1. STAN GRANICZNY W MECHANICE OŚRODKÓW POROWATYCH Tomasz Strzelecki 1.1 Modele matematyczne stanu granicznego. W większości zagadnień związanych z powstaniem w ośrodkach porowatych, w tym w gruncie lub skale, granicznego stanu równowagi, uwzględnienie rzeczywistej zależności naprężenie - odkształcenie przed wystąpieniem stanu granicznego jest pod względem matematycznym skomplikowane. W mechanice gruntów stan graniczny występuje w gruncie, gdy następuje przekroczenie wytrzymałości gruntu na ścinanie. Inaczej jest w przypadku mechaniki skał lub innych porowatych ośrodków stosowanych np. w budownictwie np. w przypadku betonów, cegieł itp. W niniejszym rozdziale zostaną omówione bardziej szczegółowo modele stosowane w mechanice gruntów. Najprostszym modelem w mechanice gruntów jest zastępczy model wytrzymałościowy gruntu, określany, jako model ciała sztywno-plastycznego. W modelu tym całkowicie pomija się odkształcenia lepko-sprężyste ośrodka. Przy wprowadzeniu takiego modelu ośrodek porowaty w przypadku ścinania przy naprężeniach stycznych mniejszych od pewnej granicznej wartości τ gr zachowuje się jak ciało sztywne, nie wykazując żadnych odkształceń. Po osiągnięciu wartości granicznej τ gr następuje nieograniczony wzrost odkształcenia przy stałym naprężeniu. Z chwilą zdjęcia obciążenia, całkowite odkształcenie, jakiego doznał grunt od chwili odciążenia pozostaje w nim, jako odkształcenie trwałe. W reologii gruntów istnieje szereg modeli uwzględniających odkształcenia lepko-sprężyste, lepko-sprężysto-plastyczne ośrodka gruntowego lub skały oraz efekty wzmocnienia lub osłabienia. Możemy wyliczyć kilka z nich: a) model materiału sprężysto plastycznego, b) modele lepko-sprężysto-plastyczne, c) modele ciała nieliniowo sprężystego (dla procesów, w których nie występuje odciążenie), d) modele ciała sprężysto- plastycznego ze wzmocnieniem lub osłabieniem, e) modele ciała sprężysto lepko plastycznego, f) modele ciała lepko sprężystego lepko plastycznego. 1.1.1 Model Coulomba dla ośrodków gruntowych. Dla określenia granicznego oporu stosowany był w początkowym okresie mechaniki gruntów warunek wytrzymałościowy [Coulomb a, 1773] wyrażone wg [Kisiela i innych, 1969, 198 i Szczepańskiego, 1974] liniową zależnością w postaci: τ tg gr = σ n φ + c, (1.1) gdzie: 1
τ gr - graniczny opór ścinania, σ n - naprężenie normalne panujące w płaszczyźnie ścięcia (ujemne przy ściskaniu), φ - kąt tarcia wewnętrznego, c - kohezja lub spójność. Kąt tarcia i spójność są stałymi materiałowymi. Ich graficzną prezentację będącą interpretacją równania (1.) przedstawiono na rys. 1.1. Przyjmując założenie, że związek Coulomb a wynika przede wszystkim z procesu tarcia, a doświadczenia wykazują, że prawo tarcia jest nieliniowe [Jaeger, Cook, 1969], proponuję dla małych wielkości naprężeń normalnych do powierzchni poślizgu przyjmować liniowe prawo Coulomb a, natomiast dla dużych wartości tych naprężeń prawo nieliniowe w postaci: m c gr n τ = µσ +, (1.3) gdzie m zawiera się w przedziale / 3 m 1. Rys. 1.1 Wizualizacja prawa Coulomba. Rozwój badań teoretycznych i doświadczalnych prowadzonych przez [Hvorsleva, 1937] doprowadził do innej postaci prawa Coulomba uwzględniającego ciśnienie porowe w przestrzeniach pomiędzy cząstkami lub ziarnami gruntu, nazywanego za Kisielem [Kisiel, 198] prawem Coulomba Hvorslev a w postaci: ( ) τ gr = σ n + σ tgφ + c, (1.4) gdzie σ oznacza naprężenie w cieczy wynikające z oddziaływania cieczy na szkielet ośrodka gruntowego, określone przez Biota i omówione w poprzednich rozdziałach.
Oznaczając przez ef n n σ σ σ = + naprężenie efektywne normalne na powierzchni poślizgu równanie Coulomb a Hvorsllev a możemy zapisać w postaci: τ = σ φ +. (1.5) ef tg c gr n Wpływ ciśnienia porowego na odkształcalność gruntów była tematem wielu publikacji, między innymi przez Bishopa [Bishop, 1959, 1961], [Bishop i inni, 1960], Hansena i Gibsona [Hansen, Gibson, 1949], Skemptona [Skempton, 1961], czy Jaegera [Jaeger, 1969]. Przykładowo badania Jaegera [Jaeger, 1969] przeprowadzone na wapieniach, dotyczące wpływu wody na deformację próbek i na maksymalne ciśnienie przenoszone przez nie w stanie jednoosiowego ściskania dobrze obrazuje rys. 1.. Rys. 1. Wpływ naprężenia w cieczy wypełniającej pory na proces naprężenie-odkształcenie próbek wapiennych wg Jaegera (wg [Kisiela i innych 1969]). W przypadku gruntów, wzrost naprężenia w cieczy σ może doprowadzić do wzrostu objętości gruntu, a nawet do jego upłynnienia. Przeciętne wartości kątów tarcia wewnętrznego φ dla różnych gruntów zależą od stopnia ich zagęszczenia, natomiast wartości kohezji c zależą ponadto od wilgotności gruntu i od stopnia prekonsolidacji gruntu. Zależność kohezji od wilgotności gruntu jest wg. Bjerruma, Simonsa [Bjerrum i inni, 1960] (podajemy za Wiłunem i Starzewskim [Wiłun i inni, 197] ) liniowa, co przedstawiono na rys. 1.3 3
Rys. 1.3 Aproksymacja spójności w zależności od wilgotności gruntów spoistych wg. Wiłuna i Starzewskiego [Wiłun i inni, 197]. Jak widać, wpływ fazy ciekłej lub gazowej na proces ścinania w gruntach objawia się w dwóch niezależnych płaszczyznach: bezpośredniego oddziaływania płynu na proces odkształcenie naprężenie poprzez działanie ciśnienia porowego i sił unoszenia filtracji oraz ma istotny wpływ na parametry wytrzymałościowe w gruncie. 1.1. Warunek wytrzymałościowy Coulomba-Mohra Warunek ten wynika bezpośrednio z analizy granicznych kół Mohra. Otóż zakłada się, że stan graniczny ośrodka rozdrobnionego lub zniszczenie porowatych materiałów skalnych określa równanie obwiedni kół Mohra i jest zależne od wielkości maksymalnego i minimalnego naprężenia głównego. Może być, zgodnie z pracą Kisiela [Kisiel i inni, 1969], określone zależnością: gdzie: więc po uwzględnieniu naprężenia w cieczy σ : gdzie σ1 > σ > σ3. p F q F p q = ( ) lub (, ) = 0, (1.6) p 1 oraz q 1 = ( σ 1 + σ 3 ) = ( σ 1 σ 3 ) (1.7) p 1 oraz q 1 = ( σ 1 + σ 3 ) σ = ( σ 1 σ 3 ), (1.8) F q Warunek ten w przypadku założenia o liniowości funkcji ( ) ma zgodnie z prawem Coulomba- Mohra następującą postać: 4
którą, można zapisać inaczej: q p c sin φ cos φ = 0, (1.9) 1 1 c ( σ 1 σ 3 ) + ( σ 1 + σ 3 ) sin φ cosφ = 0 (1.10) Uwzględniając naprężenia efektywne w gruncie równanie (1.10) ma następującą postać : 1 ( ) 1 c σ 1 σ [ 3 + ( σ 1 + σ 3 ) + σ ]sin φ cos φ = 0. (1.11) Przechodząc do konstrukcji liniowej obwiedni kół Mohra (rys. 1.5) widzimy, że równanie prostej stanowiącej liniowe obwiednie kół Mohra wyraża się związkiem (1.9). Rys. 1.4 Wizualizacja warunku Coulomba Mohra. 1.1.3 Inne znane z literatury warunki stanu granicznego Warunek Coulomba, zarówno dla przypadku ośrodków nawodnionych, jak również ośrodków określanych jako suche, nie jest jedyną propozycją warunku stanu granicznego, chociaż, trzeba to zaznaczyć, że w mechanice gruntów i skał jest najczęściej stosowany do rozwiązania konkretnych zagadnień inżynierskich. Przechodząc do szczególnych przypadków nieliniowego warunku Mohra, można wyrazić równanie opisujące obwiednię kół w sposób następujący: σ ef a b n = τ, (1.1) 5
n n gdzie 1, a - określa wytrzymałość na rozciąganie hydrostatyczne, natomiast wielkość / ef jest wartością naprężeń ścinających, gdy σ = 0. Szczególnym przypadkiem jest paraboliczny warunek stanu granicznego, który wg prac Jaegera i Cooka [Jaeger i inni, 1969], i Parate a [Parate, 1969], dobrze odwzorowuje wyniki doświadczeń dla gruntów i skał pod działaniem dużych naprężeń. Interesująca propozycję warunku stanu granicznego wprowadził Stroganov, który opublikował szereg prac doświadczalnych i teoretycznych [Stroganov, 1958, 1961, 1965, 1967] w zakresie stanów granicznych gruntów. Stroganov [Stroganov, 1967] uważa, że zachowanie się gruntu w stanie plastycznym opisuje układ niezmienniczych związków fizycznych: gdzie: τ = σ 0 0 G pl tg Ψ σ 0 G tg γ, pl Ψ + γ σ 0 σ = λγ, γ 0 0 = χγ, d a (1.13) 3 1 okt τ = τ = ( σ11 σ ) + ( σ σ33 ) + ( σ33 σ11) + 6( σ1 + σ3 + σ31), (1.14) ok natomiast τ określa naprężenie styczne do powierzchni oktaedrycznej w układzie głównych osi naprężeń oraz: γ 3 1 3 1 γ okt = = 1 γ γ + γ γ + γ γ + γ + γ + γ ( + ν ) ( + ν ) ( 11 ) ( 33 ) ( 33 11 ) ( 1 3 31 ) (1.15), ok γ - odkształcenie oktaedryczne w układzie głównych osi odkształceń (zakłada się przy tym, że układ głównych osi odkształceń pokrywa się z układem głównych osi naprężeń), σ σ ij i i γ - składowe naprężenia i odkształcenia w dowolnym układzie ortokartezjańskim, i 0 0 γ - naprężenie i odkształcenie średnie, d γ 0 - odkształcenie objętościowe zależne od ściśliwości szkieletu, χ - współczynnik dylatacji Stroganowa, 6
