycznej (X, ρ) i niech x 0 X. x 0 = lim n x 0 : lim n ρ(x n, x 0 ) = 0. Łatwo zauważyć, że każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę. Dla dowolnych dwóch przestrzeni metrycznych (X, ρ X ) i (Y, ρ Y ) definiujemy ciągłość funkcji f : X Y : 2.2. Definicja. a) Funkcja f : X Y jest ciągła w punkcie x 0 (ze względu na ρ X, ρ Y ) wtedy i tylko wtedy gdy lim x n = x 0 = lim n n f(x n ) = f(x 0 ). b) Funkcja f : X Y jest ciągła jeżeli jest ciągła w każdym punkcie. Wśród podzbiorów danej przestrzeni metrycznej (X, ρ) wyróżnia się zbiory domknięte i zbiory otwarte: 7

2.3. Definicja. (a) Zbiór A jest domknięty w (X, ρ) wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu punktów (x n ) n N w X lim x n = x 0 = x 0 A. n (b) Zbiór A jest otwarty w (X, ρ) wtedy i tylko wtedy gdy jego dopełnienie, X \ A, jest domknięte. Oczywiście zbiór A w przestrzeni (X, ρ) może nie być w niej ani otwarty ani domknięty; np. przedział (0; 1] nie jest na prostej kartezjańskiej (R, ρ) ani otwarty ani domknięty. Zauważmy też, że zbiór może być domknięty w jednej przestrzeni metrycznej a nie być domknięty w drugiej; np. przedział (0, 1] jest domknięty w przestrzeni {x R x > 0} z metryką kartezjańską, ale nie jest domknięty na całej prostej. 2.4. Przykład. Jeżeli funkcja f : X Y jest ciągła (względem danych metryk ρ X i ρ Y ), to dla dowolnego zbioru B domkniętego w Y, jego przeciwobraz f 1 (B) jest domknięty w X. Analogiczna implikacja zachodzi dla zbiorów otwartych. 2.5. Definicja. Zbiór A jest zwarty w (X, ρ) wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg (x n ) n N w A ma podciąg (x kn ) n N zbieżny do jakiegoś punktu zbioru A. 2.6. Uwaga. Każdy zbiór zwarty jest domknięty, ale nie na odwrót; np. dowolna prosta w przestrzeni kartezjańskiej R n jest zbiorem domkniętym, ale nie jest zbiorem zwartym, ponieważ ciąg jej punktów, dla których odległość sąsiednich jest 1, nie ma podciągu zbieżnego. Podamy bez dowodu następujące 2.7. Twierdzenie. W przestrzeni kartezjańskiej (dowolnego wymiaru n) każdy zbiór domknięty i ograniczony jest zwarty. Ćwiczenie. Sprawdzić które z danych podzbiorów prostej R z metryką kartezjańską są zwarte: Zbiór Q liczb wymiernych, 8

Q [0, 1], {1 + 1 n n N}, { 1} { 1 + 1 n n N} {1 1 n n N} {1} {1, 2,..., 10}. Zauważmy, że w myśl Definicji 1.4, pojęcie zwartości ma sens zarówno dla zbioru jak dla przestrzeni metrycznej. Ważną rolę w geometrii przestrzeni metrycznych i w jej zastosowaniach odgrywa pojęcie zupełności. Wprowadzenie tego pojęcia poprzedzimy definicją ciągu Cauchy ego. 2.8. Definicja. Ciąg (x n ) n N punktów przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest ciągiem Cauchy ego wtedy i tylko wtedy gdy dostatecznie dalekie wyrazy tego ciągu są dowolnie bliskie, t.zn. dla każdego ε > 0 istnieje taki wskaźnik n 0, że k, m n 0 = ρ(x k, x m ) < ε. 2.9. Definicja. Przestrzeń metryczna (X, ρ) jest zupełna wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg Cauchy ego w (X, ρ) jest w tej przestrzeni zbieżny. 2.10. Przykład. Przestrzeń kartezjańska (R n, ρ) dowolnego wymiaru n jest przestrzenią zupełną (patrz [8]) 2.11. Twierdzenie. Każda przestrzeń zwarta jest przestrzenią zupełną; ( patrz [8]). Widać stąd, że zwartość jest warunkiem mocniejszym niż zupełność, ponieważ przestrzeń zupełna nie musi być zwarta (por. Przykład 2.10 i Uwaga 2.6). Natomiast, podobnie jak dla zbiorów zwartych, każdy podzbiór domknięty przestrzeni zupełnej jest jej podprzestrzenią zupełną. Na zakończenie tego rozdziału, zdefiniujemy dwie relacje równoważności pomiędzy metrykami w danym zbiorze. 2.12. Definicja. Niech ρ 1 i ρ 2 będą metrykami w zbiorze X. 9

(a) ρ 1, ρ 2 są metrycznie równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją α, β > 0, takie że dla każdych x, y X αρ 2 (x, y) ρ 1 (x, y) βρ 2 (x, y). (b) ρ 1, ρ 2 są topologicznie równoważne wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu (x n ) w zbiorze X zbieżność tego ciągu w przestrzeni (X, ρ 1 ) jest równoważna jego zbieżności w (X, ρ 2 ). Łatwo zauważyć, że metryczna równoważność implikuje równoważność topologiczną, ale nie na odwrót. Ćwiczenie. Pokazać, że metryki kartezjańska, miejska i metryka maximum w R 2 są metrycznie równoważne, natomiast żadna z nich nie jest nawet topologicznie, a więc tym bardziej metrycznie równoważna metryce dyskretnej ani kolejowej. 3. KONTRAKCJE Zajmiemy się teraz przekształceniami zwężającymi, zwanymi inaczej kontrakcjami, które odgrywają ważną rolę dla przestrzeni metrycznych zupełnych (por. Twierdzenie Banacha poniżej). 3.1. Definicja. Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Funkcja f : X X jest kontrakcją przestrzeni (X, ρ) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje liczba c [0; 1), taka że x, y X ρ(f(x), f(y)) cρ(x, y). (3.1) Zauważmy, że warunku (3.1) nie można zastąpić następującym: x, y X ρ((f(x), f(y)) < ρ(x, y). (3.2) 3.2. Przykład. Niech (X, ρ) będzie podzbiorem prostej R z metryką euklidesową: X := {0} { 1 n n N}. Rozważmy funkcję f : X X określoną natępująco: 10

