Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek
Obsah
0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y. Separací proměnných převedeme rovnici na tvar dy dx = tg x tg y cos y sin y dy = sin x cos x dx a substitucemi u = sin y, v = cos x dostaneme po integrování ln u = ln v + ln C, neboli sin y = C cos x. (xy + x)dx + (y x y)dy = 0 Teorie (obecný integrál). + y = C( x ) 3. xyy = x x + y = ln Cx 4. y tg x y = a y = C sin x a 5. xydx + (x + )dy = 0 y = C(x + )e x 6. y + dx = xydy ln x = C + y + ; x = 0 7. e y ( + x )dy x( + e y )dx = 0 + e y = C( + x ) 8. (x )y + xy = 0, y(0) = y{ln( x ) + } = 9. y sin x = y ln y, y( π ) = e y = e tg x 0. sin y cos xdy = cos y sin xdx, y(0) = π 4 cos x = cos y. y cotg x + y =, y( π 3 ) = 0 y = 4 cos x Řešení pomocí webmathematicy 3
0. Rovnice umožnující přechod k separaci proměnných. Příklad : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = 3 + (x + y). Substitucí x + y = u, + y = u převedeme rovnici na tvar u = 3 + u du dx = u u. Separaci proměnných a integrováním dostaneme u u du = dx, neboli u ln u = x C a přejdeme k původním proměnným 3x + y + ln x y = C. Teorie Příklad 3 : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice (x + y + ) dx + (x + y ) dy = 0. Substitucí x + y = u, dx + dy = du převedeme rovnici na tvar (u + ) dx + (u )(du dx) = 0 (3 u) dx + (u ) du = 0. Separaci proměnných a integrováním dostaneme u 3 u du + dx = C, neboli u 5 ln u 3 + x = C a přejdeme k původním proměnným x + y + 5 ln x + y 3 = C. 4. y y = x 3 x + y = Ce x 5. y = sin(x y) 6. y = 4x + y 7. y = cos(x y ) 8. y + x + y = x + y x + C = cotg( y x + π 4 ) 4x + y ln( 4x + y + ) = x + C y = x arcotg( C x ) + kπ; k Z x + C = u + 3 ln u 8 3 ln(u + ) u = + x + y webmathematica 4
Příklad 9 : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = x + xy xy Substitucí y = ux, y = u x + u převedeme rovnici na tvar. Teorie u x + u = x + xux xux Integrováním dostaneme u + du = ln u + + (u + ) u + a přejdeme k původním proměnným 0. y = x+y x y. y = xy x y u du (u + ) = dx x. = ln x + C ln y x + + y = ln x + C ln x + y + x + x x + y = C. arcotg yx = ln C x + y x + y = Cy. xy y = x + y x = C + Cy) 3. (3y + 3xy + x )dx = (x + xy)dy 4. (x + y )y = xy (x + y) = Cx 3 e x x+y y x = Cy, y = 0 5. xy = y cos ln y x ln Cx = cotg( ln y x ) y = xe kπ, k Z 6. y + x + y xy = 0, y() = 0 y = x 7. (xy y) arcotg y x = x, y() = 0 x + y = e y x arcotg y x 8. (y 3x )dy + xydx = 0, y(0) = 9. y = y xy x y +xy x, y() = y 3 = y x y = x webmathematica 5
0.3 Variace konstant Příklad 30 : Metodou variace konstanty řešte diferenciální rovnici y cos x + y = tg x. Teorie Nejdříve vyřešíme homogenní rovnici metodou separace proměnných y cos x + y = 0 ln y + tg x = ln C y = Ce tgx. Řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y = C(x)e tgx. Po dosazení do původní rovnice dostaneme (C (x)e tgx + C(x)e tgx cos x ) cos x + C(x)e tgx = tg x. tedy C (x)e tgx cos x = tg x C(x) = e tgx (tgx ) + K. Obecné řešení rovnice má tvar y = Ce tgx + tg x =. 3. xy y = x 4 y = Cx + x 4 3. xy + y + = 0 y = Cx 33. xy + (x + )y = 3x e x xy = (x 3 + C)e x 34. (xy + e x )dx xdy = 0 y = e x (ln x + C) 35. y = x(y x cos x) y = x(c + sin x) 36. (xy ) ln x = y y = C ln x ln x 37. y sin x + y cos x = y = sin x + C cos x 38. (e y x)y = x = e y + Ce y 39. y = y 3x y x = Cy 3 + y 40. y = x sin y+ sin y x = 8 sin y cos + y Ce 4. y + 3y x = x 3, y() = 4. y xy =, y(0) = 0 y = x + 3 x y = e x x 0 e t dt 43. xy y = sin x cos x, y je omezená pro y = cos x 44. x y xy = x cos x 3 sin x, y 0 pro x y = sin x x 45. ( + x ) ln( + x )y xy = ln( + x ) x arcotg x y = arcotg x y π pro x 6 webmathematica
0.4 Bernoulliova rovnice Příklad 46 : Převodem na lineární diferenciální rovnici vyřešte Substitucí z = y z = yy x y y = x y. dostaneme Teorie xy y y = x xz z = x. Vyřešíme lineární rovnici. hom. rovnice. part. řešení xz z = 0 x C x = x z h = C x C = ln x z p = ln x x 3. obecné řešení z = C x + ln(x ) x y = C x + ln(x ) x. 47. y + y = y e x y(e x + Ce x ) =, y = 0 48. xy x y = 4y y = x 4 ln Cx, y = 0 49. xy + y + x 5 y 3 e x = 0 y = x 4 (e x + C), y = 0 50. ( + x )y = xy + x y y = +x (C x + x ln(x + x + )) webmathematica 7
Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Systémy funkcí Příklad 5 : Máme rozhodnout o lineární závislosti nebo nezávislosti funkcí, x, x na intervalu I = (, ). Teorie Budeme zkoumat, kdy x I nastane rovnost c + c x + c 3 x = 0. Postupně pro x = 0 dostaneme c = 0, pak pro x = a x = dostaneme c + c 3 = 0 a c + c 3 = 0. Odtud plyne c = 0, c 3 = 0. Podle definice jsou funkce, x, x lineárně nezávislé. Wronskián daných funkcí je W (x) = x x 0 x 0 0 = 0. Tedy i podle věty 0.4 jsou funkce, x, x lineárně nezávislé. Rozhodněte o lineární závislosti nebo nezávislosti následujících funkcí 5.,, x, x 53. e x, xe x, x e x 54. 5, cos x, sin x závislé nezávislé závislé 55. cos x, cos(x + ), cos(x ) závislé 56., arcsin x, arccos x závislé 57. cos x, sin x, cos x nezávislé Najděte Wronskián funkcí 58., x 59. e x, xe x 60., cos x, cos x 6. 4, sin x, cos x 6. e 3x sin x, e 3x cos x e x 8 sin 3 x 0 e 6x webmathematica 8