ν λ G p tg Ψ - współczynnik Poissonna, - współczynnik doświadczalny Straganowa, - początkowy moduł plastyczności, - współczynnik tarcia wewnętrznego na płaszczyźnie oktaedrycznej. W przypadku ciała sztywno plastycznego 0 G pl / σ warunek Stroganova ma identyczną postać jak warunek Hubera-Schleichera [Kisiel i inni, 198]. Z badań Stroganova wynika ponadto, że ośrodki sypkie np. piaski spełniają z dużą dokładnością warunek Hubera-Schleichera wyrażony związkiem: p tg = +. (1.16) ( ) n τ σ0 ψ Różnica pomiędzy powyższym warunkiem stanu granicznego a warunkiem Coulomb a Mohra. polega na tym, że warunek ten jest niezmienniczy, więc nie zależy od stanu naprężenia. Inaczej ma się sprawa z warunkiem Coulomb a i - Mohra. Porównując obydwa warunki, możemy znaleźć zależność pomiędzy kątem ψ ϕ dla różnych przypadków stanu naprężenia: o dla przypadku osiowego ściskania: tg ψ = sinϕ 3 1 sinϕ ; (1.17) o dla prostego ścinania: tg ψ = sin ϕ ; (1.18) o dla przypadku osiowego rozciągania: tg ψ = sinϕ 3 1+ sinϕ. (1.19) Powyższe formuły pozwalają określić zależność kąta tarcia wewnętrznego od stanu naprężenia (ψ nie zależy od stanu naprężenia) co zobrazowano na rys. 1.5. 7
Rys. 1.5 Związek pomiędzy ψ i kątem tarcia wewnętrznego wg. Stroganowa (f kąt tarcia wewnętrznegoϕ, arctgpsi - arctg(ψ )) [wg. Strzeleckiego i inni, 008]. Do innych znanych w literaturze warunków należy wymienić: warunek Misesa - Schleichera, warunek Treski uogólniony później przez Druckera; są one opisane szczegółowo w pracach [Izbickiego, 1976], [Kisiela i inni, 198], [Mroza, Drescher a, 197], [Sawczuka, Izbickiego, 1984]. Do propozycji często cytowanych w literaturze, choć nieznajdujących do dzisiaj szerszego zastosowania w praktyce inżynierskiej, zaliczyć można warunek Hubera Schleichera, który uwzględniając definicje niezmienników stanu naprężenia można zapisać w postaci: n I 1 I k + 0 3 α =, (1.0) ( ) 1 gdzie I 1 i I są dwoma niezmiennikami stanu naprężenia, a α i k są stałymi materiałowymi, przy n czym 1. Graficznie powierzchnia k graniczna jest paraboloidą obrotową n-tego stopnia o wierzchołku w punkcie σ 1 = σ = σ 3 =. W pracy Kisiela, Izbickiego i Mroza [Kisiel i inni, 198] pokazano, że α istnieje k przejście graniczne, dla przypadku płaskiego stanu c odkształcenia, przy powiązaniu stałych α i z kątem tarcia wewnętrznego ϕ i spójnością : k c =, sinϕ = ( 1 1α ) ( 1 3α ) n n oraz dla = 1, do warunku Coulomba wg. Mroza [Kisiel i inni, 198]. Podobnie dla się warunek paraboliczny. 3 (1.1) = uzyskuje 8
1. Sformułowanie zagadnienia stanu granicznego 1..1 Statyka stanu granicznego Po raz pierwszy zagadnieniem sformułowania równań stanu granicznego zajął się [Kötter, 1888] dla przypadku zagadnienia płaskiego ośrodka sypkiego. Obejmuje ono: o równania równowagi w przypadku płaskiego stanu odkształcenia: σ11x σ1 + x = 0, 1 σ1x σ + x+ ρ1 = 0, 1 (1.) gdzie ρ1 są składową sił masowych, o warunek stanu granicznego Coulomba, który dla przypadku braku spójności ma postać: tg =. (1.3) gr n τ σ ϕ Brak spójności nie ma istotnego wpływu na ogólność przeprowadzonych poniżej przekształceń, gdyż w każdym momencie możemy uogólnić rozważania wprowadzając pojęcie wstępnego sprężenia ośrodka wyrażonego wzorem: p n cctg ϕ =, (1.4) więc, warunek Coulomba można wyrazić wzorem: p tg = +. (1.5) ( ) gr n n τ σ ϕ W ogólnym przypadku warunek 1.4 może mieć postać funkcji: τ g ( σ ) gr n =. (1.6) Wprowadzając wielkości bezwymiarowe naprężeń: p gr τ n σ p n τ = ; σ = ; =. (1.7) a a a σ σ σ Warunek stanu granicznego można przedstawić w postaci: 9
g τ = ( σ ), (1.8) gdzie w przypadku warunku granicznego Coulomba mamy: g tg σ = σ ϕ ( ) (1.9) lub w przypadku, gdy uwzględniamy spójność: g σ = σ + p tg ϕ ( ) ( ). (1.30) Zgodnie z pracą Kisiela [Kisiel i inni, 198] położenie linii, wzdłuż których następuje poślizg (linii poślizgu) jest określone zależnościami kątowymi względem naprężeń głównych i zależy ono od wielkości kąta tarcia wewnętrznego. Wprowadźmy kąt ψ pomiędzy kierunkiem naprężenia głównego σ 1 a liniami poślizgu 1 s i s kąta tarcia wewnętrznego ϕ wzorem:. Zgodnie z oznaczeniami rys. 1.6 możemy kąt ψ wyrazić przy pomocy Rys. 1.6. Oznaczenie kierunków linii poślizgu w stanie granicznym (wg. [Kisiel i inni, 198]). π ϕ ψ =. (1.31) 4 W przypadku gruntu idealnie spoistego (kąt tarcia wewnętrznego równa się zero) ψ = π /. Jak widać kąt tarcia wewnętrznego, a zatem i kąt pomiędzy liniami poślizgu ψ zależy od g funkcji ( σ) w dowolnym punkcie obszaru i można go obliczyć ze wzoru: dg tg ( σ ) ( ϕ) = = σ g '( σ ) d. (1.3) 10
Na podstawie wzoru 1.31 i korzystając z zależności trygonometrycznych dla liniowego prawa Coulomba można zapisać: g sin ϕ = ' 1 g ; cosϕ = g. 1 + ' 1 + ' (1.33) Na podstawie wzorów (1.7) mamy: ( + ) ( ) σ 1 σ σ 1 σ sinϕ a σ σ =, a σ τ = ( σ σ ) 1 cos ϕ. (1.34) A następnie uwzględniając związki pomiędzy naprężeniami głównymi σ 1 i σ oraz naprężeniami σ 11, σ i σ 1, σ i τ możemy dla przypadku płaskiego stanu naprężenia zapisać je w postaci: σ 1 1 ( σ σ ) ( σ σ ) σ σ 1 1 ( σ σ ) ( σ σ ) σ 1 = 11 + + 11 + 4 1 = 11 + 11 + 4 1 (1.35) Podstawiając związki (1.34) dostajemy: 1 1 11 sin 11 4 1, a σ σ = ( σ + σ ) ϕ ( σ σ ) + σ 1 a cos σ τ = ϕ ( σ11 σ ) + 4 σ1. (1.36) Równania stanu granicznego sprowadzają się ostatecznie do układu równań : σ11 x σ1 + x+ γ 01 = 0 1 σ1 x σ + x + γ 0 = 0 1 4σ g σ + σ sinϕ σ σ σ σ σ σ cos ϕ σ σ a 11 + 4 1 = 11 + 4 a a 1 11 ( ) ( ) i (1.37) gdzie γ01 γ 0 oznaczają składowe ciężaru objętościowego szkieletu z uwzględnieniem wyporu wody. 11
Korzystając z zależności geometrycznych dla linii poślizgu można wyrazić bezwymiarowe naprężenia σ11, σ i σ1 w zależności od naprężenia σ oraz kąta β nachylenia naprężenia σ 1 x do osi 1 w postaci: σ σ σ σ 11 a a g = σ + ϕ + β cosϕ g = σ + ϕ β cosϕ g σ1 ( σ ) = sin β a σ cosϕ ( σ ) tg [ cos ] ( σ ) tg [ cos ] Uwzględniając związki (1.36) w zależnościach (1.38) można je zapisać w postaci: σ11 g g σ ( σ ) g = + '( σ ) + cos β 1 + ' ( σ ) a σ σ g g σ ( σ ) g = + '( σ ) cos β 1 + ' ( σ ) a σ σ g 1 g = ( σ ) 1 + ' ( σ ) sin β a σ g '' σ = 0 Biorąc pod uwagę, że dla liniowego równania stanu granicznego ( ) (1.38) (1.39), równania równowagi nazywane równaniami Köttera można przedstawić zgodnie z pracą Kisiela [Kisiel 198] w postaci: σ ( x σ 1+ sinϕ cos β ) + sin x ϕ sin β + 1 p β β γ ( + ) x x + = σ σ sin x ϕ sin β + ( x 1 sinϕ cos β ) + 1 p β β γ + ( σ + ) ϕ x β + x β + ϕ = 01 σ sinϕ sin β cos β cos ϕ 0 a 1 σ 0 sin cos sin cos 0 a 1 σ (1.40) Równania Köttera można przedstawić w innej postaci stosując podstawienia: η = χ β ; ξ = χ + β (1.41) oraz 1
1 ln σ p ctg σ + χ = ϕ ; σ = σ a σ cos ϕ a (1.4) wyprowadzone przez Sokołowskiego [wg Kisiela 198] w przypadku liniowego warunku stanu granicznego (1.10) w postaci: 1 1 ( + ) ( + ) ( σ ) ( β ψ ) ( ) ( ) ( σ ) ( β ψ ) η tg cos 0 cos 01 sin x η ϕ γ β ψ γ β ψ + ( β ψ ) x= g = cos ξ tg cos 01 sin 0 cos x ξ ϕ γ β ψ γ β ψ + ( β ψ ) x= g = cos + 1 F F (1.43) F W przypadku, gdy pole sił objętościowych jest polem potencjalnym wynikającym z działania siły grawitacji i sił unoszenia filtracji cieczy przez pory ośrodka, układ równań stanu granicznego ma postać następującą: 1 σ 1 σ cosϕ γ 01 + f x sin ( β + ψ ) γ 0 + f x cos( β + ψ ) η tg η 1 + x ( β ψ ) x= g 1 ( σ ) cos( β ψ ) (1.44) 1 σ 1 σ cosϕ γ 01 + f x sin ( β ψ ) + γ 0 + f x cos( β ψ ) ξ tg ξ 1 1 + x ( β ψ ) x= g cos + 1 ( σ ) ( β ψ ) Układ równań równowagi obszaru w przypadku statyki stanu granicznego uzupełnia równanie przepływu filtracyjnego, które wg. pracy [Stilger Szydło, 005] dla przypadku przepływu ustalonego sprowadza się do postaci: σ = 0 (1.45) Postać równania przepływu jest nieco bardziej złożona i jest sprzężona z układem równań (1.43). Uwzględniając wyniki poprzednich rozważań z zakresu modelu Biota-Darcy ego równanie przepływu filtracyjnego powinno mieć postać: C H g 1 ( σ ) f σ + Rɺ σ = R ɺ λ (1.46) ii σ gdzie C,R,H to stałe modelu Biota-Darcy ego, λ ɺ współczynnik prawa płynięcia plastycznego. 1.. Kinematyka stanu granicznego. Podobnie jak w przypadku statyki stanu granicznego, przyjmijmy do rozważań model sztywno plastyczny ciała suchego. Kinematyka stanu granicznego określa związek fizyczny wiążący tensor naprężenia σ z tensorem prędkości odkształcenia εɺ i : 13