f(0) = 0, f( 1 n ) = 1 n + 1 Funkcja f spełnia warunek (3.2). Rzeczywiście, dla każdego n N. jeżeli x = 0 i y = 1, to ρ(f(x), f(y)) = ρ(f(0), f( 1 )) = ρ(0, 1 ) = n n n+1 1 < 1 = ρ(0, 1 ); n+1 n n jeżeli x = 1 m i y = 1 n, to ρ(f(x), f(y)) = 1 m+1 1 n+1 < 1 m 1 n. Zauważmy, że f nie spełnia warunku (3.2). Rzeczywiście, gdyby ten warunek był spełniony, to istniałaby stała c, taka że dla dowolnych różnych punktów x, y ρ(f(x), f(y)) c < 1. ρ(x, y) Ale dla x = 0, y n = 1 n otrzymujemy ρ(f(x), f(y n )) ρ(x, y n ) = ρ(0, 1 n+1 ) ρ(0, 1 n ) = n n + 1, więc lim n ρ(f(x),f(y n)) ρ(x,y n) = 1. Ćwiczenie. Pokazać, że dla dowolnej prostej L w R 2 z metryka euklidesową, rzutowanie prostopadłe π L na prostą L nie jest kontrakcją. Dla płaszczyzny kartezjańskiej łatwo wskazać cała klasę kontrakcji: 3.3. Przykład. Każda jednokładność f c : R 2 R 2 o współczynniku c (0; 1) jest kontrakcją. Przykład ten można łatwo uogólnić: 3.4. Przykład. Dla dowolnego n naturalnego, każda jednokładność f c : R n R n o współczynniku c (0; 1) jest kontrakcją. Wygodnie jest używać następujących oznaczeń: dla dowolnych punktów x = (x 1,..., x n ) i y = (y 1,..., y n ) w R n i liczby α, x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ); αx := (αx 1,..., αx n ). (3.3) 11

Mamy pokazać, że ρ(f c (x), f c (y)) cρ(x, y), a to jest równoważne nierówności: (f c (x) f c (y)) 2 c (x y) 2. (3.4) Ponieważ f c (x) = cx dla każdego punktu x R n, więc warunek (3.4) możemy zapisać w postaci (c(x y)) 2 c x y 2, a ponieważ c > 0, nierówność ta jest oczywiście spełniona, co więcej, jest równością. 3.5. Przykład. Jednokładność w przyrodzie. Położenie punktu x R 2 o współrzędnych kartezjańskich x 1, x 2 można również opisać przez współrzędne biegunowe r, φ: jeżeli x = (0, 0), to r = 0 a φ jest dowolne; jeżeli x (0, 0), to r := ρ(0, x) a φ jest miarą kąta zorientowanego między wektorem pierwszej osi a wektorem półprostej o początku 0 przechodzącej przez x (rys. 7 ). Zatem (x 1, x 2 ) = (r cos φ, r sin φ). Będziemy zakładać, że φ R, tj. φ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dla ustalonego a > 0, spirala logarytmiczna X a jest to zbiór opisany we współrzędnych biegunowych przez równanie r = e aφ dla φ R, (3.5) Podamy przykład jednokładności f c o skali c < 1, która daną spiralę X a przekształca na X a. Oczywiście, przy każdym kolejnym przejściu od φ do φ + 2π punkt x X a o współrzędnych biegunowych r, φ przejdzie na punkt o współrzędnych biegunowych r, φ + 2π, gdzie r = e a(φ+2π). Zauważmy, że Niech r r = eaφ e = 1 a(φ+2π) e. 2aπ c := r r = 1 e 2aπ. 12

Wtedy jednokładność f c przekształca X a na X a. Jak łatwo zauważyć, c (0, 1), a zatem f c jest kontrakcją. Co więcej, przy tej jednokładności każdy zwój spirali jest przekształcany na poprzedni (mniejszy) (patrz rys. 8 ) 3.6. Twierdzenie. Każda kontrakcja jest funkcją ciągłą. Dowód. Niech f : X X będzie kontrakcją przestrzeni (X, ρ). Mamy pokazać, że lim x n = x 0 = lim f(x n ) = f(x 0 ). n n Ponieważ 0 ρ(f(x n ), f(x 0 )) cρ(x n, x 0 ) 0, więc z twierdzenia o trzech ciagach ρ(f(x n ), f(x 0 )) 0, t.zn. lim n f(x n ) = f(x 0 ). 3.7. Definicja. Dla dowolnego niepustego zbioru X i funkcji f : X X ciąg funkcji (f (n) ) n N określony jest indukcyjnie: f (1) (x) := f(x), f (n) (x) := f(f (n 1) (x)). A więc jest to ciąg kolejnych iteracji funkcji f. 3.8. Uwaga. Dla dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ρ), jeżeli f : X X jest kontrakcją o stałej c [0; 1), to dla każdego n N funkcja f (n) jest kontrakcją o stałej c n. Oczywiście, dla n = 1 korzystamy z definicji kontrakcji. Jeżeli n 2 i f (n 1) jest kontrakcją o stałej c n 1, to (z Def. 3.8) ρ(f (n) (x), f (n) (y)) cρ(f (n 1) (x), f (n 1) (y)) c n ρ(x, y). Następujące ważne twierdzenie dotyczy dowolnej przestrzeni metrycznej zupełnej. 3.9. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Jeżeli f : X X jest kontrakcją, to (i) f ma dokładnie jeden punkt stały, x 0 ; (ii) dla dowolnego punktu x X i ciągu funkcji f (n) (por. Def. 3.8), punkt x 0 jest granicą ciągu (f (n) (x)) n N. Dowód. W myśl definicji kontrakcji (Def. 3.1), ρ(f(x), f(y)) cρ(x, y) dla pewnego c [0; 1). 13

Pokażemy, że dla dowolnego ustalonego x X ciąg (f (n) (x)) n N jest ciągiem Cauchy ego (por. Def. 2.9). Oczywiście możemy założyć, że n > m. Wtedy f (n) (x) = f (n m) (f (m) (x)), więc zgodnie z Uwagą 3.9 ρ(f (n) (x), f (m) (x)) = ρ(f (m) (f (n m) (x)), f (m) (x)) c m ρ(f (n m) (x), x). Korzystając z nierówności wielokąta (Tw. 1.2) i z Uwagi 3.9, otrzymujemy (dla k = n m) ρ(x, f (k) (x)) ρ(x, f(x))+ρ(f(x), f (2) (x))+...+ρ(f (k 1) (x), f (k) (x)) (1 + c +... + c k 1 )ρ(x, f(x)), a stąd i ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego, Zatem ρ(x, f (k) (x)) 1 ρ(x, f(x)). 1 c ρ(f (n) (x), f (m) (x)) c m ρ(f (k) (x), x) cm ρ(x, f(x)). 1 c Ponieważ c (0; 1) a punkt x jest ustalony, więc prawa strona ostatniej nierówności jest dowolnie mała dla dostatecznie dużych m, a zatem jest mniejsza od dowolnego ε(x). Stąd wynika, że lewa strona jest też mniejsza od ε(x); a więc ciąg (f (n) (x)) n N) jest ciągiem Cauchy ego. Ponieważ przestrzeń (X, ρ) jest zupełna, więc ciąg ten jest zbieżny do pewnego punktu x 0 X: lim f (n) (x) = x 0. n Zauważmy, że x 0 jest punktem stałym funkcji f. Rzeczywiście, ponieważ każda kontrakcja jest ciągła, więc f(x 0 ) = f( lim n f (n) (x)) = lim n f(f (n) (x)) = lim n f (n+1) (x). Ale ciągi (f (n+1) (x)) n N i (f (n) (x)) n N różnią się tylko pierwszym wyrazem, więc mają równe granice; zatem f(x 0 ) = x 0. 14

