5. Zginanie ze ścinaniem

5. 1 5. Zginanie ze ścinaniem 5.1 Belki i ramy płaskie W wykładzie tym rozpatrywane będzie działanie siły poprzecznej, która powstaje w przekroju pręta pryzmatycznego wykonanego z materiału jednorodnego oraz izotropowego. Na pręt będą działały siły masowe i siły powierzchniowe dostosowane do modelu matematycznego pręta, którym jest jego oś. Przykład takiego obciążenia został pokazany w punkcie 1.5 dla belki stropu belkowego. Ustroje prętowe, jakie będą rozpatrywane to belki i ramy płaskie. Belka jest ustrojem prętowym, w którym pręty leżą na jednej prostej, obciążenie w postaci sił czynnych oraz biernych są najczęściej prostopadłe do osi belki i znajdują się na płaszczyźnie, na której leży belka. Rama jest także ustrojem prętowym, w którym pręty leżą na jednej płaszczyźnie, ale w przeciwieństwie do belek pręty ramy nie leżą na jednej prostej. Obciążenie ramy leży także na jednej płaszczyźnie z ramą lecz nie zawsze jest prostopadłe do pręta. Przykłady belek zostały zaprezentowane na rysunkach 5.1-5.7 Belki zaprezentowane na rysunkach 5.1-5.5 są to tak zwane belki swobodnie podparte stanowiące jeden z częściej używanych rodzajów belek. Belką swobodnie podpartą jest pręt prostoliniowy podparty jedną podporą przegubowo-przesuwną oraz przegubowo-nieprzesuwną. Rys. 5.1. Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys. 5.. Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys. 5.3. Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym.

Rys. 5.4. Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys. 5.5. Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys. 5.6. Przykładowa belka ciągła wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys. 5.7. Przykładowa belka ciągła wraz z zaznaczonym modelem matematycznym.

3 Rysunki 5.6 oraz 5.7 przedstawiają belki ciągłe. Są to belki geometrycznie niezmienne, w których zastosowano większą liczbę podpór niż jest konieczna dla odebrania prętom wszystkich stopni swobody, czyli jest to układ prętowy statycznie niewyznaczalny. Ustroje prętowe tego typu nie będą tutaj rozpatrywane. Rysunki 5.8-5.1 przedstawiają przykładowe podpory belek. Rys. 5.8. Podpora przegubowo-przesuwna belki stalowej (Rys.5.5). Rys. 5.9. Podpora przegubowo-przesuwna belki żelbetowej. Rys. 5.10. Podpora przegubowo-nieprzesuwna belki stalowej (Rys. 5.5).

4 Rys. 5.11. Podpora przegubowo-przesuwna belki stalowej (Rys.5.7). Rys. 5.1. Podpora przegubowo-nieprzesuwna belki stalowej (Rys.5.7). Rys 5.13-5.18 przedstawiają przykładowe ramy płaskie. Rama przedstawiona na rysunku 5.13 posiada jako podpory pełne utwierdzenie. Podpora taka odbiera trzy stopnie swobody. Rama ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym statycznie niewyznaczalnym. Pełne utwierdzenie zostało w powyższym przypadku zrealizowane za pomocą śrub zakotwionych w betonowym bloku. Na rysunku 5.14 widać blachy z nawierconymi otworami przyspawane do pręta dwuteowego. Przez te otwory zostały przepuszczone śruby kotwiące. Rysunki 5.16 oraz 5.17 przedstawiają przykładowe węzły ram płaskich natomiast rysunek 5.18 przedstawia zwykłą ławkę, która jest także ramą płaską. Rys. 5.13. Przykładowa rama płaska z modelem matematycznym.

5 Rys. 5.14. Szczegół podparcia ramy za pomocą utwierdzenia. Rys. 5.15. Utwierdzenie ramy wraz z modelem matematycznym. Rys. 5.16. Szczegóły węzłów ram płaskich.

