Iloczyn wektorowy Autorzy: Michał Góra 019
Iloczyn wektorowy Autor: Michał Góra DEFINICJA Definicja 1: Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów v = ( v x, v y, v z ) R 3 oraz w = ( w x, w y, w z ) R 3 nazywamy wektor v w określony wzorem v w := ( v y w z v z w y, v z w x v x w z, v x w y v y w x ). (1) Wzór ( 1 ) można wyrazić równoważnie w łatwej do zapamiętania postaci symbolicznego wyznacznika gdzie i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). i j k v w = v x v y v z, w x w y w z PRZYKŁAD Przykład 1: Wyznaczanie iloczynu wektorowego Dla wektorów v = (1, 0, ) oraz w = ( 1, 1, 1) mamy i j k v w = 1 0 = i + j + k = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1) = (, 1, 1). 1 1 1
TWIERDZENIE Twierdzenie 1: Własności iloczynu wektorowego Iloczyn wektorowy spełnia następujące warunki: dla v, w R 3 : v w = w v ; dla v, w 1, w R 3 : v ( w 1 + w ) = ( v w 1 ) + ( v w ) ; dla v R 3 : v v = 0 ; dla α R, v, w R 3 : α ( v w ) = (α v ) w = v (α w ) ; dla v, w R 3 : ( v w ) v oraz ( v w ) w. TWIERDZENIE Twierdzenie : Niech v, w R 3 będą dowolnymi wektorami. Wówczas v w = v w sin ( v, w ), gdzie ( v, w ) [0, π] to miara kąta między wektorami v i w. () Z powyższego twierdzenia wynika następujący wniosek. WNIOSEK Wniosek 1: Iloczyn wektorowy wektorów v i w jest wektorem o długości równej polu równoległoboku rozpiętego przez wektory v i w (zob. Rys. 1).
Rysunek 1: Iloczyn wektorowy pary wektorów. WNIOSEK Wniosek : Warunek równoległości wektorów Ze wzoru ( ) wynika następująca zależność: v w = 0 [ v = 0 lub w = 0 lub v w ]; warunek v w = 0 jest więc warunkiem równoległości niezerowych wektorów v i w. PRZYKŁAD Przykład : Wyznaczanie pola trójkąta Rozważmy trzy punkty A(0, 1, 0), B (1, 0, 1), C (1, 1, 1). Punkty te są wierzchołkami pewnego trójkąta. Obliczymy jego pole. Zauważmy, że dwoma bokami trójkąta o wierzchołkach A, B, C są odcinki o długościach równych długościom wektorów AB oraz AC. Pole P tego trójkąta wyraża się więc wzorem Ponieważ AB = (1, 1, 1) oraz AC = (1, 0, 1) zatem Stąd 1 P = AB sin (, ) =. AC AB AC 1 AB AC i j k AB AC = 1 1 1 = i + k = ( 1, 0, 1). 1 0 1 i ostatecznie P =. AB AC = ( 1, 0, 1) = Układ współrzędnych Kartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni R 3 nazywamy trzy ustalone wzajemnie prostopadłe proste przecinające się w jednym punkcie nazywanym początkiem układu współrzędnych. Zwyczajowo proste te oznacza się Ox, Oy oraz Oz i nazywa się osiami układu współrzędnych Oxyz. Jako początek układu współrzędnych Oxyz zwykle przyjmuje się punkt (0, 0, 0).
Orientacja układu współrzędnych W układzie współrzędnych Oxyz można wprowadzić dwie orientacje: orientację dodatnią (układ prawoskrętny) oraz ujemną (układ lewoskrętny). Orientacja układu zależy od wzajemnego położenia osi układu Ox, Oy oraz Oz. Jeżeli wyprostowany kciuk prawej ręki umieścimy w ten sposób, aby wskazywał dodatnią część osi Oz, a zgięte palce wskażą kierunek obrotu od osi Ox do osi Oy (odpowiednio: od osi Oy do osi Ox to wówczas mamy do czynienia z układem prawoskrętnym (lewoskrętnym). Rysunek : Układ współrzędnych: a) zorientowany dodatnio, b) zorientowany ujemnie. Orientacja wektorów u, v, u v Iloczyn wektorowy dwóch niezerowych, nierównoległych wektorów u oraz v ma tę własność, że uporządkowana (istotna kolejność) trójka wektorów u, v, u v ma orientację dodatnią, tzn. jeżeli ułożymy prawą dłoń w ten sposób, aby zgięte palce wskazywały kierunek obrotu od wektora u do wektora v, to wyprostowany kciuk wskaże kierunek oraz zwrot wektora u v (zob. Rys. 3). Rysunek 3: Dodatnia orientacja trójki wektorów. Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/. Data generacji dokumentu: 019-04-16 01:15:30 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=7555ba35b7b5a06a796ed3cb0489bea3 Autor: Michał Góra