Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w powyższym równaniu nazywamy macierzą formy kwadratowej h Przyjmując A = [a ij ], wzór (101) możemy równoważnie wyrazić w postaci h (,, x n ) = a ij x i x j Przykład 101 Odwzorowania oraz h 1 (,, x 3 ) = 1 + 2 + 2 4 x 3 h 2 (,, x 3, x 4 ) = 1 + 2 + 2 4 x 3 są formami kwadratowymi o macierzach Odwzorowania A h1 = 1 1 0 1 1 2 0 2 0 oraz A h2 = 1 1 0 0 1 1 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 g 1 (, ) = 1 + 2 + oraz g 2 (, ) = 1 + 2 + 1 nie są formami kwadratowymi 61
101 Określoność formy kwadratowej 101 Określoność formy kwadratowej W klasie wszystkich form kwadratowych szczególną rolę odgrywają formy określone Definicja 102 Formę kwadratową h (x) = x T Ax nazywamy dodatnio określoną, jeżeli ujemnie określoną, jeżeli dodatnio półokreśloną, jeżeli ujemnie półokreśloną, jeżeli x T Ax > 0, x R n \ {0} ; x T Ax < 0, x R n \ {0} ; x T Ax 0, x R n ; x T Ax 0, x R n ; nieokreśloną, jeżeli nie zachodzi żaden z poprzednich warunków Przykład 102 Rozważmy ponownie formę kwadratową h 1 (,, x 3 ) = 1 + 2 + 2 4 x 3 Ponieważ h 1 (1, 0, 0) = 1 oraz h 1 (0, 1, 0) = 1, zatem forma kwadratowa h 1 jest nieokreślona Forma kwadratowa jest dodatnio określona; z kolei forma jest półokreślona dodatnio (dlaczego?) h (, ) = 1 + 2 2 g (,, x 3 ) = 1 + 2 2 Poniżej przedstawione zostaną (bez dowodów) najczęściej stosowane metody badania określoności form kwadratowych 1021 Kryterium Sylvestera Twierdzenie 101 Forma kwadratowa h (x) = x T Ax, gdzie A = A T R n n, jest: 1) dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory wiodące macierzy A są dodatnie: a 1j D j = > 0, (j = 1,, n) ; a j1 a jj 62
2) ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy a 1j ( 1) j D j = ( 1) j > 0, (j = 1,, n) a j1 a jj Przykład 103 Dla formy kwadratowej mamy: h (,, x 3 ) = 3 1 + 2 + 2 2 x 3 + 2 3 h (,, x 3 ) = [ x 3 ] 3 1 1 1 1 0 1 0 2 Ponieważ D 1 = 3 > 0, D 2 = 3 1 1 1 = 2 > 0, D 3 = zatem forma kwadratowa h jest dodatnio określona x 3 3 1 1 1 1 0 1 0 2 = 3 > 0, Warto zwrócić uwagę na fakt, że z warunków D j 0 (j = 1,, n) nie wynika dodatnia półokreśloność formy kwadratowej h (x) = x T Ax Przykład 104 Dla formy kwadratowej [ ] [ ] 0 0 x1 h (, ) = [ ] = 2 0 1 mamy D 1 0 oraz D 2 0, podczas gdy forma kwadratowa h jest ujemnie półokreślona Twierdzenie 102 Forma kwadratowa h (x) = x T Ax, gdzie A = A T R n n, jest: 1) dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory główne macierzy A są nieujemne, tj a i1 i 1 a i1 i 2 a i1 i p a i2 i 1 a i2 i 2 a i2 i p 0, a ipi1 a ipi2 a ipip dla 1 i 1 < < i p n, 1 p n; 2) ujemnie półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy a i1 i 1 a i1 i 2 a i1 i p ( 1) p a i2 i 1 a i2 i 2 a i2 i p a ipi1 a ipi2 a ipip 0, dla 1 i 1 < < i p n, 1 p n 63
Przykład 105 Dla formy kwadratowej h (,, x 3 ) = 1 2 +2 2 2 2 3 = [ x 3 ] mamy 1 1 1 1 2 0 1 0 2 trzy minory główne stopnia jeden: = 1, a 22 = 2, a 33 = 2; trzy minory główne stopnia dwa: 1 1 1 2 = 1 > 0, 2 0 0 2 = 4 > 0, 1 1 1 2 = 1 > 0; jeden minor główny stopnia trzy: 1 1 1 1 2 0 1 0 2 = 0 Z twierdzenia 102 wynika, że forma kwadratowa h jest ujemnie półokreślona 1022 Kryterium wartości własnych Można udowodnić, że rzeczywista macierz symetryczna A ma rzeczywiste wartości własne; oznaczmy je jako λ 1 (A),, λ n (A) Niech v i będzie wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej λ i (A) (i = 1,, n) oraz przypuśćmy, że forma kwadratowa h (x) = x T Ax jest dodatnio określona Wówczas, dla i = 1,, n: 0 < v T i Av i = v T i λ i (A) v i = λ i (A) v T i v i = λ i (A) v i 2 2, (102) gdzie v 2 = v T v jest normą w R n Z warunku (102) wynika, że λ i (A) > 0 (i = 1,, n) Oznacza to, że jeżeli forma kwadratowa jest dodatnio określona to jej macierz ma dodatnie wartości własne Łatwo o podobne zależności dla form określonych ujemnie oraz półokreślonych Prawdziwe jest następujące Twierdzenie 103 Niech λ 1 (A),, λ n (A) będą wartościami własnymi macierzy A = A T R n n Wówczas forma kwadratowa h (x) = x T Ax jest 1) dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy λ i (A) > 0 (i = 1,, n) ; 2) ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy λ i (A) < 0 (i = 1,, n) ; 3) dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy λ i (A) 0 (i = 1,, n) ; x 3 64