6 Rys. 5.17. Szczegóły węzłów ram płaskich. Rys. 5.18. Ławka jako przykład ramy płaskiej. 5. Reakcje podporowe i siły przekrojowe Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, jeżeli belka działa na podporę za pomocą sił czynnych nazywanych dalej obciążeniem to podpora także działa na belkę siłą bierną (reakcją). Kierunki reakcji oraz ich ilość zależą od rodzaju podpór (patrz punkt 1.3) natomiast zwrot i wartość reakcji zależy od warunków równowagi. Przy obliczaniu reakcji stosuje się zasadę zesztywnienia czyli obliczenia przeprowadza się w konfiguracji początkowej (przed przyłożeniem obciążenia). Zasadę tę można zastosować, ponieważ przemieszczenia belek i ram są bardzo małe (rzędu paru procent) w porównaniu z długością prętów. Od konstrukcji budowlanej będziemy wymagać aby była nieruchoma czyli zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki na konstrukcję budowlaną muszą działać siły (czynne i bierne), których wypadkowa równa się zero. Przy wyznaczaniu reakcji zastosowanie ma rachunek wektorowy, ponieważ podstawowym aksjomatem mechaniki jest to, że siła jest wektorem. Na płaszczyźnie dla każdego pręta możemy napisać trzy różne warunki równowagi. Podstawowymi warunkami równowagi są: suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą X, suma rzutów wszystkich sił na oś pionową Y, suma momentów statycznych wszystkich sił względem dowolnego punktu O. Przykładowy układ sił przedstawia rysunek 5.19. Oprócz przedstawionych powyżej

7 warunków równowagi można zastosować inne. Na przykład mogą to być: suma rzutów wszystkich sił na jedną z osi oraz dwie sumy momentów statycznych względem dowolnych dwóch punktów. Możliwe jest także zastosowanie trzech sum momentów statycznych względem trzech punktów. W tym przypadku te trzy punkty nie mogą się znajdować na jednej prostej. W przypadku belek, w których wszystkie siły będą najczęściej pionowe (bardzo rzadko w belce mamy do czynienia z obciążeniem siłami poziomymi) najwygodniej jest zastosować dwa warunki sumy momentów statycznych względem dowolnych punktów natomiast sumą rzutów wszystkich sił na oś Y dokonać sprawdzenia poprawności obliczeń. W przypadku błędnego obliczenia jednej reakcji z warunku sumy momentów statycznych obliczenie drugiej reakcji z warunku sumy rzutów wszystkich sił na oś Y pociąga za sobą błędne obliczenie również drugiej reakcji. X =0, (5.1) Y =0 (5.) M O =0 (5.3) Y P P1 P3 O X Rys. 5.19. Przykładowy układ sił (podstawowe warunki równowagi). Zakłada się, że siły czynne (obciążenie) oraz bierne (reakcje) działa w płaszczyźnie XZ, gdzie oś Z jest jedną z głównych, środkowych osi bezwładności (Z=Zgl). Przedstawia to rysunek 5.0. P1 q(x) sc X Ygl Zgl Rys. 5.0. Obciążenie pręta pryzmatycznego.

8 Najczęściej występującym typem obciążenia (siły czynnej) jest obciążenie ciągłe oznaczone na rysunku 5.0 jako q(x). Jednostką obciążenia ciągłego jest kn/m. Może ono być równomiernie lub nierównomiernie rozłożone. Obciążenie ciągłe możemy zastąpić statycznie równoważną siłą wypadkową. Rysunek 5.1 przedstawia wypadkową z obciążenia równomiernie rozłożonego natomiast rysunek 5. przedstawia wypadkową z obciążenia trójkątnego. q = L W =q L L L Rys. 5.1. Wypadkowa z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego. q = L 1 W = q L L 3 1 L 3 Rys. 5.. Wypadkowa z obciążenia ciągłego trójkątnego. Korzystając z równań równowagi można dla układów geometrycznie niezmiennych i statycznie wyznaczalnych wyznaczyć reakcje w podporach. Belkę z siłami czynnymi i biernymi przedstawia rysunek 5.3. Jeżeli myślowo przetniemy belkę w dowolnym miejscu to okaże się, że odcięta część belki nie jest w równowadze. Aby równowaga byłą zachowana to w przekroju muszą pojawić się siły przekrojowe. Siłami tymi będą: siła normalna N(x), moment zginający M(x) oraz siła poprzeczna T(x). Siły przekrojowe zostały zaznaczone na rysunku 5.4. Na rysunku tym zaznaczono dodatnie zwroty sił przekrojowych. Jak wiadomo z poprzednich rozdziałów siła normalna jest dodatnia jeżeli powoduje rozciąganie pręta. Moment zginający jest dodatni, wtedy kiedy powoduje rozciąganie dolnych włókien pręta. Natomiast siła poprzeczna T(x) jest

