Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy, że wypadł orzeł, to... Musimy zmienić zbiór zdarzeń elementarnych. Nowa Ω {OO, OR}. P (A pod warunkiem zdarzenia B) 1 Jak to obliczyliśmy? Gdy wiemy, że zdarzyło się B, to Ω Ω 1 B {OO, OR}. Prawdopodobieństwa obu zdarzeń są jednakowe, więc P (OO) 1. Inaczej: P (A B) P (A B) 1/4 1/ 1. Taki sam wzór można stosować ogólnie, jeśli tylko > 0. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Niech > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem B nazywamy liczbę P (A B) P (A B). Zadanie Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne. Spośród rodzin z dwójką dzieci losujemy jedną rodzinę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosujemy rodzinę z dwoma chłopcami, jeżeli wiemy, że a) starsze dziecko jest chłopcem, b) w tej rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec, ż) jedno z dzieci ma na drugie imię Maria? Spróbujmy odgadnąć odpowiedzi! Ω {cc, cd, dc, dd} a) z założenia starsze dziecko jest chłopcem, więc B {cc, cd} P (A B) P ({cc} {cc, cd}) P ({cc} {cc, cd}) P ({cc, cd}) P ({cc}) P ({cc, cd}) 1/4 1/ 1. b) Tutaj B {cc, cd, dc}, więc 1
P ({cc} {cc, cd, dc}) P ({cc} {cc, cd, dc}) P ({cc}) P ({cc, cd, dc}) 1 3. To chyba mało intuicyjna odpowiedź? Ostrzeżenie: intuicja może mylić! Gdy P (A) > 0 i > 0, to zachodzi równoważność: P (A B) > P (A) P (B A) >. : każda ze stron jest równoważna nierówności P (A B) > P (A). Zatem: zajście A zwiększa szanse B zajście B zwiększa szanse A. Czyżby zdarzenia A i B przyciągały się wzajemnie? Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu Danych jest n zdarzeń: A 1, A,..., A n. Jeżeli P (A 1 A... A n 1 ) > 0, to P (A 1 A... A n ) P (A 1 ) P (A A 1 ) P (A 3 A 1 A ) P (A 4 A 1 A A 3 )... P (A n A 1... A n 1 ). Skoro P (A 1 A... A n 1 ) > 0, to wszystkie prawdopodobieństwa warunkowe są dobrze określone. Prawa strona wzoru P (A 1 ) P (A A 1 ) P (A 1 ) P (A 3 A A 1 ) P (A 1 A )... P (A n A n 1... A 1 ) P (A n 1... A 1 ) P (A n A n 1... A 1 ) Lewa strona wzoru. Metoda drzew Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu to teoretyczna podstawa metody drzew. Prawdopodobieństwo przypisywane każdej gałęzi to iloczyn prawdopodobieństw kolejnych kawałków tej gałęzi. Czy to sprawiedliwy egzamin? Na egzamin, do którego ma przystąpić 10 studentów, wykładowca przygotował (i ogłosił publicznie) 10 zagadnień. Egzamin polega na wylosowaniu jednego zestawu spośród tych dziesięciu i odpowiedzi. Zestawy już wylosowane odrzuca się. Jacek zdążył przygotować tylko spośród tych zagadnień. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Jacek zda ten egzamin, jeśli będzie zdawał jako: a) pierwszy? b) drugi? c) trzeci?
