Matematyka nansowa - 3. Teoria akumulacji kapitaªu i mierniki warto±ci inwestycji

Matematyka nansowa - 3. Teoria akumulacji kapitaªu i mierniki warto±ci inwestycji I. Rachunek warto±ci pieni dza w czasie Gªównym naszym celem w ramach tego kursu jest porównanie warto±ci ró»nych inwestycji. Stopa zwrotu byªaby doskonaªym narz dziem do tego zadania, ale zanim zaczniemy j stosowa, musimy dokªadnie zrozumie, czym wªa±ciwie ona jest - zarówno od strony matematycznej, jak i od strony teorii ekonomii. Przy wyznaczaniu warto±ci pieni dza istotna jest nie tylko jego warto± nominalna, ale te» moment czasowy, w którym ta warto± si znajduje. 100 PLN w tym momencie jest warte wi cej ni» 100 PLN za rok. Dlatego, je±li osoba A ma po»yczy 100 PLN osobie B na rok, to osoba B poza zwrotem 100 PLN powinna zapªaci jak ± rekompensat (np. odsetki), by umowa byªa sprawiedliwa. Innymi sªowy, kapitaª 100 PLN przez ten rok ulega aprecjacji, czyli zwi kszeniu swojej nominalnej warto±ci (o rzeczone odsetki). Jakie s powody do tego by nie uznawa kwoty np. 100 PLN dzisiaj za wart tyle samo co obietnica kwoty 100 PLN za rok? Najpierw rozwa»my kwestie, które na tym kursie zazwyczaj b dziemy pomija : Ryzyko - oczywi±cie, cz ±ci ceny za po»yczanie kapitaªu jest opªata za ryzyko,»e dªu»nik umrze, zbankrutuje, ucieknie lub z jakiegokolwiek innego powodu nie zwróci po»yczonych pieni dzy. To jest wa»ny powód istnienia odsetek, niemniej nie rozwa»amy go na tym kursie, bo jak zaªo»yli±my wcze±niej - wszystkie pªatno±ci tutaj s deterministyczne. Inacja - najcz ±ciej, ze wzgl du na inacj, ta sama nominalna kwota kapitaªu w czasie zmniejsza swoj realn warto± w miar upªywu czasu. W cz ±ci 2 tego wykªadu nauczyli±my si, jak to uwzgl dnia w obliczeniach. Jednak formalnie, mo»e si zdarzy sytuacja, gdy inacja jest zerowa (lub ujemna), wi c nie zawsze b dzie to dobre uzasadnienie istnienia odsetek. Istniej dwa inne powody istnienia odsetek, bardziej zwi zane z natur tego kursu. Po pierwsze, z punktu widzenia poda»y kapitaªu, po»yczkodawca, zamiast po»yczy dany kapitaª mógª go umie±ci na lokacie bankowej, zakupi akcje, czy obligacje i po roku otrzyma wi cej ni» wpªaciª. Wiele osób i instytucji chciaªoby zapªaci za dost p do tego kapitaªu, wi c po»yczenie go za darmo byªoby równowa»ne z utrat tej zapªaty, co trzeba zrekompensowa. Jeszcze dobitniej mo»na spojrze na utracone korzy±ci z punktu widzenia inwestycji rzeczowych: potencjalny po»yczkodawca mógª zainwestowa w rozwój wªasnego przedsi biorstwa (np. wªa±ciciel fabryki w maszyny, drobny rzemie±lnik w lepsze narz dzia, zwykªy pracownik w kurs j zykowy lub np. lepszy komputer), które daªoby mu mo»liwo± zwi kszenia swoich dochodów w przyszªo±ci (koszt alternatywny, koszt utraconej korzy±ci). Brak takiej mo»liwo±ci musi by zrekompensowany. Z poprzednim argumentem mo»na jeszcze si kªóci, twierdz c,»e nie ma gwarancji,»e potencjalne inwestycje si zwróc, ale mamy jeszcze inny argument, wynikaj cy z popytowego punktu widzenia. Otó» po»yczkodawca mo»e wykorzysta dany kapitaª nie tylko na inwestycje, ale na zaspokojenie swoich potrzeb. =Generaln reguª jest,»e czªowiek chce dokona tego mo»liwie jak najszybciej - je±li kto± jest gªodny, to chciaªby co± zje± teraz, nie za rok. Je±li kogo± boli z b, to wolaªby do dentysty pój± za godzin, a nie za tydzie«. =Konieczno± odsuni cia w czasie mo»liwo±ci realizacji takich potrzeb, do których potrzebny jest po»yczany kapitaª, wymaga rekompensaty. Ta bezsporna obserwacja ma swoj nazw : Denicja 1. Preferencja czasowa jest to reguªa, która gªosi,»e ceteris paribus podmiot ekonomiczny woli zaspokoi swoje potrzeby b d¹ osi gn postawione cele mo»liwie jak najszybciej. Jakkolwiek preferencja czasowa jest zasad dotycz c ka»dego czªowieka, to siªa jej dzia- ªania jest kompletnie subiektywna. Z tego powodu pr dko± aprecjacji kapitaªu jest poj ciem subiektywnym, ustalanym osobno dla ka»dego zagadnienia. 1