. Eulerova rovnice Řešení Eulerovy rovnice x n y (n) + a n x n y (n ) + + a x y + a 0 y = 0, kde a 0,..., a n R hledáme ve tvaru y(x) = x λ, (popř. x λ ln x,..., x λ ln k x) λ C. Příklad 63 : Dosazením funkce y(x) = x λ do rovnice x y 4xy + 6y = 0 Teorie dostaneme x λ(λ )x λ 4xλx λ + 6x λ = 0, tedy (λ 5λ + 6) x λ = 0. Tato rovnost je splněna (při x 0) pro kořeny λ =, λ = 3, uvedeného polynomu. Funkce y (x) = x, y (x) = x 3 tvoří fundamentální systém dané rovnice a její obecné řešení má tvar y = C x + C x 3. Příklad 64 : Podobně při řešení rovnice x y 3xy + 4y = 0 dostaneme λ 4λ + 4 = 0 λ, = a fundamentální systém rovnice je tvořen funkcemi y (x) = x, y (x) = x ln x. Obecné řešení má tedy tvar y = C x + C x ln x. Příklad 65 : Řešení rovnice x y + 3xy + y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = x λ. Po dosazení do rovnice dostaneme λ + λ + = 0 λ = + i, λ = i. Do fundamentálního systému tedy patří funkce y (x) = x +i, y (x) = x i nebo y (x) = x cos(ln x), y (x) = x sin(ln x) a obecné řešení rovnice má tvar y = C x cos(ln x) + C sin(ln x). x 66. x y 3xy y = 0 y = C x + 5 + C x 5 67. x 3 y + x y = 0 y = C + C x + C 3 x ln x 68. x y + 5xy + 3y = 0 y = C x + C x 3 69. x y + 7xy + 8y = 0 y = C x + C x 4 70. x 3 y 6y = 0 y = C x 3 + C cos( ln x) + C 3 sin( ln x) 7. x y xy + y = 0 ; y() =, y () = y = x 9 webmathematica
.3 Rovnice s konstantními koeficienty Příklad 7 : koeficienty Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními y y y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = e λx (popř. xe λx,..., x k e λx ), kde číselný parametr λ je kořenem charakteristické rovnice (charakteristického polynomu) λ λ + = 0. Tedy λ = 4, λ = 3, fundamentální systém rovnice je tvořen funkcemi e 4x, e 3x a obecné řešení rovnice má tvar Příklad 73 : Rovnice y(x) = C e 4x + C e 3x. y 4y + 4y = 0 Teorie má charakteristickou rovnici λ 4λ + 4 = 0 λ, =. Fundamentální systém rovnice je nyní tvořen funkcemi y (x) = e x, y (x) = x e x a obecné řešení rovnice má tvar y = C e x + C x e x. Příklad 74 : K rovnici y + 4y = 0 přísluší charakteristická rovnice λ + 4 = 0 s kořeny λ = i, λ = i. Fundamentální systém je tvořen funkcemi y (x) = e ix, y (x) = e ix nebo y (x) = cos x, y (x) = sin x. Obecné řešení má tvar y(x) = C cos x + C sin x. 75. y y y + y = 0 ; y(0) =, y (0) =, y (0) = 3 y = e x ( + x) 76. y 4y + 3y = 0 ; y(0) = 6, y (0) = 0 y = 4e x + e 3x 77. y + 6y + y + 6y = 0 y = C e x + C e x + C 3 e 3x 78. y (6) + y (5) + y (4) = 0 y = C + C x + C 3 x + C 4 x 3 + e x (C 5 + C 6 x) 79. 4y 8y + 5y = 0 y = e x (C cos x + C sin x ) 80. y 8y = 0 y = C e x + e x (C cos 3x + C 3 sin 3x 8. y (4) +4y +0y +y +5y = 0 y = (C + C x)e x + (C 3 cos x + C 4 sin x)e x 8. y y + y = 0; y(0) = 0, y (0) = y = e x sin x 83. y y + 3y = 0; y(0) =, y (0) = 3 y = e x (cos x + sin x) 0 webmathematica
.4 Metoda snižování řádu Pokud známe jedno řešení y (x) homogenní rovnice, pak další partikulární řešení hledáme ve tvaru y(x) = y (x) z(x). Teorie Příklad 84 : Rovnice (sin x cos x) y sin x y + (cos x + sin x) y = 0 má jedno řešení y = e x. Pro druhé řešení y(x) = e x z(x), platí y = e x (z + z ), y = e x (z + z + z ) a po dosazení do původní rovnice dostaneme (sin x cos x) e x (z + z + z ) sin x e x (z + z ) + (cos x + sin x) e x z = 0 (sin x cos x) (z + z ) sin x z = 0 (u = z ) (sin x cos x) u cos x u = 0 (sin x cos x) du = cos x u dx u du = cos x sin x cos x dx ; vypočteme integrál vpravo cos x sin x cos x dx = cos x sin x cos x dx = cos x sin x + cos x + sin x dx = sin x cos x { } v = sin x cos x = dx+ dv = (cos x + sin x) dx v dv = x +ln sin x cos x +C ; tedy ln u = x + ln sin x cos x +Ĉ u = Ce x (sin x cos x) (= z ) z = Ce x ( sin x) y = e x Ce x ( sin x) = C sin x a obecné řešení má tvar y = C e x + C sin x. Nalezněte obecné řešení následujících rovnic, jestliže znáte partikulární řešení 85. ( x )y xy + 4 y = 0 ; y = + x y = C + x + C x 86. x (x+)y y = 0 ; y = + x y = C ( + x ) + C ( x + x+ x ln x + ) 87. xy + y xy = 0 ; y = ex x xy = C e x + C e x 88. y ( + tg x)y = 0 ; y = tg x y = C tg x + C ( + x tg x) 89. (e x + )y y e x y = 0 ; y = e x y = C (e x ) + C e x + 90. x (x )y + (4x 3)xy xy + y = 0 y = C x + C x + C 3(x ln x + ) y = x, y = x 9. (x x + 3)y (x + )y + xy y = 0 y = C x + C e x + C 3 (x ) y = x, y = e x webmathematica
.5 Nehomogenní rovnice Teorie Příklad 9 : Metodou variace konstant vyřešíme rovnici y + 9y = sin 3x.. Určíme obecné řešení homogenní rovnice y + 9y = 0 (viz metoda charakteristické rovnice, příklad (??)) λ + 9 = 0 y h (x) = C cos 3x + C sin 3x.. Partikulární řešení y p nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Funkce y p (x) = C (x) cos 3x + C (x) sin 3x. C (x), C (x) splňují soustavu algebraických rovnic: C cos 3x + C sin 3x = 0 3C cos 3x sin 3x + 3C sin 3x = 0, 3C sin 3x + 3C cos 3x = sin 3x 3C sin 3x cos 3x + 3C cos 3x = cos 3x sin 3x. Odtud po sečtení rovnic dostaneme 3C cos 3x = sin 3x C = 9 ln sin 3x a z první rovnice plyne C cos 3x cos 3x + 3 = 0 C = x 3. Partikulární řešení má tvar y p (x) = x 3 cos x + ln sin 3x sin 3x. 9 3. Obecným řešením úlohy je funkce y(x) = y h (x) + y p (x) = C cos 3x + C sin 3x x 3 cos 3x + ln sin 3x sin 3x. 9 Řešte rovnice 93. y y + y = ex x y = e x (x ln x + C x + C ) 94. y y + y = ex x + y = e x (C x + C ln x + + x arcotg x) 95. y + 3y + y = e x + y = (e x + e x ) ln(e x + ) + C e x + C e x 96. y + y + cotg x = 0 y = + C cos x + C sin x + cos(x) ln tg x Vyřešte rovnici y y = f(x), jestliže 97. f(x) = ex +e y = e x (x + C x ) (e x + ) ln(e x + ) + C 98. f(x) = e x e y x = ex (arcsin(e x ) + e x e x + C ) + 3 ( e x ) 3 + C 99. f(x) = e x cos(e x ) y = C e x cos(e x ) + C webmathematica