ɺ ij ε = ɺ λ G ( σ ) σ ij ij (1.47) gdzie w układzie Lagrange a tensor prędkości odkształcenia wyraża się: λ ɺ - oznacza dodatnią stałą v - oznacza składowe prędkości przemieszczenia v v 1 i j ɺ ij ε = x+ x j (1.48) i G ( σ ) ij - to potencjał plastyczności opisany równaniem: Jeżeli ψ G c σ = σ1 σ + σ1 + σ sinψ cosψ (1.49) ij ( ) ( ) ( ) G F = ϕ ij ij wówczas ( σ ) ( σ ) = i równanie (1.49) odpowiada stowarzyszonemu z warunkiem plastyczności prawu płynięcia. Gdy ψ < ϕ - równanie (1.49) jest niestowarzyszonym prawem płynięcia plastycznego, a ψ jest kątem dylatancji, określającym zmiany objętościowe ośrodka. Korzystając z prac Stilger-Szydło [Stilger Szydło, 005] i Izbickiego oraz Mroza [Izbicki i Mróz, 1976] przedstawimy w skrócie metodę rozwiązania zagadnień płynięcia plastycznego ciała sztywno plastycznego metodą charakterystyk. Metoda ta zalicza się do metod ścisłych rozwiązywania zadań nośności granicznej. Szczegółowy opis metody z przykładami obliczeń konkretnych zagadnień znajdzie czytelnik w pracy [Kisiel i inni, 198]. W ogólnym przestrzennym quasi-statycznym zagadnieniu nośności granicznej, aby rozwiązać problem nośności granicznej dysponujemy: o równaniami równowagi σ + = (1.50) ij j i, γ0 0 o warunkiem granicznym Coulomba-Mohra p F q ( ) = (1.51) gdzie: p 1 oraz q 1 = ( σ 1 + σ 3 ) = ( σ 1 σ 3 ) (1.5) 14
przy czym σ1 > σ > σ3. lub inaczej: Warunek ten w przypadku liniowej funkcji F( q ) ma następującą postać: q p c sin ϕ cosϕ = 0 (1.53) 1 1 c ( σ 1 σ 3 ) + ( σ 1 + σ 3 ) sin ϕ cosϕ = 0 (1.54) o stowarzyszonym lub niestowarzyszonym prawem płynięcia ɺ ij ε = ɺ λ G ( σ ) σ ij ij (1.55) gdzie εɺ ij określają składowe prędkości tensora odkształcenia: v v 1 i j ɺ ij ε = x+ x j (1.56) i ij ij W przypadku stowarzyszonego prawa płynięcia ( σ ) ( σ ) G F =. Podsumujmy, dysponujemy: trzema równaniami równowagi, równaniem stanu granicznego, sześcioma równaniami płynięcia plastycznego, sześcioma równaniami określającymi związki geometryczne. W sumie mamy do dyspozycji 16 równań. Podliczmy niewiadome: sześć niezależnych składowych stanu naprężenia, sześć niezależnych składowych prędkości stanu odkształcenia, trzy składowe prędkości przemieszczenia, stała λ ɺ. 15
Z podsumowania jasno wynika, że zagadnienie jest statycznie wyznaczalne, gdyż ilość równań (16) jest identyczna z ilością niewiadomych. Możemy łatwo zredukować liczbę niewiadomych i równań poprzez podstawienie związków geometrycznych (1.56) do prawa płynięcia (1.55). Powyższy układ równań opisuje proces równowagi kinetycznej stanu granicznego z pominięciem ciśnienia porowego cieczy i sił oporu filtracyjnego. W przypadku uwzględnienia naprężenia w cieczy σ powyższy układ równań ma dodatkową niewiadomą, musi więc być uzupełniony o dodatkowe równanie. Poprzednie rozważania prowadzą do wniosku, że równaniem tym jest równanie przepływu cieczy przez ośrodek porowaty. W ogólnym przypadku zagadnienie nośności granicznej w przypadku procesu quasi - statycznego (z pominięciem sił bezwładności), ale z uwzględnieniem sił masowych filtracji cieczy przez ośrodek porowaty, sprowadza się do następującego układu równań: o równowagi: ( σ σδ ) γ 0 +, + = 0 ; (1.57) ij ij j i o warunku granicznego Mohra: p F q ( ) =, (1.58) gdzie: przy czym σ1 > σ > σ3. lub p 1 oraz q 1 = ( σ 1 + σ 3 ) σ = ( σ 1 σ 3 ), (1.59) F q Warunek ten w przypadku liniowej funkcji ( ) ma następującą postać: q p c sin ϕ cosϕ = 0 (1.60) 1 ( ) 1 c σ 1 σ [ 3 + ( σ 1 + σ 3 ) + σ ]sin ϕ cos ϕ = 0 ; (1.61) o stowarzyszonym lub niestowarzyszonym prawem płynięcia: G ɺ ij ε = ɺ λ σ ( σ ) ij ij, (1.6) gdzie prędkość odkształceń: 16
v v 1 i j ɺ ij ε = x+ x j i ; (1.63) o równaniem przepływu cieczy przez ośrodek porowaty w przypadku przepływu laminarnego: C H 1 f σ + Rσɺ = R ɺ ε, (1.64) gdzie R, H - stałe Biota, a ɺ ε = ɺ ε. Układy równań (1.57) do (1.64) oraz opisują przypadki zagadnienia trójwymiarowego, którego rozwiązanie nastręcza istotne trudności rozwiązania. W literaturze znane są natomiast liczne rozwiązania dotyczące płaskiego stanu odkształcenia i zagadnień osiowo symetrycznych. 1..3 Twierdzenia o nośności granicznej Twierdzenia dotyczące nośności granicznej i ich dowody zostały przedstawione przez Izbickiego w pracy [Kisiela i inni, 198]. Do przeprowadzenia dowodów zostały przyjęte dwa założenia: a) powierzchnia graniczna (plastyczności) jest wypukła, b) wektor prędkości odkształceń plastycznych jest normalny do tej powierzchni. Obydwa założenia można przedstawić dla przypadku gładkiej powierzchni plastyczności rys.4.39a) i powierzchni osobliwej złożonej z kilku powierzchni analitycznych przecinających się wzdłuż krawędzi i naroży rys.4.39b). Rys. 1.7 Powierzchnie plastyczności a) gładka i b) osobliwa ( wg Kisiel i inni,198). 17
Zgodnie z pracą Kisiela [Kisiel i inni, 198], warunek wypukłości i normalności można przedstawić w przypadku gładkiej powierzchni plastyczności w postaci: ij ij ( σ σ ) f σ ij ( ) σ ij 0 (1.65) lub w przypadku, gdy powierzchnia plastyczności jest powierzchnią osobliwą: ( ) f ij ( σ ) k ij ij α ɺ α ɺ ɺ ɺ k 1 ij α = 1 σ σ σ λ 0, λ > 0, λ > 0, λ > 0 (1.66) Mając na uwadze powyższe założenia, można wykazać słuszność następujących twierdzeń: TWIERDZENIE I. Każde pole statycznie dopuszczalne σ, spełniające warunki równowagi wewnętrznej i nienaruszające warunku plastyczności w obszarze ciała, dostarcza dolnej oceny obciążenia granicznego. oraz TWIERDZENIE II. Każde pole kinematycznie dopuszczalne, spełniające warunki podparcia na brzegu i warunek dodatniej mocy obciążeń brzegowych, wyznacza kinematyczny mnożnik obciążenia, będący górną oceną obciążenia granicznego. g Wprowadzając współczynnik υ określający ocenę stanu granicznego można na podstawie powyższych twierdzeń sformułować nierówność: (1.67) k g υ υ υ s gdzie υ określa ocenę kinematyczną stanu granicznego, a υ ocenę statyczną stanu granicznego. 18
1.3 Model matematyczny dwufazowego ośrodka porowatego sprężysto-lepko- plastycznego. Teoria ośrodka dwufazowego, którego pory wypełnione są cieczą bazuje na równaniach zaproponowanych przez Biota w latach 40 i 50- tych [Biot, 1941, 1956, 1957]. Stworzona przez Biota teoria konsolidacji zakładała model ciągłego porowatego szkieletu sprężystego, którego pory wypełnione są ściśliwą lepką cieczą newtonowską, przepływającą ruchem laminarnym przez pory tego ośrodka. Liniowy model Biota zakładał stałą wartość parametrów, w tym współczynnika porowatości. Model ten był punktem zainteresowania wielu badaczy w odniesieniu do procesów izotermicznych przy wykorzystaniu metod klasycznej mechaniki - prace Derskiego [Derski, 1961], Szefera [Szefer, 1980], Kisiela [Kisiel i inni 198 ], Strzeleckiego [Strzelecki i inni, 1996] oraz z wykorzystaniem metody asymptotycznej homogenizacji przez Auriault [Auriault i inni 1977,1990], [Auriault, 1991], Łydżbę [Łydżba 00]. Dla procesów adiabatycznych równania procesu termo-konsolidacji zaproponował Coussy [Coussy, 1995,011], Strzelecki [Strzelecki i inni 1996, 008]. Model Biota był modyfikowany poprzez uwzględnienie innych cech szkieletu sprężystego, jak wpływ na proces konsolidacji potencjału pola elektrycznego w przypadku gruntów spoistych - praca Strzeleckiego [Strzelecki, 1979, 198], [Strzelecki i inni 1980,1996] lub uwzględnienie