9 dodatnia jeżeli będzie kręciła odciętą częścią pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Oczywiście w drugiej części belki także będą działały siły przekrojowe. Ich dodatnie zwroty przedstawia rysunek 5.4. q P RAX A B RAY RB L1 L Rys. 5.3. Belka swobodnie podparta z siłami czynnymi i biernymi. q q P M(x) RAX A N(x) M(x) X B N(x) T(x) T(x) RAY Zgl x RB L1-x L Rys. 5.4. Część belki z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Jak widać na rysunku 5.4 reakcja RAX wynosi zero. Powoduje to, że siła normalna N(x) w dowolnym przekroju także wynosi zero (z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na oś X). Pozostałe siły przekrojowe wyznacza się z następujących warunków równowagi (stosuje się także zasadę zesztywnienia): 1. moment zginający M(x) z warunku sumy momentów statycznych wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym znajduje się przekrój,. siłę poprzeczną T(x) z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na oś Zgl. Przypadek, w którym siła normalna wynosi zero występuje w większości belek, ponieważ belki z reguły nie są obciążone siłami poziomymi. Obciążenie poziome występuje na przykład w belkach podsuwnicowych, w których występują siły od hamowania suwnicy. Przykładową belkę podsuwnicową przedstawia rysunek 5.5. Na rysunku 5.5 zostały zaznaczone także siły pionowe od nacisku kół suwnicy. Ponieważ suwnica znajduje się w ruchu analiza belki podsuwnicowej jest zagadnieniem trudnym i wykraczającym poza zakres niniejszego wykładu. W przypadku ram płaskich reakcje wyznacza się podobnie jak dla belek z tą różnicą, że wszystkie reakcje w większości przypadków ram są różne od zera. Pociąga to za sobą fakt, że siły normalne w prętach ramy są także różne od zera. Przykładową ramę płaską z działającymi na nią siłami czynnymi i biernymi przedstawia rysunek 5.6. Równowagę odciętej części ramy przedstawia rysunek 5.7. Siłę normalną oraz siłę poprzeczną wyznacza się z sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część ramy na oś X oraz Zgl. Moment zginający oblicza się z identycznego warunku równowagi jak w przypadku belek.

10 Rys. 5.5. Belka podsuwnicowa. q1 q q3 RAX A RAY B RB Rys.5.6. Rama płaska z siłami czynnymi i biernymi. Przedstawione na rysunku 5.7 obciążenie q1 jest obciążeniem równomiernie rozłożonym na rzut poziomy pręta ukośnego. Wypadkową z tego typu obciążenia oblicza się mnożąc wartość obciążenia q1 przez długość rzutu poziomego pręta ukośnego. Oprócz tego typu obciążenia w przypadku prętów prostoliniowych ukośnych mamy do czynienia z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym q na długości pręta. Wypadkową z tego typu obciążenia oblicza się mnożąc wartość obciążenia q przez długość pręta ukośnego. Pod wpływem sił wewnętrznych belka lub rama przemieszcza się. Przemieszczenia belki swobodnie podpartej obciążonej siłą skupioną (a właściwie obciążeniem równomiernie rozłożonym na małej powierzchni) na środku przedstawia schematycznie na modelu z gąbki rysunek 5.8. Podobny przypadek przedstawia rysunek 5.9. Rysunek 5.30 przedstawia porównanie przemieszczeń ramy obciążonej siłą skupioną (a właściwie także obciążeniem równomiernie rozłożonym na małej powierzchni) z belką swobodnie podpartą obciążoną w sposób podobny do obciążenia ramy. Z rysunków 5.9 i 5.30 widać, że pod wpływem siły pionowej w dół dolne włókna belki i poziomego pręta ramy (nazywanego ryglem) są rozciągane natomiast górne włókna ściskane. Na rysunku 5.30 widać także, że przemieszczenia pionowe belki są większe niż w ryglu ramy. Dzieje się tak, ponieważ w przypadku ramy do współpracy włączają się także pionowe pręty ramy (słupy).

q1 11 q1 M(x ) N(x ) T(x ) X M(x ) N(x ) q T(x ) Z gl q3 RAX A B RAY RB Rys. 5.7. Równowaga odciętej części ramy płaskiej. Rys. 5.8. Przemieszczenia belki swobodnie podpartej. Rys. 5.9. Przemieszczenia belki swobodnie podpartej.