2 Z zasady preferencji czasowej oraz z istnienia kosztów alternatywnych wynika konieczno± opªaty za powstrzymanie si od natychmiastowego wykorzystania kapitaªu. Wnioskiem st d jest: Denicja 2 (Zasada aprecjacji kapitaªu). Je±li dwie nierównoczesne nale»no±ci s równowa»ne (czyli jednakowo u»yteczne), to warto± nominalna nale»no±ci pªatnej pó¹niej jest wi ksza ni» nale»no±ci pªatnej wcze±niej. Innymi sªowy, warto± nominalna ekwiwalentu pewnej nale»no±ci ro±nie wraz z czasem, po jakim ten ekwiwalent b dzie pªatny. Mo»na t zasad sformuªowa inaczej: kapitaª o tej samej warto±ci nominalnej traci swoj warto± rzeczywist wraz z upªywem czasu. Denicja 3 (Kapitaª). Kapitaª - oznaczany najcz ±ciej przez K - zasób (tutaj najcz - ±ciej nansowy), którego warto± podlega procesowi aprecjacji. Dlatego ogóln zasad arytmetyki nansowej jest porównywanie dwóch nale»no±ci jedynie w tym samym momencie czasowym. Je±li jedna z tych warto±ci jest wypªacana w innym czasie ni» druga, nale»y jedn (lub obie) z nich przed porównaniem zaktualizowa na wybrany, dogodny moment (za chwil omówimy, jak to zrobi ). Wtedy i tylko wtedy mo»emy porównywa takie nale»no±ci. Pr dko± aprecjacji kapitaªu jest równa stosunkowi wzgl dnego przyrostu warto±ci ekwiwalentu kapitaªu do dªugo±ci okresu, w jakim ten przyrost warto±ci si dokonaª. Miar tej pr dko±ci jest wªa±nie wspomniana wcze±niej stopa zwrotu (r) (stopa zysku, rentowno± ). W wypadku lokat - stop zwrotu jest efektywna stopa procentowa w danym okresie czasu. Inwestycje z wi ksz stop zwrotu s bardziej opªacalne (przy innych warunkach takich samych). Pami tajmy,»e je±li chcemy zmieni okres stopy zwrotu, musimy te» zmieni jej okres kapitalizacji, wi c konieczne jest stosowanie wzorów na efektywn stop zwrotu. Zaªó»my,»e mamy dan stop zwrotu r o okresie 1 i kapitaª K, którym dysponujemy w chwili 0. Jaki kapitaª K N jest jego ekwiwalentem w chwili N? Bez dodatkowych informacji zakªadamy,»e aprecjacja kapitaªu dziaªa w sposób zªo»ony. Wtedy warto± kapitaªu w chwili N mo»emy obliczy tak samo jak w wypadku lokaty: K N = K(1 + r) N. W ten sposób mo»na dowolny kapitaª z momentu 0 zaktualizowa na moment N. Warto zauwa»y,»e N mo»e by zarówno dodatnie jak i ujemne, wi c ka»dy kapitaª mo»emy w ten sposób przesuwa w czasie w obie strony. Proces aktualizacji nazywamy czasem oprocentowaniem (gdy przesuwa kapitaª w czasie w przód) lub dyskontowaniem (gdy przesuwa w czasie w tyª). By aktualizowa kapitaª potrzebna nam jest stopa procentowa (i okres kapitalizacji dla niej przyj ty), mierz ca preferencj czasow zainteresowanych stron. Cz sto mo»na sobie j wyobrazi jako stop zwrotu z najlepszej z pewnych inwestycji, do której strony (lub jedna z nich) maj dost p lub po prostu jako dan psychologiczn. Od tej pory o dwóch kapitaªach b dziemy mówi,»e s równowa»ne (przy danej stopie procentowej r) je±li ich warto±ci zaktualizowane na ten sam moment w czasie s równe. Je±li zakªadamy aktualizacj kapitaªu za pomoc kapitalizacji zªo»onej, równowa»no± kapitaªów nie zale»y od wybranego momentu czasowego. Na koniec, mamy prost reguª szacowania czasu podwojenia kapitaªu w inwestycji znan jako reguªa 70: inwestycja daj ca zwrot R% rocznie podwoi zainwestowany kapitaª po okoªo 70 latach. Np. inwestycja na 2% rocznie da nam podwojenie kapitaªu po 35 latach, R a na 5% - po 14 latach. Oczywi±cie, jest to dobre oszacowanie tylko dla maªych R. Np. przy R 10 bezpieczniej stosowa analogiczn reguª 72. II. Warto± bie» ca netto

