D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [] Pstać kacza lweg mdelu decyzyjeg (góle) Zajdź wartść ajwększą (ajmejszą) fukcj celu f c c c ma(m) przy warukach a a a 2 m 2 2 a a a 0, 2 f 2 22 m2 2 2 2 0, a a a 2 m 0 W zapse macerzwym T c 2... a a A... am 2 A b b b ma (m) 0 gdze: b c b c c 2 b b 2...... c b m a2... a a 22... a2......... am2... am 2 m
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [2] Jeżel zdefujemy klumy macerzy A jak wektry P j, tj. gdze A P P 2... P P j aj a2j... amj (j=,2,...,) t rówaa graczeń mża zapsać w pstac kmbacj lwej: P P... P b 2 2 w której zmee mdelu decyzyjeg pełą rlę ezaych współczyków tej kmbacj.
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [3] Pzyskwae ddatkwych frmacj ułatwających ceę rzwązaa ptymaleg prblemu decyzyjeg D elemetarych zabegów zwązaych z aalzą rzwązaa ptymaleg prblemu decyzyjeg mdelwaeg techkam PL ależą:. badae reakcj ptymalej wartśc fukcj celu a margale zmay wybraeg śrdka (lmtu) prezetwaeg przez kreśly wyraz wly w graczeach zadaa PL (wycey duale) DUALIZM w PL, 2. ustalae przedzałów dpuszczalych zma w zasbach śrdków (lmtów), dla których pzstają prawdzwym wycey duale zwązae z rzwązaem ptymalym ANALIZA WRAŻLIWOŚCI, 3. ustalae przedzałów dpuszczalych zma dla współczyków fukcj celu, które e pwdują zmay rzwązaa ptymaleg ANALIZA WRAŻLIWOŚCI, 4. badae reakcj rzwązaa ptymaleg a dłączee lub usuęce zmeej decyzyjej z zadaa PL ROZSZERZONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI, 5. badae reakcj rzwązaa ptymaleg a dłączee lub usuęce graczea z zadaa PL ROZSZERZONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [4] Dualzm w prgramwau lwym Wycey duale są zmeym decyzyjym peweg zadaa PL ścśle pwązaeg z rzwązywaym zadaem. Mdel za pmcą któreg psalśmy asz prblem decyzyjy azywamy zadaem perwtym (prymalym). Zadae, któreg zmeym decyzyjym są wycey duale s azwę zadaa dualeg. Zadae duale d daeg zadaa perwteg pwstaje jak swsta traspzycja zadaa perwteg. Zadaa te twrzą sprzężą parę zadań dualych względem sebe. W te spsób zadae duale względem zadaa dualeg będze detycze z zadaem perwtym. Symetrycza para zadań dualych. Zadae perwte Zadae duale Symetrycza para zadań dualych. Zadae perwte Zadae duale
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [5] Zasady budwy zadaa dualeg. Maksymalzacj wartśc fukcj celu zadaa perwteg dpwada mmalzacja wartśc fukcj celu zadaa dualeg. I dwrte. 2. Współczyk fukcj celu zadaa perwteg [cj] stają sę wyrazam wlym zadaa dualeg. 3. Wyrazy wle [b] graczeń zadaa perwteg stają sę współczykam fukcj celu zadaa dualeg. 4. Macerz współczyków lewych str graczeń zadaa dualeg jest traspwaą macerzą [aj] zadaa perwteg. Wyka stąd, że lczba zmeych decyzyjych zadaa dualeg (wyce dualych) jest rówa lczbe graczeń w zadau perwtym, atmast lczba graczeń w zadau dualym jest rówa lczbe zmeych decyzyjych w zagadeu perwtym. 5. Warukw prymalemu w pstac erówśc z relacją "" dpwada w zagadeu dualym a. eujema zmea duala (y 0) jeżel prymala fukcja celu jest maksymalzwaa, b. eddata zmea duala (y 0) jeżel prymala fukcja celu jest mmalzwaa. 6. Warukw prymalemu w pstac erówśc z relacją "" dpwada w zagadeu dualym a. eddata zmea duala (y 0) jeżel prymala fukcja celu jest maksymalzwaa, b. eujema zmea duala (y 0) jeżel prymala fukcja celu jest mmalzwaa. 7. Warukw prymalemu w pstac rówaa dpwada ekreśla c d zaku zmea duala (yr).
