Trigonometria. Funkcje trygonometryczne

1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych w Babilonie, Egipcie i Grecji. 0.1 Funkcje Trygonometryczne sin α, czytamy sinus α, cos α, czytamy cosinus α, tg α lub tan α, czytamy tangens α, ctg α lub cot α, czytamy cotangence α, sec α, czytamy secant α, csc α, czytamy cosecant α. Funkcje trygonometryczne okreṡlamy w trójk acie prostok atnym lub na kole trygonometrycznym. Rozpatrzmy trȯjk at prostok atny ABC o wierzcho lkach A, B, C przyprostpk atnych AC i BC oraz przeciwprostok atnej AB 1 przyprostokatna b γ = π 2 A } α β {{} przeciwprostokatna c C a przyprostokatna B D lugoṡci przyprostok atnych i przeciwprostok atnej oznaczamy ma lymi literami, piszemy a = BC, b = AC, c = AB. 1 W matematyce wyższej funkcje trygonometrytczne okeṡlane s a przez szeregi potȩgowe

2 Definition 0.1 Sinus k ata α to stosunek przyprostok atnej a leż acej naprzeciw k ata α do przeciwprostok atnej c sinα = a c Definition 0.2 Cosinus k ata α to stosunek przyprostok atnej b przyleg lej do k ata α do przeciwprostok atnej c cos α = b c Definition 0.3 Tangens k ata α to stosunek przyprostok atnej a leż acej naprzeciw k ata α do przyprostok atnej b przyleg lej do k ata α tgα = a b lub tanα = a b Definition 0.4 Cotangens k ata α to stosunek przyprostok atnej b leż acej przyleg lej do k ata α do przyprostok atnej a leż acej na przeciw k ata α ctgα = b a lub cotα = a b Definition 0.5 Secant k ata α to odwrotność sinusa k ata α. Zatem secα = c a Definition 0.6 Cosecant k ata α to odwrotność cosinusa k ata α. Zatem secα = c b Zauważmy, że odwrotność tangensa k ata α równa jest cotangensowi k ata α i odwrotność cotangensa k ata α równa jest tangensowi k ata α 1 tgα = ctgα, 1 ctgα = tgα Przyk lad 0.1 Podaj wartości funkcji trygonometrycznych określonych w trójk acie prostok atnym o bokach a = 3, b = 4, c = 5 Rozwi azanie. K aty tego trójk ata prostok atnego α = 30 o, β = 60 o, γ = 90 o sinα = 3 5, cosα = 4 5, tgα = 3 4, ctgα = 4 3, secα = 5 3, cscα = 5 4. Zauważmy, że określenie funkcji trygonometrycznych w trójk acie prostok atnym dotyczy tylko k atów 0 α 90 o lub w mierze lukowej 0 α π 2.

3 Ponieważ k aty α i β w trójk acie prostok atnym zmieniaj a siȩ od zera do k ata prostego. W tym dla α = 0 cotangens i secant s a nieokreślone. Również dla α = π tangens i cosecant nie s a określone. 2 Ko lo Trygonometryczne. Dla wszystkich k atów o wartościach rzeczywistych, ujemnych lub dodatnich, funkcje trygonometryczne definiujemy w kole trygonometrycznym. Na kole trygonometrycznym rozpatrujemy k aty zorientowane. Punkt p = (x 1, y 1 ) poruszaj acy siȩ po okrȩgu w kierunku przeciwnym wskazówkom zegara, pocz awszy od osi x, określa k at dodatni. Natomiast, punkt poruszaj acy siȩ zgodnie ze wskazówkami zegara określa k at o wartościach ujemnych. y p = (x 1, y 1 ) R α α x K at zorientowany α

