07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Definicja Zmienna losowa (rozkład zmiennej losowej X jest skuiona na zbiorze S, jeśli P X (S = P (X S = (Podajemy najmniejszy lub najładniejszy taki zbiór Definicja Dla zmiennej losowej X, dowolną liczbę rzeczywistą a R taką, że P X (a} = P (X = a > 0 nazywamy atomem (rozkładu zmiennej losowej X Definicja Zmienna losowa X jest dyskretna (ma rozkład dyskretny, gdy jest skuiona na co najwyżej rzeliczalnym zbiorze (Jeśli A jest zbiorem atomów X, to a A P (X = a = a A P X(a} = P X (A = Definicja 4 Zmienna losowa X jest ciągła (ma rozkład ciągły, gdy istnieje funkcja nieujemna rzeczywista f zwana gęstością taka, że dla każdego zbioru borelowskiego A w R mamy P X (A = P (X A = f(xdx Funkcja f sełnia A warunek f(xdx = P X(R = P (X R = Uwaga Aby odać rozkład zmiennej losowej dyskretnej skuionej na zbiorze S odajemy P X (a} = P (X = a dla każdego a S, gdzie S jest zbiorem na którym jest skuiona X (na którym jest skuiony rozkład zmiennej X Uwaga Aby odać rozkład zmiennej losowej ciągłej wystarczy odać jej gęstość Fakt Dla ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f i dystrybuancie F mamy f(x = F (x dla każdego x, w którym F jest różniczkowalna Fakt Dwie funckje gęstości f i f, które różnią się na zbiorze miary zero, wyznaczają ten sam rozkład Słynne rozkłady dyskretne Rozkład arametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, n k k ( n k 0,,, n n n( liczba sukcesów w n róbach Bernoulliego λ Poissona λ k k! e λ 0,,, λ λ geometryczny ( k,, liczba doświadczeń do ierwszego sukcesu ( ujemny dwumianowy, r k r r ( k r r r, r +, hiergeometryczny N, m, n ( m k( N m n k ( N n r( liczba doświadczeń do r tego sukcesu 0,,,, n liczba wylosowanych el tyu I, jeśli losujemy jednocześnie n el z urny, w której jest N el z tego m el tyu I Słynne rozkłady ciągłe nazwa rozkładu arametry gęstość E(X Var(X normalny N(m, σ f(x = wykładniczy λ f(x = jednostajny na odcinku [a, b] f(x = πσ λe λx dla x 0 e (x m σ m σ 0 w rzeciwnym wyadku b a dla a x b 0 w rzeciwnym wyadku UWAGA: Poniższe fakty nie są do końca formalnie odowiednio sformułowane Fakt Niech X ma rozkład dwumianowy z arametrami n i oraz n λ (tzn n jest duże a małe, wtedy P (X = k λk k! e λ Fakt 4 Niech X ma rozkład hiergeometryczny z arametrami N, m, n Jeżeli m/n i (N m/n są duże, to ( n ( m k ( P (X = k m n k k N N λ a+b λ (a b
A Zadania na ćwiczenia Zadanie A W orzednim zestawie w zadaniach A, A i A wyznaczyliśmy dystrybuanty trzech zmiennych losowych 0 dla x < A F (x = 9 dla x < 9 dla x < dla x Dla każdej z tych zmiennych losowych: odaj na jakim zbiorze jest skuiona; odaj wszystkie atomy rozkładów; A F (x = x dla 0 x < dla x rozstrzygnij czy jest dyskretna/ciągła/ani ciągła ani dyskretna; jeśli jest ciągła lub dyskretna odaj jej rozkład A F (x = x + dla 0 x < dla x Zadanie A Niech X ma gęstość f(x = c( x dla < x < ; 0 dla ozostałych x a Znajdź c b Wyznacz P ( X /, P (X = 0 c Wyznacz dystrybauntę tej zmiennej losowej Zadanie A a Srawdź, że ciąg n = n n+ (n =, określa rozkład rawdoodobieństwa ewnej zmiennej losowej dyskretnej dla której P X (n} = P(X = n = n b Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X o tym rozkładzie Zadanie A4 Hurtownia zaoatruje 0 skleów Każdy skle rzysyła w danym dniu zamówienie z rawdoodobieństwem 0,4 Skley są daleko od siebie, więc złożenie zamówienia rzez skle nie wływa na złożenie zamówień rzez inne