Punkt x 0 jest jedynym punktem stałym kontrakcji f (warunek (i)). Rzeczywiście, jeżeli x 1 jest też punktem stałym kontrakcji f, to f(x i ) = x i dla i = 0, 1, więc ρ(x 0, x 1 ) = ρ(f(x 0 ), f(x 1 )) cρ(x 0, x 1 ), więc ρ(x 0, x 1 ) = 0, a zatem x 0 = x 1. Zatem x 0 jest granicą ciągu ((f(n)(x)) n N dla dowolnego x (warunek (ii)). Twierdzenie Banacha o punkcie stałym ma różne zastosowania, w szczególności pozwala numerycznie rozwiązywać równania postaci f(x) = x. 4. METRYKA HAUSDORFFA Rozważmy dowolną przestrzeń metryczną (X, ρ). Dla dowolnego niepustego podzbioru A X i punktu x X definiuje się odległość punktu x od zbioru A: ρ(x, A) := inf{ρ(x, a) a A} i ε-otoczkę zbioru A dla ε > 0, zwaną również kulą uogólnioną o promieniu ε wokół A: (A) ε := {x X ρ(x, A) ε}. Nie trudno pokazać, że (A) ε = a A B(a, ε), gdzie B(a, ε) jest kulą o środku a i promieniu ε, t.zn. B(a, ε) = {x X ρ(x, a) ε}. 4.1. Definicja. Dla zwartych, niepustych zbiorów A, B X, ρ H (A, B) := inf{ε > 0 A (B) ε i B (A) ε }. 15

4.2. Twierdzenie. Funkcja ρ H jest metryką w zbiorze C(X) wszystkich niepustych zwartych podzbiorów przestrzeni (X, ρ). Dowód. Sprawdzamy warunki (i)-(iii) Definicji 1.1. Wprost z Definicji 4.1 otrzymujemy warunek ρ H (A, A) = 0, bo zbiór A jest oczywiście zawarty w każdej swojej ε-otoczce. Z kolei, jeżeli ρ H (A, B) = 0, to A (B) ε dla każdego ε > 0, więc ρ(x, B) ε dla każdego x A i ε > 0. Zatem do dowolnej kuli B(x, ε) o promieniu ε = 1 n należy pewien punkt y n zbioru B; a więc ρ(x, y n ) 1 n, a stąd x = lim n y n. Z domkniętości zbioru B wynika że x B. Zatem A B. Dowód inkluzji B A jest analogiczny. To kończy dowód warunku (i). Warunek (ii) wynika z tego, że definicja funkcji ρ H jest symetryczna ze względu na A, B. Udowodnimy nierówność trójkąta (warunek (iii)). Niech α := ρ H (A, B) i β := ρ H (B, C). Wtedy oraz Wynika stąd, że a więc A (B) α i B (A) α, B (C) β i C (B) β. A (C) α+β i C (A) α+β ; ρ H (A, C) α + β = ρ H (A, B) + ρ H (B, C). Zatem ρ H jest metryką. 4.3. Twierdzenie. Dla dowolnych A, B C(X), ρ H (A, B) = max{sup a A ρ(a, B), sup ρ(b, A)}. b B Dowód. Wygodnie będzie skorzystać z następującej własności kresu dolnego inf, którą zilustrujemy na rysunku, rezygnując z formalnego dowodu (rys. 9). 16

Jeżeli S 1, S 2 są przedziałami liczbowymi o niepustym przecięciu, to inf(s 1 S 2 ) = max{inf S 1, inf S 2 }. (4.1) Udowodnimy najpierw równość sup ρ(a, B) = inf{ε > 0 A (B) ε }. (4.2) a A Oznaczmy lewą stronę wzoru (4.2) przez α, a prawą przez β. Oczywiście ρ(a, B) α dla każdego a A, więc A (B) α, a zatem α β. Przypuśćmy, że ta nierówność jest ostra, t.j. α > β; wtedy istnieje ε (0; α), dla którego A (B) ε, więc sup a A ρ(a, B) ε < α, t.j α < α. Zatem przypuszczenie, że α > β doprowadziło nas do sprzeczności; więc α β. Udowodniliśmy więc, że α = β, a to jest (4.2). Analogicznie, zamieniając A i B we wzorze (4.2), otrzymujemy sup ρ(b, A) = inf{ε > 0 B (A) ε } (4.2 ) b B Zatem większa z lewych stron wzorów (4.2) i (4.2 ) równa jest większej z ich prawych stron. Oznaczmy te prawe strony przez ε 0 i ε 0 odpowiednio. Mamy więc równość max{sup a A ρ(a, B), sup ρ(b, A)} = max{ε 0, ε 0}. b B Na mocy warunku (4.2), to kończy dowód. 4.4. Przykład. Niech T będzie trójkątem równobocznym wpisanym w koło K o promieniu 1. Obliczymy ρ H (T, K). Ponieważ T K, więc ρ(x, K) = 0 dla każdego x T. Zatem sup ρ(x, K) = 0. x T Niech x K; oczywiście ρ(x, T ) = 0 dla x T, a dla x K \ T jest to odległość rzutu punktu x na najbliższy bok trójkąta T. Zatem sup ρ(x, T ) = 1 1 3 3 x K 3 2 = 1 6 > 0. 17

Wobec tego, w myśl Twierdzenia 4.3, ρ H (T, K) = 1 3 6. Ćwiczenie. Dla i = 1, 2, niech B i będzie kulą w przestrzeni R 3, o środku a i i promieniu r i, zaś S i - odpowiednią sferą (brzegiem kuli B i ). Obliczyć ρ H (B 1, B 2 ), ρ H (S 1, S 2 ) i ρ H (B 1, S 2 ). Na koniec tego rozdziału podamy bez dowodu ważne twierdzenie: 4.5. Twierdzenie. Niech C n będzie rodziną zwartych niepustych podzbiorów przestrzeni R n z metryką kartezjańską. Wtedy (C n, ρ H ) jest przestrzenią zupełną. Ogólniej, 4.6. Twierdzenie. Niech C(X) będzie rodziną zwartych niepustych podzbiorów przestrzeni metrycznej (X, ρ). Jeżeli przestrzeń (X, ρ) jest zupełna, to również (C(X), ρ H ) jest przestrzenią zupełną. 18