4 Definition 0.7 Sinus k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej y 1 do promienia R sinα = y 1 R Definition 0.8 Cosinus k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej x 1 do promienia R cos α = x 1 R Definition 0.9 Tangens k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej y 1 do wpsó lrzȩdnej x 1 tg α = y 1 x 1, x 1 0, Definition 0.10 Cotangens k ata α to stosunek to stosunek wspó lrzȩdnej x 1 do wpsó lrzȩdnej y 1 ctg α = x 1 y 1, y 1 0, Definition 0.11 Secant k ata α to odwrotność sinusa k ata α. Zatem sec α = R y 1, y 1 0, Definition 0.12 Cosecant k ata α to odwrotność cosinusa k ata α. Zatem csc α = R x 1, x 1 0. Ponieważ secant i cosecant określone s a przez sinus i cosinus, dlatego dalej wystarczy rozpatrywać cztery funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens i cotangens. 0.1.1 Wzory Redykcyjne Wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zauważamy, że wszystkie funkcje s a nieujemne w pierwszej ćwiartce ko la trygonometrycznego, gdyż dla k ata 0 α 90 o, wspó lrzȩdne punktu p = (x 1, y 1 ) s a nieujemne, to jest x 1 0, y 1 0 i promień R > 0. W drugiej ćwiartce tylko sinus (sin α 0), jest nieujemny, gdyż wspó lrzȩdna y 1 0. W trzeciej ćwiartce tangens i cotanges (tgα 0, ctgα 0), s a nieujemne, gdyż obie wspó lrzȩdne x 1 0,, y 1 0 s a ujemne i wtedy iloraz ( y 1 x 1 0) lub ( x 1 y 1 0). W czwartej ćwiartce tylko cosinus (cos α 0) jest nieujemny, gdyż wspó lrzȩdna

5 x 1 0. W tej pozycji k ata α, z wykresu ko la trygonometrycznego odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych zapisane w niżej podanej tabeli 0 α 90 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 90 o α 180 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 180 o α 270 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 270 α 360 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 Funkcje trygonometryczne dowolnego k ata α osi agaj a już w pierwszej ćwiartce ko la trygonometrycznego wszystkie możliwe wartości bezwzglȩdne ( z dok ladności a do znaku). Zatem, inne wartości różni a siȩ od nich jedynie znakiem. Te różnice ustalaj a wzory redukcyjne, które podajemy niżej. Najpierw, zauważmy, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 90 o α też leży w pierwszej ćwiartce oraz k at 90 o +α leży w drugiej ćwiartce. Natomiast, k at α leży w czwartej ćwiartce. W tej pozycji k ata α, z wykresu ko la trygonometrycznego odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych zapisane w niżej podanej tabeli sin(90 o α) = cosα sin(90 o + α) = cos α sin( α) = sinα cos(90 o α) = sinα cos(90 o + α) = sinα cos( α) = cos α tg(90 o α) = ctgα tg(90 O + α) = ctgα tg( α) = tgα ctg(90 O α) = tgα ctg(90 O + α) = tgα ctg( α) = ctgα Teraz, zauważmy, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 180 o α leży w drugiej ćwiartce oraz k at 180 o + α leży w trzeciej ćwiartce. sin(180 o α) = sinα cos(180 o α) = cosα tg(180 o α) = tgα ctg(180 O α) = ctgα sin(180 o + α) = sin α cos(180 o + α) = cos α tg(180 O + α) = tgα ctg(180 O + α) = ctgα Zauważmy podobnie, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 270 o α leży w trzeciej ćwiartce oraz k at 180 o + α leży w czwartej ćwiartce. Zatem, mamy nastȩpuj ace wzory redukcyjne: sin(270 o α) = cos α cos(270 o α) = sinα tg(270 o α) = tgα ctg(270 O α) = ctgα sin(270 o + α) = cos α cos(270 o + α) = sinα tg(270 O + α) = ctgα ctg(270 O + α) = tgα

