MODELOWANE NŻYNERSKE SSN 896-77X 8, s. 75-8, Gwce 9 WPŁYW SŁY PEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ KOLUMNY NELNOWEJ Z PRĘTEM PEZOCERAMCZNYM JACEK PRZYBYLSK, KRZYSZTOF SOKÓŁ nstytut Mechank Podstaw Konstrukcj Maszyn, Potechnka Częstochowska e-ma: jacek.pr@mpkm.pcz.czest.p Streszczene. Układ badany w nnejszej pracy składa sę z dwóch członów, z których jeden wzdłuż okreśonej długośc jest prętem pezoceramcznym. Eementy konstrukcj połączone są przegubem sprężyną rotacyjną o sztywnośc C. Obcążene zewnętrze koumny wywołane jest poprzez przyłożoną osowo słę skuponą P. Ze wzgędu na nenowość geometryczną układu rozwązane przeprowadzono metodą małego parametru. Prezentowane wynk dotyczą wpływu położena przegubu, sztywnośc sprężyny rotacyjnej sły pezoeektrycznej na częstość drgań własnych układu.. WSTĘP Prowadzone w ostatnch atach badana konstrukcj ntegentnych z zastosowanem pezoaktuatorów ceramcznych dotyczą mn. możwośc sterowana własnoścam dynamcznym statycznym układów mechancznych, przy czym duża część prac jest skoncentrowana na aktywnym tłumenu drgań oraz profowanu kształtu ub ugęć smukłych układów prętowych. Wększość badanych układów stanowły konstrukcje złożone ze struktury nośnej zespoonych z ną eementów pezoceramcznych. W grupe tej meśc sę praca Thompsona Loughana [], którzy bada eksperymentane wyboczene koumny wspornkowej z zamocowanym obustronne eementam pezoceramcznym. Przez wygenerowane w pezoceramkach sł ścskających rozcągających kompensowa ugęce koumny wywołane obcążenem zewnętrznym. Kandaga Venkatraman [] postuowa zastosowane pezoceramków zamocowanych symetryczne wzgędem os bek do tłumena jej drgań poprzecznych. By zwększyć możwość kontro kształtu ugęć, Chaudhry Rogers [] zaproponowa nną konfgurację układu struktura-aktuator w postac bek z dyskretne zamocowanym prętem pezoceramcznym. Wykonując badana teoretyczne dośwadczane, wykaza, że przemeszczena bek w postuowanym układze były o 4% wększe w stosunku do układu z pezoceramkem zespoonym z beką. Laande n. [4] bada reację sła-przemeszczene w pezoaktuatorze typu Moone, który stanow układ nenowy złożony z dwóch prętów symetryczne zamocowanych dyskretne wzgędem dodatkowego pręta pezoceramcznego. Pręt pezoceramczny w układach geometryczne nenowych może służyć do wstępnego sprężena takch układów. Jak wykazano w pracach Meada [5] Przybyskego [6], częstośc poprzecznych drgań własnych układów nenowych są łatwe do korygowana przez wprowadzene wzdłużnej sły sprężającej.
76 J. PRZYBYLSK, K. SOKÓŁ W nnejszej pracy bada sę wpływ sły pezoeektrycznej generowanej w pręce pezoceramcznym, stanowącym eement koumny złożonej, na częstość drgań własnych słę krytyczną układu.. SFORMUŁOWANE PROBLEMU.. Sła wzdłużna generowana przez pręt pezoceramczny a) b) P Pręt () E, J, A Pręt () E, J, A x człon () - rura (E, E A, ρ A ) pręt (E, E A, ρ A ) pręt - pezo (E, E A, ρ A ) człon () W (x,t) x, x C Pręt pezo () E, J, A W (x,t), W (x,t) Rys.. Mode badanego układu (a), schemat ugętych os (b) Na rys. a przedstawono mode koumny wspornkowej, której pręt () jest eementem pezoceramcznym połączonym z prętem () za pomocą przegubu sprężyny rotacyjnej o sztywnośc C. Przegub ze sprężyną reprezentuje w modeu połączene konstrukcyjne obu prętów. Pręt () jest zamocowany dyskretne do pozostałych eementów konstrukcj. Wybór układu będącego przedmotem nnejszych rozważań jest uzasadnony tym, że pręty pezoceramczne są produkowane w okreśonych rozmarach kształtach. Mogą one pełnć funkcję eementu sprężającego układ nezaeżne od swojej długośc, stąd proponuje sę take rozwązane konstrukcyjne, w którym pręt pezoeektryczny stanow jedyne fragment jednego z członów nośnych. Cały układ obcążony jest słą skuponą P przyłożoną w mejscu połączena prętów () (). Pręty mają długośc odpowedno,,. W ceu wyznaczena reacj pomędzy przyłożonym napęcem generowaną w układze sprężającą słą rezyduaną defnuje sę energę potencjaną Π w następującej postac: Π Ω σ dω Ω Dz E zd () gdze naprężena normane, odkształcena, przemeszczene eektryczne D z wywołane poem eektrycznym E z defnowanym jako oraz napęca V przez grubość pezoeektryka h p są wyrażone prze następujące zwązk Ω