własności lepkich szkieletu - prace Bartlewskiej [Bartlewska-Urban i inni, 008, 014] zakładającej dla szkieletu ośrodka dwufazowego model Kelvina Voighta. Coussy [Coussy, 1995] zaproponował w ramach podejścia fenomenologicznego jeszcze inny sposób modelowania. Proponował potraktowanie ośrodka porowatego, jako otwarty układ termodynamiczny, w którym zmiennymi kinematycznymi są, dla ośrodka w pełni nasyconego, tensor odkształcenia szkieletu i porowatość. W przypadku procesów nieizotermicznych powstało szereg propozycji modelu termo-porosprężystości określanej w Polsce jako termo-konsolidacja. Swoje propozycje modelu Biota w warunkach zmiennej temperatury przedstawili Coussy [Coussy, 1995 ], Strzelecki [Strzelecki i inni, 008 ] Uciechowska-Grakowicz [Uciechowska Grakowicz, 0013,016 ]. Również swój autorski model dla procesu termo-filtracji przedstawił Strzelecki [Strzelecki, 016]. W większości tych prac proces przepływu przez ośrodek porowaty ciepła rozpatrywany był jak przepływ przez uśredniony ośrodek złożony z dwóch faz ośrodka porowatego. Jedynie Pani Uciechowska-Grakowicz zaproponowała inny model termo-konsolidacji gdy obie fazy przewodzą niezależnie ciepło, ale z uwzględnieniem wzajemnej wymiany ciepła, aż do wyrównania się temperatury obu faz ośrodka. Procesem wystąpienia w obszarze ośrodka gruntowego obszarów uplastycznienia, poprzez badanie potencjału plastyczności Misesa-Schleichera lub potencjału Coulomba-Mohra zajmowała się Bartlewska w pracy [Bartlewska i inni,008,016], dotyczących badań odkształceń zbiornika Żelazny Most w warunkach zmiennej temperatury otoczenia i odkształceń nawierzchni autostrady na skutek zmian temperatury. Żadna z cytowanych prac nie zajmowała się problemami teorii procesów sprężysto lepko - plastycznych z uwzględnieniem filtracji płynu ściśliwego przez dwufazowy porowaty ośrodek. 1.3.1 Założenia wyjściowe do modelu matematycznego ośrodka sprężysto - lepko plastycznego Proponowany przez nas model spełnia podstawowe założenia: a) szkielet ośrodka jest materiałem izotropowym, ciągłym, sprężysto-lepko plastycznym, 19
b) w zakresie odkształceń sprężystych porowatość ośrodka uważa się za wielkość stałą (założenie Biota), c) ośrodek jest wypełniony płynem, d) płyn wypełniający pory ośrodka porowatego jest ciągłym, ściśliwym płynem newtonowskim, e) przepływ cieczy przez pory i mikroszczeliny ośrodka jest laminarny (mała liczba Reynoldsa). 1.3. Równania zachowania masy szkieletu i cieczy. Niech Ω jest przestrzenią określającą element VER wypełniony ośrodkiem dwufazowym i ograniczonym powierzchnią S. Wektor n jest jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni l S skierowanym na zewnątrz elementu Ω. Jeżeli przez v s i v oznacza się odpowiednio wektory r l s prędkości cieczy i szkieletu to v = v v określa relatywną prędkość przepływu filtracyjnego płynu przez ośrodek porowaty. Jeżeli przez ρ i ρ oznaczają kolejno gęstość właściwą szkieletu i płynu, to możemy wprowadzić gęstości objętościowe szkieletu ρ ( f ) s l = ρ i cieczy ρ = f ρl. Przez ρ 1 1 s oznaczać będziemy gęstość objętościową ośrodka dwufazowego równą co do wartości sumie ρ1 + ρ. Wartość ρ oznaczać będzie gęstość cieczy przepływającej przez powierzchnię S: ρ = fsρl. Równanie ciągłości obu faz ośrodka porowatego ma postać: S s r ρ ρvi nids + ρvi nids + dω = 0 t (1.68) S Uwzględniając w powyższym równaniu twierdzenie Gaussa - Ostrogradskiego możemy powyższe równanie zapisać w postaci związku lokalnego: Ω S D ρ + ρε = r [ ρν i ], i Dt ɺ (1.69) gdzie s D s = + vi Dt t x i jest pochodną materialną. Równanie ciągłości przepływu płynu przez szkielet ośrodka gruntowego wyraża się wzorem: S s r ρ ρvi nids + ρvi nids + dω = 0 t (1.70) S po uwzględnieniu twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego możemy powyższe równanie zapisać w postaci związku lokalnego: Ω s D ρ + ρ r ( ɺ θ ɺ ε ) = vi [ ρ ], i (1.71) Dt 0
Wielkości ɺ θ iɺ ε oznaczają prędkość zmian dylatacji cieczy i szkieletu gruntowego. 1.3.3 Równania zachowania pędu Równania ruchu fazy stałej ośrodka mają postać: r s l σ ijn jds + bvi dω + ( ρ ρ ) X idω = ( ρ11vɺ i + ρ1vɺ i ) dω (1.7) S Ω Ω Ω gdzie b oznacza współczynnik oporów lepkich filtracji, a ρ11 + ρ1 = ρ1 > 0, ρ 1 < 0. Związek lokalny określający równanie ruchu laminarnego szkieletu gruntowego dla przypadku zagadnień quasi - statycznych sprowadza się do postaci: r σij, j + Xi( ρ ρ) = bν i (1.73) Równania ruchu fazy płynnej w przypadku ruchu laminarnego wyrażają się wzorem: r s l σ ni ds bvi dω + X iρdω = ( ρ1vɺ i + ρvɺ i ) dω (1.74) S Ω Ω Ω gdzie ρ1 + ρ = ρ > 0. Związek lokalny określający równanie ruchu laminarnego płynu dla przypadku zagadnień quasi - statycznych sprowadza się do postaci: σ + X ρ = bν (1.75) r, i i i 1.3.4 Równania konstytutywne w zakresie porosprężystości ośrodka dwufazowego. Związki konstytutywne ciała Biota dla procesów izotermicznych mają postać: e e e Q σ = Nε + M ε δ ij ij ij + σδ ij R e σ = Qε + Rθ (1.76) gdzie N jest modułem odkształcenia postaciowego szkieletu, A - modułem odkształcenia objętościowego szkieletu, Q - współczynnikiem wpływu odkształcenia objętościowego cieczy na naprężenie w szkielecie lub odwrotnie współczynnikiem wpływu odkształcenia objętościowego szkieletu na naprężenie w cieczy, R - modułem odkształcenia objętościowego cieczy wypełniającej pory ciała Biota. Parametr M wyraża się poprzez Q M = A. R 1
1.3.5 Równania konstytutywne ciała sprężysto - lepko - plastycznego. Ażeby zbudować model sprężysto - lepko - plastyczny ośrodka dwufazowego należy: określić związki konstytutywne w zakresie sprężystości, co dla ośrodka w pełni nasyconego płynem newtonowskim reprezentować będą zależności (1.76), zdefiniować warunek lepko plastyczności, będący funkcją skalarną stanu naprężenia f ( σ ij ), zdefiniować prawo płynięcia, to znaczy określić związek między prędkością odkształceń plastycznych p εɺ ij, a stanem naprężenia i lepkością. Najczęściej stosowane w mechanice gruntów warunki plastyczności to uogólniony warunek Hubera-Misesa nazywany również warunkiem Hubera-Schleichera lub Misesa-Schleichera, reprezentowany w przestrzeni naprężeń głównych jako stożek kołowy z osią pokrywającą się z prostą σ = σ = σ oraz warunek Coulomba reprezentowany przez ostrosłup o nieregularnej podstawie 1 3 sześciokątnej rys. 1.8. Rys. 1.8 Typowe warunki stanu granicznego dla gruntów a) warunek Hubera-Schleichera, b) warunek Coulomba-Mohra. Do budowy modelu lepko-plastyczności można przyjąć potencjał Hubera-Schleichera w postaci: ( ) 1 α f = J + J1 kt ; α > 0, kt > 0, (1.77) 3 gdzie α i k są stałymi materiałowymi, a J 1 i J są niezmiennikami stanu naprężenia:
J 1 1 6 J = σ + σ + σ 1 11 33 ( ) ( ) ( ) = τ ijτ ij = σ11 σ + σ11 σ 33 + σ σ 33 + σ1 + σ13 + σ 3 (1.78) W przypadku zagadnienia płaskiego, wzory na niezmienniki stanu naprężenia mają postać: J J 1 1 4 = σ + σ 1 11 ( ) = τ ijτ ij = σ11 σ + σ1 (1.79) Kinematyczne prawo płynięcia lepko plastycznego przyjmuje znana postać: ɺ ε ν p ij ɺ f λ : f 0, fɺ 0 = σ ij 0: f 0, fɺ 0 (1.80) przy czym zgodnie z założeniem Perzyny [Perzyna 1966], współczynnik λ ɺ wyraża się wzorem: ( ) g f σ ij ɺ λ = (1.81) η = gdzie średnia wartość funkcji g f ( σ ij ) ośrodka dwufazowego. ( ) ( σ ij ) + ( σ ij ) f abs f oraz η określa lepkość szkieletu Dla ciała sprężysto lepko plastycznego odkształcenia całkowite ośrodka spełniają równanie: e p f ɺ εij = ɺ εij + ɺ εij = D ɺ ijklσ kl + ɺ λ (1.8) σ ij gdzie D ijkl oznacza tensor modułów podatności sprężystej. Powyższe związki można przedstawić w postaci związków do nich odwrotnych. Dla ciała sprężysto-plastycznego związki te można przedstawić w postaci: p ( ɺ ) σɺ = C ε ε (1.83) ij ijkl kl kl Co pozwala zapisać powyższe równanie w postaci: f ɺ = C ɺ ɺ (1.84) σ ij ijkl ε kl λ σ kl 3
