Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18
Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45 minut zajęć / tydzień) Zaliczenie ćwiczeń : dwa kolokwia (połowa i koniec semestru) liczba dopuszczalnych nieobecności : 2 / semestr zbyt duża liczba nieobecności - przygotowanie referatu kontakt mailowy: mbucko@utp.edu.pl konsultacje (poniedziałek) (na razie propozycje, ustalimy za tydzień) 7:30-8:30, Aula 1B Auditorium Novum 10:45-11:15, Wydział Zarzadzania, s.111 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 2 / 18
Tematyka zajęć: Elementy rachunku prawdopodobieństwa. kombinatoryka p-stwo klasyczne niezależność zdarzeń p-stwo warunkowe schemat Bernoullego Zmienna losowa i jej rozkłady. dyskretne ciagłe Estymacja punktowa i przedziałowa parametrów rozkładów. Testowanie hipotez statystycznych. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 3 / 18
Literatura Jerzy Greń, Statystyka matematyczna modele i zadania, PWN 1980 Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski, Statystyka od podstaw Wydawnictwo: PWE, Wydanie VI zmienione 2006 Statystyczne metody analizy danych. Red. W. Ostasiewicz. Wyd. AE Wrocław, 1999 Zarys metod statystycznych. K. Zajac, PWE 1988 Bak, Markowicz, Mojsiewicz, Wawrzyniak, Statystyka w zadaniach, część II, WNT 2001 Leitner, Zacharski, Zarys matematyki wyższej cz.iii, WNT, 1995 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 4 / 18
Statystyka jest nauka zajmujac a się zbieraniem danych opisujacych zjawiska masowe (tzn. zjawiska o dużej liczebności obserwacji) i wydobywaniem informacji zawartej w tych danych. Statystykę można podzielić na dwie części: statystykę opisowa, statystykę matematyczna Statystyka opisowa zajmuje się opracowaniem zebranych informacji (danych) posługujac się głównie metodami opisowymi. np. na podstwie otrzymanych danych: wykresy, średnie, różne wskaźniki (ale zależa one wyłacznie od danych obserwacji) Statystyka matematyczna: zajmuje się teoria, opisem i analiza zjawisk masowych (zjawisk o dużej liczebności) głównie przy użyciu metod matematycznych, a szczególnie rachunku prawdopodobieństwa. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 5 / 18
Rachunek prawdopodobieństwa jest działem matematyki zajmujacym się badaniem modeli zjawisk losowych (przypadkowych). np. rzut kostka, moneta, losowanie obiektów z pewnego zbioru,... Dla każdego zdarzenia losowego należy zdefiniować: zdarzenia elementarne - (ozn. ω, czyt. omega) - pojedynczy wynik doświadczenia zbiór zdarzeń elementarnych - (ozn. Ω) - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli wszystko co może się wydarzyć w ramach danego doświadczenia. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 6 / 18
Przykład 1 Rzucamy kostka do gry. Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ω i - wyrzucono i- ta liczbę oczek Przykład 2 Rzucamy moneta. Ω = {ω 1, ω 2 } = {O, R} ω 1 - "wyrzucono orła", ω 2 - "wyrzucono reszkę" Przykład 3 Gramy w "Dużego Lotka". - wybieramy 6 spośród 49 liczb. Ω - zbiór wszystkich możliwych wyborów 6 spośród 49 liczb. ω - jeden ustalony wybór 7 liczb. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 7 / 18
Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Oznaczamy je A,B,... i oczywiście sa to pozbiory Ω, czyli A Ω, B Ω. Zdarzenie losowe, które nie zawiera żadnego elementu, tzn. A = nazywamy zdarzeniem niemożliwym. np. moneta, kostka stanie na krawędzi Zdarzenie losowe, które zawiera wszystkie zdarzenia elementarne, tzn. A = Ω nazywamy zdarzeniem pewnym. np. w rzucie kostka wyrzycimy co najwyżej 10 oczek, w rzucie moneta wyrzucimy Orła albo Reszkę Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 8 / 18
Interpretacja działań na zbiorach w odniesieniu do działań na zdarzeniach losowych A B ( suma zbiorów) - zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A i B A B ( iloczyn zbiorów) - oba zdarzenia zachodza równocześnie, tzn. zachodzi i A i B A \ B ( różnica zbiorów) - zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi B A ( dopełnienie zbioru A) - zdarzenie przeciwne do A, które rozumiemy jako: nie zaszło zdarzenie A, tzn. A = Ω \ A. Jeżeli A B = to zbiory takie nazywamy zdarzeniami wykluczajacymi się. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 9 / 18