WPŁYW SŁY PEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ KOLUMNY NELNOWEJ 77 σ Y σ Y eez du ( x ) Dz e + ξez dx σ Y (a-e) Wekośc występujące w powyższych wzorach to: e - efektywna stała deektryczna [C/m ], ξ - efektywny współczynnk przenkanośc eektrycznej ośrodka [C/Vm]. Po przyrównanu perwszej waracj energ potencjanej do zera przeprowadzenu nezbędnych operacj całkowana obczana waracj, przy założenu stałej wartośc potencjału eektrycznego, otrzymuje sę du d U δ Π Y A δu δu dx FδU () dx dx Wekość oznaczona przez F to sła pezoeektryczna zdefnowana jako: F bev (4) gdze b to szerokość pezoceramka. Na podstawe równana (), przy założenu, że przemeszczene wrtuane δu (x ) w przedzae x jest dowone nezaeżne, otrzymuje sę trzy równana różnczkowe drugego rzędu na przemeszczena wzdłużne. Rozwązane zagadnena oraz anaza naprężeń w poszczegónych segmentach prowadz do wzoru opsującego rezyduaną słę wzdłużną R, której wartość zaeży od sły pezoeektrycznej F, reacj mędzy długoścam poszczegónych prętów koumny, jak równeż wzajemnej reacj mędzy sztywnoścam na ścskane składowych układu. W przypadku koumny współosowej sła rezyduana w człone () jest równa co do bezwzgędnej wartośc se w segmentach () () członu drugego: - R R R be V Y A YA R (5). Drgana poprzeczne układu Zagadnene drgań poprzecznych koumny trzyeementowej opsują ponższe równana: W V ( x, t) + ( S ± R) W ( x, t) + ρ AW&& ( x, t),, (6) gdze sła wzdłużna S jest defnowana następująco: U ( x, t) W ( x, t) S + E A (7) x x Rozwązana równań (6) muszą spełnać następujące warunk brzegowe: W ( x, t) W ( x, t) W ( x t) W ( x, t) x x, x x
78 J. PRZYBYLSK, K. SOKÓŁ W W (, ) (, x t W x t) W (, ) (, ) x x x t W x t x x (, W x t) W( x, t) (, ) + E (, ) x x JW x t EJ W x t x x W ( x, t) PW ( x, t) + W ( x, t) + x x x [ ] ( x t) ( S R) W ( x, t) W ( x, t) + ( S R) W ( x, t), + x x x x E [ ] ( x, t) C W ( x, t) W ( x, t) J W + x x x [ ] ( x, t) C W ( x, t) W ( x, t) J W + x x x E (8a-) Przemeszczena wzdłużne U x ) spełnają warunk cągłośc na grancach przedzałów: ( U ( ) U ( ) U ( ) ( ) U ( ) U ( ) + U ( ) U (9a-c) ` Dasze rozważana prowadz sę po wprowadzenu wekośc bezwymarowych w postac: d, C c b, p P d +, v bev, EJ + EJ r w, r m EJ x ξ, τ Ωt, W( x, t) w( ξ, τ), U( x, t) u( ξ, τ), A 4 ρ Ω. (a-k) Do rozwązana probemu zastosowano metodę małego parametru, zgodne z którą przemeszczene poprzeczne w ( ξ,τ), przemeszczene wzdłużne u ( ξ,τ) ( τ) -tego pręta rozpsuje sę w szereg potęgowe k oraz częstość drgań w k N, słę wzdłużną n N+ n N+ ( ξ, τ) w ( ξ, τ) + O( ) u ( ξ, τ) u ( ξ) + u ( ξ, τ) + O( ) n N n n N+ () k + k () τ + O( ) n N n n N + τ o n + n + O( ) N n n (a-d) Wekośc rozwnęte zgodne z równanam () wprowadza sę do równań ruchu (6), sł wzdłużnych (7) warunków brzegowych (8) (9). Następne grupuje sę wyrazy przy tych samych potęgach małego parametru, co prowadz do otrzymana neskończonych cągów równań ruchu sł wzdłużnych wraz z odpowednm cągam warunków brzegowych. Rozwązane zaprezentowane w nnejszej pracy otrzymano na podstawe układu równań przy małym parametrze w potędze perwszej.