.6 Metoda odhadu tvaru partikulárního řešení Teorie Příklad 00 : Pomocí odhadu tvaru partikulárníbo řešení vyřešíme rovnici y 5y = (x ).. Charakteristická rovnice λ 5λ = 0, má kořeny λ = 0, λ = 5 a homogenní řešení má tvar y h = C + C e 5x.. Z rovnosti (x ) = e ax (P n (x) cos bx + Q m (x) sin bx) vyplývá a = 0, b = 0, n =, m = 0 k =, R (x) = a x + a x + a 0, kde a, a, a 0 jsou konstanty. Kritické číslo a + i b = 0 je jednonásobný kořen charakteristické rovnice, tedy r =. Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y p (x) = x (a x + a x + a 0 ), potom y p(x) = a x + a x + a 0 + x (a x + a ) = 3a x + a x + a 0, y p(x) = 6a x + a. Po dosazení y p, y p do dané rovnice dostaneme: 6a x + a 5 (3a x + a x + a 0 ) = (x ), 5a x + (6a 0a )x + a 5a 0 = x x +, a partikulárním řešením je funkce a = 5, a = 4 5, = a 0 = 7 5, y p (x) = x ( 5 x + 4 5 x + 7 5 ). 3. Obecné řešení má tvar y(x) = C + C xe 5x + x ( 5 x + 4 5 x + 7 5 ). Metodou odhadu řešte rovnice 0. y + y = 4xe x y = C cos x + C sin x + (x )e x 0. y y = e x x y = C e x + C e x + xe x + x + 03. y + y y = 3xe x y = C e x + C e x + ( x x 3 )ex 04. y 3y + y = sin x y = C e x + C e x + sin x 0 + 3 cos x 0 05. y + y = 4 sin x y = C cos x + C sin x x cos x 06. y 3y + y = x cos x y =C e x +C e x +( x 0 00 ) cos x (3x 0 + 34 00 ) sin x 3
07. y + 3y 4y = e 4x + xe x y = C e x + C e 4x x 5 e 4x ( x 6 + 36 )e x 08. y 9y = e 3x cos x y = C e 3x + C e 3x + e 3x ( 6 37 sin x 37 cos x) 09. y y + y = 6xe x y = (C + C x + x 3 )e x 0. y + y = x sin x y = (C x 4 ) cos x + (C + x 4 ) sin x Řešte rovnice s počáteční podmínkou. y + 9y = 6e 3x ; y(0) = y (0) = 0 y = 3 (cos 3x + sin 3x e3x ). y 4y + 5y = x e x ; y(0) =, y (0) = 3 y =e x (cos x sin x)+(x+) e x 3. y +6y +9y = 0 sin x ; y(0) = y (0) = 0 y = (x+ 3 5 )e 3x + 5 (4 sin x 3 cos x) 4. y + 4y = sin x ; y(0) = y (0) = y = cos x + 3 (sin x + sin x) 5. y + y = cos x ; y(0) =, y (0) = 0 y = cos x + x sin x Odhadněte partikulární řešení následujících rovnic 6. y 7y = (x ) A x 3 + A x + A 3 x 7. y + 7x = e 7x Axe 7x 8. y 8y + 6y = (0 x)e 4x (A x 3 + A x )e 4x 9. y + 5y = cos 5x x(a cos 5x + B sin 5x) 0. y + 4y + 8y = e x (sin x + cos x) (A cos x + B sin x)e x. y 4y + 8y = e x (sin x cos x) x(a cos x + B sin x)e x. y (4) y = 4 Ax 3 3. y + y + y = (x + ) sin x + (x 4x) cos x (Ax + Bx + C) cos x+ +(Dx + Ex + F ) sin x 4. y y = e x sin x + x e x (A cos x + B sin x)+ +x(cx + Dx + E) 5. y (4) 4y + 8y 8y + 4y = e x (x cos x + sin x) x e x {(Ax + B) cos x+ +(Cx + D) sin x} 6. y (5) y (4) +8y 8y +6y 6y = 3 cos x+ x (A cos x + B sin x) + C 4 y = 3 cos x + webmathematica
.7 Okrajové úlohy Teorie Příklad 7 : Pomocí charakteristické rovnice a dosazením okrajových podmínek vyřešíme smíšenou okrajovou úlohu y y 8y = 0, x (0, ), y(0) =, y () = 0. Charakteristická rovnice je λ λ 8 = 0 λ = 4, λ = a obecným řešením úlohy je funkce y(x) = C e 4x + C e x. Z okrajových podmínek dostaneme = C + C, C = +e, 6 0 = 4C e 4 C e, C = e6 +e. 6 Řešením okrajové úlohy je funkce y(x) = +e 6 e 4x + e6 +e 6 e x. Řešte následující okrajové úlohy 8. y y = 0 ; y(0) = 0, y(π) = y = sinh x sinh π 9. y + y = 0 ; y(0) = 0, y(π) = nemá řešení 30. y k y = 0 ; y(0) = v, y(x 0 ) = v y = sinh kx 0 (v sinh k(x 0 x)+v sinh kx) 3. y α y = 0 ; y(0) = v, y (x 0 ) = 0 y = v cosh(x 0 x) cosh αx 0 3. y α sy = 0 ; y(0) = s, y (x 0 ) = 0 s < 0; y = cos α s(x 0 x) s cos α sx 0 pro x 0 = (k+)π α s nemá řešení; s > 0; y = cosh α s(x 0 x) 33. y λ y = 0 ; λ 0, y(0) = 0, y() = λ 34. y λ y = 0 ; λ, y(0) = 0, y () = λ 35. y λ y = 0 ; λ, y (0) = 0, y() = λ pro x 0 (k+)π α s s cosh α sx 0 ; k =,, 3,... y = sinh λx λ sinh λ y = sinh λx λ cosh λ y = cosh λx λ cosh λ 36. xy + y = 0; y() = αy () ; y(x) je omezená pro x y = 0 37. y (4) λ 4 y = 0; y(0) = y (0) = 0, y(π) = y (π) = 0 y = C sin kx pro λ = k k =,, 3,... y = 0 pro ostatní λ webmathematica 5
.8 Úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce Teorie Příklad 38 : Určíme vlastní čísla a vlastní funkce okrajové úlohy y + λy = 0, y (0) = 0, y (π) = 0. Řešení hledáme ve tvaru y(x) = e kx, potom charakteristická rovnice má tvar k + λ = 0 k = ± λ. Pro λ < 0 je k = λ, k = λ a obecné řešení má tvar y(x) = C e λx + C e λx y (x) = λ C e λx λ C e λx. Z okrajových podmínek dostáváme soustavu rovnic pro neznámé konstanty C, C } 0 = C + C, 0 = λ C e λπ λ C e λπ C = 0, C = 0 y = 0., Pro λ = 0 má obecné řešení tvar y(x) = C + C x y (x) = C a z okrajových podmínek dostaneme Pro λ > 0 má obecné řešení tvar C R, C = 0 y = C. y(x) = C cos λx+c sin λx y (x) = λ C sin λx+ λ C cos λx. Z okrajových podmínek plyne 0 = C, 0 = C sin λπ, Dostáváme tak posloupnost vlastních čísel } λπ = nπ, n N. {, 4, 9, 6,...} a posloupnost jim odpovídajících vlastních funkcí je {cos x, cos x, cos 3x,...}. Najděte vlastní čísla a vlastní funkce úlohy y + λy = 0, je-li 39. x < 0, π >, y(0) = y (π) = 0 λ K = (K ) 4, y K = sin K x, K N 6
