P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank 4. Zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank Model matematyczny dentyczny jak w zadanu optymalnej dety może równeż być użyty przy wyborze najtańszej meszank dowolnych weloskładnkowych substancj zwanych dalej komponentam (nekoneczne produktów spożywczych) spełnającej dolne ewentualne górne normy zawartośc składnków. Zadane optymalnej meszank może być równeż sformułowane w tak sposób, że normy zawartośc składnków w meszance są wyrażone ne w lczbach bezwzględnych, ale w loścach, które muszą być zawarte w jednej jednostce meszank (w szczególnośc w procentach). W takm przypadku celem optymalzacj jest mnmalzacja łącznego kosztu jednej jednostk meszank. Funkcja celu oznacza wtedy łączny koszt jednej jednostk meszank komponentów. Należy zaplanować, które komponenty w jakch loścach należy zakupć aby zmnmalzować łączny koszt jednej jednostk meszank tych komponentów, zapewnając przy tym, że zawartośc składnków w meszance będą take jak przewdują wymagana (dolne lub górne normy wyrażone jako lośc składnków przypadające na jedną jednostkę meszank). Ponadto, dla poprawnośc oblczeń lośc komponentów muszą sę sumować do jednej jednostk (np. do klograma), w której to jednostce są merzone zarówno komponenty jak ch meszanka. Parametry modelu to aj - zawartość -tego składnka na jednostkę j-tego komponentu (może być wyrażona procentowo) (=,...,m; j =,...,n) jeżel jest wyrażona w %, to lośc procentowe są lczbowo równe lośc dag składnka na kg komponentu (dag/kg) albo centyltrów składnka na ltr komponentu (cl/l, cl centyltr=0,0 ltra), oczywśce pod warunkem, że jednostkam, w których merzone są komponenty, są odpowedno klogramy/ltry b / d - mnmalne/maksymalne dopuszczalne zawartośc -tego składnka w meszance (=,...,m). Jeżel są one wyrażone w procentach, to są one lczbowo równe wymaganej lczbe dag czy cl przypadającej na kg/ltr meszank. c cena jednostkowa dla j-tego komponentu (j =,...,n), lczona np. w PLN/l, PLN/kg, PLN/m, PLN/t j tp. zamast PLN może być oczywśce dowolna nna waluta, ale dla wszystkch komponentów jednakowa. Zmennym decyzyjnym są lośc komponentów j - lość j-tego komponentu merzona np. w kg (po przemnożenu przez 00 zastąpenu jednostk, w której merzony jest komponent, procentam, lość ta jest równa udzałow procentowemu j-tego komponentu w meszance). Model matematyczny zadana to: c + c +... + c n n mn łączny koszt jedn. (np. kg, l, t) meszank przy ogranczenach rzeczywste zawart. składn. mnmalne wymagane zawart. w jednostce meszank składn. w jednostce meszank a + a +... + an n b am + am +... + amn n bm rzeczywste zawart. składn. maksymalne wymagane zawart. w jednostce meszank składn. w jednostce meszank a + a +... + an n d a + a +... + a d m m mn + +... + n = 0 n n m lośc komponentów muszą sę sumować do ( jednostk meszank), 0,..., 0 lośc komponentów ne mogą być ujemne.
