ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY



Podobne dokumenty
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

Analiza funkcjonalna 1.

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

Przestrzenie wektorowe

14. Przestrzenie liniowe

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

Algebra liniowa z geometrią

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Grupy, pierścienie i ciała

9 Przekształcenia liniowe

3 Przestrzenie liniowe

Podstawowe struktury algebraiczne

F t+ := s>t. F s = F t.

Podstawowe struktury algebraiczne

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Zastosowania wyznaczników

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

13 Układy równań liniowych

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Twierdzenie spektralne

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań liniowych

i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Przestrzenie liniowe

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Kombinacje liniowe wektorów.

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

1 Określenie pierścienia

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

1 Elementy logiki i teorii mnogości

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

4. Granica i ciągłość funkcji

Programowanie liniowe

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Ciągłość funkcji f : R R

Przestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

1. Określenie pierścienia

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Własności wyznacznika

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Układy liniowo niezależne

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

III. Funkcje rzeczywiste

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Aproksymacja diofantyczna

Matematyka dyskretna

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

020 Liczby rzeczywiste

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Zasada indukcji matematycznej

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

1 Pochodne wyższych rzędów

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Transkrypt:

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik.

Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy geometryczną intuicję wprowadzanych pojęć: Wektory (1, 0) i (0, 1): R R 2 = R R 1 są liniowo niezależne: (1, 0) r(0, 1), 1 (0,1) 2 rozpinają R 2 : (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), (1,0) 3 tworzą bazę R 2 : spełniają 0 1 R powyższe 2 warunki. Wektory (1, 2) i (2, 4) nie są liniowo niezależne: (2, 4) = 2(1, 2). Nie rozpinają też R 2 : a(1, 2) + b(2, 4) = (a + 2b)(1, 2), a (1, 1) r(1, 2). 2/10

Liniowa niezależność Definicja Niech R będzie dowolnym pierścieniem, a M dowolnym lewym R-modułem. Niech S M. Podzbiór S nazywamy liniowo niezależnym, a o jego elementach mówimy że są liniowo niezależne, wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego skończonego podzbioru I S: r m m = 0 = m I : r m = 0. m I Jeśli powyższa implikacja zachodzi dla skończonego zbioru I, to zachodzi też dla każdego podzbioru J I: r m m = 0 = r m m + 0n = 0 = r m = 0. m J m J m J n I\J Dlatego, jeśli zbiór S jest skończony, wystarczy definiować liniową niezależność przez warunek r m m = 0 = m S : r m = 0. m S 3/10

Rozpinanie 4/10 Jeżeli podzbiór S jest liniowo niezależny, to 0 / S lub R = 0. Zbiory które nie są liniowo niezależne nazywamy liniowo zależnymi, a elementy zbiorów liniowo zależnych nazywamy liniowo zależnymi. Definicja Niech R będzie pierścieniem, M lewym R-modułem oraz S M. Przestrzenią rozpinaną przez S nazywamy zbiór wszystkich skończonych kombinacji liniowych elementów S: { span(s) := r m m M m S m S : r m R, tylko skończona ilość r m 0 }. Podzbiór span(s) jest podmodułem M: r m m + s m m = (r m + s m )m span(s), m S m S m S r r m m = m )m span(s). m S m S(rr

Pierścień jako lewy moduł nad sobą 5/10 Rozważmy pierścień R jako lewy moduł nad sobą. Wtedy span({r}) = R s R : sr = 1. Istotnie, 1 R = span({r}) s R : sr = 1. Z drugiej strony, s R : sr = 1 = r R : r = r 1 = r (sr) = (r s)r span({r}). Niech R będzie niezerowym pierścieniem bez dzielników zera. Wtedy jedyne lewo-odwracalne wielomiany w R[N] to α R \ {0}. Zaiste, α 0 oraz 0 = deg(1) = deg(β α) = deg(β) + deg(α) implikuje α R \ {0}. Zatem, rozważając R[N] jako lewy R[N]-moduł, mamy n N \ {0} : span({x n }) R[N].

Lemat Q jako Z-moduł Rozważmy Q jako Z-moduł. Podzbiór S Q jest liniowo niezależny S = {r}, gdzie r 0. Dowód: Zauważmy najpierw że r 0 (nr = 0 n = 0). Jeśli p q, p q S, p q p q, to qp p q + ( q p) p q = 0, a nie jest prawdą że qp = q p = 0, bo wtedy p q = 0 = p q, co przeczy p q p q. Lemat Rozważmy Q jako Z-moduł. Niech S Q. Wtedy, jeżeli span(s) = Q, to zbiór S nie jest skończony. { Dowód: Niech S = p1 q 1,..., pn, gdzie wszystkie ułamki p i q i są w postaci względnie pierwszej (tzn. gcd(p i, q i ) = 1 i q i > 0). Wtedy x span(s) = x = n p i=1 k i (...) i q i = q 1 q 2...q n. Zatem x span(s) : mianownik x zapisanego w postaci względnie 1 pierwszej jest q 1 q 2...q n. Stąd Q (q 1...q / span(s). n)+1 q n } 6/10

Baza 7/10 Definicje Niech R będzie dowolnym pierścieniem, a M dowolnym R-modułem. Niepusty podzbiór B M nazywamy bazą M 1 B jest zbiorem liniowo niezależnym, 2 span(b) = M. Moduł nazywamy wolnym posiada bazę. Twierdzenie Modułem Q liczb wymiernych nie posiada bazy nad Z (nie jest modułem wolnym nad Z). Dowód: Żaden zbiór nie może być równocześnie jednoelementowy i nieskończony.

Elementarne fakty 8/10 1 Każdy pierścień R (nawet zerowy) jest wolnym R-modułem. Zbiór {1} jest zawsze bazą R. 2 Dowolna suma prosta i I R jest wolnym R-modułem. Bazą (kanoniczną) jest zbiór {f i Map(I, R) i, j I : f i (j) = δ ij }, gdzie δ ij jest deltą Kroneckera, tzn. δ ij = { 1 dla i = j 0 dla i j. Jeśli I = N, piszemy f i = (0,..., 0, 1, 0,...). Jeśli I = {1,..., n}, piszemy i I R = Rn. Moduł R n jest prototypem modułu wolnego, a zbiór prototypem bazy. {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0,..., 0, 1)}

Twierdzenie o bazie 9/10 Twierdzenie Jeśli M jest wolnym R-modułem z bazą B, to odwzorowanie e B jest izomorfizmem R-modułów. R f F B f(e) e M e B Dowód: Odwzorowanie F B jest ewidentnie liniowe. Skonstruujemy odwzorowanie odwrotne FB 1. Zauważmy że m M \ {0}! {r 1,..., r Nm } R \ {0}, {e 1,..., e Nm } B : m = Istotnie, przypuśćmy że mamy 2 rozkłady m 0: r e e = m = s e e. e I e J N m k=1 r k e k.

Dowód twierdzenia o bazie Wtedy 0 = m m = k I J (r k s k ) k + Z liniowej niezależności wynika że e I\J r e e + e J\I ( s e ) e. k I J : r k = s k, e I\J : r e = 0, e J\I : s e = 0. Zatem, z założenia niezerowości współczynników, I = J i rozkład m 0 w bazie jest jednoznaczny. Jest też zawsze niezerowy, więc przypsując 0 M rozkład zerowy mamy jednoznaczność rozkładu w bazie dla wszystkich m M. Możemy więc zdefiniować M m F 1 B f m R, gdzie f m (e) e := m. e N e B Jest oczywiste że F B F 1 B 1 = id i FB F B = id. 10/10