Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w dziedzinie czasu Materiały pomocnicze do ćwiczeń termin T6 Opracowanie: dr inż. Kazimierz Duzinkiewicz dr inż. Michał Grochowski dr inż. Robert Piotrowski dr inż. Tomasz Rutkowski
Transmitancja operatorowa Zapis liniowego układu ciągłego w postaci równania różniczkowego n-tego rzędu nie jest jedynym sposobem zapisu. Układ ten można również opisać w postaci transmitancji operatorowej. Niech s będzie operatorem takim, że: k k d s = ; k =,, K,n k dt ( Dodatkowo, niech Y ( s oraz jścia y ( t oraz sygnału wejścia U s będą transformatami Laplace'a odpowiednio sygnału u t. Przypominając, linio układ ciągły opisany równaniem różniczkom n-tego rzędu można przedstawić w postaci: K = K ( n n m m d y t d y t dy t d u t d u t du t a n a n n a a n 0 y t bm b m m b m b0 u t dt dt dt dt dt dt gdzie: n m. Korzystając z zależności ( równanie ( można zapisać w następującej postaci: n n m m ( n n K 0 = ( m m K 0 a s a s a s a Y s b s b s b s b U s (3 Zatem, dla układu opisanego równaniem różniczkom ( można znaczyć transmitancję operatorową (zakładając zerowe warunki początkowe: G s def Y s b s b s K b s b = = U s a s a s a s a m m m m 0 n n n n K 0 (4 Transmitancja operatorowa układu (funkcja przejścia układu stosunek transformaty Y s do transformaty Laplace'a jego sygnału Laplace'a sygnału jściowego tego układu wejściowego U ( s oznaczamy jako G ( s i jest ona funkcją argumentu zespolonego s. przy zeroch warunkach początkoch. Transmitancję operatorową Pierwiastki licznika transmitancji operatorowej to zera transmitancji operatorowej, zaś pierwiastki mianownika transmitancji operatorowej to bieguny transmitancji operatorowej. Transmitancja widmowa Analiza częstotliwościowa układów dynamicznych służy do analizy układu ze względu na jego zdolności przenoszenia sygnałów sinusoidalnych, badając zmiany, jakim ulega sygnał tego typu po przejściu przez układ dynamiczny.
Podstawom pojęciem charakteryzującym poższe właściwości układu jest transmitancja widmowa. W oparciu o twierdzenie Eulera dla liczb zespolonych: jϕ e cosϕ j sin możemy zapisać wejścio sygnał harmoniczny w postaci: = ϕ (5 j t ( ω ( ω ω ( ω u t = A cos t j sin t = A e ω (6 gdzie: A amplituda sygnału, ω pulsacja sygnału, T okres drgań Odpowiedź układu na muszenie harmoniczne u ( t będzie również harmoniczna o takiej A i przesunięta w fazie względem u ( t o kąt ϕ : samej pulsacji ω, ale o innej amplitudzie ( ( t y t = A ω cos ω t ϕ ω j sin ω t ϕ ω = A ω e ω ϕ ω (7 Podstawiając (6 i (7 do ( mamy: j j( ω t ϕ ω j( ω t ϕ ω j( ω t ϕ( ω a j A e a j A e a A e = n n ( ω ( ω ( ω ( ω K ( ω m m = ( ω ( ω ( ω ( ω K ( ω n n 0 b j A e b j A e b A e jω t jω t jω t m m 0 (8 Z zależności (8 otrzymujemy: ( ω t ϕ( ω j n n A ω e a n jω a n jω K a 0 = jω t ( ω ( ω ( ω m m = A e bm j bm j K b 0 (9 W konsekwencji dostajemy zależność na transmitancję widmową: ( ω G j ( ω ( ω m m ( ω b jω b jω K b A ω = = a j a j a m m 0 j e n n n A n K 0 ϕ ( ω (0 Transmitancję widmową można znaczyć także na podstawie transmitancji operatorowej korzystając z podstawienia s = jω : ( ω s = j G j = G s ( Korzystając z zależności (, transmitancję widmową można przedstawić w postaci modułu L ω G jω ϕ ω = arg G jω : = i argumentu ϕ ( ω ω j j arg G j G jω L ω e G jω e ( ω = = (