gdzie sprężystej: C ijkl jest tensorem modułów sztywności sprężystej odwrotnym do tensora modułów podatności C ijkl ( D ) 1 ijkl = (1.85) Uwzględniając związki konstytutywne dla ciała Biota możemy równanie (1.84) na prędkość zmiany naprężenia dla izotropowego ciała lepko plastycznego z uwzględnieniem ciśnień porowych cieczy zapisać w postaci: gdzie: σ f f Q ij N ε λ ij M ε λ ɺ = ɺ ɺ + ɺ ɺ δ ij + ɺ ij σ ij σ kk R σδ (1.86) J J = = τ ij σ ij ' 1 δij ij σ ij f 1 1 = αδij + σ 3 1 ' ( J ) τ, ij (1.87) a λ ɺ obliczamy wzorem (1.81). Powyższe równania wraz ze związkami konstytucyjnymi dla ciała Biota (1.76) oraz równaniami zachowania pędu, równaniu przepływu filtracyjnego tworzą razem model ciała porowatego sprężysto-lepko-plastycznego, który schematycznie można przedstawić graficznie rys. 1.8. W dolnej części modelu zobrazowany jest model poro-sprężystości Biota, powyżej którego mamy model Perzyny składający się z elementu definiującego stan uplastycznienia i lepkość ośrodka porowatego. Model ten określę mianem modelu Perzyny Biota. Istotną cechą tego modelu jest równoległe współdziałanie dwóch lepkości: lepkości przepływającego przez szkielet ośrodka porowatego płynu oraz lepkość szkieletu. 4
Rys.1.8 Schemat modelu reologicznego Perzyny-Biota. 1.3.6 Zbiorczy układ równań procesu odkształceń sprężysto-lepko-plastycznego ciała Perzyny-Biota. Oznaczając przez u i - przemieszczenia w zakresie sprężystości u ci - przemieszczenia całkowite v - prędkości przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych, oraz σ sprężysto lepko plastyczne oraz ci - naprężenie hydrostatyczne płynu, mamy w przypadku płaskiego stanu odkształcenia niewiadome: niewiadome przemieszczeń sprężystych u1 iu, u iv niewiadome przemieszczeń lepko-plastycznych c1 c niewiadome prędkości przemieszczeń lepko-plastycznych c1 c 1 niewiadoma naprężania hydrostatycznego σ. v i v Wyjaśnienia wymaga wprowadzenie prędkości lepko-plastycznych jako dodatkowej niewiadomej. Otóż wynika to z faktu, że do obliczeń numerycznych wykorzystamy program FlexPDE, który wykonuje obliczenia dowolnego układu równań z zastrzeżeniem, że poszczególne pochodne mogą być co najwyżej drugiego rzędu. Otóż równania zachowania pędu dla stanu lepko-plastycznego zawierają pochodne przemieszczeń lepko-plastycznych trzeciego rzędu. Z tego względu prędkości przemieszczeń lepko plastycznych musimy potraktować, jako dodatkowe niewiadome. Mamy, więc do wyznaczenia 7 niewiadomych. Zbiorczy układ równań determinujący proces odkształceń w czasie ośrodka dla zagadnienia D, którego pory wypełnia ściśliwy płyn newtonowski ma postać: 1. równania zachowania pędu w zakresie sprężystości: 5
e e σ 11 σ 1 H + = σ, x x R 1 e e σ 1 σ H + γ = σ, x x R 1 1 (1.88) przy czymγ to ciężar objętościowy szkieletu, H=Q+R,. 1 równanie przepływu filtracyjnego cieczy: σɺ Hɺ ε C σ = R R j, j (1.89) k gdzie C =, k oznacza współczynnik Darcy'ego, γ w - ciężar właściwy płynu, o γ f f - porowatość, w o 3. równania zachowania pędu dla lepko-plastyczności: ɺ σ σɺ σɺ ɺ σ vɺ + = γ x x x x t c11 p11 c1 p1 c1 1 1 ɺ σ σɺ ɺ σ ɺ σ vɺ + = γ x x x x t c1 p1 c p c 1 1 (1.90) W powyższych równaniach występują prędkości naprężeń całkowitych sprężysto-lepkoplastycznych wyrażonych związkami konstytutywnymi (1.86) oraz prędkości naprężeń lepkoplastycznych wyrażające się związkami: σ pij f f = ɺ λ N + A σ ij σ kk gdzie λ ɺ wyraża się wzorem (1.81), który ma postać: = funkcji g f ( σ ij ) dwufazowego. ɺ (1.91) ( ) ( σ ij ) + ( σ ij ) f abs f oraz ɺ λ = ( ) g f σ ij η, gdzie średnia wartość η określa lepkość szkieletu ośrodka Przyjęcie do obliczeń kryterium Hubera-Schleichera wymaga określenia stałych dla tego c otrzymujemy: kryterium. Wiążąc α i k dla m=1 z kątem tarcia wewnętrznego ϕ i spójnością T c T kt =, sinϕ = 1 1 ( 1α 1) ( 3α 1) 6 3 (1.9)
4. równania wiążące prędkość c u u i u u j wzorami: v z przemieszczeniami ( + ) + ( + ) 1 c1 c v ( u ) ( u ) = v = t c1 c c1 c t (1.93) Powyższy układ 7 równań jest sprzężony przez tensor naprężeń sprężystych oraz funkcję naprężeń porowych σ. 1.4 Rozwiązanie zagadnienia brzegowego D odkształceń sprężysto-lepko plastycznych dla płaskiego stanu odkształcenia. Poniżej przedstawimy proces odkształceń skarpy obciążonej przyłożonym w chwili t=0 ciężarem równomiernie rozłożonym o wielkości q. Zakładamy, że grunt dla którego dokonamy testowego modelowania odkształceń sprężysto lepko plastycznych poddany został działaniu ciężaru własnego i przyłożonego obciążenia. Geometrię rozpatrywanego zagadnienia przyjęto jak na rys. 1.7. Rys. 1.7 Schemat do obliczeń numerycznych geometrii i obciążenia skarpy Parametry fizyczne i mechaniczne testowego gruntu zamieszczono w tabeli 1.1 i 1.. Tabela 1.1 Parametry mechaniczne gruntu N A R H ϕ kn / m 5.5 *10 5 kn / m. *10 6 kn / m 6 5*10 Tabela 1. Pozostałe parametry efektywne modelu c T kn / m stopnie kn / m 6 4.5 *10 35 5*10 k n γ m / s - 3 N / m 7 10 0.5 1.7 *10 4 γ w ν 3 N / m Pa*s 4 8 1 0 1 0 Obliczenia wykonano dla kilku różnych wartości przyłożonego obciążenia, aby wyznaczyć jego wpływ na przebieg procesu płynięcia lepko plastycznego modelu Perzyny-Biota. Scenariusz obciążenia skarpy był następujący: 7
w chwili t=0s do skarpy zostało przyłożone obciążenie hydrostatyczne Q (np. obciążenie w postaci zbiornika wodnego) po czasie 6 t 10 s 11,57 doby = = obciążenie zostało zdjęte i nastąpiło odprężenie skarpy. Przedstawiony scenariusz obciążenia i odciążenia skarpy ma wykazać, w jakim stopniu odkształcenia lepko-plastyczne wpływają na kształt odkształconego obszaru po zdjęciu obciążenia. Proces obliczeń będziemy analizować wykonując obliczenia z wykorzystaniem profesjonalnego programu FlexPDE do obliczeń numerycznych metodą elementów skończonych. Ponieważ wyniki graficzne w programie FlexPDE są w mojej ocenie słabej jakości, mogą być wyeksportowane w wielu formatach, co ułatwia postprocessing z wykorzystaniem innych programów graficznych. W tym przypadku wyniki wyeksportowano do formatów txt oraz vtk i wygenerowano wykresy przy pomocy programów ParaView oraz MS Excel. Program ParaView jest programem Open Source, korzystającym z bibliotek VTK (Visualization Toolkit), służącym do tworzenia wizualizacji i analizy danych, wykorzystywanym często w publikacjach naukowych. 1.4.1 Obciążenie Q = 0 kn / m. Powyższy przypadek jest punktem odniesienia dla pozostałych przypadków gdy Q > 0. Jedyną aktywną siłą jest grawitacja w odniesieniu do obydwu faz ośrodka porowatego. Dla szkieletu ośrodka mamy ciężar własny wprowadzony do układu równań poprzez ciężar objętościowy ośrodka z uwzględnieniem wyporu. Grawitacja w odniesieniu do płynu, w tym przypadku wody, uwzględniona jest w równaniu przepływu filtracyjnego Darcy-Biota. 1.4.1.1 Siatka elementów skończonych Początkową siatkę elementów skończonych wygenerowaną przez system FlexPDE przedstawiono na rys.1.8. W czasie obliczeń system pozwala na modyfikację siatki, tak aby spełnione były narzucone warunki dokładności obliczeń numerycznych. 8
Rys. 1.8 Wygenerowana przez FlexPDE v.6.50 siatka elementów skończonych. Proces odkształceń sprężysto-lepko-plastycznych obserwowano w czasie dla kilkudziesięciu kroków czasowych. Poniżej przedstawimy wyniki obliczeń dla kilku kroków czasowych, a mianowicie dla: momentu traktowanego jak początkowy dla t=0.0s po czasie t=10s po czasie t=3000s po zakończeniu obliczeń dla t= 9 10 s Dla podanych czasów przedstawimy ewolucję poszczególnych wielkości fizycznych. 1.4.1. Wyniki obliczeń numerycznych Potencjał plastyczności Hubera-Schleichera Rozpoczniemy od wykresów potencjału plastyczności Hubera-Schleichera, rys. 1.9: 9
a) b) c) d) Rys. 1.9 Wykresy potencjału Hubera-Schleichera a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 6 s. Jak widać z wykresów, tylko w początkowym czasie ewolucji występuje zmiana znaku potencjału plastyczności, co uwidacznia wykres 1.9a. W późniejszym okresie potencjał plastyczności wykazuje wszędzie wartość ujemną, co oczywiście oznacza, że jeżeli występują odkształcenia ośrodka to są to tylko odkształcenia sprężyste. Wykresy dla czasów 3000s i 10 6 s są praktycznie identyczne, co oznacza, że proces zmian potencjału po czasie t=3000s już się ustabilizował. Ciśnienie porowe p Poniżej przedstawione zostaną wykresy ciśnienia porowego p przenoszonego przez ciecz wypełniającą pory ośrodka (w rozważanym przypadku cieczą jest woda). 30