6 Niżej w tablicy podajemy zebrane wzory redukcyjne w mierze lukowej k atów. K at sinus cosinus tangens cotangens π α sin( π α) = cos α cos( π α) = sin α tg( π α) = ctgα ctg( π α) = tgα 2 2 2 2 2 π + α sin( π + α) = cos α cos( π + α) = sinα tg( π + α) = ctgα ctg( π + α) = tgα 2 2 2 2 2 π α sin(π α) = sinα (cos π α) = cosα tg(π α) = tgα ctg(π α) = ctgα π + α sin(π + α) = sinα cos(π + α) = cosα tg(π + α) = tgα ctg(π + α) = tgα 3π α 2 sin(3π α) = cosα 2 cos(3π α) = sinα 2 tg(3π α) = ctgα 2 tg(3π α) = tgα 2 3π 2 + α sin(3π 2 + α) = cosα cos(3π 2 + α) = sinα tg(3π 2 + α) = ctgα ctg(3π 2 + α) = tgα 2π α sin(2π α) = sinα cos(2π α) = cosα tg(2π α) = tgα ctg(2π α) = ctgα 0.1.2 Funkcje Periodyczne Funkcja f(x) określona na ca lej osi liczbowej, dla wszystkich liczb rzeczywistych jest periodyczna, jeżeli istnieje liczbz ω > 0 taka, że f(x + ω) = f(x), (1) dla każdej rzeczywistej wartości argumentu x R. Jasne, że jeżeli funkcja f(x) jest periodyczna o okresie ω > 0, to zachodzi nastȩpuj aca tożsamość: f(x + k ω) = f(x), x R, dla każdego ca lkowitego k = 0, ±1, ±2,... Okresem funkcji f(x) nazywamy najmiejsz a z liczb ω > 0, która spe lnia tożsamość (1). 2 Funkcje trygonometryczne s a periodyczne. Mianowicie, zauważamy, że jeżeli promień R obróci siȩ o 360 o lub w mierze lukowej o 2π, to punkt p = (x 1, y 1 ) wróci do pozycji wyjściowej. Co wiecej, jeżeli promień R obróci siȩ w kierunku dodatnim lub ujemnym o wielokrotność okresu ω = 360 o lub w mierze lukowej o wielokrotność ω = 2π, to punkt p = (x 1, y 1 ) też wróci do pozycji wyjściowej. Okresem funkcji sinus i cosinus jest liczba ω = 360 o lub w mierze lukowej liczba ω = 2π. Natomiast, dla funkcji tanges i cotangens okresem jest liczba miejsza ω = 180 o lub w mierze lukowej ω = π. Istotnie, funkcje tangens i cotangens osi agaj a te same wartości w pierwszej i w trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego, gdyż tgα = y 1 x 1 = y 1 x 1, oraz ctgα = x 1 y 1 = x 1 y 1, x 1 0, y 1 0. Przyk lad 0.2 Oblicz okres nastȩpuj acej funkcji: f(x) = sin 3 2 x 2 Tożsamość znaczy, że równość zachodzi dla wszystkich rzeczywistych x R.

7 Rozawi azanie. Wiemy, że funkcja sinus ma okres ω = 2π. Zatem okresem funkcji f(x) jest liczba ω taka, że f(x + ω) = sin 3 2 (x + ω) = sin(3 2 x + 3 2 ω) = sin(3 2 x + 2π) = sin 3 2 x = f(x) Sk ad obliczamy okres 3 2 ω = 2π, ω = 2π 3 2 = 4 3 π Sprawdzamy, że okresem funkcji f(x) jest liczba ω = 4 π. Istotnie, mamy 3 równość f(x + ω) = f(x + 4 3 π) = sin 3 2 (x + 4 3 π) = sin( 3 2 x + 3 4 2 3 π). = sin(x + 2π) = sinx = f(x). 0.1.3 Wykresy Funkcji Trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus okreṡlone na ca lej osi liczbowej s a periodyczne o okresie ω = 2π i określone. Wykreślaj ac funkcje trygonometrycznych argument odk ladamy na osi x jak niżej na rysunku. Z określenia funkcji sinus wynika nierȯwnoṡċ sin x = y 1 R 1, gdyz R y 1, dla < x <. Wartości funkcji sinus nie przekraczaj a przedzia lu [ 1, 1]. To znaczy 1 sin x 1 dla wszystkich wartośc rzeczywistych argumentu x, ( < x < ). Istotnie, z określenia funkcji sinus mamy nierȯwnoṡċ sin x = y 1 R 1, gdyz R y 1, dla < x <.