Z matematycznego punktu widzenia transmitancja widmowa jest wektorem, którego moduł A ω do L( ω dla każdej pulsacji ω jest stosunkiem amplitudy sygnału jściowego amplitudy sygnału wejściowego A ( ω (Rysunek : L ( ω G ( jω ( ω ( ω A = = (3 A zaś argumentem ϕ ( ω jest przesunięcie fazowe sygnału jściowego względem sygnału wejściowego: arg G ( jω ϕ ω = (4 Oczywiście transmitancję widmową (jak każdą liczbę zespoloną można zapisywać również w postaci algebraicznej odrębniając część rzeczywistą P( ω = Re G ( jω i urojoną Q ( ω Im G ( jω = : ( ω = ( ω ( ω = ( ω ( ω G j P j Q Re G j j Im G j (5 Między poszczególnymi wielkościami zachodzą następujące zależności (Rysunek : ( ω = ( ω ( ω Q( ω ϕ ( ω = arctg P ( ω L P Q (6 Q (ω ω P (ω ω = 0 ϕ (ω P (ω L (ω Q (ω Rys.. Przykładowa charakterystyka amplitudowo fazowa Dla każdej pulsacji ω (np. ω = ω transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną i znacza punkt o współrzędnych P ( ω,q ( ω. Punkt ten jest końcem wektora ( L( ω i kącie nachylenia ϕ ( ω. G jω o długości
Zadanie Dany jest model matematyczny czwórnika RC (kondensator ładowany przez rezystor (Rysunek postaci: d u t u t u we t d t = R C R C (7 R i R (t i obc (t u we (t u R (t u C (t i C (t C u (t Rysunek. Czwórnik RC Jako wejście układu przyjąć u we ( t, jako jście u t. Wyznaczyć transmitancję operatorową i widmową. Wyznaczoną transmitancję przedstawić w postaci umożliwiającej odczytanie następujących wielkości: wzmocnienie statyczne układu, stałe czasowe układu, zera i bieguny układu, część rzeczywista transmitancji widmowej, część urojona transmitancji widmowej. Rozwiązanie Zadania Dokonując transformaty Laplace a zależności (7, zakładając zerowe warunki początkowe i korzystając z własności liniowości transformaty Laplace a mamy: d u t = d t R C R C u ( t u ( t we (8 Uwzględniając własność transformaty Laplace'a związaną z mnożeniem przez stałą uzyskujemy: d u t = d t R C R C u ( t u ( t we (9 Po podstawieniu do rażenia (9 transformat odpowiednich pochodnych otrzymujemy:
s U s = U s U we s R C R C (0 co po prostych przekształceniach pozwala uzyskać: we U s = U s s R C ( Ostatecznie otrzymujemy transformatę sygnału jściowego do wejściowego przy zeroch warunkach początkoch: G s U s U s s R C = = ( we Wyrażenie ( umożliwia odczytanie wzmocnienia statycznego oraz stałej czasowej układu: k =, T = R C. Transmitancja operatorowa opisana zależnością ( nie ma zer i zawiera jeden biegun: =. T R C Przekształcając transmitancję operatorową do transmitancji widmowej w pierwszej kolejności w rażeniu ( wprowadzamy operator widmo poprzez podstawienie s = j ω : G ( jω = jω R C (3 Następnie mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika uzyskujemy: G ( jω jω R C = jω R C jω R C (4 co po prostych przekształceniach pozwala uzyskać: ( ω G j R C = jω R C R C ( ω ( ω (5 Ostatecznie możemy odrębnić część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej: Re[ G( j ω ] = (6 R C ( ω ω R C Im[ G( j ω ] = (7 R C ( ω
