Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 8 Całkowanie numeryczne

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 8 Całkowanie numeryczne Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej

Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

Literatura 1 Baron B., Piątek Ł., Metody numeryczne w C++ Builder, Helion, Gliwice, 2004 2 Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., Metody numeryczne, WNT, Warszawa, 1993 3 Kosma Z., Metody numeryczne dla zastosowań inżynierskich, Politechnika Radomska, Radom, 2008 4 Povstenko J., Wprowadzenie do metod numerycznych, Akademicka Oficyna Wydawnicza Exit, Warszawa, 2005 5 Ralston A., Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa, 1983 6 Kącki E., Małolepszy A., Romanowicz A., Metody numeryczne dla inżynierów, Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi, Łódź, 2005 7 Vetterling W.T., Teukolsky S.A., Press W.H., Flannery B.P., Numerical Recipes, Cambridge University Press, 2003 8 Wikipedia

Całkowanie analityczne Na czym polega całkowanie numeryczne liniowe Metody numeryczne stosujemy do obliczania całek oznaczonych, w naszym przypadku z funkcji rzeczywistych jednej zmiennej, gdy trudno lub całkiem niemożliwe jest policzenie całki w sposób analityczny lub gdy znane są wartości funkcji podcałkowej tylko w niektórych punktach, zwanych węzłami. Definicja całki Niech [a, b] f (x) funkcja rzeczywista. Dokonujemy podziału odcinka [a, b] i tworzymy sumę a = x 0 < x 1 <... < x n+1 = b S n = n (x i+1 x i )f (c i ) (1) i=0 gdzie c i [x i, x j+1 ] są dowolnymi punktami pośrednimi.

Całkowanie analityczne Na czym polega całkowanie numeryczne Definicja całki c.d. Jeżeli ciąg {S n} dla n jest zbieżny do tej samej granicy S przy każdym podziale odcinka [a, b] takim, że max x i+1 x i 0 niezależnie od wyboru punktów c i, to 0 i n funkcję f (x) nazywamy całkowalną w przedziale [a, b], a granice ciągu S (1) b nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f (x) i oznaczamy f (x) dx. a liniowe Jeśli F (x) funkcja pierwotna funkcji f (x) (czyli F (x) = f (x)), to b a f (x) dx = F (b) F (a) (2)

Całkowanie analityczne Całkowanie analityczne Podstawowe całki nieoznaczone x n dx = x n+1 dx, (n 1) ; dx = ln x n + 1 x e x dx = e x ; a x dx = ax, (a > 0, a 1) ln a sin x dx = cos x ; cos x dx = sin x Całkowanie przez części df (x) g(x) dx = f (x)g(x) dx Całkowanie przez podstawienie f (x) dx = f (g(y))g (y) dy f (x) dg(x) dx dx (3)

Całkowanie analityczne Metoda prostokątów 2 1 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h Rys. 1: Metoda prostokątów

Całkowanie analityczne Metoda prostokątów Metoda prostokątów to prawdopodobnie najprostsza metoda całkowania numerycznego, jest znana jako metoda punktu środkowego (midpoint rule): x n+h x n f (x) dx h f (x n + h) (4) Jeśli funkcja f (x) zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale (x n, x n + h), reguła taka da dobre przybliżenie całki.

Całkowanie analityczne Metoda trapezów 2 1 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h Rys. 2: Metoda trapezów

Całkowanie analityczne Metoda trapezów Metoda trapezów polega na zastąpieniu pola pomiędzy linią zdefiniowaną przez funkcję f (x) o osią Ox układem trapezów, czyli krzywą f (x) aproksymujemy pewną linią łamaną. Przedział całkowania (a, b) dzielimy przy tym na n równych części o długościach: h = b a. Punktami granicznymi odcinków powstałych w wyniku tego h podziału są wówczas: x i = a + (i 1)h, i = 1,..., n + 1. Pole figury złożonej z takich trapezów wynosi S n = y 1 + y 2 2 h + y 2 + y 3 2 h +... + yn + y n+1 2 h = gdzie y i = f (x i ) wartości funkcji w punktach podziału. ( y1 2 + y 2 +... + y n + y ) n+1 2

Całkowanie analityczne Metoda trapezów Stąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów: b a f (x) dx h Oszacowanie błędu tej metody wynosi ( y1 2 + y 2 +... + y n + y ) n+1 = h 2 2 b R n = f (x) dx S n (b a)3 M 12n 2 a n (f (x i ) + f (x i+1 )) i=1, M = max [a,b] f

Całkowanie analityczne Metoda parabol 2 1 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h Rys. 3: Metoda parabol