5. OPERATOR HUTCHINSONA Rozważmy skończoną rodzinę kontrakcji {ψ 1,..., ψ m } przestrzeni metrycznej (X, ρ). Definiujemy przekształcenie Ψ : C(X) C(X), zwane operatorem Hutchinsona: dla A C(X) m Ψ(A) := ψ i (A). (5.1) i=1 5.1. Twierdzenie. Funkcja Ψ jest kontrakcją przestrzeni (C(X), ρ H ). Dowód. Niech c i [0; 1) będzie stałą kontrakcji ψ i dla i = 1,..., m. Możemy założyć, że jest to najmniejsza taka stała, tzn. stała Lipschitza tej kontrakcji, c i = Lip(ψ i ). Niech A, B C(X) i ρ H (A, B) = ε. Zatem więc dla każdego i Niech A (B) ε i B (A) ε, ψ i (A) ψ i ((B) ε ) i ψ i (B) ψ i ((A) ε ). c := max{c 1,..., c m }. Zauważmy, że jeżeli x (B) ε, to ψ i (x) (ψ i (B)) cε ; więc ψ i (B ε ) (ψ i (B)) cε. Analogicznie, ψ i (A ε ) (ψ i (A)) cε. Ponieważ ε-otoczka sumy skończonej liczby zbiorów jest równa odpowiedniej sumie ε-otoczek tych zbiorów (por. Ćwiczenie...), więc korzystając z definicji funkcji Ψ ((5.1)), otrzymujemy stąd Zatem Ψ(A) (Ψ(B)) cε i Ψ(B) (Ψ(A)) cε. ρ H (Ψ(A), Ψ(B)) cε = cρ H (A, B), 19

co kończy dowód. Niech X = R n, i niech ρ będzie metryką kartezjańską. Jako wniosek z Twierdzeń 4.6, 5.1 i Twierdzenia Banacha o punkcie stałym (Tw. 3.9) otrzymujemy następujące ważne twierdzenie: 5.2. Twierdzenie Hutchinsona. Funkcja Ψ : C n C n ma dokładnie jeden punkt stały, tj. taki zwarty podzbiór E przestrzeni R n, dla którego Ψ(E) = E. Co więcej, dla dowolnego A C n, zbiór E jest granicą Hausdorffa ciągu (Ψ (k) ) k N (A) obrazów zbioru A przy kolejnych iteracjach funkcji Ψ (por. Def. 3.7). Zbiór E jest nazywany zbiorem niezmienniczym rodziny kontrakcji {ψ 1,..., ψ m }. Oczywiście m E = ψ i (E). i=1 W szczególności, jeżeli kontrakcje ψ i są podobieństwami o skali c (0; 1), zbiór E jest samopodobny: jest sumą mnogościową swoich podobnych kopii ψ i (E) dla i = 1,..., m. Zilustrujemy teraz Twierdzenie Hutchinsona na przykładach znanych od dawna zbiorów samopodobnych: tzw. trójkąta Sierpińskiego i krzywej Kocha. 5.3. Przykład: Trójkąt Sierpińskiego. Trójkąt Sierpińskiego jest znacznie starszy (początek 20w.) niż Twierdzenie Hutchinsona (koniec 20w). Wcześniej był opisywany jako przecięcie coraz bardziej dziurawych trójkątów (z trójkąta równobocznego usuwamy wnętrze podobnego do niego dwa razy mniejszego trójkąta, dalej robimy to samo z każdym z pozostałych trzech, itd. - rys. ) Postąpimy teraz trochę inaczej. Określimy trzy kontrakcje płaszczyzny kartezjańskiej R 2. Będą to jednokładności ψ a, ψ b i ψ c względem wierzchołków a, b, c trójkąta równobocznego; załóżmy, że wszystkie trzy jednokładności mają skalę 1. Te kontrakcje wyznaczają operator Hutchinsona Ψ, który (zgodnie ze wzorem (5.1)) dla dowolnego niepustego zbioru zwartego A R 2 2, 20

przyjmuje wartość Ψ(A) := ψ a (A) ψ b (A) ψ c (A). Zgodnie z Twierdzeniem Hutchinsona (Tw. 5.2), ta funkcja Ψ wyznacza zbiór niezmienniczy E, który jest właśnie trójkątem Sierpińskiego. Co więcej, zbiór ten jest granicą Hausdorffa ciągu Ψ (k) (A) dla k-tych iteracji tej funkcji i dowolnego zbioru zwartego A na płaszczyźnie (patrz rys.). Warto zauważyć, że również dowolny zwykły trójkąt jest zbiorem samopodobnym, ponieważ jest sumą swoich czterech podobnych kopii o skali 1 2. Podobnie jest dla dowolnego równoległoboku (patrz rys. ). 5.4. Przykład: Krzywa Kocha. Umówmy się, że odcinek o końcach a, b będziemy oznaczać symbolem (a, b) (przez analogię z trójkątem). Niech teraz I = (a, b), gdzie a = ( 3, 0) i b = (3, 0). Nietrudno znaleźć podobieństwa ψ 1, ψ 2, ψ 3, ψ 4 o skali 1, takie że 3 ψ 1 (I) = (a, ( 1, 0)), ψ 2 (I) = (( 1, 0), (0, 3)), ψ 3 (I) = ((0, 3), (1, 0)), ψ 4 (I) = ((1, 0), b). Określamy Ψ(I) = 4 i=1 ψ i (I). Zbiór ten jest łamaną złożoną z czterech odcinków o długości 2. Iterując to postępowanie dla każdego z otrzymanych czterech odcinków, tj., mówiąc ściślej, iterując Ψ, otrzymujemy ciąg łamanych zbieżny (w myśl Twierdzenia Hutchinsona) do zbioru niezmienniczego K operatora Ψ. Jest to tzw. krzywa Kocha (rys.). Krzywa Kocha, mimo że jest zbiorem ograniczonym, ma długość nieskoń czoną: K = lim n ( 4 3 )n =. Jest ona sumą swoich czterech podobnych kopii (skala tych podobieństw jest 1 3 ). Sklejając końcami trzy egzemplarze krzywej Kocha otrzymuje się zbiór zwany płatkiem śniegu. Jest to krzywa zamknięta o nieskończonej długości, będąca brzegiem ograniczonego obszaru (rys.). Ćwiczenie. Pokazać, że dla dowolnych niepustych podzbiorów A 1,..., A m dowolnej przestrzeni metrycznej i dowolnego ε > 0 21

m m (A i ) ε = ( A i ) ε. i=1 i=1 6. KODOWANIE ZBIORÓW NIEZMIENNICZYCH Przykłady 5.3 i 5.4 dotyczyły kontrakcji, które są podobieństwami, tj. zmieniają odległość w stałym stosunku. Zastanówmy się teraz nad ogólniejszą klasą przekształceń, mianowicie nad przekształceniami afinicznymi. Funkcja f : R 2 R 2 jest przekształceniem afinicznym jeżeli dowolny punkt x = (x 1, x 2 ) przechodzi na punkt f(x) = (y 1, y 2 ), gdzie współrzędne y 1, y 2 mają następującą postać: y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + b 1, y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + b 2. Współczynniki a i,j tworzą macierz kwadratową, w której i jest numerem wiersza, a j - numerem kolumny. Wzory te można zapisać jak następuje: [ ] y1 y 2 [ ] a11 a = 12 a 21 a 22 [ ] x1 x 2 + [ b1 b 2 ]. Każde przekształcenie afiniczne f jest złożeniem przekształcenia liniowego f i przesunięcia. Przy powyższych oznaczeniach, to przekształcenie liniowe ma postać f(x) = (a 11 x 1 +a 12 x 2, a 21 x 1 +a 22 x 2 ), a wektorem przesunięcia jest (b 1, b 2 ) = f(0). Analogicznie definiuje się przekształcenia afiniczne przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej dla dowolnego n 2. Takie przekształcenie f : R n R n jest również złożeniem przekształcenia liniowego f i przesunięcia o wektor f(0) = (b 1,...b n ). Niech A = [a ij ] 1 i,j n będzie macierzą przekształcenia f w bazie wektorów jednostkowych ortogonalnych e 1,..., e n. Wtedy dla dowolnego x = (x 1,..., x n ) i f(x) = (y 1,..., y n ) y 1 y n = a 11 a 1n a n1 a nn czyli y i = Σ n j=1a ij x i + b i dla i = 1,..., n. 22 x 1 x n + b 1 b n

