ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
Zadanie zbilansowane
Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości produkcyjne zakładów wynoszą odpowiednio: 12, 2 i 6 jednostek, natomiast zapotrzebowanie w poszczególnych centrach dystrybucyjnych odpowiednio: 8, 3, 4 i 5 jednostek. Jednostkowe koszty transportu przedstawione są w tabeli. Określić taki plan przewozów, aby koszty dostaw z zakładów wytwórczych do centrów dystrybucyjnych były minimalne. 3
Zadanie zbilansowane Tabela kosztów jednostkowych: 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy 4
Model matematyczny
Model matematyczny Produkcja zakładów (podaż): 12 + 2 + 6 = 2 Zapotrzebowanie w centrach dystrybucyjnych (popyt): 8 + 3 + 4 + 5 = 2 Produkcja = Zapotrzebowanie lub Podaż = Popyt Zadanie jest zbilansowane 6
Model matematyczny m a = n i i= 1 j= 1 b j gdzie: a i b j m n zasoby i tego dostawcy zapotrzebowanie j tego odbiorcy ilość dostawców ilość odbiorców c ij koszt transportu od i tego dostawcy do j tego odbiorcy 7
Model matematyczny Zmienne decyzyjne x ij ilość towaru przewożonego od i tego dostawcy do j tego odbiorcy i = 1...m j = 1...n m = 3 n = 4 np. x 24 ilość towaru przewożonego od drugiego dostawcy (miasto B) do czwartego odbiorcy (miasto G). 8
Model matematyczny Funkcja celu Z( x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x 34) = = 5x + 3x + 8x + 2x + 11 12 13 14 + 4x + 6x + 4x + 2x + 21 22 23 24 + 9x + 2x + 3x + 11x MIN 31 32 33 34 m Z( x ) = c x MIN ij ij ij i= 1 j= 1 n 9
Model matematyczny Ograniczenia Dostawcy: A : x + x + x + x = 12 11 12 13 14 B : x + x + x + x = 2 21 22 23 24 C : x + x + x + x = 6 31 32 33 34 n j= 1 x = a i= 1... m ij i 1
Model matematyczny Ograniczenia c. d. Odbiorcy: D : x + x + x = 8 11 21 31 E : x + x + x = 3 12 22 32 F G : x + x + x = 4 13 23 33 : x + x + x = 5 14 24 34 m i= 1 x = b j = 1... n ij j 11
Model matematyczny Warunki brzegowe x i= 1... m j = 1... n ij 12
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne
Metoda kąta północno - zachodniego
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (1,1)...(3,4) - węzły 15
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Ilość węzłów bazowych: m + n 1 W przykładzie: 3+ 4 1= 6 16
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 12 2 6 8 3 4 5 min(12,8) = 8 17
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 12 4 2 6 8 3 4 5 18
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 12 4 2 6 8 3 4 5 min(4,3) = 3 19
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 12 4 1 2 6 8 3 4 5 2
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 1 12 4 1 2 6 8 3 4 5 min(1, 4) = 1 21
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 1 12 4 1 2 6 8 3 4 5 3 22
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 1 12 4 1 2 2 6 8 3 4 5 3 min(2,3) = 2 23
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 1 12 4 1 2 2 6 8 3 4 5 3 1 24
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 1 12 4 1 2 2 1 6 8 3 4 5 min(6,1) = 1 3 1 25
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 1 12 4 1 2 2 1 6 5 8 3 4 5 3 1 26
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 1 12 4 1 2 2 1 5 6 5 8 3 4 5 min(5,5) = 5 3 1 27
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: 8 3 1 12 4 1 2 2 1 5 6 5 8 3 4 5 3 1 28
8 3 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW 1 2 -węzły bazowe 1 5 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne: x = 8 x = 3 x = 1 x = 11 12 13 14 x = x = x = 2 x = 21 22 23 24 x = x = x = 1 x = 5 FC : Z( x ) = 123 31 32 33 34 ij 29
Sprawdzenie optymalności rozwiązania Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW u 1 u 2 u 3 v1 v2 v3 v4 u i zmienne związane z dostawcami v j zmienne związane z odbiorcami 3
Wskaźniki optymalności: Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW eij = ui + vj + cij Dla węzłów bazowych: e ij = 31
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW (1,1) u1+ v1+ 5= 9 (1, 2) u1+ v2 + 3= 1 (1,3) u1+ v3 + 8= ⓿ (2,3) u2 + v3+ 4= ❶ (3,3) u3+ v3+ 3= ❷ (3, 4) u3+ v4 + 11 = ❸ 32
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Układ 6 równań z 7 niewiadomymi. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Aby go rozwiązać za jedną zmienną przyjmuje się dowolną wartość. 33
Przyjmujemy u 1 = Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW z 9: z 1: z ⓿: z ❶: z ❷: z ❸: v 1 = 5 v 2 = 3 v 3 = 8 u u v = 4 v = 4 2 3 = 3 v = 5 3 3 = 11 u = 16 4 3 34