Denicja 4. Inwestycj nansow nazywamy ci g pªatno±ci znanych co do wielko±ci i momentów wyst powania. W praktyce, mo»emy tak nazwa dowolne przedsi wzi cie zwi - zane z wykorzystaniem posiadanych zasobów kapitaªowych, które zostaj zaanga»owane w postaci nakªadu, daj cego inwestorowi prawo do ewentualnych dochodów w przyszªo±ci. B dziemy analizowa deterministyczne ci gi pªatno±ci tj. inwestycje, które mo»na opisa w postaci ci gu znanych z góry kwot pªatno±ci i momentów ich wyst powania. Nie analizujemy na razie czynników ryzyka. Denicja 5. Inwestycj nansow o pojedynczym nakªadzie nazywamy inwestycj wymagaj ca od inwestora tylko jednego wydatku, w momencie pocz tkowym. Przez C j b dziemy oznacza pªatno±ci skªadaj ce si na inwestycj. Je±li s to nakªady inwestora, przypisujemy im znak ujemny. Je±li s to przychody inwestora z inwestycji, przypisujemy im znak dodatni. Np. dla inwestycji o pojedynczym nakªadzie C 0 = P (jako cena inwestycji) jest ujemna, a pozostaªe pªatno±ci dodatnie. t j to czas j-tej pªatno±ci wyra»ony w okresach obowi zuj cej stopy procentowej (jak zwykle, zakªadamy OS = OK = 1). Je±li t j nie jest wyra¹nie podane, to t j = j (np. C 0 domy±lnie oznacza pªatno± w chwili 0). Denicja 6. Warto± bie» ca netto (NPV) Warto± bie» ca netto inwestycji (NPV - net present value) - suma zdyskontowanych na moment t = 0 nakªadów i dochodów z inwestycji, przy ustalonej stopie procentowej. Dla stopy r oznaczana przez N P V (r). NP V (r) = N C j (1 + r) t j. j=0 NP V jako funkcja r jest to funkcja ci gªa i ró»niczkowalna o dziedzinie ( 1, + ). Warto± bie» ca netto jest wska¹nikiem wygodnym w obliczeniach i okre±lonym dla dowolnej stopy procentowej i dowolnej inwestycji - dodatkowo wyra»onym w jednostkach pieni»nych. Jednak, skoro jej warto± zale»y od wybranej stopy procentowej r, jej interpretacja musi by bardzo konkretna. Denicja 7 (Interpretacja NPV). Zaªó»my,»e jest dana inwestycja A o stopie zwrotu r (o zadanym okresie stopy) - mo»e to by np. lokata o takiej efektywnej stopie zwrotu. Inwestycja B jest bardziej opªacalna od inwestycji A je±li dla inwestycji B NP V (r) > 0, mniej opªacalna je±li NP V (r) < 0 i równie opªacalna, gdy NP V (r) = 0. Co prawda, najcz ±ciej przy interpretacji N P V (r) wystarczy znak, ale warto± te» mo-»emy zinterpretowa. Denicja 8 (NPV - druga interpretacja). Warto± N P V (r) mo»emy zinterpetowa jako maksymaln cen, któr inwestor jest gotów zapªaci za prawo do dokonania danej inwestycji, zakªadaj c,»e chce uzyska stop zwrotu r. Warto± bie» ca netto sama w sobie jest dalekim od ideaªu miernikiem opªacalno±ci inwestycji. Przede wszystkim warto± NPV zale»y od przyj tej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. Dlatego trafno± oceny inwestycji na podstawie NPV zale»y od prawidªowego wyboru warto±ci stopy r. Mo»e si zdarzy,»e jedna inwestycja ma wi ksze NPV od drugiej przy niektórych stopach procentowych, a przy innych ta druga ma wi ksze NPV od pierwszej. Ponadto NPV jest miernikiem addytywnym (tj. NPV sumy dwu inwestycji jest sum NPV tych inwestycji), wi c NPV zmienia warto± w zale»no±ci od skali inwestycji. W szczególno±ci, je±li inwestycja B ró»ni si od inwestycji tylko skal tj. je±li wszystkie pªatno±ci inwestycji B s w tych samych momentach czasowych i s k-krotnie wi ksze od odpowiednich pªatno±ci inwestycji A, to dla ka»dej stopy r NP V B (r) = k NP V A (r). To,»e jedna inwestycja dla pewnego poziomu r ma wi ksze NPV ni» druga, nie oznacza automatycznie,»e jest bardziej opªacalna. Innymi sªowy, maksymalizowanie NPV nie jest zazwyczaj dobr strategi wyboru inwestycji. 3