Ćwiczenie. (a) Pokazać, że przekształcenie afiniczne płaszczyzny jest jednoznacznie wyznaczone przez dowolne trzy punkty niewspółliniowe i ich obrazy. (b) Zauważyć, że fakt ten uogólnia się na przestrzeń R n dla dowolnego n 2. Przekształcenie afiniczne jest nieosobliwe jeśli macierz jego części liniowej jest nieosobliwa, tzn. ma wyznacznik różny od zera. Takie przekształcenie jest wzajemnie jednoznaczne, a więc istnieje dla niego przekształcenie odwrotne. Jest ono również afiniczne. Podamy przykład przekształcenia afinicznego, które jest osobliwe: 6.1. Przykład. Niech f : R 2 R 2 będzie rzutowaniem ortogonalnym na pierwszą oś: f(x 1, x 2 ) = (x 1, 0). Jest to przekształcenie liniowe (wektor przesunięcia jest zerowy) o macierzy [ ] 1 0, której wyznacznik jest równy zero. Zatem przekształcenie f jest osobliwe. 0 0 6.2. Uwaga. Pokażemy, że jeżeli f : R 2 R 2 jest przekształceniem afinicznym nieosobliwym, a więc wyznacznik det( f) jego części liniowej f jest różny od zera, to dla kwadratu K 0 rozpiętego na wektorach bazowych e 1 = (1, 0) i e 2 = (0, 1) zbiór f(k 0 ) ma pole P (f(k 0 )) = det( f) P (K 0 ) = det f. Rzeczywiście, jeżeli f [ ] a11 a ma macierz 12, to a 21 a 22 [ ] [ ] a11 a f(e 1 ) = 12 1 = a 21 a 22 0 i podobnie [ ] [ ] a11 a f(e 2 ) = 12 0 = a 21 a 22 1 [ ] a11 a 21 [ a12 a więc f przekształca kwadrat K 0 na równoległobok rozpięty na wektorach (a 11, a 21 ) i (a 12, a 22 ). a 22 ], 23

Przypomnijmy, że pole równoległoboku rozpiętego na wektorach (a 11, a 21 ) [ ] a11 a i (a 12, a 22 ) jest równe wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy 12. a 21 a 22 Zatem P (f(k 0 )) = det( f). Ponieważ pole zbioru definiuje się przybliżając ten zbiór kwadratami (por. definicja 2-wymiarowej miary Lebesgue a, [?]), więc dla dowolnego podzbioru A płaszczyzny R 2, dla którego pole jest określone, zachodzi wzór P (f(a)) = det( f) P (A). Ponieważ Twierdzenie Hutchinsona (Tw. 5.2) dotyczy dowolnych kontrakcji, więc w szczególności dotyczy takich, które są przekształceniami afinicznymi. Ich zbiory niezmiennicze nazywamy samoafinicznymi. Oczywiście, każdy zbiór samopodobny jest samoafiniczny ale nie na odwrót. Macierz M(E) kodująca dany zbiór E w R 2 niezmienniczy za względu na operator Ψ ma tyle wierszy, ile jest kontrakcji afinicznych, które ten zbiór wyznaczają (por. wzór (5.1)): w i-tym wierszu są współczynniki i-tej kontrakcji. Wiersze numerujemy górnymi wskaźnikami. Ma ona następującą postać: M(E) := a 1 11 a 1 12 a 1 21 a 1 22 b 1 1 b 1 2 a m 11 a m 12 a m 21 a m 22 b m 1 b m 2 Zilustrujemy to na przykładzie trójkąta Sierpińskiego, T. Trójkąt Sierpińskiego (por. 5.3) jest zbiorem niezmienniczym wyznaczonym przez trzy podobieństwa ψ a, ψ b, ψ c o skali 1 : dla każdego x R2 2 ψ a (x) = a + 1(x a) = 1x + 1a, 2 2 2 ψ b (x) = b + 1(x b) = 1x + 1b, 2 2 2 ψ c (x) = c + 1(x c) = 1x + 1c. 2 2 2 A więc macierz kodująca zbiór T ma postać 24

1 1 1 0 0 a 2 2 2 1 1 1 1 M(T ) = 0 0 b 2 2 2 1 1 1 1 0 0 c 2 2 2 1 gdzie a = (a 1, a 2 ), b = (b 1, b 2 ), c = (c 1, c 2 ). 1 a 2 2 1 b 2 2, 1 c 2 2 Ćwiczenie. Znaleźć macierz kodującą dla krzywej Kocha (por. 5.4). Opisany wyżej sposób znajdowania (rysowania) zbiorów niezmienniczych jest to algorytm deterministyczny: dla dowolnego zbioru zwartego A i kontrakcji ψ 1,..., ψ m rozważamy operator Hutchinsona Ψ: m Ψ(A) := ψ i (A), i=1 dla którego ciąg kolejnych iteracji jest zbieżny w sensie Hausdorffa do zbioru niezmienniczego. Natomiast następujący sposób rysowania zbiorów niezmienniczych jest algorytmem probabilistycznym: Tworzy się następujący ciąg punktów (x i ) i N : niech x 0 będzie dowolnym punktem zbioru niezmienniczego. Dla i 1 losujemy przekształcenie ψ i spośród {ψ 1,..., ψ m } i rysujemy punkt ψ i (x m 1 ). Ten ciąg punktów x 0, x 1,... coraz gęściej wypełnia zbiór niezmienniczy. Zauważmy, że jeżeli skala zmniejszania kopii nie jest stała, to zbiór większy będzie rzadziej wypełniony punktami. Aby tego uniknąć, stosuje się losowanie punktów z odpowiednimi wagami, proporcjonalnymi do det ψ i (gdzie ψ i jest częścią liniową przekształcenia ψ i ). Zaletą kodowania zbioru niezmienniczego ze względu na daną rodzinę kontrakcji jest możliwość odtworzenia tego zbioru na podstawie znajomości tych kontrakcji. W przypadku przekształceń afinicznych oznacza to, że aby odtworzyć zbiór wystarczy zapamiętać elementy macierzy tych kontrakcji. Pokażemy, że metodę tę można zastosować z pewnym przybliżeniem do dowolnych podzbiorów zwartych przestrzeni R n. 25

