Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1
Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako: U (r ) ϕ (r ) = jednostki [ 1 Volt = 1 V = 1 J /C = 1 N m / C ] zwana potencjałem pola elektrycznego zależy tylko od ładunku wytwarzającego pole Q. Potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną! Zgodnie z zasadą superpozycji pól elektrycznych w przypadku nakładania się pól elektrycznych (pochodzących od różnych ładunków Qi) ich potencjały sumują się algebraicznie ϕ ( R) = ϕ i ( R) i Uwaga! Tutaj sumujemy wielkości skalarne!
Natężenie pola jako gradient potencjału Trzeba zauważyć że różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami wynosi U ( R ) U ( R1 ) ϕ = ϕ ( R ) ϕ ( R1 ) = Stąd praca przenoszenia ładunku próbnego między tymi punktami W ( R1 R ) = [ϕ ( R ) ϕ ( R1 )] R Dlatego można zapisać, że ϕ = ϕ ( R ) ϕ ( R1 ) = E dr R1 W ogólności trzeba zapisać czyli To jest recepta jak policzyć E znając potencjał E = grad (ϕ ) = ϕ ϕ ϕ ϕ E = xˆ + yˆ + y z x zˆ Wniosek: natężenie pola E wskazuje kierunek w którym potencjał najszybciej maleje 3
Potencjał ładunku punktowego Q ϕ ϕ1 = 4πε 0 R dr R r 1 Q ϕ ( R) = 4πε 0 R 4
Powierzchnie ekwipotencjalne Powierzchnie gdzie wartości potencjału są stałe - powierzchnie ekwipotencjalne poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni 5
Powierzchnie ekwipotencjalne Powierzchnie gdzie wartości potencjału są takie same - powierzchnie ekwipotencjalne poruszając ładunek po takiej powierzchni nie wykonuje się żadnej pracy wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do tej powierzchni 6
Strumień pola elektrycznego Strumień pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię zamkniętą dzielimy powierzchnię na małe elementy s. znajdujemy wektor normalny (wektor prostopadły) do powierzchni s sumujemy wszystkie iloczyny skalarne Φ E = E S Φ E = E ds Uwaga! Strumień zależy od kąta pomiędzy wektorami E S = E S cos θ Wektor s zawsze skierowany jest na zewnątrz powierzchni zamkniętej! 7
Strumień pola elektrycznego Przykład! Zamknięta powierzchnia cylindryczna w jednorodnym polu elektrycznym Φ E = EdS = EdS + EdS + EdS = 0 (a) (b ) (c ) 0 E d S = E cos 180 ds = E ds = ES (a) EdS = 0 (b ) EdS = ES (c) 8
Prawo Gaussa Przykład! Zamknięta powierzchnia sferyczna w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek punktowy Φ E = E ds = s 4π R = 4π ε 0 R ε 0 Prawo Gaussa mówi : strumień natężenia pola elektrycznego w próżni przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy algebraicznej ładunków elektrycznych otoczonych przez tę powierzchnię Φ E = EdS = s powierzchnia sfery zależy tylko od ładunku zawartego wewnątrz! Q1 Q ΦE ΦE = Qi Strumień przez pow. Zamkniętą: Nie zależy od sposobu ułożenia ład. Nie zależy od wartości ład. zewnętrznych 9
Prawo Gaussa postać różniczkowa Weźmy nieskończenie małą powierzchnię Gaussa w kształcie prostopadłościanu o wym. dx, dy, dz div E = Po przekształceniach matematycznych można Prawo Gaussa przedstawić w postaci różniczkowej E x E y E z + + = x y z ε 0 E = ( x, y, z ) ϕ ( x, y, z ) = gdzie operator = xˆ + yˆ + zˆ x y z = + + x y z Równanie Poisson a, Pozwala obliczyć rozkłady potencjału (pole skalarne potencjału) na podstawie znajomości rozkładu ładunku 10
Prawo Gaussa - konsekwencje Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku rozmieszcza się na jego powierzchni Jeśli E=0 wewnątrz (a to można zmierzyć) to nie może być ładunku wewnątrz takiego przewodnika lokuje się on na zewnątrz E=0 Na powierzchni przewodnika wartość nat. pola el. σ E= wartość potencjału pola el. gęstość powierzchniowa ładunku ϕ = const 11
Prawo Gaussa - konsekwencje Nienaładowany przewodnik umieszczony w polu elektrycznym. Ładunki elektryczne (np. elektrony) rozkładają się na powierzchni tak, aby w środku E=0, a na zewnątrz pole E było prostopadłe do powierzchni przewodnika Wyładowanie elektryczne przechodzące przez samochód. Pole elektryczne wewnątrz E=0 1
Prawo Gaussa zastosowania nieskończony przewodnik liniowy Do obliczeń wartości natężenia pola elektrycznego można zastosować prawo Gaussa w przypadkach, gdy pole ma pewną symetrię τ Przyjmijmy, że gęstość liniowa ładunku jednorodna wynosi τ= d Q = dl L Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień Φ E = EdS = s Φ E = Φ A1 + Φ A + Φ B = Φ E = EA cos 90 o + EB cos 0 o = E π rh = A powierzchnia podstawy walca B powierzchnia boczna E= τh τ πε 0 R 13
Prawo Gaussa zastosowania, pole elektryczne naładowanej kuli E Jak policzyć natężenie takiego pola? E = E d S = 0 Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą E 4 r = 0 E= 4 0 r R Jest to takie samo wyrażenie jak dla ładunku punktowego! Jak policzyć potencjał takiego pola w punkcie r? r dla r > R dla r < R E= 4 0 r r r = dr r = E dr = 4 r 0 4 r 0 E=0 14
Prawo Gaussa zastosowania jednorodnie naładowana płaszczyzna d E = E S= 0 Zakładamy że gęstość powierzchniowa ładunku jest jednorodna i wynosi E = A B D = 0 przez B przez A Wybieramy odpowiednio powierzchnię zamkniętą i liczymy strumień = d Q = ds S przez powierzchnię boczną = 0 o o E =EA cos0 EB cos0 = 0 ale A=B A E = EA= 0 E= 0 Tutaj pole elektryczne jest stałe i nie zależy od odległości od płaszczyzny 15