a) b) c) d) Rys. 1.10 Wykresy ciśnienia porowego wody dla poszczególnych czasów a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Ewolucja ciśnienia porowego wynika z procesu konsolidacji ośrodka porowatego. Należy przy tym podkreślić, że nieustalony proces zmian ciśnienia wynika z założenia, że ciężar własny zaczął działać w momencie t=0, co oczywiście jest założeniem sztucznym i w rzeczywistości nieprawdziwym. Przyjęcie tego założenia pozwala jednakże obserwować zmiany dotyczące parametrów mechanicznych ośrodka, gdy mamy do czynienia z budowlami ziemnymi, oczywiście z uwzględnieniem określonego harmonogramu ich konstruowania. Rozważany przypadek ma dać odpowiedź, jakie odkształcenia finalne uzyskamy, jako punkt odniesienia do zadań z obciążonym, a następnie odciążonym ośrodkiem. Pole wektorowe przemieszczeń W dalszej kolejności rozważmy pole wektorowe przemieszczeń w zakresie funkcjonowania prawa sprężystości Hoocka na tle wykresu funkcji potencjału plastyczności na rys. 1.11. 31
a) b) c) d) Rys.1.11 Pole wektorowe przemieszczeń sprężystych po czasie a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Pole wektorowe w zakresie sprężystości nie ulega istotnym zmianom w przewidzianym przez nas przedziałach czasowych. Rozważmy następnie przemieszczenia sprężysto-lepko-plastyczne ośrodka dla rozważanego przypadku przedstawione poniżej na rys. 1.1. 3
a) b) c) d) Rys. 1.1 Pole wektorowe całkowitych przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych dla czasów a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Jak widać na rys. 1.11 i 1.1 istnieje widoczna różnica w rozkładzie przemieszczeń sprężystolepko-plastycznych i przemieszczeń sprężystych. Wykresy przemieszczeń W celu uwidocznienia różnicy wynikającej ze zmiany znaku potencjału plastyczności w określonym przedziale czasowym i w części rozważanego obszaru, przedstawimy poniżej wykresy składowych pionowych wektorów przemieszczeń lepko-plastycznych. Zakres wielkości pionowych przemieszczeń lepko-plastycznych jest niewielki i wynosi max. 1.7cm. Jak widać składowa pionowa przemieszczeń ma maksima: w części obszaru pod górną powierzchnią skarpy, oraz w części pod dolną powierzchnią skarpy. 33
a) b) c) d) Rys. 1. 13 Ewolucja pionowych składowych przemieszczeń lepko-plastycznych dla czasów a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Dla lepszego zobrazowania przemieszczeń w zakresie sprężystości, sporządzono wykresy wielkości długości wektorów przemieszczeń określonych wzorem: u = u + u w 1 (1.94) Poniżej na rys. 1.14 przedstawiono wykresy długości wektorów przemieszczeń w zakresie poro-sprężystości Biota. 34
a) b) c) d) Rys. 1.14 Wykresy całkowitej długości wektorów przemieszczeń sprężystych a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Biorąc pod uwagę fakt pojawienia się dodatniej wartości potencjału plastyczności przedstawimy teraz na rys. 1.15 wykresy całkowitej długości wektorów prędkości dla przemieszczeń lepkoplastycznych. a) b) c) d) Rys.1.15 Wykresy całkowitej długości wektorów przemieszczeń plastycznych a) t=0.0s b) t=10s c) 6 t=3000s d) t= 1 0 s e) t=10 9 s. 35
Sumarycznie długości wektorów przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych przedstawiono na rys. 1.16. a) b) c) d) Rys. 1.16 Wykresy długości wektorów przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Dylatacja szkieletu ośrodka porowatego Proces konsolidacji sprężysto-lepko-plastycznej powoduje zagęszczenie lub rozluźnienie ośrodka porowatego. Dobrze obrazują to wykresy dylatacji szkieletu ośrodka. Poniżej na rys. 1.17 przedstawiono wykresy dylatacji w zakresie modelu poro-sprężystości Biota. 36
a) b) c) d) Rys. 1.17 Ewolucja dylatacji w zakresie modelu Biota a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Powyższe wykresy zmian dylatacji szkieletu ośrodka porowatego pokazują, że w początkowej fazie odkształceń sprężystych w większości obszaru dylatacja ma znak dodatni czyli następuje rozluźnienie ośrodka. Jest ono wynikiem wzrostu ciśnienia porowego powstałego na skutek braku możliwości natychmiastowego odpływu cieczy z por ośrodka dwufazowego. Z czasem ciśnienie porowe ulega zmniejszeniu i szkielet ośrodka porowatego wykazuje dylatację ujemną czyli zagęszczenie. Widać na przedstawionych rysunkach, że proces ustabilizowania się dylatacji w zakresie sprężystości kończy się po czasie około 3000s.W strefie w pobliżu granicy nieobciążonej skarpy dylatacja jest niewielka 6 rzędu 1, 5 * 1 0 i wskazuje na nieznaczne rozluźnienie ośrodka. Wytłumaczyć to można wektorami osiadań powierzchni gruntu. Poniżej na rys. 1.18 zaprezentujemy dylatację w zakresie lepkoplastyczności. 37
a) b) c) d) Rys. 1.18 Wykresy ewolucji dylatacji w zakresie modelu lepko-plastycznego a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Wykresy dylatacji w zakresie lepko plastyczności pokazują, że w obszarze, w którym występuje czasowo zmiana znaku potencjału plastyczności, dylatacja odkształceń objętościowych lepkoplastycznych wskazuje na rozluźnienie w tym obszarze szkieletu ośrodka porowatego, co zgodne jest ze stwierdzeniami w pracy Kisiela [Kisiel inni,198] str. 331. Stan naprężenia Istotnym elementem obliczeń było określenie stanu naprężenia w zakresie sprężystości badanego obszaru. Poniżej przedstawimy na rys. 1.19 wykresy naprężeń σ 11. 38
a) b) c) d) Rys. 1.19 Wykresy naprężeń σ dla czasów a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. 11 Jak widać z wykresów początkowo obserwujemy w przeważającym obszarze naprężenia rozciągające (kolor czerwony). Z czasem obszar napręzeń rozciągających ogranicza się do niewielkiej strefy przy powierzchni terenu, co daje się uzasadnić ewolucją ciśnienia porowego cieczy (wody). Następnie przedstawimy na rys. 1.0 wykresy naprężeńσ. 39
a) b) c) d) 6 Rys. 1.0 Wykresy naprężeń σ a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t=10 9 s. yy Pozostały naprężenia ścinające τ 1, które przedstawiono na rys. 1.1. 40
a) b) c) d) 6 Rys. 1.1 Wykresy naprężeń τ 1 a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t=10 9 s. Wykresy naprężeń τ 1 są w zasadzie bardzo do siebie podobne. Widać na wykresach, że maksymalna wartość naprężeń stycznych występuje w okolicy dolnej krawędzi skarpy. Wykresy osiadań Wykresy osiadań powierzchni terenu przedstawiono na dla górnej i dolnej skarpy w różnych momentach czasowych na wykresach 1. do 1.3. 41
a) b) Rys. 1. Osiadania terenu po czasie t=1s: a) górna część skarpy, b) dolna część skarpy. 4
a) b) Rys. 1. Osiadania terenu po czasie t=100s: a) górna część skarpy, b) dolna część skarpy. 43
a) b) Rys. 1.3 Osiadania terenu po czasie t=3000s: a) górna część skarpy, b) dolna część skarpy. Porównując uzyskane wyniki obliczeń osiadań powierzchni terenu widać, że początkowe 3 osiadania dolnej części skarpy rzędu 10 10 m już po 100s zmniejszają się do rzędu 10 m, czyli powierzchnia terenu nieznacznie się podnosi. Początkowe osiadania wynikają z działania ciężaru własnego gruntu. Kolejne osiadania są wynikiem działania wyporu gruntu pod działaniem ciężaru 44
skarpy. Górna część skarpy ulega osiadaniom rzędu 1,74 do 1,95cm i wielkość tą uzyskujemy już po czasie t=1s, można traktować je jako osiadania natychmiastowe. Poniżej przedstawiono wielkości osiadań w czasie w wybranych kilku punktach obszaru. Ich przebieg obrazują wykresy 1.4. a) b) 45
c) d) 46