7. KODOWANIE PODZBIORÓW PRZESTRZENI R n Udowodnimy, że każdy niepusty zwarty podzbiór przestrzeni R n można dowolnie przybliżać przez zbiory samopodobne (Wniosek 7.2). 7.1. Twierdzenie. Niech ψ 1,...ψ m będą kontrakcjami przestrzeni R n o stałych c i < 1 i zbiorze niezmienniczym E. Wtedy dla dowolnego A C n i c := max{c 1,..., c m } ρ H (A, E) ρ H (A, Ψ(A)) gdzie Ψ(A) = m i=1 ψ i (A) (por (5.1)). 1 1 c, (7.1) Dowód. Na mocy nierówności trójkąta dla metryki Hausdorffa i niezmienniczości zbioru E, ρ H (A, E) ρ H (A, Ψ(A)) + ρ H (Ψ(A), E) = ρ H (A, Ψ(A)) + ρ H (Ψ(A), Ψ(E)) ρ H (A, Ψ(A)) + cρ H (A, E). Zatem (1 c)ρ H (A, E) ρ H (A, Ψ(A)), a ta nierówność jest równoważna warunkowi (7.1). 7.2. Wniosek. Dla dowolnego A C n i dowolnego ε > 0 istnieje rodzina podobieństw zwężających, ψ 1,..., ψ m, której zbiór niezmienniczy E spełnia warunek ρ H (A, E) < ε. Dowód. Niech B 1,..., B m będą kulami o środkach w zbiorze A i promieniach nie większych niż ε, takimi że 4 m A B i. i=1 Wtedy m i=1 B i (A) ε 4 (7.2) 26

(por. Ćwiczenie...) Dla każdego i = 1,..., m, niech ψ i będzie podobieństwem o skali mniejszej niż 1 2, spełniającym warunek ψ i(a) B i. Wtedy więc Zatem Ψ(A) ψ i (A) B i (ψ i (A)) 1 2 ε dla i = 1,..., m, m i=1 B i (A) ε 4 i m A (ψ i (A)) ε = (Ψ(A)) ε 2 i=1 ρ H (A, Ψ(A)) ε 2. Stąd i z Twierdzenia 7.1 wynika, że ρ H (A, E) 1 ε. Ponieważ, z 1 c 2 założenia, c < 1, więc ρ 2 H(A, E) < ε. Ćwiczenie. Pokazać, że jeżeli zbiór A C n jest zawarty w sumie kul B 1,...B m o środkach w A i promieniach nie większych od pewnego δ, to każda z tych kul (a więc również ich suma) zawiera się w δ-otoczce zbioru A. 2. 8. KOMPRESJA I DEKOMPRESJA OBRAZU Metodę przedstawioną w Rozdziale 7 można zastosować do obrazów (dzieł malarskich), kodując w przybliżeniu dowolny obraz A na płaszczyźnie za pomocą rodziny kontrakcji, {ψ 1,..., ψ m }: zbiór A jest równy w przybliżeniu zbiorowi niezmienniczemu E danej rodziny kontrakcji (por. Wniosek 7.2). Okazuje się, że ψ 1,...ψ m wystarczy określać na kawałkach zbioru A zamiast określać je na całym zbiorze A. Rzeczywiście, mając przekształcenie f : D f(d) A, gdzie D jest podzbiorem całego zbioru A, możemy rozszerzyć je do f : A R = f(d) przyjmując jedynie f (x) = f(x) dla x D i nie dbając o to jak określona jest wartość tego przekształcenia dla x A \ D (np. f (A \ D) może być rzutowaniem na brzeg zbioru R.) Szczegóły techniczne. 27

9. KRZYWE W PRZESTRZENI METRYCZNEJ W Rozdziale 2 wprowadziliśmy różne pojęcia (np. pojęcie ciągłości funkcji, domkniętości zbioru, zwartości zbioru i inne), które należą do topologii przestrzeni metrycznych. Rozszerzymy teraz zakres tych pojęć, żeby mieć narzędzia potrzebne do dalszych rozważań. 9.1. Definicja. Dla danych przestrzeni metrycznych (X, ρ X ) i (Y, ρ Y ), ciąg funkcji f k : X Y jest jednostajnie zbieżny do funkcji f : X Y wtedy i tylko wtedy gdy ε > 0 k 0 N k > k 0 x X ρ Y (f k (x), f(x)) < ε. 9.2. Uwaga. W przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku [a, b] z metryką sup (patrz R.2, Przykład 6), zbieżność ciągu elementów w sensie tej metryki jest właśnie zbieżnością jednostajną (dla X = [a, b] i Y = R ze zwykłą metryką). Będziemy korzystać z następującego twierdzenia, które podajemy bez dowodu (vide [8]): 9.3. Twierdzenie. Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Udowodnimy 9.4. Twierdzenie. Jeżeli ciąg (f k ) k N funkcji ciągłych z (X, ρ X ) do (Y, ρ Y ) jest jednostajnie zbieżny do f, to lim x k = x = lim f k (x k ) = f(x). k k Dowód. Niech lim k infty x k = x.ponieważ (na mocy Tw. 9.3) funkcja f jest ciągła, więc lim ρ Y (f(x k ), f(x)) = 0. Zatem ε > 0 k 0(ε) k > k 0(ε) ρ Y (f(x k ), f(x)) < ε 2. (9.1) Z kolei, na mocy jednostajnej zbieżności ciągu (f k ) k N, k 0 (ε) k > k 0(ε) x X ρ Y (f k (x ), f(x )) < ε 2. (9.2) 28

W szczegolnosci tak jest dla x = x k. Niech k 0 = max(k 0(ε), k 0(ε)). Na mocy (9.1), (9.2) i nierówności trójkata dla ρ Y, To kończy dowód. ρ Y (f k (x k ), f(x)) < ε dla k > k 0. Ważnym wzmocnieniem pojęcia funkcji ciągłej jest pojęcie homeomorfizmu: 9.5. Definicja. Dla przestrzeni metrycznych (X, ρ X ), (Y, ρ Y ), funkcja f : X Y jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy jest bijekcją (tzn. jest różnowartościowa i na tj. f(x) = Y ) i zarówno f jak jej funkcja odwrotna f 1 są ciągłe. 9.6. Uwaga. Pokazuje się, że funkcja f przekształcająca X na Y jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu zbieżnego (x k ) k N w X lim x k = x 0 lim f(x k ) = f(x 0 ). O homeomorfizmie można myśleć jako o przekształceniu, które nie skleja i nie rozrywa (rys.) 9.7. Twierdzenie. Jeżeli (X, ρ) jest przestrzenią zwartą, to każda ciągła bijekcja f : X Y jest homeomorfizmem. ([3]). Następujący przykład pokazuje, że założenie zwartości w Twierdzeniu 9.7 jest istotne. 9.8. Przykład. Niech X = [0, 2π) i niech Y będzie okręgiem o środku 0 i promieniu r = 1 w R 2. Funkcja f : X Y określona przez wzór f(t) = (cos t, sin t) jest ciągłą bijekcją, ale nie jest homeomorfizmem, bo funkcja odwrotna f 1 nie jest ciągła. Ważnym pojęciem geometrycznym (wykorzystywanym w zastosowaniach) jest pojęcie krzywej. Krzywymi na płaszczyźnie są np. okrąg, parabola, spirala logarytmiczna (patrz Przykład 3.5). 29