1 Rys. 5.30. Porównanie przemieszczeń ramy płaskiej i belki swobodnie podpartej. 5.3 Zależności między siłami przekrojowymi Rozpatrując równowagę wyciętej części pręta o długości dx obciążonego obciążeniem ciągłym prostopadłym do osi pręta q(x) oraz obciążeniem ciągłym równoległym do osi pręta h(x) można wyznaczyć zależności pomiędzy siłami przekrojowymi. Wycinek pręta przedstawia rysunek 5.31. q T M+dM h N M O X N+dN T+dT Zgl dx Rys. 5.31. Równowaga wycinka pręta o długości dx. Wykorzystując sumę rzutów wszystkich siła na oś X otrzymano wzór (3.45) dn = h x. dx (5.4) Wykorzystując sumę rzutów wszystkich siła na oś Zgl otrzymano

13 T T dt q dx=0. (5.5) dt = q x. dx (5.6) Ostatecznie otrzymano Wykorzystując sumę momentów statycznych względem punktu O otrzymano dx M M dm T dx q dx =0. (5.7) q dx jest wypadkową z obciążenia ciągłego q(x). Przyjęto, że na całym odcinku dx obciążenie q(x) jest stałe. Iloczyn q dx dx jest bardzo mały w porównaniu z pozostałymi składnikami We wzorze (5.5) i (5.7) wzoru (5.7) i możemy go pominąć. Ostatecznie wzór (5.7) będzie miał postać dm =T x. dx (5.8) Wzory (5.4), (5.6) oraz (5.8) nazywamy równaniami różniczkowymi równowagi. 5.4 Naprężenia normalne i styczne Przy założeniu, że obciążenie siłami czynnymi i biernymi działa w płaszczyźnie XZ w dowolnym przekroju pręta powstaną siły przekrojowe pokazane na rysunku 5.3. Siła normalna N powoduje powstanie w przekroju pręta naprężeń normalnych, które oblicza się według wzoru X= N, A (5.9) w którym A oznacza pole powierzchni przekroju pręta. Moment zginający M=MYgl powoduje powstanie w przekroju naprężeń normalnych, które oblicza się według wzoru X= M ygl z. I ygl gl (5.10)

14 P1 q(x) T=Tzgl N M=Mygl X Y=Ygl Z=Zgl Rys. 5.3. Siły przekrojowe. Jeżeli w przekroju działają siła normalna i moment zginający to naprężenia normalne oblicza się według wzoru X= N M ygl z. A I ygl gl (5.11) Pod wpływem działania siły poprzecznej T=TZgl w przekroju pręta powstaną naprężenia styczne txz. Naprężenia te działają na płaszczyźnie przekroju pręta i mają zwrot zgodny ze zwrotem siły poprzecznej TZgl. Sumując wszystkie naprężenia na całym polu przekroju otrzymano jako wypadkową siłę poprzeczną TZgl T Zgl = XZ da. (5.1) A Obliczenie ścisłe naprężeń stycznych dla dowolnego kształtu przekroju pręta jest trudne. Jeżeli jednak znany jest rozkład naprężeń normalnych sx to dobre przybliżenie można uzyskać analizując równowagę pewnych fragmentów pręta. Przedstawia to rysunek 5.33. Przyrost naprężenia normalnego musi zostać zrównoważony siłą poziomą wynikającą z naprężeń stycznych tzx, które działają na pole o wymiarach b(z) na dx. Naprężenie styczne tzx to naprężenie, które leży na płaszczyźnie o normalnej Z=Zgl (prostopadłe do osi Z) i jest ono równe naprężeniu stycznemu txz (zostanie to udowodnione później). Zapisując równanie równowagi wszystkich sił na oś X otrzymano (A' jest polem powierzchni przekroju leżącym poniżej punktu, w którym obliczamy naprężenia styczne) [ bl d X da ' = ZX dy A' b p ] dx. (5.13)