8 Podobnie, funkcja cosinus jest periodyczna o okresie 2π i określona dla wszystkich rzeczywistych wartości k ata < x <. Jej warotości nie przekraczaj a przedzia lu [ 1.1], gdyż z okresślenia funkcji cosinusa cos x = x 1 R 1, gdyz R x 1, dla < x <. Funkcje trygonometryczne tangens i cotangens s a periodyczne o okresie ω = π. Istotnie, k at x + π leży w trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego. Z tabeli odczytujeme wartość tg(x + π) = tgx. Zatem, prawdziwa jest nastȩpuj aca tożsamość: f(x + π) = tg(x + π) = tgx = f(x), dla każdego argumentu w dziedzinie funkcji tangens x D = {x : x kπ 2, k = 0, ±1 ± 2,...; }. i tożsamość f(x + π) = ctg(x + π) = ctgx = f(x), dla każdego argumentu w dziedzinie funkcji cotangens x D = {x : x kπ, k = 0, ±1 ± 2,...; }.

9 Wykres funkcji cotangens 0.2 Zadania Zadanie 0.1 D lugoṡci bokȯw trȯjk ata prostok atnego ABC s a rȯwne a = BC = 6, b = AC = 8, c = AB = 10 Oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych sin α, sin β, cos α, cos β, tg α, tg β, cotg α, cotg β k atȯw α, β leż acych naprzeciw odpowiednich bokȯw BC, AC. Zadanie 0.2 (i) Narysuj po lożenie punktȯw p = (p 1, p 2 ) = ( 3, 1), q = (q 1, q 2 ) = ( 3, 1). na kole trygonometrycznych o promieniu R = 2. (ii) Oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin 30 0 = p 2 R =, sin 600 = p 1 R = (b) cos 30 0 = p 1 R =, cos 600 = p 2 R = (c) tg 30 0 = p 2 p 1 =, tg 60 0 = p 1 p 2 = (d) cotg 30 0 = p 1 p 2 =, cotg 60 0 = p 2 p 1 =

10 (iii) Oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin 210 0 = q 2 R =, sin 2400 = q 1 R = (b) cos 210 0 = q 1 R =, cos 2400 = q 2 R = (c) tg 210 0 = q 2 q 1 =, tg 240 0 = q 1 q 2 = (d) cotg 210 0 = q 1 q 2 =, cotg 240 0 = q 2 q 1 = Zadanie 0.3 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin 120 0 = sin 150 0 = (b) cos 120 0 = cos 150 0 = (c) tg 120 0 = tg 150 0 = (d) cotg 120 0 = cotg 150 0 = Zadanie 0.4 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin 210 0 = sin 240 0 = (b) cos 210 0 = cos 240 0 = (c) tg 210 0 = tg 240 0 = (d) cotg 210 0 = cotg 240 0 = Zadanie 0.5 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartoṡci funkcji trygonometrycznych (a) sin 300 0 = sin 330 0 = (b) cos 300 0 = cos 330 0 = (c) tg 300 0 = tg 330 0 = (d) cotg 300 0 = cotg 330 0 = Zadanie 0.6 (i) Oblicz okres nastȩpuj acej funkcji: (a) f(x) = sin 1 3 x, (b) f(x) = cos1 3 x. (c) f(x) = tg 1 3 x, (d) f(x) = cotg1 3 x.

11 Zadanie 0.7 Narysuj wykres funkcji (i) f(x) = sin 1 x, dla 0 x 6π 3 (ii) f(x) = tg 1 x dla 3π x 3π. 3 Prof. dr Tadeusz STYṠ Warszawa, 14 marzec, 2019