40. x < 0, π >, y (0) = y(π) = 0 4. x <, >, y() = y() = 0 4. x <, >, y() = y () = 0 43. x <, >, y () = y() = 0 44. x <, >, y () = y () = 0 45. x < a, b >, y(a) = y(b) = 0 46. x < a, b >, y(a) = y (b) = 0 47. x < a, b >, y (a) = y(b) = 0 λ K = (K ) 4, y K = cos K x, K N λk = K π, y K = sin Kπx, K N λ K = (K ) π 4, y K = cos K πx, K N λ K = (K ) π 4, y K = sin k πx, K N λk = K π, y K = cos Kπx; K = 0,,,... λ K = K π λ K = (K ) π 4(b a) λ K = (K ) π 4(b a) (b a), y K = sin Kπ(x a) b a, K N, y K = sin (K )(x a)π (b a), K N, y K = cos (K )(x a)π (b a), K N Najděte vlastní čísla a vlastní funkce následujících okrajových úloh 48. y + y + λy = 0 ; x < 0, l >, y(0) = y(l) = 0 λ K = + K π l yk = e x sin Kπx l, K N 49. x y + xy + λy = 0 ; x <, l >, y() = y(l) = 0 λ K = K π Kπ ln x ln l, y ln l K =sin 50. y + (λ + )y = 0 λk = K π, K N x < 0, >, y(0)=y (0)=0, y() y ()=0 y K =sin(arcotg(kπ)+kπx) 5. y + x y +λy = 0 ; y(l)=0, y je omezená pro x 0 λ K = K π l, y K = Kπx x sin l 7
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic Teorie Příklad 5 : Určíme fundamentální matici a obecné řešení homogenní soustavy Matice soustavy je y = y + y y = 3y + 4y. A = ( 3 4 a její vlastní čísla dostaneme z rovnice ( ) λ det(λi A)=det =(λ )(λ 4) 3 = 0 λ 3 λ 4 =, λ =5. K vlastním číslům určíme vlastní vektory: λ = : ( ) (I A) h = 3 3 λ = 5 : ( ) (5I A) 3 h = 3 Fundamentální matice má tedy tvar (( ) ( Y(x)= e x, 3 a obecné řešení má tvar y(x) = Y(x) C = C ( ( h h ( h h ) ) = 0 h = (, ) T, ) = 0 h = (, 3) T. ) ) ( ) e e 5x x e = 5x e x 3 e 5x ) ( ) e x + C e 5x = C 3 h e x + C h e 5x.. Soustavy homogenních diferenciálních rovnic 53. y = y y y = C e x + C e 3x y = y 4y y = C e x C e 3x 54. y + y 8y = 0 y = C e 3x 4C e 3x y y y = 0 y = C e 3x + C e 3x 55. y = y + y y = e x (C cos x + C sin x y = 3y y y = e x {(C + C ) cos x + (C C ) sin x} 8
56. y = y 3y y = e x (C cos 3x + C sin 3x) y = 3y + y y = e x (C sin 3x C cos 3x) 57. y + y + 5y = 0 y = (C C ) cos x (C + C ) sin x y y y = 0 y = C cos x + C sin x 58. y = y + y y = (C + C x)e 3x y = 4y y y = (C + C + C x)e 3x 59. y = 3y y y = (C + C x)e x y = 4y y y = (C C + C x)e x 60. y = y + y 3 y y = C e x + C e x + C 3 e x y = y + y y 3 y 3 = y y y = C e x 3C 3 e x y3 = C e x + C e x 5C 3 e x 6. y = 3y y + y 3 y = C e x + C e x + C 3 e 5x y = y + y + y 3 y = C e x C e x + C 3 e 5x y 3 = 4y y + 4y 3 y3 = C e x 3C e x + 3C 3 e 5x 6. y = 4y y 3 3y y = C e x + C 3 e x y = y 3 + y y = C e x + C e x y 3 = 6y 6y + 5y 3 y3 = C e x C 3 e x 63. y = y y y 3 y = e x (C sin x + C 3 cos x) y = y + y y = e x (C C cos x + C 3 sin x) y 3 = 3y + y 3 y 3 = e x ( C 3C 3 cos x + 3C 3 sin x 64. y = 4y y y 3 y = C e x + (C + C 3 )e 3x y = y + y y 3 y = C e x + C e 3x y 3 = y y + y 3 y3 = C e x + C 3 e 3x 65. y = y y + y 3 y = (C + C x)e x + C 3 e x y = y + y y 3 y = (C C + C x)e x y 3 = y 3 y y3 = (C C + C x)e x + C 3 e x 66. y = 4y y y = (C + C x + C 3 x )e x y = 3y + y y 3 y = {C C + (C C 3 )x + C 3 x }e x y 3 = y + y 3 y3 = {C C + C 3 + (C C 3 )x + C 3 x }e x 9
. Soustavy nehomogenních diferenciálních rovnic Příklad 67 : Řešení nehomogenní soustavy diferenciálních rovnic hledáme metodou variace konstant. y = y + y + e x y = 3y + 4y. Nejdříve vyřešíme homogenní soustavu (viz příklad??). Řešení homogenní soustavy má tvar ( ) ( ) y(x) = Y(x) C = C e x + C e 5x, 3 kde Y(x) je fundamentální matice soustavy a C je vektor konstant. Partikulární řešení dané rovnice hledáme ve tvaru y p (x) = Y(x) C(x), kde C(x) je vektor funkcí. Po dosazení do soustavy dostaneme Y (x) C(x) + Y(x) C (x) = AY(x) C(x) + b(x). Protože Y = AY, tak platí Odtud vyplývá C (x) ( ) e x + C (x) ( 3 ) e 5x = ( ) e x 0 C e x + C e 5x = e x C e x + 3C e 5x = 0 4C e 5x = e x C = 6 e 4x 4C e x = 3e x C = 3 4 x a partikulární řešení soustavy má tvar ( y p (x) = 3 4 x y(x) = y(x) h + y p (x) = C ( ) e x + 6 Obecným řešením nehomogenní soustavy je funkce ) ( e x +C 3 ( ) e x 3 ) e 5x + 3 4 x ( ) ( ) e x + 6 e 3 x. 68. y = y + e x y = C e x + C e x + xe x x y = y + x y = C e x C e x + (x )e x x 69. y = y 5 cos x y = C e x + C e x sin x cos x y = y + y y = C e x C e x + sin x + 3 cos x 0
70. y = 4y + y e x y = C e x + C e 3x + (x + )e x y = y y y = C e x C e 3x xe x 7. y = y y + y = (C + C x)e x 3 y = 3y y y = (C + C + C x)e x 7. y = 5y 3y + e 3x y = C e x + 3C e 4x e x 4e 3x y = y + y + 5e x y = C e x + C e 4x e x e 3x 73. y = y 4y y = 4C e x + C e x 4xe x y = y 3y + 3e x y = C e x + C e x (x )e x 74. y = y y y = C e 3x + 3x + x + C y = y y + 8x y = C e 3x + 6x x + C 75. y = y + y + 6xe x y = C e x + C e 3x (x + 3)e x y = y y y = C e x C e 3x (8x + 6)e x 76. y = y y y = (C + C x x )e x y = y + e x y = {C C + (C + )x x }e x 77. y = y y + 8x y = C cos x C sin x + x + y = 5y y y = (C + C ) cos x + (C C ) sin x + 0x 78. y = y y y = y y 5e x sin x y = C e x + C e 3x + e x ( cos x sin x) y = C e x C e 3x + e x (3 cos x + sin x) 79. y = y + tg x y = C cos x + C sin x + tg x y = y + tg x y = C sin x + C cos x + 80. y = 4y y + e x y = C + C e x + e x ln e x y = 6y + 3y 3 e x y = C 3C e x 3e x ln e x 8. y = y y + cos x y =(C +x) cos x+(c +x) sin x+(cos x sin x) ln cos x y = y y y =(C C ) cos x+(c +C ) sin x+ cos x ln cos x +x sin x 8. y = y + y y 3 x + y = C e x + C sin x + C 3 cos x y = y y = x C e x + C cos x C 3 sin x y 3 = y + y y 3 x + y 3 = + C sin x + C 3 cos x Najděte partikulární řešení následujících soustav diferenciálních rovnic 83. y = y + y 3 ; y (0) = 0, y 3 (0) = y = e x e 3x y 3 = y + 4y 3 y3 = e x e 3x