skley Podaj rozkład zmiennej losowej, jaką jest dzienna liczba zamówień otrzymanych rzez hurtownię Czy to jakiś słynny rozkład? Zadanie A Jak wiadomo, każda czekolada może zawierać śladowe ilości orzechów arachidowych W fabryce czekolady do kadzi z masą czekoladową, z której wyrodukowano 000 tabliczek czekolady wadło 4000 mikroskoijnych odłamków orzeszków arachidowych Charlie kuił w skleie czekoladę wyrodukowaną z masy z tej kadzi Jaki ma rozkład zmienna losowa równa liczbie odłamków orzeszka w tabliczce czekolady Charliego Ile w rzybliżeniu wynosi rawdoodobieństwo, że natrafił na co najmniej trzy odłamki orzeszka Zadanie A6 W kasynie kruier tasuje 00 talii kart o karty (tzn 00 kart Nastęnie losuje a kolejno ze zwracaniem; b kolejno bez zwracania; 0 kart Niech X będzie liczbą wylosowanych Asów Wyznacz rozkład zmiennej losowej X Czy ten rozkład ma jakąś nazwę? Wyznacz P (X = 4 i orównaj wyniki w unktach a i b Zadanie A7 (bonus Pokazać, że zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym wykładniczym ma własność braku amięci, tzn P (X > n + k X > n = P (X > k
B Zadania domowe Zadanie B Znajdź stałą c, dla której oniższy ciąg jest rozkładem rawdoodobieństwa ewnej zmiennej losowej a i = c(/ i, i =,,, oza tym 0 b i = ci, i =,, 6, oza tym 0 Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X, dla której P X (i} = P (X = i = i Zadanie B Podaj rozkład zmiennej losowej, której dystrybuanta dana jest wzorem: 0 dla x < ; 6 dla x < ; a F (x = dla x < 4; dla 4 x < 0; dla x 0 0 dla x < ; b F (x = x dla x Zadanie B Pięć kobiet i ięciu mężczyzn zostaje ustawionych w ranking na odstawie wyników egzaminu Zakładamy, że każdy wynik jest inny i wszystkie uorządkowania są jednakowo rawdoodobne Niech X będzie najwyższą ozycją w rankingu uzyskaną rzez kobietę (n X =, jeśli na ierwszym miejscu jest kobieta Podaj rozkład zmiennej losowej X Zadanie B4 Łucznik strzela do tarczy do momentu trzeciego trafienia w 0 Wyznacz rozkład zmiennej losowej X równej liczbie oddanych strzałów, jeśli łucznik trafia w 0 rzy każdym strzale niezależnie z rawdoodobieństwem / Czy ten rozkład ma jakąś szczególną nazwę Zadanie B W losowaniu totolotka wybiera się 0 różnych liczb ze zbioru,, n} (n 0 Niech X oznacza najwiękaszą z wylosowanych liczb Podaj rozkład zmiennej X Zadanie B6 Losujemy kart z talii Niech X będzie liczbą wylosowanych kierów Podaj rozkład zmiennej X Czy X ma znany rozkład? Zadanie B7 Dla gęstości zmiennej losowej X f(x = znajdź P( X < i P(X < 9 oraz wyznacz jej dystrybuantę x /8 dla < x < ; 0 dla ozostałych x Zadanie B8 Zmienna losowa X osiada dystrybuantę: 0 dla x < 0 F (x = x dla 0 x dla x > Oblicz rawdoodobieństwa: P(X X, P(X X oraz wyznacz jej gęstość Zadanie B9 (Zad 4 Czy ta zmienna ma rozkład ciągły/dyskretny? Zadanie B0 Dana jest zmienna losowa X o dystrybuancie: F (x = x dla 0 x < a dla x a Wyznacz wszystkie arametry a, dla których rozkład tej zmiennej losowej jest ciągły i wyznacz w tych rzyadkach gęstość Zadanie B Zmienna losowa X osiada gęstość daną wzorem: 6x(x C dla x [0, ] f(x = 0 dla ozostałych x a Wyznacz stałą C b Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X c Oblicz P(X < 4 dwoma sosobami: korzystając z gęstości oraz korzystając z dystrybuanty