4 Twierdzenie 1 (Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakªadzie). Niech A b dzie inwestycj o pojedynczym nakªadzie. Wtedy jej funkcja warto±ci bie» cej netto NP V A (r) jest malej ca i wypukªa w caªej dziedzinie. Innymi sªowy, NPV inwestycji o pojedynczym nakªadzie maleje (ale coraz wolniej) wraz ze wzrostem r. W szczególno±ci, konsekwencj tego twierdzenia jest fakt,»e NPV dla inwestycji o pojedynczym nakªadzie ma co najwy»ej jedno miejsce zerowe. Zaªo»enie o pojedynczym nakªadzie w ostatnim twierdzeniu jest istotne, bo dla dowolnych inwestycji NP V nie musi by malej ca i wypukªa (i mo»e mie wi cej ni» jedno miejsce zerowe). III. Wewn trzna stopa zwrotu - IRR Najbardziej typowym miernikiem oceny opªacalno±ci inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewn trzn stop zwrotu (IRR - internal rate of return). Je±li porz dnie j zdeniujemy dla dowolnych inwestycji, b dziemy mogli je porównywa mi dzy sob. Ceteris paribus, inwestycja o wy»szej stopie zwrotu b dzie uwa»ana za bardziej opªacaln. Dla lokat, wewn trzn stop zwrotu stanowi stopa efektywna o typowym okresie. Mo»na wi c powiedzie,»e IRR jest tak stop oprocentowania lokaty, przy której rozwa»ana inwestycja jest równie opªacalna co ta lokata. Stosowanie IRR jako miary opªacalno±ci jest bezwzgl dnie sªuszne tylko w sytuacji, gdy mo»emy reinwestowa zyski w ten sam sposób. Matematycy nansowi zajmuj si mi dzy innymi ulepszaniem jej denicji by dziaªaªa w bardziej skomplikowanych wypadkach - my jednak w ramach tego kursu rozwa»amy zazwyczaj tylko ten najprostszy przypadek (wrócimy do tego przy okazji strumieni pªatno±ci i dyskusji o kapitalizacji zªo»onej i mieszanej). Przypominam,»e wewn trzna stopa zwrotu inwestycji jest zawsze stop zgodn. Je±li nie ma podanych innych informacji to OS = OK = 1. Przej±cie na inny okres stopy zwrotu wymaga u»ycia wzoru na stop efektywn (bo wymaga zmiany okresu kapitalizacji). Rozwa»amy inwestycj o takich samych oznaczeniach jak w przypadku denicji NPV. W szczególno±ci OS = OK = 1. Denicja 9. Wewn trzn stop zwrotu (IRR) danej inwestycji o zadanym okresie, nazywamy tak stop r dla której warto± bie» ca netto tej inwestycji NP V (r ) = 0. IRR, w przeciwie«stwie do NPV, nie jest wra»liwa na zmian skali inwestycji. Wynika to z faktu,»e po przemno»eniu przez dowoln dodatni liczb, NPV zmienia warto±ci we wszystkich punktach poza miejscami zerowymi, które s jedynymi punktami istotnymi dla wyznaczenia IRR. Dlatego IRR jest lepszym narz dziem oceny inwestycji ni» NPV. Czy taka stopa zawsze istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie? Ogólnie, odpowied¹ jest negatywna. Wyznaczenie IRR wymaga rozwi zania równania wielomianowego. Od razu nasza wiedza o takich zagadnieniach wskazuje 3 mo»liwe ¹ródªa kªopotów: Równanie wielomianowe mo»e nie posiada rozwi za«rzeczywistych. Równanie wielomianowe mo»e posiada wiele rozwi za«nale» cych do dziedziny równania. Dotychczasowe kursy nie daªy Pa«stwu narz dzi do dokªadnego rozwi zywania równa«wielomianowych stopnia wi kszego ni» 2 (a dla stopnia wi kszego ni» 4 nawet takie algorytmy nie istniej ). Dlatego IRR z denicji mo»e nie istnie lub by niejednoznacznie zdeniowana (przykªady na wykªadzie). Konieczne jest znalezienie jakiego± kryterium, które pozwalaªoby bezpiecznie okre±li, kiedy stosowanie IRR jest bezpieczne. Nie istnieje twierdzenie, które pozwalaªoby odró»- ni inwestycje o dobrze okre±lonej wewn trznej stopie zwrotu od pozostaªych, ale istniej wyniki cz ±ciowe, przede wszystkim warunki wystarczaj ce, które za chwile przedstawi.