84. y = 3y y 3 ; y (0) =, y 3 (0) = 5 y 3 = 0y 4y 3 y = e x y3 = 5e x 85. y = 3y + 8y ; y (0) = 6, y (0) = y = (e x + e x ) y = 3y y y = e x e x 86. y = e x y 5y ; y (0) = 9 900, y (0) = 900 y = 4 5 ex 36 ex y = e x + y 3y y = 5 ex + 7 36 ex 87. y = y ; y (0) = y (0) = y = cos x + sin x y = y y = cos x sin x 88. y = 4y 5y ; y (0) = 0, y (0) = y = ( x)e x y = y y = xe x 89. y = y + y + x ; y (0) = 7 9, y (0) = 5 9 y = 4 3 x 9 7 y = y y + x y = 3 x 9 5 90. y = y + 5y ; y (0) =, y (0) = y = (sin x cos x)e x y = 3y y y = e x cos x 9. y = 6y y 6x x + 3 ; y (0) =, y (0) = 3 y = e x + e 3x + x + x y = y x y = e x + x + webmathematica
3 Posloupnosti a řady funkcí 3. Posloupnosti funkcí Teorie Příklad 9 : Budeme vyšetřovat konvergenci posloupnosti f n (x) = n n +x. Pro bodovou konvergenci platí lim n n n + x = lim n n ( ) =. + x n Při hledání množiny M, na které posloupnost konverguje stejnoměrně nás zajímá rozdíl n n +x = n n x n +x = x n +x. lim sup n x M n Zjistíme, kdy platí x n + x = 0. Pokud je M omezená množina, pak K x M : x K a platí Jestliže M = R, pak sup x M x n + x K n x n +x lim n sup x M = lim n sup x M x n + x = 0. x n +x =. Daná posloupnost tedy konverguje stejnoměrně na každé omezené množině, na celé reálné ose konverguje bodově. Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci posloupnosti {f n (x)}, je-li 93. f n (x) = x n x (, bodově, x + ε, ε stejn. 94. f n (x) = arcotg nx n+x D(f ) = (, ), x (, + ) stejn. 95. f n (x) = x n + x n+ x, bodově, x, ε stejn. 96. f n (x) = x n x n x (, bodově, x + ε, stejn. 97. f n (x) = nx +n x fn 0 pro x R, ale f n ( n ) = 98. f n (x) = x +n x x R stejn. 99. f n (x) = x + n x x 0, + stejn. 00. f n (x) = e n(x ) x (, ) bodově, x (, ε stejn. 0. f n (x) = arctg nx x (, ) bodově, x (, ε ε, + ) stejn. 0. f n (x) = x arcotg nx x 0, + ) bodově i stejn. 3
3. Funkční řady Příklad 03 : Máme najít obor konvergence řady ln n x. n= Teorie Použijeme odmocninové kritérium a zkoumáme, pro která x R platí nerovnost n ln n x = ln x <, což je splněno pro e < x < e. Pro x = e dostaneme řadu ( ) n, která diverguje; podobně pro x = e řada n opět diverguje. Obor n= konvergence dané řady je tedy interval ( e, e). Najděte obor konvergence řady f n (x), je-li n= n= 04. f n (x) = ( )n n+ ( x +x )n 0, ) 05. f n (x) = +x n x R \, 06. f n (x) = xn +x n x R \ {, } 07. f n (x) = ( )n+ x n 08. f n (x) = e nx x > x > 0 cos nx e nx 09. f n (x) = x > 0 0. f n (x) = (5 x ) n < x < 6 ln x. f n (x) = n x > e. f n (x) = n e nx x R \ {0} 3. f n (x) = xn x n Dokažte stejnoměrnou konvergenci 4. f n (x) = x +n 5. f n (x) = ( )n x+ n 6. f n (x) = x +n 4 x 7. f n (x) = sin nx 3 n4 +x 4 8. f n (x) = nx +n 5 x f n (x), je-li n= 4 x < x R x 0 x R x R x R
9. f n (x) = arcotg x x +n 3 x R 0. f n (x) = cos nx n. f n (x) = x sin(n x) +n 3 x 4 x R x 0. f n (x) = (arcotg x x +n ) x 0 3. f n (x) = sin( x n ) sin nx x +4n 4. f n (x) = n n! (x n + x n ) x R x 5. f n (x) = x e nx ε > 0, x ε, ) webmathematica 5
3.3 Mocniné řady Příklad 6 : Po substituci y = x 3 konvergence R = lim sup n 5n n diverguje; podobně pro y = 5 řady n= Najdeme obor konvergence řady dostaneme mocninnou řadu Teorie 5 n x 3n. n= 5 n y n, která má poloměr n= = 5. Pro y = 5 dostaneme řadu ( ) n, která n= řada diverguje. Obor konvergence původní n= 5 n x 3n je tedy interval ( 3 5, 3 5 ). Najděte poloměr konvergence řady 7. 8. 9. n= n= 3+( ) n n n x n n n! n x n n 3 n (n 3 + )x n n= Najděte poloměr konvergence řady a n x n, je-li 30. a n = n 3. a n = n! 3. a n = (+i)n n n n=0 4 e 3 33. a n = α n (0 < α < ) 34. a n = an n + bn n (a, b > 0) n 35. a n = 3 n + 36. a n = a n +b n (a, b > 0) 37. a n = ( ) n { n (n!) (n+)! }p 38. a n = ( )n n! ( n e )n min( a, b ) min(a, b) p 6
39. a n = a(a+)...(a+n )b(b+)...(b+n ) n!c(c+)...(c+n ) Najděte obor konvergence mocninné řady a n (x x 0 ) n, je-li 40. a n = n n, x 0 = < 0, > 4. a n = ( n 3n+ )n, x 0 = ( 7, ) 4. a n = ( )n n+, x 0 = 0 (, > 43. a n = 3 n3 n, x 0 = <, 4) n 44. a n = +3 n 3 +4n, x 0 = ( 3, ) 45. a n = 5n +( 3) n n+, x 0 = 0 n=0 < 5, 5 ) 46. a n = n+ ln 3n 3n+, x 0 = <, 0 > 47. a n = 3 n+ 3 n n, x 0 = 3 < 4, > 48. a n = n a, x 0 = 0, a > 0, a <, ) n 49. a n = 3, x n +n+ 0 = < 0, > Najděte rozvoj funkce f(x) v mocninou řadu 50. f(x) = e x 5. f(x) = cos x 5. f(x) = sin 3x sin 5x 53. f(x) = sin 3 x 54. f(x) = x (+x) 55. f(x) = 5x 4 x+ 7 n= webmathematica n=0 ( ) n x n n! ; x R + ( ) n n (n)! xn ; x R n= ( ) n n (n)! ( 4n )x n ; x R n= ( ) n+ 3(3 n ) 4(n+)! x n+ ; x R ( ) n (n + )x n+ ; x (, ) n=0 + n= 7( ) n x n ; x (, ) n
56. f(x) = x x 3 +x 57. f(x) = ln x 58. f(x) = ln 3 x +3x 59. f(x) = x 4 n=0 +( ) n 3 n+ 3 x n ; x (, ) n+ n=0 x n+ n+ ; x (, ) ln 3 + {( 3 )n ( 3 )n } xn n ; x ( 3, 3 > n= 60. f(x) = + x + x + 6. f(x) = ( x ) 3 + n= n= (n )!! (n)!! x n ; x (, ) ( ) n (n 3)!! (n)!! x n ; x (, ) 6. f(x) = x x x + 63. f(x) = ( + x ) arcotg x x + Najděte rozvoj funkce f(x) v mocninnou řadu 64. f(x) = ln(x + + x ) x + 65. f(x) = arcsin x 66. f(x) = arcotg x+3 x 3 67. f(x) = x x 68. f(x) = 69. f(x) = 70. f(x) = 4 n= n= x + π 4 + n=0 n= (n+)!! (n)!! x n ; x (, ) (n )!! n! x n+ ; x (, ) ( ) n+ 4n xn+ ; x <, > ( ) n (n )!! x n+ (n)!! n+ ; x <, > n=0 n= n=0 +x+x 3 n=0 x cos α x x cos α+x ln +x x + arcotg x (n )!! x n+ (n)!! n+ ; x <, > ( ) n+ 3 n+ x n+ n+ ; x < 3, 3 > 5 {( 5+ ) n+ + ( ) n ( 5 ) n+ }; x < 5 8 sin π(n+) 3 x n ; x (, ) x n cos nα; x (, ) n= x 4n+ 4n+ ; x (, ) n=0
