Matematyka nansowa - 6. Strumienie pªatno±ci: spªata dªugów

Transkrypt

1 Matematyka nansowa - 6. Strumienie pªatno±ci: spªata dªugów I. Wst pne ogólne denicje i konwencje Rozwa»amy nast puj c sytuacj : po»yczkodawca po»ycza kwot K po»yczkobiorcy, który spªaca ten dªug w N ratach spªacanych w równych odst pach czasowych. Ta sytuacja speªnia zaªo»enia strumienia pªatno±ci. Tak naprawd, mo»na rozwa»a spªat dªugu jako inwestycj z punktu widzenia po»yczkodawcy, który inwestuje kwot K by otrzymywa rent w postaci rat spªaty dªugu. Ze wzgl du na ró»ne modele spªacania, tradycyjne oznaczenia i wzory b d nieco inne ni» w wypadku rent, ale idea pozostanie taka sama. W zadaniach zwi zanych z dªugami istotne b d nast puj ce wielko±ci i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakªadamy przy dalszych wzorach,»e OS = OK. Je±li tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomoc stopy wzgl dnej. Je±li jest to stopa zgodna, reprezentuje zwrot z inwestycji, jak dla po»yczkodawcy byªo po»yczenie danej kwoty (wi c mo»na j porównywa ze stopami zwrotu o tym samym okresie dla innych inwestycji). Okres pªatno±ci OP jest to odst p czasowy pomi dzy kolejnymi wpªatami. Jest to domy±lna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba pªatno±ci. K = K 0 oznacza pocz tkow wielko± dªugu. Przez K i oznaczamy dªug bie» cy, czyli ile dªugu zostaªo do spªacenia po i-tym okresie pªatno±ci (zatem K N = 0). R j oznacza wysoko± ª cznej (caªkowitej) j-ej raty spªaty dªugu. I j oznacza wysoko± cz ±ci odsetkowej j-ej raty spªaty dªugu. U j oznacza wysoko± cz ±ci kapitaªowej j-ej raty spªaty dªugu. Oznaczenia, które wprowadziªem oparte s na ksi»ce Matematyka nansowa M. Podgórskiej i J.Klimkowskiej. Uzywany przez nas model bardzo ªatwo mo»na uogólni na spªaty w nieregularnych odst py czasu - wystarczy ustali OP jako wspólny dzielnik odst pów mi dzy pªatno±ciami i ustali cz ± rat na 0. Np. je±li dªug jest spªacany w 3 ratach: pierwsza za kwartaª, druga za 7 miesi cy, a trzecia za rok, to wystarczy rozwa»y spªat tego dªugu w N = 12 miesi cznych ratach, przy czym dla i 3, 7, 12 zachodzi R i = 0. Przy okazji rent, zawsze mieli±my dwie mo»liwo±ci: mogªy by ona wypªacane z góry i z doªu. Jednak»e, wyró»nianie mo»liwo±ci spªaty dªugu z góry nie ma wielkiego sensu. Je±li dªug w wysoko±ci K byªby spªacany z góry w N ratach i pierwsza rata wynosiªaby R 0, musiaªaby ona by spªacona natychmiast, co byªoby równowa»ne sytuacji spªacania dªugu K R 0 w N 1 ratach z doªu (pierwsz rat po prostu traktujemy jako zmniejszenie kwoty po»yczki). Dlatego b dziemy zawsze zakªada,»e dªug jest spªacany w ratach z doªu. Tak jak generalnie w wypadku rent, zakªadamy zªo»ony model kapitalizacji pªatno±ci w podokresach okresu kapitalizacji. W praktyce oznacza to,»e zawsze mo»emy (i wªa±ciwie musimy) dopasowa okres kapitalizacji do okresu pªatno±ci za pomoc stopy efektywnej. W zadaniach ze spªaty dªugu pomijamy wszelkie niematematyczne (najcz ±ciej prawne) komplikacje: w rzeczywistych sytuacjach spªaty dªugu mog si pojawi opªaty dodatkowe typu prowizja, opªaty manipulacyjne. W naszym modelu byªyby one po prostu doliczone do odpowiednich rat dªugu i ró»nica pomi dzy pªaceniem np. raty+prowizji, a zwi kszonej raty jest matematycznie nieistotna. Podobnie