Przykład 1 Rzucamy kostka do gry. Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ω i - wyrzucono i- ta liczbę oczek A wyrzucimy parzysta liczbę oczek A = {2, 4, 6} B wyrzucimy nieparzysta liczbę oczek B = {1, 3, 5} A B = Ω oraz A B = (tzn. zdarzenia wykluczajace się) zatem A = B i B = A. C wyrzucimy co najwyżej 3 oczka: C = {1, 2, 3} Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 10 / 18
Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (tzn. wszystko co w ramach danego eksperymentu morze się zdarzyć) zbiór A ( A Ω) - zbiór zdarzeń spełniajacych "pewien" warunek Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne sa jednakowoprawdopodobne i zbiór Ω jest skończony, to P(A) = A Ω, gdzie oznacza ilość elementów danego zbioru, tzn. Ω - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych A - liczba zdarzeń spełniajacych "pewien" warunek (tzw. sprzyjajacych zdarzeniu A) Do wyliczeń prawdopodobieństw potrzebne jest wprowadzenie pewnych modeli kombinatorycznych. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 11 / 18
Elementy kombinatoryki a) (kombinacje bez powtórzeń ) losujemy k spośród n obiektów (0 k n), ale interesuje nas wyłacznie skład a nie kolejność (uporzadkowanie) obiektów. ( ) n n! = k k! (n k)!, gdzie symbol silni definujemy następujaco Dodatkowo : 0! = 1 ( ) n = n, 1 ( ) n = 1, n n! = 1 2... n ( ) n = 1. 0 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 12 / 18
Przykład 1 Ilość wyborów 3-osobowej delegacji z grupy 20 osób: ( ) 20 = 1140 3 bo ( ) 20 = 20! 17! 18 19 20 18 19 20 = = = 1140 3 3! 17! 3! 17! 6 Przykład 2 Ilość wyborów 3-osobowej delegacji z grupy 20 osób (15M+5K), ale takiej by był 1 M i 2 K: ( ) ( ) 15 5 = 15 10 = 150 1 2 bo: ( ) 15 1 ( ) 5 2 = 15! 14! 15 = = 15 1! 14! 14! = 5! 2! 3! = 3! 4 5 = 20 2! 3! 2 = 10 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 13 / 18
Przykład 3 Na ile sposobów można wybrać parę do brydża z 5 osób: ( ) 5 = 10 2 bo ( ) 5 = 5! 2 2! 3! = 3! 4 5 = 20 2! 3! 2 = 10 Przykład 4 (Duży lotek) Na ile sposobów można zakreślić 6 liczb spośród 49 możliwych: ( ) 49 = 13 983 816 6 bo ( ) 49 = 49! 43! 44 45 46 47 48 49 = 6 6! 43! 6! 43! 44 45 46 47 48 49 = = 13 983 816 2 3 4 5 6 (prawie 14 milionów możliwości) Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 14 / 18
Zadanie do samodzielnej analizy (do slajdu 9) Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 15 / 18
Przykład W losowaniu 2 kart spośród talii 24 kart określamy zdarzenia: A - wylosujemy 2 karty czerwone (tzn. albo ) B - wylosujemy Damę i Króla, tzn. mamy jedna Damę spośród D, D, D, D i jednego Króla spośród K, K, K, K. Określić zdarzenia: A B - mamy 2 karty czerwone lub (damę i króla) (dużo możliwości) A B - mamy 2 karty czerwone i (damę i króla), tzn. mamy czerwona damę i czerwonego Króla, tzn. jedna damę: D, D i jednego króla : K, K. A \ B - mamy 2 karty czerwone, ale nie (Damę i Króla), tzn. mamy np. 2 czerwone Damy, 2 czerwone Króle, 1 czerwony Król i inna niż Dama czerwona karta,... B \ A - mamy Damę i Króla, ale obe karty nie sa czerwone, tzn. mamy np. D i K, D i K,... Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 16 / 18
Przykład - c.d. W losowaniu 2 kart spośród talii 24 kart określamy zdarzenia: A - wylosujemy 2 karty czerwone B - wylosujemy Damę i Króla Określić zdarzenia: A - nie wylosowaliśmy 2 kart czerwonych tzn. mamy mniej niż 2 karty czerwone, czyli mamy 1 czerwona (i 1 czarna) albo 0 czerwonych ( czyli 2 karty czarne). B - nie wylosowaliśmy pary Damy i Króla tzn. mamy jedna z możliwości 1 Damę + 1 kartę inna niż Król 1 Króla + 1 kartę inna niż Dama 2 karty inne niż Król i Dama. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 17 / 18
Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 18 / 18