7. f(x) = x arcotg x ln + x ( ) n+ xn n(n ) ; x <, > n= 7. f(x) = x arcsin x + x + x + 73. f(x) = ln(+x) +x 74. f(x) = ex x 75. f(x) = arcotg x 76. f(x) = e x sin x 77. f(x) = e x cos x n= (n )!! x n+ (n+)!! n+ ; x <, > ( ) n ( + + + n )xn ; x (, ) n= u k! xn ; x (, ) n=0 k=0 ( ) n ( + 3 + + n )xn n ; x <, > n= n sin( nπ 4 ) n! x n ; x R 78. f(x) = ( arcsin x x ) Pomocí rozvoje v mocninnou řadu vypočtěte integrály x 79. e t dt 80. 8. 8. 0 x 0 x 0 x 0 sin t t dt dt t 4 t dt +t x 3 3 + x + n= n= n= n=0 n=0 n=0 ( ) n (n )!!x n+3 n= n cos( nπ 4 ) n! x n ; x R n+ (n!) (n+)! x n ; x ( ) n n!(n+) xn+ ; x R ( ) n x n+ (n+)(n+)! ; x R (n )!!x 4n+ (n)!!(4n+) ; x (, ) (n)!!(n+3) ; x <, > webmathematica 9
4 Fourierovy řady Příklad 83 : Stanovíme Fourierovu řadu funkce f(x) = podle základního trigonometrického systému, tj. ve tvaru + a 0 + (a k cos kx + b k sin kx). Vypočteme koeficienty a k, b k : a 0 = π π 0 b k = π k= dξ =, a k = π π π 0 Teorie { pro 0 x π 0 pro π x 0 cos kξ dξ = k sin kξπ 0, k =,,..., sin kξ dξ = k cos kξπ 0 = k ( )k, k =,,.... Výsledek píšeme ve tvaru: 0 s(x) = + π k= sin(k )x k Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) na intervalu ( π, π), je-li 84. f(x) = x Výsledku využijte k sečtení řady π (n+) n=0 85. f(x) = π x Výsledku využijte k sečtení řady n= 3 π + 4 86. f(x) = sign x Výsledku využijte k sečtení řady 87. f(x) = sin ax a Z 88. f(x) = cos ax a Z 89. f(x) = e ax a 0 π sinh aπ{ a + n= 30 n=0 4 n=0 n, ( ) n+ n n= n= ( ) n n+ sin πa π sin πa π { ( ) n+ n 4 π n= a + n= cos(n+)x (n+) ; π 8 cos nx; π 6, π sin(n )x n ; π 4 n+ n sin nx ( ) n a n a cos nx ( ) a n } n= ( ) n a +n (a cos nx n sin nx)}
90. f(x) = q sin x q cos x+q q < Najděte Fourierovu řadu funkce f(x), je-li q n sin nx; zaved te e ix = z n= 9. f(x) = π x, x (0, π) 9. f(x) = x, x (a, a + l) 93. f(x) = x, x (0, π) 94. f(x) = e ax, x ( h, h) a + l + l π n= n= sin nx n nπa π (sin l cos nπx l cos nπa l sin nπx l ) 4π 3 + 4 n= n= sinh ah{ ah + ( ) 95. f(x) = x cos x, x ( π, π ) 6 π 96. f(x) = e x, x (0, π) e π π { + cos nx n 4π n= sin nx n nπx nπx n ah cos( h ) n sin( h ) (ah) +(πn) } n= cos nx ( +n n= ( ) n+ n (4n ) sin nx n sin nx +n )} Najděte Fourierovu řadu funkcí f n (x) = sin n x a g n (x) = cos n x pro n =, 3, 4, 5. 97. f (x) = cos x g (x) = + cos x 98. f 3 (x) = 3 4 sin x 4 sin 3x g3 (x) = 3 4 cos x + 4 cos 3x 99. f 4 (x) = 3 4 cos x + 8 cos 4x g4 (x) = 3 4 + cos x + 8 cos 4x 300. f 5 (x) = 5 8 sin x + 5 6 sin 3x 6 sin 5x g 5 (x) = 5 8 cos x + 5 6 cos 3x + 6 cos 5x Najděte Fourierovu řadu funkce f(x), je-li 30. f(x) = π 4 x, x (0, π) (kosinová řada) π 30. f(x) = x, x (0, π) (sinová řada) π n=0 cos(n+)x (n+) ( ) n+ { π n + n ( ) n } sin nx n= 303. f(x) = sin ax, a Z, x (0, π) (kosinová řada) cos(n+)x a (n+) pro a sudé n=0 a + cos nx a 4n }pro a liché 4a π 4a π { n= 3
304. f(x) = cos ax, a Z, x (0, π) (sinová řada) 4 π n=0 8 π sin(n+)x a (n+) n= n sin nx a 4n pro a sudé pro a liché 305. f(x) = x( π x), x (0, π ) podle soustavy {cos(n )x}, n N (n ) { + 4( )n (n )π } cos(n )x n= {sin(n )x}, n N { ( )n (n ) + 8 (n ) } sin(n )x 3 n= Integrací Fourierova rozvoje funkce f(x) = x najděte rozvoj funkcí x, x 3, x 4, x 5 pro x ( π, π) 306. f(x) = x n+ sin nx ( ) 307. f(x) = x π 3 + 4 308. f(x) = x 3 ( ) n 6 π n 309. f(x) = x 4 π 4 5 + 8 ( ) n+ 6 π n n 4 30. f(x) = x 5 ( ) n+ 0 0π n +π 4 n 4 n= n= n= n= n= n 5 n cos nx n ( ) n n 3 sin nx cos nx sin nx webmathematica 3
5 Limity, derivace a diferenciál funkcí více reálných proměnných Teorie Příklad 3 : Je dána funkce f předpisem f(x, y) = x+y x +y, f(0, 0) = 0 a body M = 3, 4, Q =,. a) Rozhodněte o spojitosti funkce f. b) Stanovte diferenciál funkce f v bodě M. c) Stanovte derivaci funkce f v bodě M ve směru vektoru v = (, ) T. d) Stanovte směr a velikost největšího spádu funkce f v bodě Q. Řešení: a) Funkce f je spojitá na R \ 0, 0 (polynomy jsou spojité funkce na R ). Musíme rozhodnout pouze o spojitosti v bodě 0, 0, tzn. ověřujeme zda platí x+y x +y = 0. lim x,y 0,0 Přechodem k polárním souřadnicím x = r cos ϕ, y = r sin ϕ dostaneme x+y x +y = lim r 0 ϕ 0,π) tedy neexistuje a daná funkce není spojitá. lim x,y 0,0 b) Pro parciální derivace funkce f platí f y = x +y (x+y)y (x +y ) = x y yx r(cos ϕ+sin ϕ) r. Poslední limita závisí na volbě úhlu ϕ, (x +y ). V bodě M = 3, 4 je f x a diferenciál funkce f v bodě M je df(m, h) = 7 65 f x = x +y (x+y)x (x +y ) = x +y yx (x +y ), 7 (M) = 65, f y = 3 65 dx + 3 65 dy. c) Derivaci funkce f v bodě M ve směru vektoru ( v ) = (, ) T vypočítáme pomocí vztahu f v (M)= grad f(m) v = 7 65, 3 65 (, ) T = 4 65. d) ( Směr největšího ) spádu funkce f v bodě Q je dán vektorem grad f(q) = 7 5, 5, jeho velikost je v = 5 50. Příklad 3 : Spočítejte derivaci funkce f = x3 +xy y, f(0, 0) = 0 v bodě 0, 0 ve směru vektoru v = (, ) T. t f f(0,0+t(,)) f(0,0) 3 +t t t Z definice dostaneme v (0, 0)= lim t 0 t = lim 0 t 0 t =. Parciální derivace f f(0,0+t(,0)) f(0,0) x (0, 0)= lim t 0 t Rozhodněte o spojitosti fce f v bodě 0, 0: 33 = lim t 0 t 3 +t 0 0 0 t neexistuje.