WPŁYW SŁY PEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ KOLUMNY NELNOWEJ 79. WYNK OBLCZEŃ NUMERYCZNYCH Po opracowanu programu obczeń numerycznych na podstawe przyjętego modeu matematycznego, w ceu okreśena wpływu wybranych parametrów geometrycznych układu nesprężonego na jego własnośc dynamczne, przystąpono do zbadana perwszej częstośc postac drgań poprzecznych w funkcj obcążena zewnętrznego. Wszystke wykresy wykreśono we współrzędnych bezwymarowych (por. (a-k)). Przyjmując dentyczną sztywność na zgnane każdego z prętów, zerową słę sprężającą układ oraz zmenając położene przegubu, wykreśono krzywe opsujące reację bezwymarowa sła zewnętrzna (p d ) częstość ( 4 ρa Ω EJ ) wyznaczono odpowadające m postace drgań układu. Rys. przedstawają zaeżność pomędzy obcążenem zewnętrznym a częstoścą drgań przy różnych położenach przegubu sztywnośc sprężyny rotacyjnej c b. p d p d - p d pd - 4. C b C b C b C b. Cb Cb Cb Cb.......... 4. 5...... 4. Rys. Krzywe częstośc drgań koumny przy zmane sztywnośc sprężyny (pozostałe dane d.5, v r m, r w ) Rys. Krzywe częstośc drgań koumny przy zmane sztywnośc sprężyny (pozostałe dane d.7, v, r m, r w ) Tabea Perwsze postace drgań (d.7, v, r m, r w, p d ) c b d.7 c b d.7 w (ζ ) w (ζ ) ζ ζ c b d.7 c b d.7 w (ζ ) w (ζ ) ζ ζ
8 J. PRZYBYLSK, K. SOKÓŁ Na os rzędnych, os obcążena zewnętrznego, zaznaczono punkty odpowadające słom krytycznym układu. Sła krytyczna jest sne zaeżna od sztywnośc sprężyny rotacyjnej w przegube, a najwyższa sztywność sprężyny ne odpowada maksymanemu obcążenu krytycznemu. Przy sztywnośc sprężyny rotacyjnej c b >, nezaeżne od położena przegubu, zmana wartośc częstośc drgań sł krytycznych jest neznaczna. Prosta przecnająca krzywe częstośc z rys. na pozome obcążena p d wyznacza punkty, którym odpowadają perwsze postace drgań pokazane w tabe. Mmo takch samych sztywnośc na zgnane obu członów, przy dwóch nższych wartoścach sztywnośc sprężyny (c b, ), kształty ugęć poszczegónych prętów odpowadające perwszej postac drgań różną sę, co determnuje zróżncowane obcążeń krytycznych układu. Przy sztywnośc sprężyny o wartoścach wększych od c b 8 ne ugęć obu członów w perwszej postac pozostają dentyczne, a sły krytyczne przyjmują bske sobe wartośc. Wynk obczeń numerycznych w zakrese częstośc drgań własnych układu z uwzgędnenem sły pezoeektrycznej zaprezentowano na rys. 4, 5 7. W przypadku układu złożonego z członów o tej samej sztywnośc na zgnane z przegubem umeszczonym symetryczne wzmocnonym sprężyną o sztywnośc c b przyłożene napęca o tej samej wartośc nezaeżne od kerunku poa eektrycznego powoduje zmnejszene częstośc drgań własnych obcążena krytycznego (rys. 4). Przy mnejszej wartośc sztywnośc sprężyny położenu przegubu poza środkem koumny, wprowadzene sły rezyduanej koryguje przebeg krzywych częstośc drgań wartośc obcążena krytycznego w zaeżnośc od kerunku poa eektrycznego (rys. 5). W efekce nośność koumny może być determnowana przez wartość kerunek poa eektrycznego, co zobrazowano na rys. 6. Na rys. 7 przedstawono krzywe częstośc drgań w funkcj rosnącego napęca przy różnym pozome obcążena zewnętrznego. Przy wększej wartośc sły zewnętrznej utrata statecznośc układu następuje przy nższym napęcu. p d. p d - v v ±.5 v cr p d 4. p d - v v. v cr v -. v cr.......... 4...... 4. 5. Rys.4 Krzywe częstośc drgań własnych koumny przy różnym napęcu v (pozostałe dane d.5, c b r m, r w ) Rys.5 Krzywe częstośc drgań własnych koumny przy różnym napęcu v (pozostałe dane d.7, c b, r m, r w )