e) Rys.1.4 Przebieg osiadań w czasie dla przedziału: a)t=0-0.1s, b) t=0-1s, c) t=0-10s, d) t=0-3000s, 9 e) t=0-10 s Przedstawione powyżej wykresy ewolucji osiadań powierzchni terenu kończą się praktycznie po 3000s. Początkowe osiadania o charakterze osiadań sprężystych trwają około 10s. Później uaktywniają się odkształcenia lepko-plastyczne. Przedstawione wyniki obliczeń modelu Perzyny-Biota pokazują, że skarpa pod działaniem tylko ciężaru własnego podlega odkształceniom trwałym wynikającym z odkształceń lepko-plastycznych, chociaż, jak wynika to z przeprowadzonych obliczeń, wielkość tych odkształceń jest niewielka. 1.4. Obciążenie Q = 0 kn / m. Założono, że w chwili t=0s do powierzchni górnej skarpy przyłożono obciążenie hydrostatyczne o wielkości Q. Praktyczne powyższe doświadczenie numeryczne można wytłumaczyć w następujący sposób: górna powierzchnia skarpy jest nieprzepuszczalna, nad którą spiętrzono m słupa wody. Po 6 czasie 1 0 s (około 11,5 doby) obciążenie z wodą zdjęto i obserwowano dalsze zachowanie badanego obszaru. Symulujemy więc obciążenie i odciążenie ośrodka porowatego o identycznych parametrach fizycznych i mechanicznych. Ponadto jedyną aktywną siłą jest siła ciężkości ośrodka w odniesieniu do obydwu faz. Dla szkieletu ośrodka mamy ciężar własny wprowadzony do układu równań poprzez ciężar właściwy ośrodka z uwzględnieniem wyporu. 47
1.4..1 Siatka elementów skończonych Początkowa siatka elementów skończonych wygenerowana przez system FlexPDE v.6.50 przedstawiono na rys.1.5. W czasie obliczeń system pozwala na modyfikację siatki tak, aby spełnione były narzucone warunki na dokładność obliczeń numerycznych. Rys. 1.5 Wygenerowana przez system siatka elementów skończonych. Proces odkształceń sprężysto-lepko-plastycznych obserwowano w czasie dla kilkudziesięciu kroków czasowych. Poniżej przedstawimy wyniki obliczeń dla kilku kroków czasowych, jak w poprzednim podrozdziale. Dla podanych czasów przedstawimy ewolucję poszczególnych wielkości fizycznych. 1.4.. Wyniki obliczeń numerycznych Potencjał plastyczności Hubera-Schleichera Rozpoczniemy od wykresów potencjału plastyczności Hubera-Schleichera rys. 1.6. 48
a) b) c) d) e) Rys. 1.6 Wykresy potencjału plastyczności Hubera-Schleichera a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s 6 d) t= 1 0 s e) t= 10 9 s. Jak widać z wykresów, zmiana znaku potencjału plastyczności występuje w długim okresie czasu, co uwidaczniają wykresy 1.6a) do 1.6d), po zdjęciu obciążenia górnej powierzchni skarpy potencjał plastyczności jest w całym obszarze ujemny, co świadczy o braku odkształceń lepko-plastycznych. Porównując powyższe wykresy potencjału plastyczności z wykresami dla skarpy nieobciążonej widać 49
znacząca różnicę w kształcie uzyskanych wykresów. Proces zmian potencjału plastyczności dla ośrodka 6 obciążonego, w tym zmiana znaku potencjału trwa prawie 10 s, podczas gdy w przypadku skarpy nieobciążonej zmiany występują dla czasu krótszego od 3000s. Ciśnienie porowe p Poniżej na rys. 1.7 przedstawione zostaną wykresy ciśnienia porowego p przenoszonego przez wodę wypełniającą pory ośrodka. a) b) c) d) e) Rys. 1.7 Wykresy ciśnienia porowego wody dla poszczególnych czasów a) t=0.0s b) t=10s 6 9 c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. 50
Ewolucja ciśnienia porowego wynika z procesu konsolidacji ośrodka porowatego. Wykresy ciśnienia porowego dla przypadku skarpy obciążonej różnią się w sposób istotny od wykresów dla skarpy nieobciążonej. Po zdjęciu obciążenia wykresy ciśnień różnią się od wykresów po czasie t=3000s skarpy nieobciążonej pokazane na rys.1.10. Pole wektorowe przemieszczeń W dalszej kolejności rozważmy pole wektorowe przemieszczeń w zakresie funkcjonowania prawa Hoocke a na tle wykresów potencjału plastyczności rys. 1.8. a) b) c) d) e) 6 Rys.1.8 Pole wektorowe przemieszczeń sprężystych a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s 9 e) t= 1 0 s. 51
Pole wektorowe w zakresie sprężystości, w przeciwieństwie do przypadku skarpy nieobciążonej, ulega istotnym zmianom w procesie konsolidacji gruntu. Po zdjęciu obciążenia wektory przemieszczeń sprężystych zanikają, co oznacza, że skarpa zgodnie z prawem Hoocke a powraca w zakresie przemieszczeń sprężystych do swojego początkowego stanu. Rozważmy następnie przemieszczenia sprężysto-lepko-plastyczne ośrodka dla rozważanego przypadku przedstawione poniżej na rys. 1.9. a) b) c) d) e) Rys. 1.9 Pole wektorowe całkowitych przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych a) t=0.0s b) 6 9 t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. 5
Przedstawione powyżej wykresy pozwalają wysnuć następujące wnioski: w początkowej fazie obciążania skarpy widoczne są praktycznie tylko przemieszczenia sprężyste, układ wektorów całkowitych przemieszczeń różni się od wektorów przemieszczeń sprężystych, po zdjęciu obciążenia, wektory przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych ulegają zmniejszeniu o wartości przemieszczeń sprężystych pozostają jednakże jako przemieszczenia nieodwracalne lepko-plastyczne. Wykresy przemieszczeń W celu uwidocznienia różnicy wynikającej ze zmiany znaku potencjału plastyczności w określonym przedziale czasowym i w części rozważanego obszaru przedstawimy poniżej wykresy składowych pionowych wektorów przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych rys. 1.30. 53
a) b) c) d) e) Rys. 1. 30 Ewolucja pionowych składowych przemieszczeń lepko-plastycznych a) t=0.0s b) 6 9 t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Jak widać składowa pionowa przemieszczeń zmienia znak. Wpływ wystąpienia przemieszczeń lepko-plastycznych wpływa w sposób istotny na kształt pola wektorowego przedstawionego na rys. 1.9. Dla lepszego zobrazowania przemieszczeń w zakresie sprężystości sporządzono wykresy wielkości długości wektorów przemieszczeń określonych wzorem u = u + u (1.95). w 1 54
Poniżej na rys. 1.31 przedstawiono wykresy długości wektorów przemieszczeń w zakresie porosprężystości Biota. a) b) c) d) e) Rys. 1.31 Wykresy całkowitej długości wektorów przemieszczeń sprężystych a) t=0.0s b) t=10s c) 6 9 t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Powyższe wykresy pokazują charakter przemieszczeń sprężystych dla ciała Biota. 55
Biorąc pod uwagę fakt pojawienia się dodatniej wartości potencjału prędkości przedstawimy teraz na rys. 1.3 wykresy całkowitej długości wektorów prędkości dla przemieszczeń sprężysto-lepkoplastycznych. a) b) c) d) e) Rys.1.3 Wykresy całkowitej długości wektorów przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych 6 9 a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Jak widać uzyskane wykresy różnią się znacznie od wykresów w przypadku skarpy nieobciążonej. Kształt wykresów sugeruje powstanie zbliżonych do koła krzywych poślizgu. 56
Dylatacja szkieletu ośrodka porowatego Proces konsolidacji sprężysto lepko-plastycznego ośrodka powoduje zagęszczenie lub rozluźnienie ośrodka porowatego. Obrazują to wykresy dylatacji szkieletu ośrodka. Poniżej na rys. 1.33 przedstawiono wykresy dylatacji w zakresie modelu poro-sprężystości Biota. a) b) c) d) e) 6 Rys. 1.33 Ewolucja dylatacji w zakresie modelu Biota a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s 9 e) t= 1 0 s. Powyższe wykresy zmian dylatacji szkieletu ośrodka porowatego pokazują, że w początkowej fazie odkształceń sprężystych w większości obszaru dylatacja ma znak dodatni czyli następuje 57
rozluźnienie ośrodka. Jest ono wynikiem wzrostu ciśnienia porowego powstałego na skutek braku możliwości natychmiastowego odpływu płynu z por ośrodka dwufazowego. Z czasem ciśnienie porowe ulega zmniejszeniu i szkielet ośrodka porowatego wykazuje dylatację ujemną czyli zagęszczenie. Widać na przedstawionych rysunkach, że proces ustabilizowania się dylatacji w zakresie sprężystości kończy się po czasie około 3000s.W strefie w pobliżu granicy nieobciążonej skarpy dylatacja jest niewielka rzędu 1,5x10-6 i wskazuje na nieznaczne rozluźnienie ośrodka. Wytłumaczyć można to wektorami osiadań powierzchni gruntu. Poniżej na rys. 1.34 zaprezentujemy dylatację w zakresie lepkoplastyczności. a) b) 58
c) d) e) Rys. 1.34 Wykresy ewolucji dylatacji w zakresie modelu lepko-plastycznego a) t=0.0s b) t=10s 6 9 c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Wykresy dylatacji w zakresie lepko-plastyczności pokazują, że w obszarze, w którym występuje czasowo zmiana znaku potencjału plastyczności, dylatacja odkształceń objętościowych lepkoplastycznych wskazuje na rozluźnienie w tym obszarze szkieletu ośrodka porowatego, co zgodne jest ze stwierdzeniem w pracy Kisiela i inni (198) str. 331. Stan naprężenia Istotnym elementem obliczeń było określenie stanu naprężenia w zakresie sprężystości badanego obszaru. Poniżej przedstawimy na rys. 1.35 wykresy naprężeńσ 11. 59