T+dT M+dM ZX XZ Z=Zgl M Ygl z I Ygl 1 gl bp(zgl) b(zgl) X dx X d X XZ bl(zgl) dx zdgl T z1gl M zgl z=zgl Y=Ygl X d X X T=Tzgl 15 XZ Rys. 5.33. Równowaga fragmentu pręta. Naprężenia normalne od działania momentu zginającego w punkcie o dowolnej współrzędnej z1gl wynoszą X= M Ygl, z I Ygl 1 gl (5.14) w którym z1gl zmienia się wartości zgl do zdgl. Przyrost naprężenia normalnego sx wynikający ze zmiany współrzędnej z1gl wynosi d X= x d M ygl z 1 gl z dx= dx=t Zgl 1 gl dx. x dx I Ygl I Ygl (5.15) Równanie (5.15) podstawiano do (5.13) i otrzymano [ bl ZX dy b p ] [ dx= ] T Zgl z da ' dx I Ygl A' 1 gl (5.16) Całka występująca po prawej stronie wzoru (5.16) oznacza moment statyczny pola A' względem osi Ygl i wynosi

S Ygl z gl = z 1 gl da '. A' 16 (5.17) Ostatecznie otrzymano bl ZX dy= b p T Zgl x S Ygl z gl. I Ygl (5.18) Ze wzoru (5.18) nie można jednoznacznie określić naprężeń tzx. Zazwyczaj zadowalamy się wartością średnią tego naprężenia ZX na aktualnej szerokości przekroju b(zgl). Rozkład naprężeń stycznych tzx możemy więc przyjąć jako stały na linii o współrzędnej zgl i wynoszący XZ ZX = XZ = T Zgl x S Ygl z gl. b z gl I Ygl (5.19) We wzorze (5.19) b(zgl) oraz IYgl przyjmują zawsze wartości dodatnie, natomiast TZgl oraz SYgl mogą przyjmować także wartości ujemne. Aby uniknąć problemów ze znakiem siły poprzecznej oraz momentu statycznego zaleca się podstawiać do wzoru (5.19) wartość bezwzględną powyższych wielkości. Wzór (5.19) będzie miał więc postać T x S Ygl z gl. XZ = Zgl b z gl I Ygl (5.19)1 Tensor naprężenia w przypadku działania momentu zginającego, siły normalnej oraz siły poprzecznej będzie miał ostatecznie postać [ X 0 = 0 0 ZX 0 XZ 0 0 ]. (5.0) Tensor (5.0) przedstawia stan naprężenia w sposób ścisły tylko dla przekroju prostokątnego. Przekrój taki przedstawia rysunek 5.34.

17 T=Tzgl zgl h Y=Ygl Z=Zgl b Rys. 5.34. Przekrój prostokątny obciążony siłą poprzeczną. Szerokość przekroju b(zgl) równa się b, moment bezwładności względem osi Ygl wynosi natomiast I Ygl = b h3. 1 (5.1) Moment statyczny części przekroju pręta leżącego poniżej miejsca, w którym wyznacza się naprężenia styczne wynosi [ ] [ ] h h 1 h b h S Ygl z gl =b z gl z gl = z gl. (5.) Po podstawieniu wzorów (5.1) i (5.) oraz wartości b(zgl) do wzoru (5.19)1 otrzymano wzór na obliczenie naprężeń stycznych w przekroju prostokątnym [ ] T z gl XZ = Zgl 1 h A 3. (5.3) Jak widać naprężenia styczne na wysokości przekroju prostokątnego są parabolą. Maksymalna wartość naprężenia występuje w środku ciężkości przekroju prostokątnego. Wykres naprężeń stycznych na wysokości przekroju prostokątnego przedstawia rysunek 5.35. Naprężenia styczne txz są oczywiście dodatnie, ponieważ mają zwrot zgodny ze zwrotem osi Z=Zgl.