d) dziesiąty? a) Gdy Jacek wejdzie pierwszy, to oczywiscie P (zda) 10 1. b) Gdy wejdzie drugi, to musimy uwzględnić, jaki zestaw wylosowała pierwsza osoba. Jeśli taki, który był dobry dla Jacka, to szanse Jacka spadły z 1 do 4 9. Jeśli taki, który był zły dla Jacka, to szanse Jacka wzrosły z 1 do 9. Rysujemy drzewo i obliczamy:... Odpowiedź a) 1, b) 1, c) 1, d) 1. Ten sposób egzaminowania jest sprawiedliwy! Czy ostatnia osoba też dostaje swój zestaw losowo? Rozbicie zbioru Ω Rozbiciem zbioru Ω nazywamy taką rodzinę zdarzeń B 1, B,..., B n, która spełnia dwa warunki: B 1 B... B n Ω, B i B j, gdy i j. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Niech B 1, B,..., B n będzie rozbiciem zbioru Ω na zbiory o dodatnim prawdopodobieństwie. Wówczas dla dowolnego zdarzenia A zachodzi równość: P (A) P (A B 1 ) P (B 1 ) + P (A B ) P (B ) +... + P (A B n ) P (B n ). Na mocy założeń o B 1, B,..., B n mamy ( ( n )) ( n ) P (A) P (A Ω) P A B i P (A B i ) i1 i1 n n P (A B i ) P (A B i ) P (B i ). i1 i1 Zadanie Mamy dwie urny: w U 1 jest 1 kula biała i 3 czarne, w U jest kul białych i czarne. Za pomocą monety losujemy urnę i wyciągamy z niej jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała. 3
Obliczamy prawdopodobieństwa warunkowe: P (B U 1 ) 1 4, P (B U ) 7, P (B U 1 ) P (U 1 ) + P (B U ) P (U ) 1 4 1 + 7 1 1 8 + 14. Prawdopodobieństwo przyczyny Przypuśćmy, że znamy skutek (np. wypadek drogowy), a chcemy ustalić przyczynę. To może być nadmierna prędkość. albo nietrzeźwość kierowcy, albo awaria samochodu (hamulce itp). Zadanie o daltonistach Na 10 000 kobiet, a na mężczyzn to daltoniści. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wybrano losowo jedną osobę. Okazało się, że ta osoba nie rozróżnia kolorów. Oblicz prawdopodobieństwo, że to jest mężczyzna. Wprowadzamy oznaczenia: K - wylosowanie kobiety, M - wylosowanie mężczyzny, K M Ω, K M. D - wylosowana osoba nie rozróżnia kolorów Z danych zadania: P (D K) 10 000, P (D M), P (K) P (M) 1. Zastosujmy definicję prawdopodobieństwa warunkowego i wzór na prawdopodobieństwo całkowite: P (M D) P (M D) P (D) P (D M) P (M) P (D M) P (M) + P (D K) P (K) + 10 000 1 Wzór Bayesa na prawdopodobieństwo przyczyny 00. Niech B 1, B,..., B n będzie rozbiciem Ω na zbiory o dodatnim prawdopodobieństwie. Niech A będzie zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie. Wówczas dla każdego k 1,..., n 4
P (B k A) P (A B k ) P (B k ) P (A B 1 ) P (B 1 ) + P (A B ) P (B ) +... + P (A B n ) P (B n ). Dokładnie tak, jak dla dwóch zdarzeń w zadaniu o daltonistach liczymy: Lewa strona P (B k A) P (B k A) P (A) P (A B k) P (B k ) P (A)... Prawa strona. Czy ten test jest dobry? Pewien gen obecny jest u jednej osoby na 0. Opracowano test do badania jego obecności. Test jednak czasami myli się: wykrywa rzeczywistą obecność genu w przypadkach na, a w przypadku braku genu stwierdza jego obecność w 3 przypadkach na. Wylosowano jedną osobę i test stwierdził u niej obecność tego genu. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak jest naprawdę, tzn. wylosowana osoba ma ten gen. Jakiej rady można udzielić wynalazcy tego testu? Niech + oznacza, ze wylosowana osoba ma ten gen, a, że go nie ma. Jest to typowa sytuacja podpadająca pod wzór Bayesa: Ω + oraz +. Niech W oznacza, że test wykrył gen. Z danych zadania P (+) 1 999 0, P ( ) 0. P (W +) 3, P (W ). Musimy obliczyć: P (+ W )? Stosujemy wzór Bayesa Dokładnie tak, jak w zadaniu o daltonistach: P (+ W ) P (+ W ) P (W ) 0 0 + 3 999 0 P (W +) P (+) P (W +) P (+) + P (W ) P ( ) 0, 03. + 3 999 Jak poprawić test? Nie zmienimy 1 0 oraz 999 0. Poprawienie wykrywalności z nawet do przypadków niewiele poprawia. Trzeba zmniejszyć liczbę 3 na przykład na 3 0. Wtedy mielibyśmy +3 99,9 0, 46.