4) ujemnie półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy λ i (A) 0 (i = 1,, n) Przykład 106 Rozważmy formę kwadratową h z przykładu 105: 1 1 1 h (,, x 3 ) = [ x 3 ] 1 2 0 (103) 1 0 2 x 3 Jej macierz ma trzy rzeczywiste wartości własne λ 1 = 3, λ 2 = 2, λ 3 = 0 Z twierdzenia 103 wynika, że forma kwadratowa (103) jest ujemnie półokreślona 1023 Sprowadzenie do postaci kanonicznej (metoda Lagrange a) Prawdziwe jest następujące Twierdzenie 104 Dla każdej macierzy symetrycznej A R n n istnieje macierz nieosobliwa P R n n dla której macierz P T AP jest diagonalna Innymi słowy, dla każdej formy kwadratowej h (x) = x T Ax istnieje nieosobliwe przekształcenie liniowe x = P y, dla którego forma kwadratowa h (P y) = y T P T AP y przyjmuje postać kanoniczną, tj dla pewnych skalarów c 1,, c n R h (P y) = c 1 y 2 1 + + c n y 2 n, (104) Zauważmy, że forma kwadratowa zapisana w postaci kanonicznej (104) jest: dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy c i > 0 (i = 1,, n) ; ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy c i < 0 (i = 1,, n) ; dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy c i 0 (i = 1,, n) ; ujemnie półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy c i 0 (i = 1,, n) Metoda Lagrange a Formę kwadratową h (x) = x T Ax = a ij x i x j możemy zapisać w postaci h (,, x n ) = 1+a 22 2+ +a nn n+2 (a 12 + a 13 x 3 + + a n 1,n x n 1 x n ) Rozważmy trzy przypadki: a ij = 0 dla wszystkich i, j {1,, n} Wówczas h (x) 0, tzn forma kwadratowa jest jednocześnie ujemnie oraz dodatnio półokreślona; 65
a ii = 0 dla wszystkich i {1,, n} oraz istnieją indeksy k, l dla których a kl 0 Niech e k oraz e l będą odpowiednio k-tym oraz l-tym wektorem bazy kanonicznej przestrzeni R n Niech v + = e k + e l oraz v = e k e l Wówczas h ( v +) = h ( v ) = a ij v + i v+ j a ij v i v j = 2a kl = 2a kl skąd wynika, że w rozważanym przypadku forma kwadratowa h jest nieokreślona; a ii 0 dla pewnego indeksu i; bez straty ogólności możemy przyjąć, że i = 1 Wówczas h (,, x n ) = 1 + 2 a 1j x j + a ij x i x j i=2 ( ) = a 1j 1 + 2 x j + a ij x i x j a 11 i=2 ) 2 ( ) 2 a 1j a 1j = ( + x j x j + i=2 a ij x i x j Do formy kwadratowej h możemy teraz zastosować zamianę zmiennych: a y 1 = + 1j a x j = y 1 1j y j y 2 = x lub równoważnie 2 = y 2 (105) y 3 = x 3 x 3 = y 3 y n = x n x n = y n Równania (105) określają nieosobliwe przekształcenie liniowe postaci x = P y, gdzie 1 a 12 a 13 a 1n P = 0 1 0 0 0 0 0 1 W wyniku zamiany zmiennych (105) otrzymujemy h (x) = h (P y) = y 2 1 + h (y 2,, y n ), gdzie h jest formą kwadratową zmiennych y 2,, y n, do której ponownie stosujemy przedstawione rozumowanie rugując systematycznie kolejne zmienne i sprowadzając ją do postaci kanonicznej (lub wcześniej stwierdzając jej nieokreśloność) 66
Przykład 107 Rozważmy formę kwadratową h (,, x 3 ) = 1 + 2 + 2 4 x 3 Stosując opisaną powyżej metodę Lagrange a sprowadzimy ją do postaci kanonicznej Mamy: h (,, x 3 ) = 1 + 2 + 2 4 x 3 = ( 1 2 ) + x 2 2 4 x 3 = ( ) 2 + 2 2 4 x 3 = ( ) 2 + 2 ( 2 2 x 3 + 3) 2x 2 3 = ( ) 2 + 2 ( x 3 ) 2 2 3 Rozważana forma kwadratowa jest więc nieokreślona Zauważmy ponadto, że dokonując zamiany zmiennych = y 1 x 3 = y 2 x 3 = y 3 lub równoważnie = y 1 + y 2 + y 3 = y 2 + y 3 x 3 = y 3, która jest przekształceniem liniowym x = P y o macierzy P postaci 1 1 1 P = 0 1 1, 0 0 1 otrzymujemy h (,, x 3 ) = [ x 3 ] = [y 1 y 2 y 3 ] = [y 1 y 2 y 3 ] 1 1 0 1 1 2 0 2 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 2 T x 3 1 1 0 1 1 2 0 2 0 y 1 y 2 y 3 1 1 1 0 1 1 0 0 1 = y 2 1 + 2y 2 2 2y 2 3 Jest to postać kanoniczna rozważanej formy kwadratowej (c 1 = 1, c 2 = 2, c 3 = 2) y 1 y 2 y 3 67