P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank Uwaga. Jeżel dolna norma zawartośc składnka b (wyrażona w %) ne jest zdefnowana, należy przyjąć b = 0 (0%). Analogczne, jeżel górna norma zawartośc składnka d (wyrażona w %) ne jest zdefnowana, należy przyjąć d = 00 (00 %), poneważ zawartość żadnego składnka ne może być mnejsza nż 0% an wększa nż 00%. Twerdzene. Jeżel normy zawartośc składnka spełnają następujące warunk: b > ma a j j, to wtedy tak warunek powoduje sprzeczność zadana, a zatem brak rozwązana. d < mn a albo Zadane optymalna meszanka (mnmalzacja kosztu jednej jednostk meszank) Z trzech rodzajów stal należy stworzyć meszankę - stop o najnższym koszce jednostkowym (w tym przypadku koszce tony) o zadanym składze procentowym krzemu, manganu fosforu. Rodzaje stal S S S Ceny jedn. poszczególnych rodzajów stal (PLN/t) 0 85 0 Składnk Zawartośc % składnków Mn. zawartośc % składn. Maks. zawartośc % składn. Krzem (S),6,,7,,4 Mangan (Mn) 0,4 0,9 0,6 0,7 - Fosfor (P) 0,6 0, 0,6 0,4 0,5. Najperw rozwązać zadane bez warunku suma zmennych =.. Rozwązać zadane z warunkem suma zmennych =.. Rozwązać zadane z warunkem suma zmennych =, zmenając jednocześne mnmalną zawartość Mn na,%. Model matematyczny do zadana,, - lośc każdego z rodzajów stal (komponentów meszank) w tonach 0 + 85 + 0 mn (funkcja celu łączny koszt jednej tony - meszank docelowej stopu) przy ogranczenach rzeczywste zawart. składn w %. mn. zawart. składnków w %.,6 +, +,7, 0,4 + 0,9 0,6 + 0, 0,4 rzeczywste zawart. składn w %. maks. zawart. składnków w %.,6 +, +,7,4 0,4 + 0,9 0,6 + 0, + + = 0,7 00 0,5 - lość wszystkch rodzajów stal (czyl lość stopu- meszank docelowej ) ma wynosć łączne t 0, 0, 0 - lośc komponentów stopu ( rodzajów stal) ne mogą być ujemne ) Warunek dodany dla uproszczena wprowadzana danych do Solvera (szczegółowe wyjaśnene będze podane późnej). Warunek ten można zapsać tak jak powyżej, poneważ zawartość drugego składnka, choć formalne nelmtowana, ne może oczywśce przekroczyć 00%. Funkcja celu oraz perwszy z warunków ogranczających rozpsane z jednostkam. Funkcja celu jest sformułowana analogczne jak w zadanu optymalnej dety: PLN PLN PLN 0 t S+ 85 t S + 0 t S. t S t S t S j j
P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank Jeżel chodz o warunk ogranczające zwązane z procentowym zawartoścam składnków, to ch wartośc lczbowe (zarówno parametrów jak formuł) odpowadają zawartoścom lczonym w dekagramach na klogram (dag/kg) lub centyltrach na ltr (cl/l). Można jednak dokonać łatwego dopasowana w sytuacj, gdy jednostka mary, w której lczone są meszank jest nna nż kg lub ltr. W przypadku ton parametry odpowadające procentowym zawartoścom składnków są lczbowo równe dzesątkom klogramów na tonę poneważ 0 kg jest to % z tony (000 kg). Poneważ dla welokrotnośc 0000 (0 kg = 0000 g) ne ma specjalnego przedrostka, zatem w rozpsanu zostane użyte w charakterze jednostk 0 kg. Perwszy warunek na lość krzemu (S) jest rozpsany ponżej: 0kgS 0kgS 0kgS,6 t S+, t S +,7 t S, 0kgS t S t S t S Jak wdać, tony poszczególnych rodzajów stal skracają sę. Prawa strona warunku, 0kg S = kgs oznacza de facto kg krzemu na tonę stopu - meszank docelowej czyl,% z tony. Rozwązywane zadana Wprowadzane danych do komórek arkusza Użytkownk mus zdecydować, które komórk arkusza będą pełnć rolę zmennych decyzyjnych ( ksów ). W nnejszym zadanu komórkam pełnącym rolę zmennych decyzyjnych będą B, C, D czyl w skróce zakres (tablca) B:D. Odpowedność pomędzy komórkam a zmennym jest następująca: B -, C -, D - Poneważ współczynnk funkcj celu znajdują sę w komórkach B4, C4 D4, zatem odpowednkem funkcj celu 0 + 85 + 0 będze formuła =B4B+C4C+D4D Zastosujemy jednak prostszą we wprowadzanu (zwłaszcza, jeżel użyty zostane kreator funkcj) równoważną formułę =SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B:D). Jak wdać, funkcja celu jest podobna do lewych stron warunków ogranczających (wszystke są to sumy loczynów lczb zmennych). Dzęk temu formuła reprezentująca w arkuszu funkcję celu zostane wykorzystana do stworzena, przy pomocy kopowana, formuł reprezentujących lewe strony warunków ogranczających W tym celu formuła ta mus być wpsana w postac =SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$:D$) Ponadto, do jednej z komórek należy wprowadzć formułę odpowadającą sume zwykłej z warunku + + =. Będze to =B+C+D lub =SUMA(B:D). Formuła ta będze umeszczona w komórce E, ale poneważ ne będze ona kopowana, zatem ta lokalzacja może być w zasadze dowolna.