33. f(x, y) = x +y xy, f(0, 0) = 0 není spojitá 34. f(x, y) = x +sin y y, f(0, 0) = 0 není spojitá 35. f(x, y) = sin(xy ) x +y, f(0, 0) = 0 je spojitá 36. f(x, y) = ( + sin(x y)) ln x y, f(0, 0) = je spojitá Rozhodněte, zda fce f v bodě 0, 0 a ve směru (, ) roste nebo klesá 37. f(x, y) = (x + y ) sin x, fce roste 38. f(x, y) = tg y e x, fce klesá 39. f(x, y) = x y e y, fce je konstantní 30. f(x, y) = ln y + x + cos x, fce klesá Najděte diferenciál funkce f v bodech 0, 0 a, 3. f(x, y) = df xy, f(0, 0) = 0 = 0 dx + 0 dy, df = x +y dx + 3 dy 3. f(x, y) = (y + ) tg πx, f(0, 0) = 0 df = π dx + 0 dy, neexistuje webmathematica 34
6 Řešení funkcionálních rovnic, tečná rovina Teorie Příklad 33 : Je dána funkce F předpisem F (x, y) = x y 3 + x 3y a body A = 3,, B =,. a) Pomocí věty o implicitní funkci zjistěte, jestli existuje jediné, spojité řešení y rovnice F (x, y) = 0 na okolí bodů A, B. Případně určete derivaci y v příslušném bodě. b) Stanovte vektor normály a tečnou rovinu ke grafu funkce F v bodě grafu C =,,?. c) Stanovte tečnu k hladině funkce F procházející bodem D =, 0. a) Ověříme předpoklady věty o implicitní funkci:. Funkce F (x, y) = x y 3 + x 3y je spojitá na R, proto i spojitá na okolí bodů A, B.. Rovnosti F (A) = 0, F (B) = 0 jsou splněny. 3. Parciální derivace F y = F y (A) = 4 0, F y (B) = 0. F (x,y) y = 3x y 3 je spojitá na R a platí Na okolí bodů A tedy existuje jediné, spojité řešení y rovnice F (x, y) = 0; derivace řešení je y (3) = F x(a) F y (A) = xy3 + 3x y 3 = 4 (3, ) 4 = 6. O řešení rovnice F (x, y) = 0 na okolí bodu B nemůžeme na základě věty o implicitní funkci nic říci. b) Vektor normály n ke grafu funkce F (x, y) = x y 3 + x 3y v bodě grafu C =,, F (, ) =,, 5 je n = (F x (, ), F y (, ), ) = (6, 9, ) a tečná rovina je dána rovnicí z 5 = 6(x ) + 9(y ). c) Tečna k hladině funkce F procházející bodem D =, 0 je dána rovnicí 0 = F x (D)(x ) + F y (D)(y 0) 0 = (x ) 3 y. Pomocí věty o implicitní funkci zjistěte, jestli existuje jediné, spojité řešení y rovnice F (x, y) = 0 na okolí bodů A, B, C. Případně určete derivaci y v příslušném bodě. 34. F (x, y) = 3 x + y xy x 3y, A = 0, 3, B =,, C = 3, 0. A : y (0) = 5 3, B : Neex., C : Neex. 35
35. F (x, y) = x + 4y x + 6y + 3, A =,, B =,, C =, 0. A : Neex, B : y (0) = 0, C : Neex. 36. Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) implicitně definované rovnicí z 3 3xyz 8 = 0 v bodě A = 0, 3. A : zx = 3, z y = 0, 37. Ke grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : 3x + y z = 0. 3(x ) + (y ) (z 3) = 0 38. K nulové hladině funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y, z) = x + y + 3z, ϱ : x + 4y + 6z = 0. (x ) + 4(y ) + 6(z ) = 0, (x + ) + 4(y + ) + 6(z + ) = 0 webmathematica 36
7 Extrémy funkcí více proměnných Teorie 7. Optimalizační úlohy bez vazeb Příklad 39 : Najdeme extrémy funkce f(x, y) = x xy + y x + y. Stacionární bod vypočteme ze soustavy x y = 0 grad f(x 0, y 0 ) = (0, 0) x x + y + = 0 0, y 0 =, 0. ( ) Hessova matice funkce f má tvar H(x, y) =. Potom Stac. bod H Hlavní minory H vlastní čísla H Typ bodu ( ) M, 0 = > 0 λ = > 0 bod minima M = 5 > 0 λ = 3 > 0 Příklad 330 : Najdeme extrémy funkce f(x, y) = x + 6xy + y. Stacionární bod vypočteme ze soustavy x + 6y = 0 grad f(x 0, y 0 ) = (0, 0) x 6x + 4y = 0 0, y 0 = 0, 0. ( ) 6 Hessova matice funkce f má tvar H(x, y) =. Potom 6 4 Stac. bod H Hlavní minory H vlastní čísla H Typ bodu ( ) 6 M = > 0 λ 0, 0 = 3 + 37 > 0 6 4 M = 8 < 0 λ = 3 sedlový bod 37 < 0 Najděte lokální extrémy funkce f 33. f(x, y) = x 4 + y 4 x xy y,,, min, 0, 0 sedlo 33. f(x, y) = x + xy + y 4 ln x 0 ln y, min 333. f(x, y) = x + y + z + x + 4y 6z,, 3 min 334. f(x, y) = xy + z(a x y 3z) a 5, a 0, a 0 sedlo 0, ±, ±, 0 sedla,,, (e) (e) 335. f(x, y) = xy ln(x + y ), min,,,, max (e) (e) (e) (e) (e) (e) 37
7. Optimalizační úlohy s vazbami Teorie Příklad 336 : Stanovte extrém funkce f(x, y) = x 3 + xy + 5x + y na přípustné množině V určené podmínkou h(x, y) = x + y = 0. Vázané extrémy budeme nejdříve hledat pomocí Lagrangeovy funkce Najdeme její stacionární body L(x, y, λ) = x 3 + xy + 5x + y + λ(x + y). L x = 3x + y + 0x + λ = 0 L y = xy + y + λ = 0 L λ = x + y = 0 Druhý diferenciál Lagrangeovy funkce je } x = 0, y = 0, λ = 0 x =, y =, λ = 4 d L = d f + λd h = (6x + 0) dx + 4y dxdy + (x + ) dy a po dosazení vazební podmínky dostaneme dh = dx + dy = 0 d L = (8x 4y + ) dx. V bodě 0, 0, 0 je d L = dx > 0, tedy bod 0, 0 je bodem minima funkce f vzhledem k množině V, v bodě,, 4 je d L = dx < 0, tedy bod, je bodem maxima funkce f vzhledem k množině V. Tento příklad lze také řešit přechodem k jedné proměnné. Z vazby x + y = 0 plyne y = x a po dosazení do původní funkce dostaneme f(x, y) = f(x) = x 3 + x 3 + 5x + x = x 3 + 6x. Pro tuto funkci je f (x) = 6x + x a stacionární body jsou x = 0, x =. Druhá derivace má tvar f (x) = x + a f (0) = > 0 v bodě 0, 0 je minimum funkce f vzhledem k množině V, podobně f ( ) = < 0 v bodě, je maximum funkce f vzhledem k množině V. Nyní budeme hledat extrém stejné funkce f(x, y) = x 3 + xy + 5x + y na přípustné množině V určené podmínkou g(x, y) = x + y 0. Kromě extrému na 38