Całkowanie analityczne Metoda parabol (Simpsona) W metodzie Simpsona dzielimy przedział całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn. h = b a 2n a całkowanie przeprowadzamy dla trzech kolejnych punktów wielomianu lagrange a: x i +2h x i f (x) dx h 3 (f i + 4f i+1 + f i+2 ) skąd dla całego przedziału (a, b) otrzymujemy: b a f (x) dx h 3 [f 0 + 4(f 1 + f 3 +... f 2n 1 ) + 2(f 2 + f 4 +... + f 2n 2 )]

Całkowanie analityczne Gaussa Na czym polega całkowanie numeryczne liniowe Przybliżona wartość całki n m Q(f ) = A ik f (i 1) (x ik ) (5) k=0 i=1 gdzie: A ik współczynniki kwadratury liniowej, x ik węzły kwadratury. Definicja b Mówimy, że kwadratura jest rzędu r, gdy w(x) dx = Q(w) dla wszystkich a wielomianów w(x) stopnia mniejszego od r, natomiast istnieje taki wielomian w(x) b stopnia r, że w(x) dx Q(w) a

Spis treści Całkowanie analityczne Gaussa 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

Całkowanie analityczne Gaussa (całkowanie) Newtona-Cotesa polega na zastąpieniu funkcji podcałkowej wielomianem interpolacyjnym Lagrange a zdefiniowanym na węzłach równoodległych co generuje x k = a + k h ; k = 0, 1,..., n; h = b a n n f (x) = f (x k ) gdzie t [0, n]. k=0 j = 0 j k t j k j + hn+1 f (n+1)(ξ) p n (t) (n + 1)!

Całkowanie analityczne Gaussa Całkując stronami otrzymujemy b a f (x) dx = n H j f (x j ) + E (6) j=1 gdzie H k = h n 0 j = 0 j k t j k j dt, błąd kwadratury, p n (t) = n (t j) j=0 E = hn+2 (n+1)! n p n (t)f (n+1) (ξ(t)) dt 0

Całkowanie analityczne Gaussa Twierdzenie Rząd kwadratury wynosi co najmniej n + 1 wtedy i tylko wtedy, gdy kwadraturą jest kwadratura Newtona-Cotesa. Twierdzenie Rolle a (o wartości średniej) Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f jest różniczkowana w każdym punkcie odcinka (a, b) oraz f (b) = f (a), to istnieje taki punkt c (a, b), że f (c) = 0. Wniosek Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f jest różniczkowalna we wszystkich punktach odcinka (a, b) oraz f (x) 0 dla każdego z nich, to wtedy f (a) f (b).

Całkowanie analityczne Gaussa 1. Przykład zastosowania Twierdzenia (wzór trapezów) Jeżeli n = 1, to x 0 = a, x 1 = b, h = b a, to 1 H 0 = h 0 t 1 0 1 dt = 1 1 2 h, H 1 = h i jeśli f C 2 [a, b] z twierdzenia o wartości średniej E = 1 2! h3 gdzie ξ (a, b), co daje 1 Otrzymany wynik to wzór trapezów. 0 0 t 0 1 0 dt = 1 2 h, (t 0)(t 1)f (2) (ξ(t))dt = h3 12 f (2) (ξ), (7) Q(f ) = b a (f (a) + f (b)). (8) 2

Całkowanie analityczne Gaussa 2. Przykład zastosowania Twierdzenia (wzór Simpsona) Jeżeli n = 2, to x 0 = a, x 1 = a + h = a + b, x 2 = b, h = b a 2 2, to 2 H 0 = h 0 (t 1)(t 2) (0 1)(0 2) dt = 1 2 3 h, H 1 = h 0 (t 0)(t 2) (1 0)(1 2) dt = 4 3 h, czyli 2 (t 0)(t 1) H 2 = h (2 0)(2 1) dt = 1 3 h, 0 Q(f ) = b a 6 [ ( )] a + b f (a) + 4f + f (b) 2 Otrzymany wynik to wzór parabol (wzór Simpsona). (9)

Spis treści Całkowanie analityczne Gaussa 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa Sformułowanie metody Metoda pozwala na obliczanie całek z funkcją wagową p(x) b a p(x)f (x)dx dla n + 1 węzłów rozłożonych niekoniecznie równomiernie, ale takich, że x i x j dla i j. Założenie: przedział [a, b] jest skończony. Zadanie: tak dobrać rozkład węzłów i współczynniki wielomianu interpolacyjnego, by rząd kwadratury był jak najwyższy.