W szczególno±ci, jak pami tamy, dla inwestycji o pojedynczym nakªadzie NP V jest funkcj malej c, wi c mo»e mie tylko jedno miejsce zerowe. Dla takich inwestycji IRR jest to maksymalna stopa, przy której inwestycja jest opªacalna. Twierdzenie 2. Dla inwestycji, w których ci g dochodów jest poprzedzony ci giem nakªadów, IRR istnieje i jest jednoznacznie okre±lona. Twierdzenie to stanowi tylko warunek wystarczaj cy, a nie konieczny tj. istniej inwestycje niespeªniaj ce zaªo»e«twierdzenia, które maj dobrze okre±lon IRR. Niemniej przygniataj ca wi kszo± sytuacji, które analizowali±my i b dziemy analizowa na tym kursie speªnia zaªo»enia tego twierdzenia, wi c dla nich okre±lanie IRR ma sens. W ten sposób wyja±nili±my dwie pierwsze, teoretyczne w tpliwo±ci dotycz ce mo»liwo±ci obliczania IRR. Pozostaªa trzecia - techniczna, ale równie wa»na: jak w praktyce rozwi za równanie na IRR, gdy nie da si go sprowadzi do równania kwadratowego? Nie mamy ogólnej metody pozwalaj cej znale¹ rozwi zanie dokªadne, ale mo»emy znale¹ rozwi zanie z dowolnym przybli»eniem opieraj c si na znanym z analizy twierdzeniu Darboux. Je±li wiemy,»e r istnieje, nale»y u»y tzw. metody Darboux i wzoru przybli»onego: sprawdzamy warto± NPV dla ró»nych r, dopóki nie znajdziemy przedziaªu [r +, r ], o ustalonej dªugo±ci (np. 5%) takiego,»e NP V (r + ) jest dodatnie, a NP V (r ) jest ujemne. St d, na podstawie wªasno±ci Darboux, r [r +, r ]. Metody Darboux mo»emy u»y tyle razy, by znale¹ si dowolnie blisko rozwi zania. Niemniej, jest ona do± powolna w dziaªaniu. Dlatego, gdy za jej pomoc wystarczaj co skrócimy przedziaª, w którym mo»e by r (za wystarczaj ce skrócenie b dziemy na tym kursie przyjmowa przedziaª dªugo±ci 5%), u»ywamy wzoru znanego jako regula falsi lub wzór stycznych: r NP V (r + ) r + + (r r + ) NP V (r + ) + NP V (r ), gdzie r + i r s tak dobrane,»e NP V (r + ) jest dodatnie, a NP V (r ) jest ujemne. Wynik jest tym dokªadniejszy, im bli»sze zeru s warto±ci NP V (r + ) i NP V (r ). Ten przybli-»ony wynik b dzie mie zawsze ujemne NPV, wi c, je±li potrzebujemy dokªadniejszego przybli»enia mo»na znów go podstawi do tego wzoru jako nowe r. Po kilku powtórkach (najlepiej wykonanych przy pomocy komputera) odnajdziemy bardzo dokªadne przybli-»enie. IV. redni czas trwania inwestycji IRR jest najbardziej typowym miernikiem opªacalno±ci inwestycji. Jednak czasami chcemy inwestycj oceni pod innym k tem. Przykªadowo, poza rentowno±ci, wa»na jest te» pªynno± inwestycji. Je±li mamy do wyboru inwestycj trwaj c rok i inwestycj trwaj c 5 lat o tej samej (lub bardzo podobnej) rentowno±ci, to zazwyczaj wybierzemy t trwaj c rok - gdy» w najgorszym wypadku mo»emy j 5 razy powtórzy i uzyska ten sam rezultat, a mo»e si okaza,»e pieni dze b d nam potrzebne wcze±niej ni» za 5 lat na lepsz okazj inwestycyjn albo konsumpcyjn (pomijam tu ju» aspekt wi kszego ryzyka inwestycji dªugoterminowych). Dobrze byªoby mie jakie± mierniki, które potra to uchwyci. Przykªadem takiego miernika jest ±redni czas trwania, okre±lony dla inwestycji o pojedynczych nakªadach. Rozwa»amy inwestycj o pojedynczym nakªadzie. Dla takiej inwestycji C 0 = P jest jedynym nakªadem, czyli cen (bie» c warto±ci ) inwestycji. Istnieje stopa IRR równa r taka,»e 5 P = N C j (1 + r ) t j j=1