hranici množiny V ( V = V ), ted hledáme i extrémy uvnitř množiny V (zde g(x, y) < 0). Tedy grad f = 0, neboli f x = 3x + y + 0x = 0 f y = xy + y = 0 } x = 0, y = 0, x 3 = 0 3, y 3 = 0, x 4 =, y 4 = 7, x 5 =, y 5 = 7. Pouze body 0, 0, 0 3, 0,, 7 patří do množiny V a pro druhý diferenciál funkce f v těchto bodech platí d f(0, 0; h) = (6x + 0) dx + 4y dxdy + (x + ) dy 0,0 = dy > 0, d f( 0 3, 0; h) = 44 3 dx < 0, d f(, 7; h) = 4 dx 4 7 dxdy. Bod 0, 0 je bodem minima funkce f vzhledem k R, tedy i vzhledem k množině V, podobně bod 0 3, 0 je bodem maxima funkce f vzhledem k množině V. V bodě, 7 ve směru (dx, dy) = (, 0) je d f = 4 > 0 a funkce f má v tomto směru minimum, ale ve směru (dx, dy) = (, ) je d f = 4 4 7 < 0 a f má v tomto směru maximum. Bod, 7 je tedy sedlovým bodem funkce f. Zbývá rozhodnout bod, V, pro který je λ = 4 > 0 grad f(, ) = 4 grad g(, ), (gradient funkce f směřuje do množiny V ) a funkce f může nabývat pouze minima vzhledem k V, ale vzhledem k hranici V nabývá maxima. Proto v bodě, není extrém funkce f vzhledem k množině V. Příklad 337 : Stanovte extrém funkce f(x, y, z) = xy + yz na přípustné množině V určené podmínkami h (x, y, z)=y+z =0, h (x, y, z)=x +y =0, x 0, y 0, z 0. Vázané extrémy budeme hledat pomocí Lagrangeovy funkce L(x, y, λ) = xy + yz + λ (y + z ) + λ (x + y ). Najdeme její stacionární body L x = y + λ x = 0 λ = y x L y = x + z + λ y + λ = 0 } x + z + ( y x ) y y = 0 x + zx y yx = 0 L z = y + λ = 0 λ = y L λ = z + y = 0 z = y L λ = x + y = 0 x = y x + ( y)x y yx = 0 y + ( y)x y yx = 0 39
Odtud ( y ) + ( y)x = 0 ( y)( + y + x) = 0 a protože x 0, y 0, z 0, tak jediný stacionární bod je B =,, a λ =, λ =. Druhý diferenciál Lagrangeovy funkce je d L = λ dx + dxdy + λ dy + dydz a po dosazení vazebních podmínek v bodě B =,, dh = dz + dy = 0 dz = dy, dh = x dx + y dy = 0 dx = dy dostaneme pro λ =, λ = d L = ( 4 4 ) dy < 0 pro dx = dz = dy 0. Tedy bod,, je bodem maxima funkce f vzhledem k množině V. Najděte lokální extrémy funkce f vzhledem k množině V 338. f(x, y) = x + xy, V : 3x + y = 0, 339. f(x, y) = x + xy, V : 3x y + 0,, 5 min nemá extrém vzhledem k V 340. f(x, y) = x + xy + y, V : 4x + y = 5, 3, 4, 3, 4 max,, 3,, 3 min 34. f(x, y) = x + xy + y, V : 4x + y 5, 3, 4, 3, 4 max,, 3,, 3 min 34. f(x, y) = x y + z, V : x + y + z =, 3, 3, 3 max, 3, 3, 3 min Najděte min. a max. hodnoty funkce f vzhledem k množině V 343. f(x, y) = x + y + z, V : x + y z, min, + max 344. f(x, y) = x + y + 3z, V : x + y + z 00, 0 min, 300 max webmathematica 40
8 Vícenásobné integrály Teorie 8. Dvojné integrály Příklad 345 : Máme množinu M = {x, y R : xy, 4y x, y 3}. Vypočtěte y I = x dxdy. M Průsečík funkcí y = x 4, y = x je bod,, tedy y 3 a pro x platí 4y x y. Tudíž I = 346. 347. 348. 3 4y 349. y y x y+ x y 6 x x y 4 M 350. M y 3 x dxdy = x+y+ y e x dx dy x (+y) x y dx dy 4y y x y dx dy dy = 3 y 4 + y3 dy = 3 y 8 + y4 4 = 5 64. e4 + 5 e 0 5 dx dy, kde M je trojúhelník s vrcholy,, 5,, 4, 4 7 5 ln 9 + 8 ln 6 x dx dy, kde M je dána nerovnostmi x y, 4x + y 36 3 4 35. x + y dx dy, kde M je dána nerovnostmi x y x, x M 35. x y dx dy, M kde M je dána nerovnostmi x + y, x 0, y 0 3 π 6 4
8. Trojné integrály Příklad 353 : Máme množinu M = {x, y R 3 : x +y, x +y +z 4}. Vypočtěte objem tělesa M, tj. integrál I = dxdydz. M Přechodem k cylindrickým souřadnicím x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z dostaneme r, z 4 r, ϕ 0, π) a dxdy = r drdϕ, tedy I = 354. M u = 4 r V dz dxdy = du = r dr dx dy dz, = π 0 0 π 3 0 4 4 r 4 r r dz dr dϕ = u du dϕ = π 0 π kde V je dána nerovnostmi x + y z, 0 z 355. xy 3 z (+z ) dx dy dz, V 0 0 4 r r dr dϕ = 4 3 u 3 dϕ = 4 3 3 π(8 7). kde V je dána nerovnostmi x + y z, 0 x, 0 y 356. x yz 3 dx dy dz, V kde V je dána nerovnostmi 0 x, 0 y x, 0 z xy 357. dx dy dz, V x+y 4+z π 4 3 60 + 6 ln 5 3 kde V je dána nerovnostmi x + y 3, 0 y, 0 x, 0 z 4 9 ln 358. xy (4+z) dx dy dz, V kde V je dána nerovnostmi x + y 4z 6 0 359. x yz dx dy dz, V kde V je dána nerovnostmi 4x +y +z, x 0, y 0, z 0 3 05 4 webmathematica