Zadanie Dany jest prosty model matematyczny pojazdu mechanicznego (Rysunek 3 postaci: µ = (8 d t m d t m d x d x f t x f(t m Rysunek 3. Uproszczony schemat pojazdu mechanicznego gdzie: f(t siła napędowa, m masa pojazdu, µ współczynnik tarcia tocznego, x(t przesunięcie pojazdu w osi poziomej. Jako wejście układu przyjąć f ( t, jako jście x t. Wyznaczyć transmitancję operatorową i widmową. Wyznaczoną transmitancję przedstawić w postaci umożliwiającej odczytanie następujących wielkości: część rzeczywista transmitancji widmowej, część urojona transmitancji widmowej. Rozwiązanie Zadania Dokonując transformaty Laplace a zależności (8, zakładając zerowe warunki początkowe i korzystając z własności liniowości transformaty Laplace a mamy: d x µ d x = d t m d t f t m (9 Uwzględniając własność transformaty Laplace'a związaną z mnożeniem przez stałą uzyskujemy: d x µ = d t d x m d t m f ( t (30 Po podstawieniu do rażenia (30 transformat odpowiednich pochodnych otrzymujemy: µ s X ( s = s X ( s F ( s (3 m m
co po prostych przekształceniach pozwala uzyskać: ( µ F s = X s m s s (3 Ostatecznie otrzymujemy transformatę sygnału jściowego do wejściowego przy zeroch warunkach początkoch: G s X s = = µ F s m s s Przekształcając transmitancję operatorową do transmitancji widmowej w pierwszej kolejności w rażeniu (33 wprowadzamy operator widmo poprzez podstawienie s = j ω : (33 ( ω G j = = m j j j µ ω ( ω µ ω m ω (34 Następnie mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika uzyskujemy: G ( jω mω j µ ω = m ω j µ ω mω j µ ω (35 co po prostych przekształceniach pozwala uzyskać: ( ω G j ω = j µ ω m ( m ω ( µ ω ( m ω ( µ ω (36 Ostatecznie możemy odrębnić część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej: [ ω ] Re G( j [ ω ] Im G( j = = m ω ( m ω ( µ ω µ ω ( m ω ( µ ω (37 (38 Znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie czasu Operację znaczania funkcji f(t z danej transmitancji G(s (tzw. oryginał funkcji G(s konuje się przy użyciu odwrotnej transformaty Laplace a: πj c j - { G( s } = G ( s e st ( t f ds = 0 t 0 t < c j 0 (39 gdzie c jest stałą, która jest większa od części rzeczywistych wszystkich punktów funkcji na F s nie istnieje. płaszczyźnie s, w których funkcja Równanie (39 opisuje całkowanie wzdłuż linii znajdującej się na płaszczyźnie s. Dla prostych funkcji, operacja znajdowania odwrotnej transformaty operatorowej polega na
szukaniu odpowiedniej funkcji z tabeli transformat Laplace'a. Dla funkcji złożonych, odwrotna transformata Laplace'a znajdowana jest przez rozkład na ułamki proste i następnie przez zastosowanie tabeli transformat lub metodą liczenia residuów. W metodzie rozkładu na ułamki proste, transmitancja G(s powinna być przedstawiona w postaci miernej. Przy spełnieniu warunków na fizyczną realizowalność układu (stopień licznika nie może być większy od stopnia mianownika, szuka się pierwiastków mianownika funkcji miernej G(s. Możliwe są następujące sytuacje: pierwiastki rzeczywiste pojedyncze, pierwiastki zespolone parami sprzężone, pierwiastki wielokrotne. Uwaga: Szczegóły metody rozkładu na ułamki proste wraz z przykładami, zostały podane we wcześniejszych materiałach pomocniczych.