fakt,»e wedªug wielu umów pocz tkowe raty liczy si jako spªat odsetek, a dopiero potem nast puje spªata kapitaªu, w»aden sposób nie wpªywa na obliczanie wysoko±ci rat - co najwy»ej na sposób ich dekompozycji. Tak jak zawsze, zakªadamy,»e wypªaty rat dokonywane s okresowo co okres OP, z doªu, przy zªo»onym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (je±li by tak nie byªo, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomoc stopy wzgl dnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmian 1

2 2 dªugo±ci okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczyni zmieniamy stop r na stop r ef, tak,»e OS ef = OK ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach b dziemy cz ±ciej u»ywa czynnika akumulacji q = 1 + r ef. II. Dekompozycja raty dªugu Kapitaª po»yczony K i spªacone raty s sobie równowa»ne (w sensie równej warto±ci po zaktualizowaniu na ten sam moment). Dlatego musi zachodzi równo± : K = albo, po zaktualizowaniu na moment m: R j q j, Kq m = R j q m j = R j q m j + R j q m j. To równanie pozwala nam rozdzieli dªug na cz ± ju» spªacon i cz ±, któr trzeba jeszcze spªaci (czyli dªug bie» cy K m ) w momencie m. Wynika z niego,»e zachodzi: Twierdzenie 1 (Dªug bie» cy, dowolne raty). K m = R j q m j = Kq m R j q m j. Tak wªa±nie kwot powinien spªaci dªu»nik, gdyby chciaª spªaci reszt dªugu w momencie m (oczywi±cie, za zgod wierzyciela). Oczywi±cie, K N = 0 (bo spªacanie dªugu si ko«czy, gdy nie ma ju» co spªaca ), wi c mo»na sformuªowa : Twierdzenie 2 (Równanie ko«ca dªugu, dowolne raty). Kq N = R j q N j. Dla ka»dej raty mo»emy wykona dekompozycj raty ª cznej R m na dwie cz ±ci: U m, czyli cz ± wyj±ciowego kapitaªu, któr spªacamy w m-tej racie (i o któr zmniejszy si dªug bie» cy) oraz I m = rk m 1 - czyli odsetki, które narastaj od bie» cego kapitaªu w m-tym okresie pªatno±ci. Denicja 1. Dekompozycja raty ª cznej Rat ª czn R m mo»na zapisa w postaci: R m = (K m 1 K m ) + rk m 1 = U m + I m. U m nazywamy cz ±ci kapitaªow, a I m - cz ±ci odsetkow m-tej raty. III. Wzory - dowolna spªata dªugu Poni»ej podsumuj wzory, które s prawdziwe dla dowolnego zagadnienia spªaty dªugu, niezale»nie od dodatkowych zaªo»e«: Twierdzenie 3 (Wzory, dowolna spªata dªugu). K m = R j q m j = Kq m R j q m j ; K N = 0; R m = U m + I m ; I m = K m 1 r; U m = K m 1 K m ; K m = K m 1 U m ; U j = K; K m = K U j.

3 3 Komentarz do przedstawionych równo±ci: U j = K. Wielokrotnie mówiªem,»e nie wolno wykonywa dziaªa«na kapitaªach, które znajduj si w ró»nych momentach czasowych. Czy zatem dodawanie po lewej stronie ma sens? W tym wyj tkowym wypadku, tak. Wynika to z natury U m : jest to ta cz ± dªugu pocz tkowego K, która jest spªacana w ramach raty R m. Skoro warto± K odnosi si do momentu 0, warto± U m, dla ka»dego m, równie». Tak wi c, ostatecznie dodajemy kapitaªy z tego samego momentu czasowego. Oczywi±cie, nie ma sensu w ten sposób (bez aktualizacji) sumowa rat ª cznych lub cz ±ci odsetkowych. I m = K m 1 r = R m U m. Mo»emy interpretowa cz ±ci odsetkowe jako odsetki naliczane od dªugu bie» cego, nale»ne za m-ty okres. Zatem to, czy bie» cy dªug pozostaªy do spªacenia ro±nie, maleje, czy pozostaje taki sam po spªaceniu danej raty, zale»y od wielko±ci raty ª cznej w stosunku do cz ±ci odsetkowej. Je±li