Elementy kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. dr Anna Piekarska-Stachowiak Katedra Biofizyki i Morfogenezy Roślin
Kombinatoryka Dział matematyki zajmujący się znajdowaniem liczebności pewnych zbiorów skończonych, związanych z porządkowaniem i losowaniem. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej. Kombinatoryka posługuje się terminologią nie występującą w innych działach matematyki, stąd pozorna jej odrębność.
Permutacje Permutacją zbioru skończonego nazywamy każde ustawienie wszystkich jego elementów w dowolnej kolejności. Dwie permutacje uważamy za różne, gdy przynajmniej dwa elementy występują w nich na różnych miejscach. Przykład 1 Mamy tkaniny w trzech kolorach: żółtym, czerwonym i zielonym. Ile różnych trójkolorowych flag można uszyć z tych trzech kolorów? Możliwe ułożenie kolorów na flagach: Odpowiedź: Z trzech kolorów tkanin możliwe jest uszycie sześciu różnych trójkolorowych flag
Na ile sposobów możemy uporządkować zbiór złożony z n elementów? Jako pierwszy możemy wziąć dowolny element z naszego zbioru, zatem mamy n możliwości. Po wybraniu pierwszego elementu pozostaje nam n-1 elementów zbioru, zatem mamy n-1 możliwości wzięcia drugiego elementu. Dwa pierwsze elementy możemy wybrać na n(n-1) sposobów. Kolejny element możemy wziąć na n-2 sposoby, zatem trzy elementy możemy wybrać na n(n-1)(n-2) sposobów. Kontynuując powyższe postępowanie aż do ostatniego elementu otrzymamy wzór na liczbę permutacji zbioru n-elementowego n(n-1)(n-2)(n-3) 3 2 1=n! Symbol n! Wprowadzono do matematyki w 1808 roku. 0!=1 1!=1 2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 6!=720 7!=5 040 8!=40 320
Przykład 2 Na ile sposobów można ustawić w kolejce trójkę dziewcząt i dwójkę chłopców? Rozwiązanie: Wszystkich ustawień jest (3+2)!=5!=120. Przykład 3 Na ile sposobów można ustawić w kolejce trójkę dziewcząt i dwójkę chłopców przy założeniu, że dziewczęta mają stać przed chłopcami? Rozwiązanie: Dziewczęta możemy ustawić na 3!, a chłopców na 2! sposobów. Zatem razem można ich ustawić na 3! 2! =2 6=12 sposobów Niech A,B,C oznaczają dziewczęta, K,L chłopców. Mamy zatem następujące możliwości ustawienia: ABC KL, ACB KL, BAC KL, BCA KL, CAB KL, CBA KL ABC LK, ACB LK, BAC LK, BCA LK, CAB LK, CBA LK,
Przykład 4 Na ile sposobów spośród dziewięciu słów wybrać sześć, gdy kolejność tych słów jest istotna? Rozwiązanie: Na pierwszym miejscu możemy umieścić dowolne z 9 słów, na drugim - dowolne z pozostałych 8,..., na szóstym jedno z 4 wcześniej niewykorzystanych. Zatem na mocy reguły mnożenia rozpatrywany dwuwiersz można uzupełnić sześć spośród dziewięciu słów na : 9*8*7*6*5*4=60480 sposoby.
Wariacje bez powtórzeń Jeżeli kolejność w jakiej dokonujemy wyboru jest istotna, a każdy element może być wybrany tylko raz, to spośród danych n różnych elementów, k elementów można wybrać na: n*(n-1)*(n-2)*...*(n-(k-1)) sposobów.przy n=k wzór ten przyjmuje postać: n*(n-1)*(n-2)*...*2*1=n! Wariacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n-elementowego (k n) nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów tego zbioru. Liczba wariacji bez powtórzeń k-elementowych ze zbioru n- n! elementowego wyraża się wzorem: V k n = (n - k)!
Wariacje z powtórzeniami Jeśli kolejność w jakiej dokonujemy wyboru jest istotna, a każdy element może być wybierany wielokrotnie, to spośród danych n różnych elementów, k elementów można wybrać na n*n*n*n*...*n=n k sposobów. Wariacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych lub takich samych elementów tego zbioru. Liczba wariacji z powtórzeniami k-elementowych ze zbioru n- elementowego wyraża się wzorem: W k n = n k
Przykład 5 Ile jest a) wszystkich liczb czterocyfrowych, b) liczb czterocyfrowych, w których wszystkie cyfry są różne? Rozwiązanie: a) Na pierwszym miejscu może być dowolna cyfra oprócz 0 (mamy 9 możliwości), na pozostałych trzech miejscach może być dowolna cyfra (10 możliwości). Wszystkich liczb czterocyfrowych mamy: 9*10*10*10=9000. b) Na pierwszym miejscu może być dowolna cyfra oprócz 0 (9 możliwości), na drugim miejscu dowolna oprócz tej, która jest na miejscu pierwszym (9 możliwości), na trzecim miejscu - dowolna oprócz dwu pierwszych (8 możliwości), na czwartym miejscu dowolna oprócz trzech pierwszych (7 możliwości). Wszystkich liczb czterocyfrowych, w których wszystkie cyfry są różne jest: 9*9*8*7=4536.