C Zadania dla chętnych Zadanie C Asia i Basia umówiły się w restauracji między 700 a 800 Każda z nich rzychodzi w losowym momenie między 700 a 800 Wyznacz rozkład zmiennej losowej równej okresowi oczekiwania osoby, która rzyszła ierwsza Zadanie C różnych liczb rozdano (o graczom o numerach,,, 4, Gdy gracze orównują swoje liczby, ten z większą liczbą jest zwycięzcą Najierw gracze i orównują swoje liczby, a zwycięzca orównuje swoją z graczem itd Niech X oznacza liczbę zwycięstw gracza Znajdź rozkład rawdoodobieństwa P X Zadanie C Wykaż, że jeśli f i g są gęstościami, to, dla każdego 0 λ, funkcja λf + ( λg też jest gęstością Zadanie C4 (BONUS z ulą kt na listoada Pokaż, że nie można tak wyważyć dwóch kostek do gry, by suma S wyrzuconych oczek miała rozkład równorawdoodobny, tzn by P (S = i = dla wszystkich i =,, Zadanie C Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem 0 dla x < F (x = 6 (x + dla x < dla x Przedstaw F jako wyukłą kombinację liniową dystrybuant: dyskretnej F d i ciągłej F c Zadanie C6 Zad 6 4 Zadanie C7 Zad 7 4 Zadanie C8 Piekielny Piotruś hoduje bakterie Na oczątku w terrarium znajduje sie jedna bakteria Escherichia Coli oraz jedna bakteria Salmonella Enteritidis Jeden cykl rozmnażania olega na tym, że losowo wybrana bakteria (każda sosród bakterii obecnych w terrarium ma równe rawdoodobieństwo dzieli sie rzez odział na dwie bakterie tego samego rodzaju (czyli n zamiast jednej bakterii Escherichia będa dwie bakterie Escherichia Powyżej oisane rozmnażanie jest owtarzane tak długo, aż łączna liczba wszystkich bakterii w terrarium będzie wynosiła dokładnie 0 (czyli sto miliardów Przez X oznaczamy liczbę bakterii Salmonella na samym końcu Znajdź rozkład zmiennej losowej X Jak zmieni się odowiedź, gdy w terrarium znajdują się trzy bakterie Escherichia oraz ięć bakterii Salmonella? Zadanie C9 W urnie znajduje się onumerowanych kul:,,, 4, } Losujemy różne z nich Niech a będzie największym numerem na wylosowanych kulach Jeśli a jest arzyste, to zaisujemy liczbę wlosowaną w sosób jednostajny z rzedziału (a + Jeśli a jest niearzyste, to zaisujemy a Niech X będzie zaisaną liczbą Wyznacz dystrybuantę F tej zmiennej losowej Czy jest ona dyskretna/ciągła? Jeśli tak, odaj jej rozkład Jeśli nie, zaisz jej dystrybuantę jako kombinację liniową dystrybuanty zmiennej ciagłej i dystrybuanty zmiennej dyskretnej Zadanie C0 Dana jest liczba naturalna k Rzucamy monetą do momentu aż wyrzucimy rzynajmniej k reszek i rzynajmniej k orłów Oznaczamy rzez X liczbę rzutów Wyznacz rozkład zmiennej losowej X Zadanie C Wykonujemy rzut n monetami, z których na każdej wyada orzeł z rawdoodobieństwem, niezależnie od ozostałych Rzucamy onownie każdą monetą na której wyadł orzeł Jaki jest rozkład liczby orłów które wyadną w wyniku drugiego rzutu? Zadanie C Pokazać, że zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym wykładniczym ma własność braku amięci, tzn P (X > n + k X > n = P (X > k 4
Odowiedzi do niektórych zadań B a c = /, b c = /, F (x = 0 dla x <, (/ x dla x, 0 dla x < / dla x < / dla x < F (x = 6/ dla x < 4 0/ dla 4 x < / dla x < 6 dla x 6 B ap (X = = /6, P (X = = /6, P (X = 4 = /6, P (X = 0 = / bp (X = = / oraz P (X = k = k k dla k = 4,, B P (X = k = ( k (0 k! 0!, k =,,, 4,, 6 B4 P (X = k = ( k (/ k (/, k =, 4,, uwaga: rozkład ujemny dwumianowy B P (X = k = ( ( k 9 / n 0, k = 0,, n B6 P (X = k = B7 /7, ( ( 9 k k (, k = 0,,,, 4, 0 dla t < t F (t = 4 + dla t dla t > B8 /, /4, B0 a = /4 0 dla x < 0 f(x = dla 0 x 0 dla x > 0 dla x 0 f(x = / x dla 0 < x < /4 0 dla x /4 B a C = b 0 dla a < 0 F (a = a a dla 0 a dla a > c /