6 Denicja 10. rednim czasem trwania (duration) danej inwestycji nazywamy ±redni wa»on momentów wyst powania pªatno±ci, w której wagami s zaktualizowane na moment t = 0 udziaªy kolejnych pªatno±ci w cenie inwestycji. Oznaczamy go liter D. D = 1 P N t j C j (1 + r ) t j. j=1 redni czas trwania jest wyra»ony w tych samych jednostkach czasu co czasy pªatno±ci t j. redni czas trwania jest to pozycja ±rodka ci»ko±ci strumienia pªatno±ci na osi czasu: suma wszystkich poprzedzaj cych go pªatno±ci po aktualizacji jest zrównowa»ona z sum wszystkich po nim nast puj cych. Jest on wra»liwy na zmian rozmieszczenia pªatno±ci w czasie, ale nie na zmian skali inwestycji. redni czas trwania bywa nazywany ±rednim terminem wykupu. Nazwa ta wynika z nast puj cej interpretacji: Denicja 11 ( redni czas trwania - pierwsza interpretacja). redni czas trwania mo»na interpretowa w przybli»eniu jako moment, w którym poªowa inwestycji si ju» zwróciªa. Z tej interpretacji natychmiast wynika,»e ceteris paribus inwestor powinien wybra inwestycj o jak najmniejszej warto±ci tego miernika. Denicja 12. redni czas trwania - interpretacja ekonomiczna D jest elastyczno±ci ceny inwestycji wzgl dem czynnika q = 1 + r. Zatem ±redni czas trwania wyra»a przybli»ony procentowy spadek ceny inwestycji na skutek wzrostu stopy procentowej o 1 punkt procentowy. W jakiej sytuacji taka elastyczno± wzgl dem stopy procentowej mo»e mie znaczenie? Wyobra¹my sobie,»e inwestor widzi dobr okazj inwestycyjn, co do której musi si zdeklarowa teraz, ale w któr zainwestuje za jaki± czas, np. za rok. Wie,»e nie b dzie dysponowaª wªasnym kapitaªem, który pozwoli mu na t inwestycj, ale zamierza wzi na ni kredyt w banku. Stopa procentowa tego kredytu oczywi±cie zmniejsza jego stop zwrotu z inwestycji, wi c musi j uwzgl dnia w swoich obliczeniach. Jednak nie ma pewno±ci, czy do rozpocz cia inwestycji ta stopa nie wzro±nie, co spowoduje,»e zyski z inwestycji zmalej. Wtedy ±redni czas trwania odpowie na pytanie: jakie w przybli»eniu b d konsekwencje takiego wzrostu? Oczywi±cie, im mniejsza jest jego warto±, tym wi ksza stabilno± ceny inwestycji ze wzgl du na zmiany stóp, a zatem tym mniejsza niepewno± co do rezultatu inwestycji, co jest zawsze po» dane. Tak wi c i ta interpretacja wskazuje,»e inwestor powinien (ceteris paribus) szuka jak najmniejszego ±redniego czasu trwania inwestycji. Z uwagi na ten zwi zek ±redni czas trwania w zaawansowanej matematyce nansowej wykorzystywany jest jako miara ryzyka stopy procentowej. Oczywi±cie, przedstawione tutaj mierniki oceny inwestycji nie wyczerpuj tematu. Stosuje si ich o wiele wi cej - zarówno przeksztaªcaj c ju» omówione tak, by lepiej odzwierciedlaªy rzeczywisto± konkretnych typów inwestycji, jak i tworz c zupeªnie nowe. Jednak na potrzeby tego kursu nie b dziemy wykracza poza omówione tutaj: NPV, IRR i D.