W 19 w. podjęto próby podania ścisłej definicji krzywej. Zgodnie z intuicją, wyobrażano sobie krzywą jako zbiór punktów, który można opisać ( sparametryzować ) za pomocą jednego parametru. Intuicji tej odpowiada podejście Camille Jordana, który zdefiniował krzywą jako ciągły obraz odcinka. Tymczasem w 1890 r. Giuseppe Peano podał przykład funkcji ciągłej przekształcającej przedział I = [0, 1] na kwadrat I 2 (tzw. krzywa Peano ). Zatem w sensie definicji Jordana kwadrat jest krzywą, co oczywiście jest sprzeczne z intuicyjnym rozumieniem pojęcia krzywej. 9.9. Konstrukcja krzywej Peano. Określamy ciąg f k : [0, 1] I 2 funkcji ciągłych, dla których zbiory f k ([0, 1]) coraz bardziej wypełniają kwadrat I 2 (patrz rys. ). Można pokazać, że ciąg ten jest jednostajnie zbieżny, a więc jego granica f : [0, 1] I 2 jest funkcją ciągłą (Tw. 9.3). Pozostaje pokazać, że f(i) = I 2 : Ponieważ zbiory f k (I) coraz bardziej wypełniają kwadrat I 2, więc dla każdego x I 2 istnieje ciąg (t k ) w I, dla którego x = lim k f k (t k ). Ponieważ odcinek I jest zwarty, możemy założyć, że ciąg (t k ) k N jest zbieżny do t 0 I. Z jednostajnej zbieżności ciągu (f k ) k N wynika na mocy Tw. 9.3(b), że lim f k (t k ) = f(t 0 ) = x, a więc I 2 = f(i). Inny przykład funkcji ciągłej przekształcającej odcinek na kwadrat podał Wacław Sierpiński (por, [8], str. 246). 9.10. Uwaga. Funkcja f zdefiniowana w konstrukcji krzywej Peano nie jest różnowartościowa. Rzeczywiście, gdyby była, wówczas byłaby homeomorfizmem na mocy Twierdzenia 9.7, ponieważ [0, 1] jest zbiorem zwartym. Wiadomo natomiast, że kwadrat I 2 nie jest homeomorficzny z odcinkiem, tzn. nie istnieje homeomorfizm przekształcajacy jeden z tych zbiorów na drugi. Jest to wniosek z nietrywialnych twierdzeń teorii wymiaru. 30

Ćwiczenie. Pokazać, że odcinek otwarty jest homeomorficzny zarówno z prostą jak i z półprostą otwartą. W tej sytuacji jasne jest, że na funkcję ciągłą (parametryzację), która ma przekształcać odcinek lub prostą na krzywą, trzeba nałożyć dodatkowe warunki. Zastanówmy się najpierw jak wyglądają krzywe, dla których istnieje parametryzacja będąca homeomorfizmem. Najprostsze przykłady są to parametryzacje wykresów funkcji ciągłych określonych na odcinku domkniętym. 9.11. Przykłady. (a) Niech L będzie wykresem funkcji f : [ 1, 1] R: A więc f(t) = t 2. L = {(x 1, x 2 ) R 2 x 2 = (x 1 ) 2, x 1 [ 1, 1]}. Jest to fragment paraboli. Najprostszą parametryzacją zbioru L jest funkcja p : [ 1; 1] L R 2 opisana przez wzór p(t) = (t, t 2 ). Ta funkcja jest homeomorfizmem, ponieważ jest ciągła (bo obie współrzędne są funkcjami ciągłymi), różnowartościowa (bo pierwsza wspólrzędna jest różnowartościowa), oraz [ 1; 1] jest zbiorem zwartym (por. Tw...). Zauważmy, że nie jest to jedyna parametryzacja zbioru L; np. funkcja p(t) = (t 3, t 6 ) dla t [ 1; 1] jest również homeomorfizmem odcinka [ 1; 1] na L (rys.). (b) Niech teraz L będzie wykresem funkcji f : [ 1; 1] R: f(t) = Funkcja p : [ 1; 1] R postaci p(t) = jest homeomorfizmem (por (a)). (Rys.) { t sin 1 t dla t 0 0 dla t = 0. { (t, t sin 1 t ) dla t 0 (0, 0) dla t = 0 Ogólnie, zbiór, który jest homeomorficznym obrazem odcinka domkniętego nazywamy łukiem. 31

Okrąg nie jest homeomorficzny z odcinkiem, więc oczywiście nie jest łukiem. Każdy zbiór homeomorficzny z okręgiem nazywamy krzywą zwykłą zamkniętą. Jest oczywiste, że dowolny okrąg na płaszczyźnie dzieli tę płaszczyznę na dwa obszary, z których jeden jest ograniczony a drugi nieograniczony. Czy tak samo jest dla dowolnej krzywej zwykłej zamkniętej? Odpowiedź na to pytanie daje Twierdzenie Jordana; dowód tego twierdzenia jest niebanalny i wymaga zaawansowanych metod topologii. Żeby sformułowac to twierdzenie, musimy wprowadzic pojęcie spójności zbioru i pojęcie obszaru. 9.12. Definicja. Podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest spójny jeżeli nie rozpada się na dwa rozłaczne kawałki. Mówiąc ściśle, A jest spójny wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieją takie niepuste rozłączne podzbiory A 1, A 2 domknięte w A, dla których A = A 1 A 2. (rys.) 9.13. Definicja. Podzbiór U przestrzeni R n jest obszarem wtedy i tylko wtedy gdy jest otwarty i spójny. 9. 14. Twierdzenie Jordana. Każda krzywa zwykła zamknięta L w R 2 rozcina płaszczyznę R 2 na dwa rozłączne obszary U 1, U 2, takie że R 2 = L U 1 U 2 i L jest wspólnym brzegiem zbiorów U 1 i U 2. Jeden z tych obszarów jest ograniczony ( wewnętrzny ) a drugi nieograniczony ( zewnętrzny ). Ćwiczenie (w.8 str. 2) Czy p leży w obszarze wewnętrznym? Łuki i krzywe zwykłe zamknięte nie wyczerpują jednak całego bogactwa zbiorów, które chciałoby się nazywać krzywymi (np. lemniskata, patrz rys. ) Ogólną definicję krzywej w przestrzeni metrycznej wygodnie jest sformułować używając pojęcia lokalnego homeomorfizmu odcinka (otwartego lub domkniętego), prostej, lub półprostej. 9.15. Definicja. Funkcja ciągła p : (a; b) L jest lokalnym homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x (a; b) istnieje δ > 0, taka że p [x δ, x + δ] jest funkcją różnowartościową. Zauważmy, że (w myśl Twierdzenia 9.7) z założenia, że funkcja ciągła jest różnowartościowa na przedziale [x δ, x+δ] wynika, że jest na tym przedziale 32