a) b) c) d) e) Rys. 1.35 Wykres naprężeń σ 11 w zakresie modelu sprężystego a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s 6 9 d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Jak widać z wykresów, początkowo obserwujemy w części pod górną granicą skarpy naprężenia rozciągające (kolor niebieski), a pod dolną ściskające (kolor czerwony). Z czasem obszar naprężeń rozciągających zanika i praktycznie w całym obszarze mamy naprężenia ściskające, co daje się uzasadnić ewolucją ciśnienia porowego cieczy (wody). Po zdjęciu obciążenia wykres naprężeń 60
poziomych σ 11 jest identyczny jak w przypadku naprężeń poziomych bez obciążenia rys. 1.19. Następnie przedstawimy na rys. 1.36 wykresy naprężeń σ. a) b) c) d) e) 6 9 Rys. 1.36 Wykresy naprężeń σ a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Pozostały naprężenia ścinające τ 1, które przedstawiono na rys. 1.37. 61
a) b) c) d) e) 6 9 Rys. 1.37 Wykresy naprężeń τ 1 a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Wykresy naprężeń τ 1 różnią się od analogicznych wykresów dla skarpy nieobciążonej. Dopiero po zdjęciu obciążenia wykres naprężeńτ 1 jest identyczny jak w przypadku obliczeń dla skarpy nieobciążonej. Wykresy osiadań 6
Wykresy osiadań powierzchni terenu przedstawiono dla górnej i dolnej skarpy w różnych momentach czasowych na wykresach 1.38 do 1.40. a) b) Rys. 1.38 Wykres osiadań powierzchni skarpy po czasie t=1s: a) powierzchni górnej b) powierzchni dolnej. 63
a) b) Rys. 1.39 Wykres osiadań powierzchni skarpy po czasie t=4000s: a) powierzchni górnej b) powierzchni dolnej. 64
a) b) 9 Rys. 1.40 Wykres osiadań powierzchni skarpy po czasie t= 1 0 s: a) powierzchni górnej b) powierzchni dolnej. Aby przedstawić ewolucję osiadań wybranych punktów powierzchni terenu, przedstawiono poniżej wykresy osiadań w zakresie sprężystości w wybranych przedziałach czasowych na rys. 1.41 do 1.44. 65
Rys. 1.41 Ewolucja osiadań sprężystych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=100s. Rys. 1.4 Ewolucja osiadań sprężystych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=4000s. 66
Rys. 1.43 Ewolucja osiadań sprężystych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=10 6. Rys. 1.44 Ewolucja osiadań sprężysto-lepko-plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu 9 od t=0s do t= 1 0 s. 67
Podczas obciążenia skarpy maksymalne osiadanie w zakresie sprężystości modelu po stronie górnej powierzchni skarpy wyniosło -0,75m czyli 75 cm. Po stronie dolnej powierzchni nastąpiło wybrzuszenie terenu w wielkości maksymalnie 10cm. Po zdjęciu obciążenia osiadania sprężyste zmniejszają się praktycznie do zera. Wykresy osiadań w zakresie sprężysto-lepko-plastyczności w wybranych przedziałach czasowych na rys. 1.45 do 1.48. Rys. 1.45 Ewolucja osiadań sprężysto-lepko-plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=100s. 68
Rys. 1.46 Ewolucja osiadań sprężysto-lepko-plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=4000s. Rys. 1.47 Ewolucja osiadań sprężysto-lepko-plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu 6 od t=0s do t= 1 0 s. 69
Rys. 1.48 Ewolucja osiadań sprężysto lepko plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu 9 od t=0s do t= 1 0 s. Uwzględniając osiadania lepko-plastyczne, całkowite wartości osiadań w czasie trwania obciążenia wyniosły -9m. Charakterystyczną cechą proponowanego modelu Biota-Perzyny jest fakt, że po czasie około 3000s, następuje proces stabilizacji przemieszczeń lepko plastycznych. W przypadku klasycznego modelu Coulomba-Mohra, po przekroczeniu granicy sprężystości, nie ma możliwości zatrzymania procesu odkształceń plastycznych i dążą one do nieskończoności. Jak widać model sprężysto-lepko-plastyczny lepiej odwzorowuje proces utraty stateczności skarpy. Po zdjęciu obciążenia skarpa zostaje trwale odkształcona, ale osiadania zmniejszają się o wielkość osiadań sprężystych. Aby lepiej uwidocznić efekt odkształceń gruntu pod działaniem obciążenia, a następnie po jego zdjęciu, poniżej przedstawiono na rys, 1.49 obraz odkształceń skarpy w strefie modelu sprężystego, a na rys. 1.50 obraz odkształceń skarpy dla modelu sprężysto-lepko-plastycznego. Obraz przemieszczeń obrazują przemieszczenia węzłów siatki elementów skończonych. 70
a) b) c) d) Rys. 4.49 Przemieszczenia węzłów siaki elementów skończonych dla modelu sprężystego 6 9 a) t=0.0s b) t=3000s c) t= 1 0 s d) t= 1 0 s. a) b) c) d) Rys. 4.50 Przemieszczenia węzłów siaki elementów skończonych dla modelu sprężysto-lepkoplastycznego a) t=0.0s b) t=3000s c) t= 1 0 s d) t= 1 0 s 6 9. 71
1.5 Podsumowanie uzyskanych wyników obliczeń Wielkość współczynnika lepkości szkieletu jest bardzo istotnym parametrem wpływającym na proces odkształceń lepko-plastycznych ośrodka porowatego. Dla przedstawionych powyżej obliczeń, 8 przyjęto wartość tego współczynnika w tab. 1. równą 10 Pa * s. Poniżej w tabeli 1.3 przedstawiono dla kilku wartości lepkości szkieletu ośrodka porowatego wyniki obliczeń dla czterech wybranych punktów obszaru pokazujące uzyskany przedział prędkości odkształcenia, przedział uzyskanych maksymalnych przemieszczeń, moment maksymalnej prędkości odkształcenia oraz czas zakończenia procesu odkształceń lepko-plastycznych. Tabela 1.3 Wybrane wyniki obliczeń dla czterech wybranych punktów obszaru Moment Lepkość Szkieletu ν Przedział prędkości odkształceń Przedział maksymalnych przemieszczeń max. prędkości odkształcenia Czas zakończenia odkształceń Pa*s m / s m s s 6 1 0 [-4.0,3.0] [-40,15] 7.5 50 6 5*10 [-0.9,0.6] [-45,5] 10 350 7 1 0 [-0.4,0.3] [-1,17] 15 380 7 5*10 8*10,6*10 [-4.5,3.6] 0 400 8 1 0 8 5*10 9 1 0 9 5*10 4.*10,3.*10 [-.5,1.5] 0 400 3 3 8*10, 4*10 [-0.58,0.6] 0 560 3 3 5*10,3*10 [-0.34,-0.13] 0 450 3 4 4.5*10,5*10 [-0.17,0.0] 0 400 Poniżej przedstawiono (dla 8 wartości lepkości szkieletu) wykres zmienności zakresu prędkości przemieszczeń lepko plastycznych dla 4 wybranych punktów na brzegu obszaru. 7
Zmiana prędkości przemieszczeń w funkcji lepkości szkieletu Wartośći prędkości 4 3 1 0-1 - -3-4 -5 ln(lepkość) Rys. 1.51 Wykresy maksymalnych prędkości przemieszczeń lepko plastycznych dla wybranych czterech punktów obszaru w funkcji ln ( ν ) (skali logarytmicznej) Poniżej na rys. 1.5 przedstawiono wykres zakresu przemieszczeń lepko-plastycznych w funkcji lepkości kinetycznej szkieletu ośrodka porowatego. 150 Maksymalne przemieszczenia w funkcji lepkości szkieletu 100 50 Max. Przemieszczenia 0-50 -100-150 -00-50 -300 ln(lepkość) Rys. 1.5 Wykresy maksymalnych przemieszczeń lepko-plastycznych dla wybranych czterech punktów obszaru w funkcji ln ( ν ) 73
Przedstawione wykresy pokazują, że dla dowolnej wielkości lepkości szkieletu zarówno prędkości maksymalne przemieszczeń jak i same przemieszczenia są zawsze ograniczone, ponieważ istnieje w rozwiązaniach ich wartość ektremalna. Różnica polega na tym, że przy wzroście wielkości współczynnika lepkości, prędkości odkształceń i przemieszczenia dążą do wielkości uzyskiwanych w obliczeniach w zakresie sprężystości. Zakres przyjętych wartości lepkości odpowiada przypadkowi, gdy 7 współczynnik filtracji jest rzędu 10 m / s. Dla wartości większych współczynnika filtracji przedstawione powyżej zależności też występują, chociaż zakres rzędu wielkości lepkości szkieletu jest inny. Interesującym zjawiskiem obserwowanym w procesie odkształceń sprężysto-lepko-plastycznych jest podobieństwo wykresów modułu plastyczności Misesa-Schleichera i ciśnień porowych w ośrodku dwufazowym dla wszystkich wartości lepkości szkieletu. Poniżej na rys.1.53 przedstawiono dla porównania wykres ciśnień porowych i potencjału Misesa-Schleichera dla lepkości szkieletu 8 ν = 10 Pa * s. a) b) c) d) e) f) Rys. 1.53 Wykresy ciśnień porowych i potencjału Misesa-Schleichera dla trzech momentów czasowych a) i b) dla czasu t=0.0 s, dla c) i d) dla czasu t=10s, dla e) i f) dla czasu 000s. 74