R m < I m, to pozostaªy do spªacenia dªug ro±nie (tzw. ujemne umorzenie) - w przeciwnym wypadku, maleje. Chciaªbym jeszcze zwróci uwag na subtelne rozró»nienie: cz ± odsetkowa I m jest zde- niowana jako odsetki nale»ne za m-ty okres, a nie jako warto± odsetek spªacanych w tym czasie. Powody takiego rozró»nienia s dwa: Czasem R j < I j, co oznacza,»e nie caªa cz ± odsetkowa jest wtedy spªacana. Mo»na si umawia np.»e niektóre raty s w caªo±ci przeznaczane na spªat odsetek (dªug bie» cy si nie zmienia, ale odsetki w innych ratach spadaj ), a inne na spªat kapitaªu (dªug bie» cy spada bardziej ni» to wynika z warto±ci U m, ale za to dopisywane s odsetki). Cz sto w umowach banki zastrzegaj,»e pierwsze raty spªaty dªugu odpowiadaj za spªat samych odsetek, a potem dopiero jest spªacany kapitaª. Jest to tylko obostrzenie prawne, nie ma wpªywu na matematyczne techniki obliczania wysoko±ci rat. Odpowiedzi do wi kszo±ci zada«zwi zanych z dªugami dªugoterminowymi b dziemy zapisywa w postaci tabeli spªaty dªugu. Taki lub podobny schemat jest zazwyczaj doª czany do wszelkich umów prawnych zwi zanych z po»yczkami. Na potrzeby tego kursu tabel konstruujemy nast puj co: n K n 1 R n I n U n K n 1 K Prawdziwe tabele mog odrobin si ró»ni od tej np. brakuje czasem drugiej lub ostatniej kolumny, a kolumny 3-5 s zapisywane w ró»nej kolejno±ci. Dotychczas podane równani i znajomo± stopy procentowej nie wystarcza do wypeªnienia wszystkich pól tabeli spªaty dªugu. Potrzebne s dodatkowe dane np. w poprzednim przykªadzie podane warto±ci niektórych rat. Najcz ±ciej dodatkow informacj, wystarczaj c do uzupeªnienia tabeli jest model spªaty dªugu. W ramach kursu szczegóªowo omówimy dwa takie modele regularne, czyli oparte na pewnych regularno±ciach w wysoko±ci rat: Model równych rat ª cznych. Model równych rat kapitaªowych. Inne wspóªcze±nie stosowane regularne modele krótko omówimy pó¹niej. IV. Równe raty ª czne Model równych rat ª cznych jest chyba najcz ±ciej stosowanym obecnie modelem spªaty dªugu, zwªaszcza po»yczek bankowych. Zaªo»eniem tego modelu jest równo± wszystkich rat ª cznych:

4 4 R 1 = R 2 =... = R N = R. W tej sytuacji, z punktu widzenia po»yczkodawcy, spªata dªugu niczym si matematycznie nie ró»ni od renty czasowej o N ratach w wysoko±ci R wypªacanej z doªu z kapitaªu K. Dlatego dziaªaj wszystkie wzory z teorii rent, w szczególno±ci równanie ko«ca renty z doªu: Kq N = R qn 1 q 1. Poza wzorami z cz ±ci III, model rat ª cznych gwarantuje nam dziaªanie poni»szych wzorów: Twierdzenie 4 (Dodatkowe wzory, równe raty ª czne). R = Kq N q 1 q N 1, K m = Kq m R qm 1 q 1. Wraz z wcze±niejszymi, te wzory wystarczaj by uzupeªni dowoln tabel spªaty dªugu spªacanego wedªug modelu równych rat ª cznych. Je±li wszystkie raty ª czne spªaty dªugu sa równe to: Cz ±ci kapitaªowe tych rat s coraz wi ksze, a ich wzrost jest geometryczny (z ilorazem q); Cz ±ci odsetkowe tych rat s coraz mniejsze; Dªug bie» cy maleje w sposób wkl sªy (czyli najpierw wzgl dnie wolno a potem coraz szybciej z ka»d rat ). V. Równe raty kapitaªowe Model równych rat kapitaªowych (precyzyjniej: równych cz ±ci kapitaªowych rat) jest innym do± cz sto stosowanym obecnie modelem spªaty dªugu. Jak sama nazwa wskazuje, zaªo»eniem tego modelu jest równo± cz ±ci