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [6] Nesymetrycza para zadań dualych.. fukcja celu (wartść prdukcj w ceach zbytu) w(,2) = w() = 3 + 42 ma [$] 2. graczea kreślające zbór plaów dpuszczalych (maszyy) + 22 500 [muta] (surwec) + 2 350 [kg] (m. zysk) 2 + 2 600 [$] (waruk 0 [szt.] brzegwe) 2 0 [szt.] Zadae perwte Zadae duale
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [7] Pdstawwe twerdzea dualzmu Twerdzee Jeżel X raz Y są epustym zbram rzwązań dpuszczalych dpwed zadaa perwteg dualeg z fukcjam celu dpwed f() g(y), t dla dwlych dwóch rzwązań X raz yy zachdz T ma f ( ) c m g( y) yb lub T m f ( ) c ma g( y) yb w zależśc d sfrmułwaeg kryterum ptymalzacj. Twerdzee 2 Na t, aby rzwązaa dpuszczale pary zadań dualych X raz y Y były rzwązaam ptymalym ptrzeba wystarczy, aby zachdzły astępujące rówśc y A b 0 raz Ozaczmy: ( ) c A ( y ) T T T 0,,..., T 2 - rzwązae ptymale zadaa perwteg y y, y2,..., ym - rzwązae ptymale zadaa dualeg f( ) - ptymala wartść fukcj celu zadaa perwteg g(y ) - ptymala wartść fukcj celu zadaa dualeg Twerdzee 3 (twerdzee dualzme) Dla daej pary zadań dualych prawdzwe jest wyłącze jed z pższych twerdzeń:. Jeżel jed z pary zadań dualych psada rzwązae ptymale (lub y ), t druge róweż psada rzwązae ptymale y (lub ), przy czym ptymale wartśc fukcj celu są sbe rówe,tj. f( ) = g(y )
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [8] 2. Jeżel jed z zadań e psada skńczeg rzwązaa ptymaleg t druge z zadań jest sprzecze (twerdzee dwrte e jest prawdzwe peważ jeżel jed z zadań jest sprzecze t druge mże być róweż sprzecze lub e psadać skńczeg rzwązaa ptymaleg). Twerdzee 4 ( rzwązau zadaa dualeg) Jeżel steje skńcze rzwązae ptymale zadaa perwteg względem bazy B, t rzwązae ptymale zadaa dualeg y dae jest wzrem y B c T B c B T c B c B c B, 2,..., m gdze: - wektr współczyków w fukcj celu zadaa perwteg stjących przy zmeych bazwych w baze ptymalej B. Twerdzee 5 Dla -teg graczea w pstac erówśc speła jest zawsze astępująca rówść: s y 0, tj. lczy ptymalej wartśc zmeej swbdej wycey dualej jest rówy zer. Dla aszeg przykładu rzwązae ptymale zadaa dualeg (wycey duale) trzymamy astępując: y, y2, y3 graczee RHS ( b ) s maszyy 500 50 surwec 350 0 m. zysk 600 0 y s y
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [9] Iterpretacja zmeych dualych (wyce dualych) Ozaczmy przez f(b) ptymalą wartść fukcj celu zadaa perwteg jaka zstała sągęta dzęk przyjętym d blczeń lścm śrdków (lmtów) b=[b ]. Jest czywste, że zachdz tutaj rówść z ptymalą wartścą perwtej fukcj celu, tj. f(b)=f( ). Optymala wartść zmeej dualej y jest pchdą cząstkwą fukcj f(b) względem lmtu b y f ( b) b wyraża reakcję ptymalej wartśc fukcj celu zadaa perwteg (f( )= f(b)) a ewelke (krańcwe) zmay lmtu -teg śrdka (b ). W praktyce taką krańcwą terpretację zastępuje sę terpretacją przyrstwą. Optymala wartść zmeej dualej (wycey dualej) y kreśla tutaj zmaę ptymalej wartśc fukcj celu zadaa perwteg spwdwaą zmaą wartśc wyrazu wleg (lmtu) b -teg graczea zadaa perwteg jedstkę, a mawce: I tak: y f ( ) b przy b jeżel w -tym graczeu zadaa PL wyraz wly b wzrśe jedstkę, t ptymala wartść fukcj celu zadaa perwteg f( ) wzrśe y jedstek; jeżel w -tym graczeu zadaa PL wyraz wly b spade jedstkę, t ptymala wartść fukcj celu zadaa perwteg f( ) spade y jedstek.
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [0] Ekmcza terpretacja wyce dualych y Najczęścej wycea duala traktwaa jest jak mara efektywśc wykrzystaa graczeg zasbu (b ) -teg śrdka prdukcj. Każda z wyce dualych y ma swją terpretację ścśle zwązaą z rzważaym zagadeem decyzyjym. Pwa być jest welkścą mawaą. Prces ustalaa ma dla wyce dualych zlustrujemy a aszym przykładze. Z twerdzea 3 mamy: w( ) = g(y ) = 50 [$ wartśc prdukcj] lmt w graczeu perwtym (b ) maszyy [muta] surwec [kg] M. zysk [$ zysku] wycea duala (y ) y [ ] y 2 [ ] y 3 [ ]
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [] Iterpretacja wyce dualych (d przykładu) y (maszyy) = 0 [$ wartśc prdukcj / mutę] - c zacza, że zmejszae lub zwększae lmtu czasu pracy maszy (aktuale 500 mut) e zme ptymalej wartśc prdukcj w ceach zbytu, y (surwec) 2 = +5 [$ wartśc prdukcj / kg] - t z kle zacza, że zwększee zasbu surwca (aktuale 350 kg) ddatkwy klgram zwększy ptymalą wartść prdukcj w ceach zbytu 5 $. I dwrte, zmejszee zasbu surwca klgram zmejszy ptymalą wartść prdukcj w ceach zbytu 5 $, y (m. zysk) 3 = [$ wartśc prdukcj / $ zysku] - tutaj atmast dstajemy frmację, że zwększee wymagaa c d mmalej kwty zysku $ (aktualy pzm teg żądaa wys 600 $) pwdwać będze spadek ptymalej wartśc prdukcj w ceach zbytu $. I dwrte, zmejszee wymagaa c d mmalej kwty zysku $ pwdwać będze wzrst ptymalej wartśc prdukcj w ceach zbytu $. W jakm zakrese zma wyrazów wlych graczeń aszeg mdelu PL pwyższe terpretacje będą aktuale?
D. Mszczyńska, M.Mszczyńsk KBO UŁ, Badaa peracyje (wykład 2 _AW&D) [2] ANALIZA WRAŻLIWOŚCI Przedzały dpuszczalych zma dla wyrazów wlych graczeń (RHS) Przedzał dla wyrazu wleg w graczeu maszyy Przedzał dla wyrazu wleg w graczeu surwec Przedzał dla wyrazu wleg w graczeu m. zysk