Probabilistyka przykłady

Transkrypt

1 Probabilistyka przykłady

2 Przestrzeń zdarzeń Zapisać przestrzeń zdarzeń dla: 1.liczby wygranych gier w serii liczącej trzy gry 2.liczby wizyt u lekarza w ciągu roku 3.ilości czasu (w minutach) od wezwania do przyjazdu straży pożarnej 4.różnicy wzrostu (w cm) męża i żony 5.długości oczekiwania na wizytę lekarską i długości trwania wizyty 6.liczby poprawnych odpowiedzi udzielonych przez dwu uczestników w konkursie obejmującym zadanie każdemu uczestnikowi 10 pytań

3 Przestrzeń zdarzeń Dla doświadczenia polegającego na trzykrotnym rzucie monetą zapisać przestrzeń zdarzeń pozwalającą określić: 1. wyniki rzutów, w kolejności w której wystąpiły 2. łączną liczbę orłów 3. liczbę reszek do uzyskania pierwszego orła

4 Zdarzenia Zapisać zdarzenia jako podzbiory przestrzeni ze slajdu nr 2 1. a) E=wygrano co najmniej 2 gry, b) F=przegrano co najmniej 2 gry 2. E=w ciągu roku było nie więcej niż 2 wizyty 3. E=straż przyjechała nie później niż po 5 minutach 4. E=żona jest wyższa od męża 5. a) E=pierwszy zawodnik udzielił co najmniej 7 prawidłowych odpowiedzi, b) F=drugi zawodnik udzielił co najmniej 7 prawidłowych odpowiedzi, c) G=obaj zawodnicy udzielili łącznie co najmniej 15 prawidłowych odpowiedzi

5 Zdarzenia W której z przestrzeni zdarzeń ze slajdu nr 3 można przedstawić następujące zdarzenia: 1. Orzeł w pierwszym rzucie 2. 2 orły i 1 reszka 3. Kolejne wyniki to orzeł, reszka, orzeł

6 Związki między zdarzeniami Korzystając ze zdarzeń zdefiniowanych na slajdzie nr 4, zapisać podzbiory przestrzeni zdarzeń odpowiadające następującym zdarzeniom: 1.a) E F, b) E F, c)e' 2.E' 5.a) E F, b) E F, c) E F G

7 Związki między zdarzeniami Uprościć: (A B) (A B') (A B) (A' B) (A B') (A B) (B C)

8 Związki między zdarzeniami W rozgrywce brydżowej niech N k (k= 1, 2, 3, 4) oznacza zdarzenie, że N ma co najmniej k asów. Niech S k, W k, E k będą analogicznymi zdarzeniami dla S, W, E. Co można powiedzieć o liczbie asów posiadanych przez W dla zdarzeń: a) W 1 ', b) N 2 S 2, c) N 1 ' S 1 ' E 1 ', d) W 2 \W 3, e) N 1 S 1 E 1 W 1, f) N 3 W 1, g) (N 2 S 2 ) E 2

9 Zdarzenia jednakowo prawdopodobne Komputer generuje losowe cyfry, tj. każda z cyfr 0-9 jest jednakowo prawdopodobna. Wyznaczyć prawdopodobieństwo: 1. sytuacji, w której dwie kolejne cyfry są równe 2. sytuacji, w której trzy kolejne cyfry są równe 3. sytuacji, w której trzy kolejne cyfry są różne 4. sytuacji, w której dokładnie dwie z trzech kolejnych cyfry są równe

10 Zdarzenia jednakowo prawdopodobne Spośród cyfr 1, 2, 3, 4, 5 najpierw wybiera się jedną, a następnie dokonuje się drugiego wyboru z pozostałych czterech 1. ile jest możliwych wyników? 2. przyjmując, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, określić prawdopodobieństwo że nieparzysta cyfra zostanie wybrana: 1. za pierwszym razem 2. za drugim razem 3. za pierwszym i drugim razem

11 Zdarzenia jednakowo prawdopodobne Rzucamy wielokrotnie monetą 1.Jakie prawdopodobieństwo będzie miał każdy z możliwych wyników wymagający n rzutów? Przerywamy rzucanie gdy w dwu kolejnych rzutach powtórzy się ta sama strona 2. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń? 3. Jakie jest prawdopodobieństwo że doświadczenie skończy się przed 6 rzutem? 4. Jakie jest prawdopodobieństwo że doświadczenie skończy się w parzystej liczbie rzutów?

12 Permutacje 1.Ile jest możliwych permutacji: 1.5 z 5 różnych obiektów 2.0 z 6 różnych obiektów 3.2 z 8 różnych obiektów

13 Permutacje Na ile sposobów można ułożyć w rzędzie 7 kolorowych kul jeśli: 1. każda jest w innym kolorze 2. trzy są czerwone, a pozostałe każda w innym kolorze 3. trzy są czerwone, dwie czarne, a pozostałe każda w innym kolorze

14 Permutacje Podejrzany i 7 innych osób biorą udział w policyjnej procedurze identyfikacji. Zakładając, że staną w rzędzie w losowej kolejności, jakie jest prawdopodobieństwo że podejrzany będzie pierwszy bądź ostatni?

15 Kombinacje 10 biegaczy startuje w zawodach lekkoatletycznych; 3 z nich to Polacy. Pierwsza runda jest podzielona na 2 starty (A, B) po 5 biegaczy. Określ prawdopodobieństwo że: 1. wszyscy Polacy pobiegną w starcie A 2. wszyscy Polacy pobiegną w jednym starcie 3. co najmniej jeden Polak pobiegnie w każdym ze startów

16 Prawdopodobieństwo warunkowe Z partii 100 elementów elektronicznych wybrane zostały losowo 3 elementy aby określić jakość produkcji. W partii znajdują się 4 elementy z defektami. Jakie jest prawdopodobieństwo że elementy wybrane do testu będą sprawne?

17 Niezależność Moneta być może niesymetryczna jest rzucana dwukrotnie. Rezultat orzeł jest określany jako sekwencja OR, reszka jako RO. Rezultaty OO i RR są ignorowane i doświadczenie powtarzane. Wykazać, że prawdopodobieństwo rezultatu orzeł wynosi 0,5 niezależnie od asymetrii monety.

18 Niezależność Do poprawnego działania urządzenia konieczne jest działanie bloków B1 i B2 połączonych jak na rysunku. Przyjmując prawdopodobieństwo awarii bloku B1 wynoszące p1 i bloku B2 wynoszące p2 określić prawdopodobieństwo działania urządzenia jako całości B1 B2

19 Niezależność Aby zwiększyć niezawodność urządzenia zduplikowano bloki i połączono je jak na rysunku. Do działania urządzenia jako całości wystarczy działanie jednej z gałęzi. Wykazać, że prawdopodobieństwo poprawnego działania takiego urządzenia jest wyższe B1 B2 B1 B2

20 Niezależność Jako alternatywę zaproponowano inne połączenie bloków. Wykazać które z podejść daje wyższe prawdopodobieństwo poprawnego działania urządzenia jako całości B1 B2 B1 B2