Kombinacje Kombinacją k elementów spośród n elementów tworzących pewien zbiór nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru. Dwie kombinacje uważamy za różne, gdy jakiś element występuje w jednej z tych kombinacji, a nie występuje w drugiej. Przykład 6 Wypisz wszystkie kombinacje k elementów spośród A,B,C,D, dla k=0,1,2,3,4. k=0 k=1 A B C D k=2 AB AC AD BC BD CD k=3 ABC ABD ACD BCD k=4 ABCD
Symbol Newtona nazywany też współczynnikiem dwumianowym, (czytamy n nad k, n po k lub k z n) jest to funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, zdefiniowana jako n k = n! k! n k! = n (n 1) (n k + 1) 1 2 k Własności symbolu Newtona n 0 = n n = 1 n 1 = n n 1 = n n k = n n k Liczba kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego wyraża się wzorem C k n= n k
Trójkąt Pascala 1 1 1 1 1+1 1 1 1+2 2+1 1 1 1+3 3+3 3+1 1
Trójkąt Pascala 0 1 0 1 1 0 1 4 1 0 3 0 1 2 2 1 1+1 1 2 0 1 2 3 3 1+2 1 2+1 2 4 1+3 3+3 4 4 1 3+1 2 3 1 3 3 4 1 4
Probabilistyka Probabilistyka (rachunek prawdopodobieństwa) dział matematyki zajmujący się badaniem zjawisk losowych i praw rządzącymi tymi zjawiskami. Rachunek prawdopodobieństwa zaczął się kształtować w XVI wieku gdy zaczęto zauważać pewne prawidłowości w grach hazardowych. Pierwszy dostrzegł je i próbował opisać matematyk włoski Geronimo Cardano (1501-1576). Poważniejszy rozwój rachunku prawdopodobieństwa nastąpił w wieku XVII dzięki pracom P. de Fermat'a i B. Pascal'a (matematycy francuscy). - - -
Probabilistyka Za twórcę rachunku prawdopodobieństwa jako działu matematyki uważamy szwajcarskiego matematyka Jakuba Bernoullie'go, który opracował te zagadnienia w wieku XVII. Duży wkład i szybki rozwój tej nauki nastąpił w XIX wieku dzięki pracom Gaussa, Laplace'a, Czybyszewa. Pełnego opracowania i sformalizowania doczekał się rachunek prawdopodobieństwa dopiero w wieku XX dzięki pracom A. Kołogomorowa, matematyka rosyjskiego. Rachunek prawdopodobieństwa stał się podstawą nowoczesnej fizyki - fizyki kwantowej opisującej zachowanie się mikrocząstek. Fizycy kwantowi wykazali, że w świecie mikrocząstek obowiązują prawa probabilistyczne czyli oparte na rachunku prawdopodobieństwa.
Pojęcia podstawowe Doświadczenie losowe doświadczenie, które jest powtarzalne ( może być przeprowadzone wielokrotnie w tych samych warunkach) i którego wyniku nie można jednoznacznie przewidzieć. Częstość zdarzenia A- liczba pojawień zdarzenia A podzielona przez liczbę obserwowanych doświadczeń. Doświadczenia losowe charakteryzują się tym, że w długiej serii powtórzeń danego doświadczenia częstości poszczególnych wyników stabilizują się wokół pewnych liczb, które zazwyczaj są przyjmowane jako prawdopodobieństwa tych wyników. Z każdym doświadczeniem losowym związany jest zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia. Zbiór ten oznaczany jest grecką literą i nazywany jest przestrzenią wyników lub przestrzenią zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego.
Zdarzenia losowe Załóżmy, że dana jest skończona przestrzeń wyników ={ 1, 2,..., n } pewnego doświadczenia losowego. Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni Jeśli A, to zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A = \A. Zdarzeniem pewnym nazywamy zbiór, zdarzeniem niemożliwym nazywamy pusty podzbiór zbioru, czyli. O takich dwóch zdarzeniach A i B, dla których A B= mówimy, że są to zdarzenia rozłączne. Jeśli A jest zdarzeniem losowym, to o każdym zdarzeniu elementarnym i (i=1,2,...,n) należącym do A mówimy, że sprzyja zdarzeniu A.