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa Właściwości wielomianów ortogonalnych Niech ciąg wielomianów (P n (x)) P 0 (x),..., P N (x),... (10) będzie ciągiem wielomianów ortogonalnych na odcinku [a, b] z wagą p(x), czyli (P r, P s ) = b p(x)p r P s dx = 0 dla r s a

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa Właściwości wielomianów ortogonalnych Wtedy Wielomiany ortogonalne (10) mają tylko pierwiastki rzeczywiste jednokrotne leżące na przedziale (a, b) Nie istnieje kwadratura postaci S(f ) = N A k f (x k ), (11) k=0 gdzie A k = b p(x)φ k (x)dx (12) a p(x) funkcja wagowa, a

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa Właściwości wielomianów ortogonalnych c.d. Φ k (x) = (x x 0)... (x x k 1 )(x x k+1 )... (x x N ) (x k x 0 )... (x k x k 1 )(x k x k+1 )... (x k x N ) rzędu wyższego niż 2(N + 1). Kwadratura (11) o współczynnikach A k określonych wzorem (12) jest rzędu 2(N + 1) wtedy i tylko wtedy, gdy x k są pierwiastkami wielomianu P N+1 z ciągu (10). Wszystkie współczynniki A k w kwadraturach Gaussa są dodatnie. Gaussa zależą od wyboru funkcji wagowej!

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla skończonego przedziału Kwadraturę najwyższego rzędu z wagą p(x) = 1 nazywamy kwadraturą Gaussa-Legendre a. Niech [a, b] = [ 1, 1]. Dla wagi p(x) = 1 ciąg wielomianów ortogonalnych tworzą wielomiany Legendre a Współczynniki i błąd kwadratury: d n P n (x) = 1 2 n n! dx n (x 2 1) n (13) 2 A k = (N + 2)P N+2 (x k )P N+1 (x k), E(f ) = 22N+3 ((N + 1)!) 4 (2N + 3)((@N + 2)!) 3 gdzie x k sa zerami wielomianu P N+1 (x). (14)

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla skończonego przedziału Dla innego przedziału stosujemy transformację przedziału i zmianę zmiennej całkowania t = a + b 2 ( a + b gdzie g(x) = f 2 + b a 2 x, b a + b a ) 2 x. f (t)dt = b a 2 1 1 g(x)dx Gaussa-Jacobiego: p(x) = (1 x) α (1 x) β, gdzie α, β > 1, [a, b] = [ 1, 1] Gaussa-Czebyszewa: p(x) = (1 x 2 ) 1/2, gdy przedział dowolny, to sprowadzamy do [ 1, 1].

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla nieskończonego przedziału 1. Przedział jednostronnie nieskończony [0, ] Waga p(x) = e x, a dla niej jako ciąg wielomianów ortogonalnych na [0, ] wielomiany Laguerre a L n (x) = ( 1) n e x d n Przyjęta waga zapewnia zbieżność. Mamy A k = dx n (x n e x ) (15) ((N + 1)!) 2 ((N + 1)!)2, E(f ) = L N+1 (x k )L N+2 (x k ) (2N + 2)! f (2N+2) (η) (16) gdzie x k zera wielomianu Laguerre a L N+1 (x), η (0, ).

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla nieskończonego przedziału 1. Przedział jednostronnie nieskończony [0, ] c.d. Wzór przybliżonego całkowania (kwadratura Gaussa-Laguerre a) 0 e x f (x)dx S(f ) = N A k f (x k ) (17) k=0

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla nieskończonego przedziału 2. Przedział obustronnie nieskończony [, ] Waga p(x) = e x 2, a dla niej jako ciąg wielomianów ortogonalnych na [, ] wielomiany Hermite a H n (x) = ( 1) n e x 2 d n Przyjęta waga zapewnia zbieżność. Mamy dx n e x 2 (18) A k = 2 N+2 (N + 1)! H N+1 (x k)h N+2 (x k ), E(f ) = ((N + 1)!)2 π 2 N+1 (2N + 2)! f (2N+2) (η) (19) gdzie x k zera wielomianu Hermite a H N+1 (x), η (, ).

Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla nieskończonego przedziału 1. Przedział obustronnie nieskończony [, ] c.d. Wzór przybliżonego całkowania (kwadratura Gaussa-Hermite a) e x 2 N f (x)dx S(f ) = A k f (x k ) (20) k=0

Całkowanie analityczne Całka podwójna b d a c f (x, y)dydx (21) Przy pomocy dowolnej kwadratury obliczamy funkcję d n 1 F (x) = f (x, y)dy = H j f (x, y) + E[f (x, y)] (22) c j=0

Koniec? :-( Całkowanie analityczne Koniec wykładu 8