P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank 4 Informacja na temat formuł wprowadzanych kopowanych Zaps matematyczny Formuły dosłowne tzn. take które należałoby wpsać przy lteralnym przełożenu zapsu matematycznego na składnę Ecela + + =B+C+D 0 + + 85 0 =B4B+C4C+D4D,6 + +,, 7 =B6B+C6C+D6D 0,4 + + 0,9 0, 6 =B7B+C7C+D7D 0,6 + + 0, 0, 6 =B8B+C8C+D8D Komórka E E4 E6 E7 E8 Formuły (wpsywane lub uzyskane przez kopowane) odpowadające formułom dosłownym =SUMA(B:D) =SUMA.ILOCZYNÓW(B4:D4;B$:D$) =SUMA.ILOCZYNÓW(B6:D6;B$:D$) =SUMA.ILOCZYNÓW(B7:D7;B$:D$) =SUMA.ILOCZYNÓW(B8:D8;B$:D$) Uwag Wprowadzona przez użytkownka Wprowadzona przez użytkownka Otrzymana przez kopowane z E4 Otrzymana przez kopowane z E4 Otrzymana przez kopowane z E4 Wdok po skopowanu. Ten zrzut ekranu ne lustruje żadnych czynnośc, a jedyne służy do kontrol poprawnośc wprowadzena danych!!!
P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank 5 To samo, co powyżej, ale zamast wynków formuł (które to wynk na tym etape są zeram) są wyśwetlone same formuły. Samo wstawane formuł kopowane odbywa sę analogczne jak w zadanu optymalnej dety dlatego też zrzuty ekranu lustrujące w/w czynnośc zostały pomnęte. Ustawena Solvera Na tym etape zakończyło sę wprowadzane danych bezpośredno do komórek arkusza. Mamy następujące zwązk mędzy zapsem matematycznym a zapsem w Ecelu: B C D (B:D),, - lośc każdego z komponentów - rodzajów stal w tonach E4 0 + 85 + 0 mn przy ogranczenach rzeczywste zawart. składn. w %. mn. zawart. składn. w %. (funkcja celu łączny koszt jednej tony meszank docelowej - stopu w PLN) E6,6 +, +,7, F6 0,4 + 0,9 0,6 + 0, + 0,5 E7 0, 7 F7 E8 0, 4 F8 (E6:E8) (F6:F8) rzeczywste zawart. składn. w %. maks. zawart. składn w %. E6,6 +, +,7, 4 G6 0,4 + 0,9 0,6 + 0, + 0,5 E7 00 G7 E8 0, 5 G8 (E6:E8) (G6:G8) E + + = - łączna lość wszystkch rodzajów stal (łączna lość meszank-stopu) mus wynosć t B C D (B:D) 0, 0, 0 -- lośc komponentów stopu ( rodzajów stal) ne mogą być ujemne Ad. Rozwązane bez sumowana zmennych do Na tym etape zostaje pomnęty warunek + + =. Należy teraz otworzyć okno (Ecel 00 starsze menu Narzędza-Solver, Ecel 007 nowsze wstążka Dane- Solver; nazewnctwo używane ponżej jest dostosowane do nterfejsu Solvera do wersj Ecela do 007 włączne), a następne zadeklarować ustawena: Komórka celu: E4 Równa: Mn (poneważ funkcja celu jest mnmalzowana, trzeba ustawć ręczne opcja domyślna to Maks!) Komórk zmenane: B:D Warunk ogranczające: B:D>=0 E6:E8>=F6:F8 E6:E8<=G6:G8
P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank 6 Uwaga B:E>=0 jest skróconym zapsem dla B>=0, C>=0, D>=0 (czyl 0, 0, 0 ). E6:E8>=F6:F8 jest skróconym zapsem dla E6>=F6, E7>=F7, E8>=F8(warunk zwązane z mnmalną zawartoścą składnków) E6:E8<=G6:G8 jest skróconym zapsem dla E6<=G6, E7<=G7, E8<=G8 (warunk zwązane z maksymalną zawartoścą składnków). Na podstawe tego skróconego zapsu można uzasadnć, dlaczego maksymalna zawartość składnka drugego została sztuczne ustalona na pozome 00% (wps w komórce G7). Gdyby tego wpsu ne było, to zamast E6:E8<=G6:G8 należałoby wpsać oddzelne E6<=G6 oraz E8<=G8, co byłoby bardzej pracochłonne. Ustawena Solvera dla rozwązywanego zadana Rozwązane wynk oblczeń