Przykład 7 Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie dwiema różnymi monetami. Wyznacz przestrzeń wyników tego doświadczenia. Podaj przykłady trzech różnych zdarzeń związanych z tym doświadczeniem. Rozwiązanie: ={(o,r), (o,o), (r,r), (r,o)}, zatem jest zbiorem czteroelementowym Przykładowe zdarzenia: A- wypadł co najmniej jeden orzeł; B- wypadły dwie reszki; C- na każdej monecie wypadło co innego A={(o,o), (o,r), (r,o)} B={(r,r)} C={(o,r), (r,o)}
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω będzie daną skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu A Ω jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że: P(A) 0, P(Ω) = 1, B Ω i A B = Ø P(A B) = P(A) + P(B) to mówimy, że na zdarzeniach zbioru Ω określone zostało prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeżeli przestrzeń jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (możliwe), natomiast A jest dowolnym zdarzeniem w tej przestrzeni, to P A = A Ω A liczba elementów zbioru A Ω liczba elementów zbioru Ω
Własności prawdopodobieństwa P(Ø) = 0, P(Ω) = 1, P(A') = 1 - P(A), P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B), A B P(A) P(B). Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,..., A n wykluczają się parami, to P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... + P(A n ) Jeżeli A B, to P(B\A)=P(B)-P(A) oraz P(A) P(B)
Przykład 8 Oblicz prawdopodobieństwo, że przy trzykrotnym rzucie symetryczną kostką trzy razy pod rząd wypadnie parzysta liczba oczek. Rozwiązanie: = {(x,y,z): x,y,z {1,2,3,4,5,6}}. Ω = 6 3 = 216 A={(x,y,z): x,y,z {2,4,6}} A = 3 3 = 27 Zatem P A = A Ω = 27 216 = 1 8
Przykład 9 Nocą turysta widzi, że taksówka uderza w zaparkowany samochód i ucieka z miejsca zdarzenia. Na komisariacie informuje, że taksówka była niebieska. W mieście są dwa przedsiębiorstwa taksówkowe: niebieskie i zielone. Podejrzanym staje się przedsiębiorstwo niebieskie, jednak policjanci chcą być pewni i następnego wieczoru poddają świadka testowi w podobnych warunkach. Świadek potrafi rozróżnić niebieski samochód od zielonego z 80% pewnością. 80% pewności wystarczyło sędziemu do ogłoszenia wyroku- Przedsiębiorstwo niebieskich musi pokryć koszty naprawy szkody.
Przykład 9 c.d. Czy zapadł sprawiedliwy wyrok? W mieście jest 25 taksówek zielonych i 5 niebieskich. Uwzględniając te liczby oraz skuteczność świadka mamy: Taksówka niebieska Taksówka zielona Świadek rozpoznał niebieski kolor Świadek rozpoznał zielony kolor 4 1 5 20 Ze wszystkich 30 taksówek świadek 9 rozpoznał jako niebieskie, oznacza to, że zeznania świadka są bezwartościowe i bez innych poszlak należy postępowanie umorzyć.
Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B)>0 nazywamy liczbę: P A B = P(A B) P(B) Przykład 10 W pewnej szkole zauważono, że 25% uczniów uzyskuje dobre wyniki z matematyki, 60% - z języka polskiego, a 20% jednocześnie z obu tych przedmiotów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń jest dobry z języka polskiego przy założeniu, że jest dobry z matematyki? Rozwiązanie: P polski matematyka = 0.2 0.25 = 0.8
Prawdopodobieństwo całkowite Jeżeli zdarzenia B 1,B 2,...,B n są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór: P(A)=P(A B 1 ) P(B 1 )+P(A B 2 ) P(B 2 )+...+P(A B n ) P(B n ). Zdarzenia B 1,B 2,...,B n nazywamy zupełnym układem zdarzeń. Przykład 11 W pewnym domu są dwa mieszkania: jedno na parterze i jedno na piętrze. W domu tym są dwa piony wodne; jeden doprowadza wodę do łazienek, drugi do obu kuchni. Pion łazienkowy zużywa 0.7 wody z czego 0.4 trafia na parter, a 0.6 na piętro. Przez pion kuchenny przepływa pozostałe 0.3 z czego parter zużywa 0.8, a piętro 0.2. Jaka część wody doprowadzanej do tego domu zużywają mieszkańcy parteru? Rozwiązanie: P Ł = P Ł 0 P 0 + P Ł 1 P 1 = 0.7 0.4 + 0.3 0.8 = 0.28 + 0.24 = 0.52
