Tadeusz Socha Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym tom V uzupełnienie do matury od 2015 roku o treści zwiększające wymagania maturalne Copyright by Socha Tadeusz, 2013 ISBN 978-83-936602-9-2 www.maturzysta.info e-mail: tadesor@gmail.com Opracowanie edytorskie i projekt okładki: Socha Tadeusz Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji zabronione bez pisemnej zgody autora.
Tytułem wstępu. Na maturze rozszerzonej z matematyki w 2015 roku pojawią się zadania o tematyce obejmującej zagadnienia, które nie występowały na egzaminach maturalnych w latach 2008 2014: granica ciągu liczbowego, szereg geometryczny i jego suma, granica i ciągłość funkcji, pochodna funkcji, prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite, niezależność zdarzeń losowych. Wymienione treści występowały na egzaminie maturalnym do roku 2007. W 2008 roku usunięto je z wykazu wymagań. Od 2015 roku MEN przywraca je w nieco okrojonej wersji (duży wpływ na podjęcie w tej kwestii decyzji miała krytyka efektów reform głoszona przez pracowników naukowych wyższych uczelni). Niniejsza publikacja oraz Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym, Tom I: Powtórzenie przed maturą stanowią komplet powtórzeniowy przed maturą rozszerzoną od 2015 roku. Komplet ten zawiera opis wymaganych wiadomości teoretycznych wsparty przykładowymi, rozwiązanymi zadaniami. Proces przygotowania do matury wspomagają również pozostałe tomy publikacji dla przygotowujących się do matury rozszerzonej z matematyki: Tom II: Zadania z rozwiązaniami Tom III: Teoretyczne i praktyczne porady matematyczne Tom IV: Przykładowe rozwiązania zadań z Informatora maturalnego CKE Spis treści L.p. Temat Str. 1 Granica ciągu liczbowego 4 2 Szereg geometryczny i jego suma 13 3 Granica funkcji 15 4 Ciągłość funkcji 24 5 Pochodna funkcji 26 6 Prawdopodobieństwa: warunkowe i całkowite 36 7 Przykładowe zadania z rozwiązaniami 41
1. Granica ciągu liczbowego 1. Wstępne ustalenia Wprowadzimy pewne umowne sformułowania, które ułatwią zrozumienie pojęcia granicy ciągu liczbowego. Prawie wszystkie wyrazy ciągu oznacza: wszystkie wyrazy ciągu za wyjątkiem skończonej ilości. Przykłady: 1. Prawie wszystkie wyrazy ciągu = są większe od miliona. Tylko 1 000 000 pierwszych wyrazów (czyli skończona ilość) nie jest większa od miliona. 2. Prawie wszystkie wyrazy ciągu = 500 są ujemne. Tylko 500 pierwszych wyrazów tego warunku nie spełnia. 3. Prawie wszystkie wyrazy ciągu = są wymierne. Nie spełnia tego warunku zero (skończona ilość) wyrazów. Należy zwrócić uwagę, że prawie wszystkie wyrazy ciągu nie jest tym samym co nieskończenie wiele wyrazów. Przykład: = 1 Tutaj mamy: 1. Nieskończenie wiele wyrazów ciągu jest równe 1. 2. Nieskończenie wiele wyrazów ciągu jest równe 1. 3. Nie jest prawdziwe żadne z twierdzeń: a) Prawie wszystkie wyrazy ciągu są równe 1. b) Prawie wszystkie wyrazy ciągu są równe 1. Otoczenie liczby a o promieniu jest to przedział, +, gdzie > 0. Często mówimy inaczej: otoczenie punktu a. Sąsiedztwo liczby a o promieniu jest to zbiór, + \, gdzie > 0. Często mówimy inaczej: sąsiedztwo punktu a. 2. Granica ciągu Poniższy rysunek przedstawia przykład takiego ciągu, który ma granicę równą 2 (inaczej mówiąc jest zbieżny do liczby 2).
Można powiedzieć (choć nie jest to całkiem ścisłe), że liczba 2 jest granicą ciągu, jeżeli wraz ze wzrostem wyrazy zbliżają się do liczby 2, czyli ich odległość od liczby 2 (w sensie odległości na osi liczbowej) jest coraz mniejsza. Jak widać na poniższym rysunku prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do naszkicowanego (w formie paska) otoczenia punktu 2 (począwszy od pewnego numeru wszystkie): Definicję granicy ciągu liczbowego można sformułować następująco: Liczbę nazywamy granicą ciągu (a o samym ciągu mówimy, że jest zbieżny do ), jeżeli prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do dowolnie wybranego otoczenia punktu. Fakt ten zapisujemy symbolicznie: = lub krócej: Ciąg, który nie posiada granicy nazywamy ciągiem rozbieżnym.
Co oznacza: dla dowolnie wybranego otoczenia? W sposób dowolny ustalamy promień tego otoczenia. Słowa dowolnie wybrane otoczenie można zastąpić zapisem symbolicznym: Jak zapisać symbolicznie: prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do wybranego otoczenia punktu? Prawie wszystkie, czyli począwszy od pewnego numeru wszystkie. Musi zatem istnieć taka liczba naturalna (ten najmniejszy numer, od którego wszystkie), że dla wszystkich naturalnych zachodzi, +. Symbolicznie:, + Przynależność do podanego otoczenia oznacza, że na osi liczbowej liczba jest odległa od liczby mniej, niż. Oznacza to, że jest spełniona nierówność: < W ten sposób doszliśmy do zapisanej symbolicznie (i najczęściej przytaczanej) definicji granicy ciągu: = < Rzecz jasna nie każdy ciąg posiada granicę. Nie zawsze istnieje taka liczba, że prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do dowolnie wybranego otoczenia punktu. Przykładami są: podany wcześniej ciąg = 1, ciągi =, = 2. 3. Ciągi rozbieżne do + i do Na ilustracji przedstawiono ciąg, którego wyrazy uciekają do nieskończoności.