Solvera Rozwązane: Mnmalna wartość funkcj celu wynos,49 PLN. Jest ona osągnęta dla składu stopu: = 0 t stal S, = 0, 4857t stal S, = 0, 58t stal S. Nestety, suma 0,958 + + = <. Oznacza to, że oblczony mnmalny koszt odnos sę do lośc 0,958 t (95,8 kg) a ne do tony, a zatem śwadczy o tym, że warunek + + jest nezbędny. = Ad. Rozwązane z sumowanem zmennych do Na tym etape warunek + + = zostaje uwzględnony tzn. dodany do lsty już wprowadzonych warunków w postac E=. Komórka celu: E4 Równa: Mn (poneważ funkcja celu jest mnmalzowana; UWAGA trzeba ustawć ręczne opcja domyślna to Maks!) Komórk zmenane: B:D Warunk ogranczające:
P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank 7 B:D>=0 E6:E8>=F6:F8 E6:E8<=G6:G8 E= Ustawena Solvera dla rozwązywanego zadana (po dodanu warunku E=) Rozwązane wynk oblczeń Solvera Jak wdać ne jest to rozwązane dokładne, poneważ suma zmennych decyzyjnych w komórce F wynos ponad (,00000). Take odchylene od spełnena warunków ogranczających jest jednak dopuszczalne. Jest ono regulowane przez opcję Solvera Dokładność (domyślne ustawene wynos 0,00000). Aby poprawć dokładność oblczeń, można powyższą wartość zmnejszyć. Jednakże lepszym podejścem jest użyce dedykowanego dla programowana lnowego algorytmu metody smpleks (trzeba zaznaczyć opcję Przyjmj model lnowy) zamast domyślnego algorytmu unwersalnego służącego równeż do rozwązywana zadań programowana nelnowego.
P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank 8 Rozwązane uzyskane przy pomocy metody smpleks (zaznaczona opcja Przyjmj model lnowy) Mnmalny koszt tony stopu rodzajów stal wynos 47 PLN. Jest on osągnęty dla składu: = 0, t stal S, = 0, 466667 t stal S, = 0, t stal S Uwaga Wynk możemy równeż nterpretować w ten sposób, że jeżel wymeszamy komponenty poszczególne stopy w proporcjach 0% S, 46,6667% S oraz,% S to otrzymamy najtańszy stop nezależne od wymaganej jego lośc. Ad. Rozwązane z sumowanem zmennych do zmaną mnmalnej lośc składnka na,%. Jeżel chcemy zmenć mnmalną zawartość składnka z 0,7 na,% to oznacza to, że warunek 0,4 + 0,9 0,7 zmena sę w 0,4 + 0,9,. Oznacza to, ż wystarczy jedyne skorygować zawartość komórk F7 (zmana z 0,7 na,) a formuły ustawena Solvera pozostają bez zman.
P. Kowalk, Laboratorum badań operacyjnych: zadane optymalnej meszank - mnmalzacja kosztu jednostk meszank 9 Po rozpoczęcu oblczeń Solver podaje wkrótce komunkat o sprzecznośc warunków ogranczających. Wartośc komórek zmenanych zależnych od nch formuł modelu, które można odczytać w arkuszu po wyśwetlenu powyższego komunkatu ne są rozwązanam a jedyne wartoścam, przy których Solver wstrzymał oblczena!!! W tym przypadku można było jednak przewdzeć tę sprzeczność nawet bez oblczeń. Po korekce otrzymujemy bowem warunek nemożlwy do spełnena stworzene meszank docelowej o zawartośc składnka co najmnej,% podczas gdy najbogatsza z meszanek składowych zawera zaledwe 0,9% tego składnka. Oznacza to, że możlwe jest stworzene meszank docelowej o zawartośc co najwyżej 0,9% (a to jeżel meszanka składowa będze jedynym składnkem meszank docelowej). Fakt ten jest zgodny z twerdzenem podanym na strone spełnony jest bowem warunek sprzecznośc zadana b > ma a czyl, > ma{0,4; 0,9; 0,6}. j j