homeomorfizmem (a więc jest lokalnym homeomorfizmem ). 9.16. Definicja. Zbiór L w przestrzeni (X, ρ) jest krzywą wtedy i tylko wtedy gdy istnieje jego parametryzacja będąca lokalnym homeomorfizmem (rys...). 9.17. Uwaga. Rozważa się również parametryzacje określone na odcinku domkniętym [a; b]. Wtedy dla punktów końcowych a i b rozważa się przedziały [a; a + δ] i [b δ; b]. Ćwiczenie. Sprawdzić, czy krzywa L o parametryzacji p(t) = (t, t t 3 ) dla t [0; 1] jest identyczna ze zbiorem {(x 1, x 2 ) R 2 x 2 2 = x 1 (1 x 2 1)}. 10. KRZYWE GŁADKIE W R n Dodatkowe założenia dotyczące parametryzacji pozwalają używać narzędzi analizy matematycznej do badania krzywych. 10.1. Definicja. Niech parametryzacja p : (a; b) L krzywej L R n będzie lokalnym homeomorfizmem. Jest ona regularna wtedy i tylko wtedy gdy ma pochodną p ciągłą i niezerową w każdym punkcie przedziału (a; b). Ponieważ wartości funkcji p traktujemy jako wektory w przestrzeni R n, więc niezerowość tej funkcji w każdym punkcie t (a; b) znaczy, że t (a; b) p (t) 0, gdzie p (t) jest długością wektora p (t), a więc dla p(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), p (t) = (x 1(t)) 2 +... + (x n(t)) 2. (10.1) Wektor p (t) nazywamy wektorem stycznym do L w punkcie p(t). 10.2. Definicja. Krzywa L jest gładka wtedy i tylko wtedy gdy istnieje jej parametryzacja regularna. 10.3. Uwaga. Rozważa się również parametryzacje regularne określone na odcinku domkniętym. Wówczas dla punktów końcowych założenie różniczkowalności parametryzacji i ciągłości jej pochodnej zastępuje się założeniem jednostronnej różniczkowalności i jednostronnej ciągłości. 33

W przypadku krzywej zamkniętej zakładamy, że jej parametryzacja p określona jest na przedziale domkniętym [a, b] oraz p(a) = p(b) i p +(a) = p (b). 10.4. Przykład. Niech L będzie odcinkiem w R 2 : L = {(x 1, x 2 ) R 2 x 2 = x 1 i 1 < x 1 < 1}. Rozważmy dwie parametryzacje odcinka L: p 1 (t) = (t, t) dla 1 < t < 1 oraz p 2 (t) = (t 3, t 3 ) dla 1 < t < 1. Pierwsza z nich jest regularna, ponieważ p 1(t) = (1, 1) (0, 0) dla każdego t. Druga jest nieregularna, ponieważ p 2(t) = (3t 2, 3t 2 ), więc p 2(0) = (0, 0). 10.5. Przykład. Opiszemy teraz tzw. rozetę czterolistną ([7]). Zacznijmy od opisu intuicyjnego. Mamy dany odcinek (patyk) o długości 2 na płaszczyźnie. Jego końce a i b leżą na dwóch półosiach układu współrzędnych. Rozważamy trójkąt (o, a, b) o kącie prostym przy wierzchołku o. Niech x będzie punktem przecięcia odcinka (a, b) z prostą L prostopadłą do niego przechodzącą przez punkt o. Gdy końce odcinka zmieniają swoje położenie na półosiach, punkt x porusza się po krzywej gładkiej K zwanej (nie bez powodu, patrz rys. ) rozetą czterolistną. A więc rozeta czterolistna jest zbiorem punktów przecięcia półprostych o początku w o = (0, 0) z prostopadłymi do nich odcinkami o długości 2 i końcach na osiach układu współrzędnych. Niech t [0, 2π] będzie miarą kąta między wektorem dodatniej półosi x 1 (tj. wektorem o początku o i końcu (1, 0)) a wektorem o początku o i końcu w odpowiednim punkcie x (a, b). Parametryzacja krzywej K ma postać p(t) = (2 sin 2 t cos t, 2 cos 2 t sin t). Parametryzacja p jest regularna, ponieważ jest lokalnym homeomorfizmem (por. Ćwiczenie); ponadto p (t) (0, 0) dla każdego t. Ćwiczenie. Pokazać, że parametryzacja p rozety czterolistnej jest lokalnym homeomorfizmem. 34

10.6. Przykład. Punkt okręgu o promieniu c toczącego się (bez poślizgu) po prostej opisuje krzywą zwaną cykloidą (rys....). Jej parametryzacja p dana przez wzór p(t) = c(t sin t, (1 cos t) (gdzie c jest stałą dodatnią) jest nieregularna, ponieważ jej pochodna ma postać p (t) = c(1 cos t, sin t), więc dla przyjmuje wartość (0, 0) (tj. wektor p (t) ma długość zerową) dla parzystych wielokrotności π. W odróżnieniu od rozety czterolistnej, która jest krzywą ale tylko lokalnie homeomorficzną z odcinkiem otwartym, więc nie jest łukiem, cykloida jest nie tylko krzywą ale co więcej jest łukiem, ponieważ jest homeomorficzna z prostą (por Ćwiczenie). Z drugiej strony, rozeta czterolistna jest krzywą gładką (por. Przykład 10.5), podczas gdy cykloida nie jest gładka, ponieważ nie istnieje dla niej żadna regularna parametryzacja (geometrycznie - odpowiadają za to tzw. ostrza, którymi w przypadku cykloidy są jej punkty wspólne z osią x 1.) (Pamiętamy, że prosta jest homeomorficzna z dowolnym odcinkiem bez końców (por. Ćwiczenie w Rozdz. 9).) Założenie regularności parametryzacji daje nam narzędzia do badania takich pojęć jak kąt między krzywymi, długość łuku i inne. 10.7. Definicja. Rozważmy dwie krzywe L 1, L 2 w R n dla n 2, o parametryzacjach regularnych p i : [a i, b i ] L i dla i = 1, 2. Niech x 0 L 1 L 2, a więc istnieją takie liczby t 1 [a 1, b 1 ] i t 2 [a 2, b 2 ], dla których x 0 = p 1 (t 1 ) = p 2 (t 2 ). Kątem między krzywymi L 1, L 2 w ich punkcie przecięcia x 0 nazywamy kąt między ich wektorami stycznymi w tym punkcie, tj. między p 1(t 1 ) i p 2(t 2 ). Ćwiczenie. Dane są krzywe płaskie o równaniach (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 = 8x 1 i (x 2 ) 2 (2 x 1 ) = (x 1 ) 3. Znaleźć parametryzacje tych krzywych, ich punkty wspólne i kąty pod jakimi przecinają się w tych punktach. Wiadomo, że dla łuku gładkiego w R n ograniczonego (t.j zawartego w pewnej kuli) zbiór długości łamanych wpisanych w ten łuk ma kres górny. To pozwala zdefiniować długość L łuku L jako ten kres górny. Korzystając z własności całki dowodzi się, że jeżeli p : (a, b) L jest parametryzacją regularną łuku L, to 35