18 T=Tzgl Y=Ygl h + Z=Zgl b XZ Rys. 5.35. Wykres naprężeń stycznych w przekroju prostokątnym. Wzór (5.19) i (5.19)1 można także wykorzystywać dla przekrojów nieprostokątnych. Pojawiają się wówczas dodatkowe naprężenia styczne txy. Wynikają one z faktu, że naprężenia styczne w punktach leżących na konturze przekroju muszą być do niego styczne. Rysunek 5.36 przedstawia naprężenia styczne w punkcie znajdującym się na konturze przekroju kołowego. T=Tzgl XY zgl Y=Ygl A X XZ C Z=Zgl Rys. 5.36. Naprężenia styczne w punkcie A. Jak widać na rysunku 5.36 wypadkowe naprężenie styczne tx znajduje się na stycznej do konturu w punkcie A. Można je rozłożyć na składowe naprężenia styczne txy oraz txz. Naprężenia w punkcie B znajdującym się na odcinku o takiej samej współrzędnej zgl jak punkt A przedstawia rysunek 5.37. Wypadkowe naprężenie styczne tx znajduje się na odcinku przechodzącym przez punkty B i C. Naprężenia txz są oczywiście równe w punktach A i B.

19 T=Tzgl XY B zgl Y=Ygl XZ X C Z=Zgl Rys. 5.36. Naprężenia styczne w punkcie B. 5.5 Zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami Naprężenia styczne będą powodowały powstanie odkształceń nazywanych postaciowymi. Odkształcenia tego typu powodują zmianę kształtu elementarnego wycinka pręta bez zmiany jego wymiarów. Odkształcony elementarny wycinek ciała przedstawia rysunek 5.37. X XZ XZ Z=Zgl Rys. 5.37. Odkształcony elementarny wycinek belki pod wpływem naprężeń stycznych. Odkształcenie postaciowe exz ma wartość 1 XZ = XZ = XZ, G (5.4) w którym G jest modułem Kirchhoffa lub modułem ścinania. Równanie (5.4) nazywamy równaniem fizycznym w przypadku ścinania. Moduł ścinania G jest zależny od modułu Younga E oraz współczynnika Poissona n i jest opisany zależnością

G= 0 E. 1 (5.5) Macierz odkształceń dla łącznego działania siły poprzecznej T i momentu zginającego M ma postać [ X XY XZ = YX X 0 ZX 0 X ]. (5.6) Macierz (5.6) jest symetryczna, ponadto dwa naprężenia styczne są równe zero. Zależności te opisują poniższe wzory XY = YX, XZ = ZX. YZ = ZY =0 (5.7) 5.6 Zależności energetyczne Rozważania ograniczono do przekroju prostokątnego obciążonego siłą poprzecznej TZ=TZgl. Tensor naprężenia w takim przypadku ma postać [ XZ 0 0 0 0 = 0 0 ZX 0 ]. (5.8) Wartość całki objętościowej z iloczynu tensora naprężenia i tensora odkształcenia przy działaniu siły poprzecznej ma postać [ dv = XZ XZ ZX ZX dv = XZ XZ ZX ZX da V V s A ] ds. (5.9) Całkę objętościową zamieniamy na całkę po polu powierzchni przekroju pręta A oraz po długości pręta s. Elementarne wielkości wynoszą da oraz ds. Ze względu na to, że tensory naprężenia i odkształcenia są symetryczne wzór (5.9) możemy zapisać [ dv = XZ XZ da V s A ] ds. (5.30)

1 Podstawiając (5.19) do (5.4) odkształcenie postaciowe będzie wynosiło T x S Ygl z gl. 1 XZ = XZ = XZ = Zgl G G b z gl I Ygl (5.31) Uwzględniając wzory (5.19) i (5.31) wzór (5.30) będzie miał postać [ dv = XZ XZ da V s A ] ds= [ s A T Zgl x S Ygl z gl G b z gl I Ygl ] da ds. (5.3) Siła poprzeczna, moment bezwładności oraz moduł ścinania nie zależą od pola powierzchni A, możemy je wyciągnąć przed znak całki i ostatecznie otrzymamy dv = V s [ T Zgl x G I Ygl S Ygl z gl A b z gl ] da ds. (5.33) Wprowadzając współczynnik zależny od kształtu przekroju w postaci S Ygl z A k = gl da, I Ygl A b z gl (5.34) wzór (5.33) będzie miał postać dv = V s T Zgl x G A k ds. (5.35) Współczynnik k jest bezwymiarowy i na przykład dla przekroju prostokątnego wynosi 1,. Wielkość = T Zgl x G A k (5.36)

nazywa się średnim kątem ścinania. Jeżeli pręt jest liniowo-sprężysty (czyli zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami jest liniowa prawo Hooke'a), to energia sprężysta zawarta wewnątrz pręta wynosi U =U T = 1 T Zgl x ds. s G A k (5.37)

3