BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

Zadanie zbilansowane

Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości produkcyjne zakładów wynoszą odpowiednio: 12, 2 i 6 jednostek, natomiast zapotrzebowanie w poszczególnych centrach dystrybucyjnych odpowiednio: 8, 3, 4 i 5 jednostek. Jednostkowe koszty transportu przedstawione są w tabeli. Określić taki plan przewozów, aby koszty dostaw z zakładów wytwórczych do centrów dystrybucyjnych były minimalne.

Zadanie zbilansowane Tabela kosztów jednostkowych: 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy

Model matematyczny

Model matematyczny Produkcja zakładów (PODAŻ): 12 + 2 + 6 = 2 Zapotrzebowanie w centrach dystrybucyjnych (POPYT): 8 + 3 + 4 + 5 = 2 Produkcja = Zapotrzebowanie lub PODAŻ = POPYT Zadanie jest zbilansowane

Model matematyczny m a = n i i= 1 j= 1 b j gdzie: a i zasoby i tego dostawcy b j zapotrzebowanie j tego odbiorcy m ilość dostawców n ilość odbiorców c ij koszt transportu od i tego dostawcy do j tego odbiorcy

Model matematyczny Zmienne decyzyjne: x ij ilość towaru przewożonego od i tego dostawcy do j tego odbiorcy i= 1... m j = 1... n m= 3 n= 4 np.: x 24 ilość towaru przewożonego od drugiego dostawcy (miasto B) do czwartego odbiorcy (miasto G)

Model matematyczny Funkcja celu: (,,,,,,,,,,, ) Z x x x x x x x x x x x x 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 = 5x + 3x + 8x + 2x + 11 12 13 14 + 4x + 6x + 4x + 2x + 21 22 23 24 + 9x + 2x + 3x + 11x MIN 31 32 33 34 = ( ) Z x m ij ij ij i= 1 j= 1 n = c x MIN

Model matematyczny Ograniczenia: DOSTAWCY: A : x + x + x + x = 12 11 12 13 14 B : x + x + x + x = 2 21 22 23 24 C : x + x + x + x = 6 31 32 33 34 n j= 1 x = a, i= 1... m ij i

Model matematyczny Ograniczenia c.d.: ODBIORCY: D : x + x + x = 8 11 21 31 E : x + x + x = 3 12 22 32 F : x + x + x = 4 13 23 33 G : x + x + x = 5 14 24 34 m i= 1 x = b, j = 1... n ij j

Model matematyczny Warunki brzegowe: x, i= 1... m, j = 1... n ij

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne

Metoda kąta północno zachodniego

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (1, 1) (3, 4) węzły

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Ilość węzłów bazowych m + n 1 W przykładzie: 3+ 4 1= 6

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 12 2 8 3 4 5 6 min(12, 8) = 8

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 12 4 2 6 8 3 4 5

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 12 4 2 6 8 3 4 5 min(4, 3) = 3

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 12 4 1 2 6 8 3 4 5

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 1 12 4 1 2 6 8 3 4 5 min(1, 4) = 1

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 1 12 4 1 2 6 8 3 4 5 3

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 1 12 4 1 2 2 6 8 3 4 5 3 min(2, 3) = 2

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 1 12 4 1 2 2 6 8 3 4 3 1 5

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 1 12 4 1 2 2 1 6 8 3 4 3 1 5 min(6, 1) = 1

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 1 12 4 1 2 2 1 6 5 8 3 4 3 1 5

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 1 12 4 1 2 2 1 5 6 5 8 3 4 3 1 min(5, 5) = 5 5

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica przewozów 8 3 1 12 4 1 2 2 1 5 6 5 8 3 4 3 1 5

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ * * * 8 3 1 * 2 * * 1 5 * - węzły bazowe Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne x = 8 x = 3 x = 1 x = 11 12 13 14 x = x = x = 2 x = 21 22 23 24 x x x 1 x 5 = = = = ( ) 31 32 33 34 FC: Z x = 123 ij