Drzewa stochastyczne p 1 p 2 krawędzie drzewa A A możliwe wyniki I etap doświadczenia q 1 q 2 q 3 q 4 B B B B możliwe wyniki II etap doświadczenia gałąź drzewa p 1 prawdopodobieństwo zdarzenia A, p 2 prawdopodobieństwo zdarzenia A p 1 +p 2 =1 q 1, q 3 prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B w II etapie q 2, q 4 prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B w II etapie q 1 +q 2 =1 q 3 +q 4 =1
Przykład 11 W pewnym domu są dwa mieszkania: jedno na parterze i jedno na piętrze. W domu tym są dwa piony wodne; jeden doprowadza wodę do łazienek, drugi do obu kuchni. Pion łazienkowy zużywa 0.7 wody z czego 0.4 trafia na parter, a 0.6 na piętro. Przez pion kuchenny przepływa pozostałe 0.3 z czego parter zużywa 0.8, a piętro 0.2. Jaka część wody doprowadzanej do tego domu zużywają mieszkańcy parteru? 0.7 0.3 A A 0.4 0.6 0.8 0.2 B B B B p = 0.7 0.4 + 0.3 0.8 = 0.28 + 0.24 = 0.52
Prawdopodobieństwo przyczyny wzór Bayesa Jeżeli zdarzenia B 1, B 2,..., B n tworzą zupełny układ zdarzeń, to dla dowolnego zdarzenia A o prawdopodobieństwie dodatnim: P B 1 A = P A B 1 P(B 1 ) P A B 1 P B 1 + P A B 2 P B 2 + + P A B n P(B n ) Przykład 12 Pewna choroba występuje u 0.1% ogółu ludzi. Przygotowano test do jej wykrycia. Daje on wynik pozytywny w 99% chorych i 5% osób zdrowych. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba mająca dodatni odczyt jest naprawdę chora. Rozwiązanie: + - osoba ma odczyt pozytywny, - odczyt negatywny Z osoba jest zdrowa, C- osoba jest chora P C + = P + C P(C) P + C P C + P + Z P(Z) = 0.99 0.001 0.99 0.001 + 0.05 0.999 = = 99 5094 0.02
Zdarzenia A, B nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy gdy spełniają warunek: P A B = P A P B. Zdarzenia A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi jeden z dwu przypadków: a) P(A B)=P(A), gdy P(B)>0 lub b) P(B)=0. Przykład 13 Dwu strzelców trafia w cel, pierwszy z prawdopodobieństwem 0.8, drugi 0.7. Oddają po jednym strzale. Zakładając, ze trafienia są niezależne, oblicz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jeden z nich trafi. Rozwiązanie: A- trafi pierwszy strzelec, B- trafi drugi strzelec Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo sumy P(A B)=P(A)+P(B)- P(A B), Stąd mamy P(A B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.7+0.8-0.7 0.8=0.94
Schemat Bernoulliego Próbą Bernoulliego nazywamy doświadczenie, w którym otrzymujemy jeden z dwóch możliwych wyników. Jeden z wyników nazywamy sukcesem, drugi porażką. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki wynosi q=1-p. Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń prób Bernoulliego. Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n próbach obliczamy ze wzoru: P X = k = n k pk q n k
Przykład 14 W długotrwałym badaniu stwierdzono, że pewien lek miał skuteczność w 30%. Lekarz zaaplikował ten lek pięciu pacjentom. Jakie jest prawdopodobieństwo, że lek ten będzie skutecznym środkiem dla trzech pacjentów? Rozwiązanie: Sukces wyleczenie pacjenta p=0.3, q=1-0.3=0.7 Liczba powtórzeń: 5 pacjentów P X = 3 = 5 3 0.33 0.7 5 3 == = 10 0.01323 = 0.1323 5! 5 3! 3! 0.33 0.7 2 = 120 0.027 0.49 = 2 6
Przykład 15 W doniczkę wysiano pięć losowo wybranych nasion o sile kiełkowania 80%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) nie wykiełkuje żadne z nasion; b) wykiełkuje tylko jedno nasiono; c) wykiełkują tylko dwa nasiona d) wykiełkują tylko trzy nasiona; e) wykiełkują tylko cztery nasiona; f) wykiełkują wszystkie nasiona; g) przedstawić graficzną prezentację tego rozkładu Rozwiązanie: Sukces- wykiełkowanie rośliny p=0.8 a) P(X=0)=0.00032 b) P(X=1)=0.0064 c) P(X=2)=0.0512 d) P(X=3)=0.2048 e) P(X=4)=0.4096 f) P(X=5)=0.32768
Dziękuję za uwagę