WPŁYW SŁY PEZOELEKTRYCZNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ KOLUMNY NELNOWEJ 8 p cr 6. 4. v. 8. v - p d p d p d p cr - v d.5 d.7 v -. -.... 4.... 4. 6. Rys.6 Wpływ napęca na nośność koumny, przy różnych położenach przegubu (pozostałe dane c b, r m, r w ) Rys.7 Zmana częstośc drgań własnych układu w funkcj przyłożonego napęca przy różnej wartośc sły zewnętrznej (pozostałe dane d.7, c b, r m, r w ) 4. WNOSK Ceem nnejszej pracy było okreśene wpływu sły generowanej przez pręt pezoceramczny na częstość drgań koumny trzyprętowej obcążonej słą zewnętrzną P o stałym kerunku dzałana. Po przeprowadzenu badań numerycznych anaze otrzymanych wynków można stwerdzć, że: stneje taka wartość sztywnośc sprężyny rotacyjnej łączącej pręty koumny, powyżej której zarówno częstość drgań układu jak jego wyboczenowa sła krytyczna zmena sę w sposób nezauważany. Efekt ten występuje powyżej sztywnośc c b 8; położene przegubu ma stotny wpływ na nośność konstrukcj. Przesuwane przegubu od mejsca utwerdzena w górę koumny da małych wartośc sztywnośc sprężyny c b powoduje zmnejszene sł krytycznych. Przy c b wększym od 8 zmana jest mnmana. Wraz ze zmaną położena przegubu zmenają sę częstośc drgań układu; wygenerowane w pręce pezoceramcznym dodatkowej sły poprzez przyłożene doń napęca ma znaczący wpływ zarówno na sły krytyczne jak częstość drgań własnych; w zaeżnośc od zwrotu wektora poa eektrycznego stneje możwość redukcj ub zwększena częstośc drgań układu; m dłuższy eement pezoceramczny wchodzący w skład badanego układu, tym mnejsza wartość napęca potrzebnego do sterowana własnoścam statycznym dynamcznym koumny; nezaeżne od wartośc sły zewnętrznej obcążającej układ stneje taka wartość sły pezoeektrycznej, przy której częstość drgań koumny spada do zera. Otrzymane wynk mogą być wykorzystane przy projektowanu konstrukcj ntegentnych takch jak złożone koumny ub bek z dodatkowym prętem pezoceramcznym. Praca została wykonana w ramach projektu badawczego Mnsterstwa Nauk Szkonctwa Wyższego N N5 76, oraz badań własnych BW -/4/7/P
8 J. PRZYBYLSK, K. SOKÓŁ LTERATURA. Thompson S., Loughan J.: The actve buckng contro of some composte coumn strps usng pezoceramc actuators. Composte Structures 995,, p. 59-67.. Kandaga S.B.,Venkatraman K.: Form factors for vbraton contro of beams usng resstvey shunted pezoceramcs. Journa of Sound and Vbraton 4, 74, p. -.. Chaudhy Z.,Rogers C.A.: Enhancng nduced stran actuator authorty through dscrete attachment structura eements. AAA Journa 99,, p. 87-9. 4. Laande F., Chaudhry Z.,Rogers C.A.: A smpfed geometrcay nonnear approach to the anayss of the Moone actuator. EEE Transactons on utrasonc, ferroeectrc and frequency contro 995, Vo. 4, No., p. - 7. 5. Mead D.J.: Free vbraton of sef-straned assembes of beams. Journa of Sound and Vbraton, Vo. 49, No.,p. -7. 6. Przybysk J. Drgana stateczność dwuczłonowych układów prętowych wstępne sprężonych przy obcążenach nezachowawczych. Częstochowa: Wyd. Po. Częst.. Sera Monografe, Nr 9. NFLUENCE OF THE PEZOELECTRC FORCE ON VBRATON FREQUENCY OF A GEOMETRCALLY NONLNEAR COLUMN WTH A PEZOCERAMC ROD Summary n ths work the probem of natura vbratons of the geometrcay nonnear coumn whch oses ts stabty va dvergence has been presented. The system consdered n ths work conssts of two members, from whch one s composed of two rods joned together by a pn strengthen by a rotatona sprng. One of the rods s made of pezoceramc matera. The externa oad s axay apped to the coumn. Due to the geometrca nonnearty, the souton to the probem was made by usng the perturbaton method. Presented resuts concern the nfuence of the jont ocasaton, the sprng stffness and the pezoeectrc force on the natura vbraton of the system.