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Sprawdzenie optymalności rozwiązania u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v 4 u i zmienne związane z dostawcami v i zmienne związane z odbiorcami

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Wskaźniki optymalności eij = ui + vj + cij Dla węzłów bazowych e ij =

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Wskaźniki optymalności (1, 1) e 11 = u 1 + v 1 + 5 = (1, 2) e 12 = u 1 + v 2 + 3 = (1, 3) e 13 = u 1 + v 3 + 8 = 3 (2, 3) e 23 = u 2 + v 3 + 4 = 4 (3, 3) e 33 = u 3 + v 3 + 3 = 5 (3, 4) e 34 = u 3 + v 4 + 11 = 6

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Układ 6 równań z 7 siedmioma niewiadomymi. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Aby go rozwiązać za jedną ze zmiennych przyjmuje się dowolną wartość.

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Przyjmujemy u 1 = Z : Z : Z 3: Z 4: Z 5: Z 6: v 1 = 5 v 2 = 3 v 3 = 8 u 2 = 4 v 3 = 4 u 3 = 3 v 3 = 5 v 4 = 11 u 3 = 16

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Wskaźniki optymalności dla węzłów niebazowych (1, 4) e 14 = u 1 + v 4 + c 14 = 14 (2, 1) (2, 2) e 21 = u 2 + v 1 + c 21 = 3 e 22 = u 2 + v 2 + c 22 = 7 (2, 4) e 24 = u 2 + v 4 + c 24 = 1 (3, 1) (3, 2) e 31 = u 3 + v 1 + c 31 = 9 e 32 = u 3 + v 2 + c 32 = 4

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Tablica wskaźników optymalności * * * -14 * 3 7-1 * * 9 4

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Kryterium optymalności Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są nieujemne. Rozwiązanie nie jest optymalne

Kolejne rozwiązania

Kolejne rozwiązania Nowe rozwiązanie wymiana jednego węzła w bazie Kryterium wejścia Do bazy wprowadzany jest węzeł, dla którego wskaźnik optymalności ma wartość najmniejszą. W przykładzie: (1, 4)

Kolejne rozwiązania Określenie węzła usuwanego z bazy Budowa tzw. cyklu Definicja cyklu W każdym wierszu bądź kolumnie do cyklu wchodzą dwa lub zero węzłów. Cykl składa się z półcyklu dodatniego i ujemnego.

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * (1, 4) węzeł + 8 3 1 2* * * 1 5 wprowadzany do bazy Węzeł wprowadzany do bazy półcykl dodatni

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * 8 3 1 2* 1 5 + * * (3, 4) drugi węzeł czwarta kolumna półcykl ujemny

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * 8 3 1 2* * * + 1 5 + (3, 4) drugi węzeł trzeci wiersz półcykl dodatni

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * 8 3 1 2 * * + 1 5 + (1, 3) drugi węzeł trzecia kolumna półcykl ujemny

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * * 8 3 1 2 * * + 1 5 + Cykl składający się z czterech węzłów

Kolejne rozwiązania Określamy minimum w półcyklu ujemnym: min(1, 5) = 1 Minimum odpowiada węzłowi (1, 3) Kryterium wyjścia Z bazy usuwany jest węzeł z półcyklu ujemnego, dla którego wartość przewozu jest najmniejsza.

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 *

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1*

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 * 4 *

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 * 2 * 4 *

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie * * 8 3 1 * 2 * 2 * 4 * ( ) FC: Z x = 19 ij

Kolejne rozwiązania Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku * * * -14 * 3 7-1 * * 9 4 Dla węzłów bazowych: e 11 = u 1 + v 1 + = (1, 1) e 23 = u 2 + v 3 + = (2, 3) e 12 = u 1 + v 2 + = (1, 2) e 33 = u 3 + v 3 + = (3, 3) (1, 4) e 14 = u 1 + v 4 14 = (3, 4) e 34 = u 3 + v 4 + =

Kolejne rozwiązania Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = 14 u 3 = 14 v 1 = v 2 = v 3 = 14 v 4 = 14

Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta PZ Nowe wskaźniki optymalności e ij = ui + vj + eij e ij wskaźniki optymalności z poprzedniego kroku

Kolejne rozwiązania Nowe wskaźniki optymalności * * * 14 * -11-7 -1 * * -5-1 Przykładowo: (1, 3) e 13 = u 1 + v 3 + = + 14 + = 14 ROZWIĄZANIE NIE JEST OPTYMALNE

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * 8 3 1 2* + * * 2 4 Węzeł wprowadzany do bazy: (2, 1)

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * 8 3 1 2* + * * 2 4 (1, 1) drugi węzeł pierwsza kolumna półcykl ujemny

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * + 8 3 1 2* + * * 2 4 (1, 4) drugi węzeł pierwszy wiersz półcykl dodatni

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * + 8 3 1 2* + * * 2 4 (3, 4) drugi węzeł czwarta kolumna półcykl ujemny

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * + 8 3 1 2* + * * + 2 4 (3, 3) drugi węzeł trzeci wiersz półcykl dodatni

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * + * + * * + 8 3 1 2 2 4 (3, 3) drugi węzeł trzeci wiersz półcykl ujemny

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * + * + * * + 8 3 1 2 2 4 Cykl składający się z sześciu węzłów min(8, 2, 4) = 2 (2, 3) usuwamy z bazy

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie * * 6 3 3 * 2 * 4 * 2 * ( ) FC: Z x = 87 ij

Kolejne rozwiązania Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku * * * 14 * -11-7 -1 * * -5-1 Dla węzłów bazowych: e 11 = u 1 + v 1 + = (1, 1) (2, 1) e 21 = u 2 + v 1 11 = e 12 = u 1 + v 2 + = (1, 2) e 33 = u 3 + v 3 + = (3, 3) (1, 4) e 14 = u 1 + v 4 + = (3, 4) e 34 = u 3 + v 4 + =

Kolejne rozwiązania Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = 11 u 3 = v 1 = v 2 = v 3 = v 4 =

Kolejne rozwiązania Nowe wskaźniki optymalności * * * 14 * 4 11 1 * * -5-1 ROZWIĄZANIE NIE JEST OPTYMALNE

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * 6 3 3 2 * 4 2 + * * Węzeł wprowadzany do bazy: (3, 2)

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * * 6 3 3 2 * * * + 4 2 (3, 4) drugi węzeł trzeci wiersz półcykl ujemny

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * 6 3 3 2 * 4 2 + * + * * (1, 4) drugi węzeł czwarta kolumna półcykl dodatni

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * 6 3 3 2 * 4 2 + * + * * (1, 2) drugi węzeł pierwszy wiersz półcykl ujemny

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów * * 6 3 3 2 * 4 2 + * + * * Cykl składający się z czterech węzłów min(3, 2) = 2 (3, 4) usuwamy z bazy

Kolejne rozwiązania Tablica przewozów nowe rozwiązanie * * 6 1 5 2 * * 2 4* * ( ) FC: Z x = 67 ij

Kolejne rozwiązania Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku * * * 14 * 4 11 1 * * -5-1 Dla węzłów bazowych: e 11 = u 1 + v 1 + = (1, 1) e 21 = u 2 + v 1 + = (2, 1) e 12 = u 1 + v 2 + = (1, 2) (3, 2) e 32 = u 3 + v 2 1 = (1, 4) e 14 = u 1 + v 4 + = (3, 3) e 33 = u 3 + v 3 + =

Kolejne rozwiązania Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = u 3 = 1 v 1 = v 2 = v 3 = 1 v 4 =

Kolejne rozwiązania Nowe wskaźniki optymalności * * * 4 * 4 1 1 * * 5 1 ROZWIĄZANIE JEST OPTYMALNE

Kolejne rozwiązania Rozwiązanie optymalne x = 6 x = 1 x = x = 5 11 12 13 14 x = 2 x = x = x = 21 22 23 24 x = x = 2 x = 4 x = 31 32 33 34 ( ) FC: Z x = 67 ij