kapitaªowych wszystkich rat: U 1 = U 2 =... = U N = U. Poza wzorami z cz ±ci III, model rat kapitaªowych gwarantuje nam dziaªanie poni»szych wzorów: Twierdzenie 5 (Dodatkowe wzory, równe raty kapitaªowe). U = K N, K m = K mu. Wraz z wcze±niejszymi, te wzory wystarczaj by uzupeªni dowoln tabel spªaty dªugu spªacanego wedªug modelu równych rat kapitaªowych. Je±li cz ±ci kapitaªowe wszystkich rat spªaty dªugu sa równe to: Wielko± rat ª cznych maleje liniowo, tworz c ci g arytmetyczny o ró»nicy ( Ur); Cz ±ci odsetkowe tych rat malej liniowo, tworz c ci g arytmetyczny o ró»nicy ( Ur); Dªug bie» cy maleje liniowo, tworz c ci g arytmetyczny o ró»nicy ( U). VI. Restrukturyzacja zadªu»enia, inne modele spªaty dªugu i uwagi ko«cowe Nie zawsze caªy dªug jest spªacany wedªug tych samych zasad. Zasady spªacania mog by renegocjowane (najcz ±ciej w wyniku zmian wska¹ników gospodarczych zastrze»onych w umowie lub te» utraty pªynno±ci nansowej przez dªu»nika). Z tego typu zadaniami radzimy sobie dziel c je na cz ±ci i w ka»dej z osobna stosuj c znane zasady. Pami tamy te»,»e w okresach, kiedy dªug nie jest spªacany z winy dªu»nika, odsetki nadal narastaj (wi c warto± dªugu bie» cego si zmienia) wedªug dotychczas ustalonych zasad.

5 Model równych rat ª cznych i równych rat kapitaªowych b d jedynymi regularnymi modelami spªaty obowi zuj cymi w ramach tego kursu. Niemniej, warto mie ±wiadomo±,»e istniej te» inne regularne modele spªat, na przykªad: Model spªaty odsetek w jednej racie przy staªych ratach kapitaªowych - dziaªa podobnie do modelu spªat w równych ratach kapitaªowych, ale z t ró»nic,»e wszystkie raty odsetkowe poza ostatni s zerowe - wi c w ostatniej racie spªacamy dodatkowo caªo± zaktualizowanych odsetek. Model spªaty kapitaªu w jednej racie - dziaªa dokªadnie odwrotnie: w ka»dej racie spªacamy tylko bie» ce odsetki (I m = Kr), a dopiero w ostatniej racie spªacamy caªy kapitaª (U N = K). Tak jak przy innych rentach, mo»e pojawi si zagadnienie wysoko±ci ostatniej raty, je±li próbujemy dªug wysoko±ci K spªaci ratami o danej wysoko±ci R. Zagadnienie rozwi - zujemy tak samo, jak w teorii rent: rozwi zuj c równanie ko«ca renty, obliczaj c bie» cy dªug po ostatniej racie w wysoko±ci R i rozpatruj c wariant ostatniej raty zwi kszonej lub zmniejszonej dla rent z doªu. We wszystkich zadaniach zakªadali±my,»e dªu»nik otrzymaª caªy po»yczony kapitaª w momencie 0. Nie musi to by prawda - po»yczka mogªa by podzielona na kilka rat, które dªu»nik otrzymywaª w ró»nych momentach czasowych. Nie psuje to jednak w»aden sposób naszych metod rozwi zywania problemu - wystarczy zaktualizowa te wszystkie skªadniki po»yczki na moment 0 i zsumowa, by otrzyma równowa»ne zagadnienie speªniaj ce nasze zaªo»enie jednorazowej po»yczki. Jak wspominaªem na pocz tku tego zestawu slajdów, tak samo jak dla rent, je±li OP = OK = OS to r mo»na interpretowa jako wewn trzn stop zwrotu inwestycji dokonanej przez po»yczkodawc, który kapitaª K zamieniª na rent czasow w postaci rat spªaty dªugu. Tak jak przy innych rentach, próba obliczenia r (czyli IRR) z pozostaªych danych w równaniach dªugu prowadzi do konieczno±ci rozwi zywania równa«wielomianowych n- tego stopnia. Takie zagadnienia rozwi zuje si w sposób przybli»ony (jak w prezentacji 3b). 5