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Wskaźniki optymalności dla węzłów niebazowych: (1, 4) e14 = u1 + v4 + c14 = 14 (2,1) e21 = u2 + v1 + c21 = 3 (2,2) e22 = u2 + v2 + c22 = 7 (2,4) e24 = u2 + v4 + c24 = 1 (3,1) e31 = u3 + v1 + c31 = 9 (3, 2) e32 = u3+ v2 + c32 = 4 35
Tablica wskaźników optymalności Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW -14 3 7-1 9 4 36
Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Kryterium optymalności Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są nieujemne Rozwiązanie nie jest optymalne 37
Nowe rozwiązanie wymiana jednego węzła w bazie Kryterium wejścia Do bazy wprowadzany jest węzeł, dla którego wskaźnik optymalności ma wartość najmniejszą. W przykładzie: (1,4) 39
Określenie węzła usuwanego z bazy Budowa tzw. cyklu Definicja cyklu W każdym wierszu i kolumnie do cyklu wchodzą dwa lub zero węzłów. Cykl składa się z półcyklu dodatniego i ujemnego. 4
Tablica przewozów 8 3 1 2 + (1,4) węzeł wprowadzany do bazy 1 5 Węzeł wprowadzany do bazy półcykl dodatni 41
Tablica przewozów 8 3 1 2 + 1 5 (3,4) drugi węzeł w czwartej kolumnie półcykl ujemny 42
Tablica przewozów 8 3 1 2 + + 1 5 (3,3) drugi węzeł w trzecim wierszu półcykl dodatni 43
Tablica przewozów 8 3 1 2 + + 1 5 (1,3) drugi węzeł w trzeciej kolumnie półcykl ujemny 44
Tablica przewozów 8 3 1 2 + + 1 5 Cykl składający się z czterech węzłów 45
Określamy minimum w półcyklu ujemnym: min(1,5) = 1 Minimum odpowiada węzłowi (1,3) Kryterium wyjścia Z bazy usuwany jest węzeł z półcyklu ujemnego, dla którego wartość przewozu jest najmniejsza. 46
Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 47
Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 48
Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 4 49
Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 2 4 5
Tablica przewozów nowe rozwiązanie 8 3 1 2 2 4 FC : Z( x ij ) = 19 51
-14 Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku 3 7-1 9 4 Dla węzłów bazowych: (1,1) u1+ v1+ = (1, 2) u1+ v2 + = (1, 4) u1+ v4 14 = (2,3) u2 + v3+ = (3,3) u3+ v3+ = (3,4) u3+ v4 + = 52
Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = 14 u 3 = 14 v 1 = v 2 = v 3 = 14 v 4 = 14 53
Nowe wskaźniki optymalności: e ij = ui + vj + eij e ij wskaźniki optymalności z poprzedniego kroku 54
Nowe wskaźniki optymalności 14-11 -7-1 -5-1 Rozwiązanie nie jest optymalne 55
Tablica przewozów 8 3 1 + 2 2 4 Węzeł wprowadzany do bazy: (2,1) 56
Tablica przewozów 8 3 + 1 2 2 4 (1,1) drugi węzeł w pierwszej kolumnie półcykl ujemny 57
Tablica przewozów 8 3 1 + + 2 2 4 (1,4) drugi węzeł w pierwszym wierszu półcykl dodatni 58
Tablica przewozów 8 3 1 + + 2 2 4 (3,4) drugi węzeł w czwartej kolumnie półcykl ujemny 59
Tablica przewozów 8 3 1 + + 2 2 + 4 (3,3) drugi węzeł w trzecim wierszu półcykl dodatni 6
Tablica przewozów 8 3 1 + + 2 2 + 4 (2,3) drugi węzeł w drugim wierszu półcykl ujemny 61
Tablica przewozów 8 3 1 + + 2 2 + 4 Cykl składający się z sześciu węzłów min(8, 2, 4) = 2 (2,3) usuwany z bazy 62
Tablica przewozów nowe rozwiązanie 6 3 3 2 4 2 FC : Z( x ij ) = 87 63
14 Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku -11-7 -1-5 -1 Dla węzłów bazowych: (1,1) u1+ v1+ = (1, 2) u1+ v2 + = (1, 4) u1+ v4 + = (2,1) u2 + v1 11 = (3,3) u3+ v3+ = (3,4) u3+ v4 + = 64
Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = 11 u 3 = v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = 65
Nowe wskaźniki optymalności 14 4 11 1-5 -1 Rozwiązanie nie jest optymalne 66
Tablica przewozów 6 3 3 2 + 4 2 Węzeł wprowadzany do bazy: (3,2) 67
Tablica przewozów 6 2 3 3 + 4 2 (1,2) drugi węzeł w drugiej kolumnie półcykl ujemny 68
Tablica przewozów 6 2 3 3 + + 4 2 (1,4) drugi węzeł w pierwszym wierszu półcykl dodatni 69
Tablica przewozów 6 2 3 3 + + 4 2 (3,4) drugi węzeł w czwartej kolumnie półcykl ujemny 7
Tablica przewozów 6 2 3 3 + + 4 2 Cykl składający się z czterech węzłów min(3, 2) = 2 (3,4) usuwany z bazy 71
Tablica przewozów nowe rozwiązanie 6 1 5 2 2 4 FC : Z( x ij ) = 67 72
14 Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku 4 11 1-5 -1 Dla węzłów bazowych: (1,1) u1+ v1+ = (1, 2) u1+ v2 + = (1, 4) u1+ v4 + = (2,1) u2 + v1+ = (3, 2) u3+ v2 1 = (3,3) u3+ v3+ = 73
Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = u 3 = 1 v 1 = v 2 = v 3 = 1 v 4 = 74
Nowe wskaźniki optymalności 4 4 1 1 5 1 Rozwiązanie optymalne 75
Rozwiązanie optymalne x = 6 x = 1 x = x = 5 11 12 13 14 x = 2 x = x = x = 21 22 23 24 x = x = 2 x = 4 x = 31 32 33 34 FC : Z( x ij ) = 67 76
A jednak się skończyło!!! 77