Wytrzymałość materiałów

Wytrzymałość materiałów Wykład 3 Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w przekroju pręta Poznań 1

3.1. Podstawowe założenia Charakterystyka materiału Zakładamy na początek, że mamy do czynienia z ośrodkiem ciągłym. Oznacza to, że w prętach materia (stal, drewno czy beton) jest rozłożona w sposób ciągły. Dzięki temu założeniu możemy w ciele wyciąć dowolne mały element, nie musimy się obawiać, że w trakcie tej operacji natrafimy na dziurę. Materiał pręta jest materiałem jednorodnym, czyli takim, w którym właściwości są jednakowe w każdym jego punkcie. Możemy więc z większej bryły materiału wyciąć próbkę w dowolnym miejscu i jej właściwości będą takie same. 2

3.1. Podstawowe założenia Charakterystyka materiału Materiał pręta jest materiałem izotropowym, czyli takim, w którym właściwości są jednakowe w każdym kierunku. Jeżeli więc wytniemy próbkę z większej bryły materiału, to będzie się ona zachowywała jednakowo niezależnie od orientacji w przestrzeni. 3

3.1. Podstawowe założenia Prawo płaskich przekrojów Przekrój pręta płaski i prostopadły do osi pręta przed przyłożeniem obciążenia pozostaje płaski i prostopadły po przyłożeniu obciążenia. 4

3.2. Wektor naprężenia Definicja i jednostka wektora naprężenia Wektor naprężenia jest to n f n = df da f(n) Jednostką wektora naprężenia jest da [ ] N m2 [ Pa ]= [ ] [ MPa ]= MN m2 5

3.2. Wektor naprężenia Definicja i jednostka wektora naprężenia 1 kn =? MPa 2 cm kn 1 kn 1 10 3 MN 1 2= = =10 MPa 2 cm 1 cm 1 10 4 m 2 6

3.2. Wektor naprężenia Rozkład wektora naprężenia na naprężenie normalne i styczne n f(n) σ(n) Wektor naprężenia możemy rozłożyć na składową po kierunku wektora n nazywaną naprężeniem normalnym oraz na składową, która leży na elementarnym polu powierzchni da nazywaną naprężeniem stycznym. da τ(n) 7

3.2. Wektor naprężenia Składowe wektora naprężenia w punkcie przekroju pręta τxz da τ XY σx sc Y gl Y= Układ współrzędnych związanych z przekrojem pręta jest układem osi głównych. X da Naprężenia normalne oraz styczne są dodatnie, jeżeli mają zwroty zgodne ze zwrotami odpowiednich osi układu XYZ. Z=Zgl 8

3.3. Działanie siły normalnej Składowe wektora naprężenia przy działaniu siły normalnej X= N A da σx sc Y gl Y= N da X A - pole powierzchni przekroju pręta Wartość siły normalnej musimy wstawić z odpo-wiednim znakiem zgodnym z zasadą jej znakowania. Z=Zgl 9

3.3. Działanie siły normalnej σx Y=Ygl Wykres naprężenia normalnego sc N Z=Zgl 10

3.4. Działanie momentu zginającego Składowe wektora naprężenia przy działaniu momentu zginającego MY X= z JY da M=MY σx M Y sc M= Y gl Y= X da Z=Zgl z - współrzędna punktu, w którym liczymy naprężenie normalne JY - główny moment bezwład-ności względem osi Y=Ygl Współrzędna z oraz moment zginający MY muszą być podsta-wione z odpowiednim znakiem. 11

3.4. Działanie momentu zginającego σx Y=Ygl sc Wykres naprężenia normalnego 0 M=MY M=MY Z=Zgl Punkty, w których naprężenie normalne wynosi zero nazywamy osią obojętną. 12

3.4. Działanie momentu zginającego zg Ekstremalne naprężenia normalne na wysokości przekroju pręta Y=Ygl sc Ekstremalne naprężenia normalne na wysokości przekroju pręta działają na krawędzi dolnej i górnej przekroju. Wartości naprężenia normalnego na krawędzi dolnej i górnej wynoszą zd MY MY X = z JY d d MY X = z JY g g Z=Zgl 13

3.4. Działanie momentu zginającego Projektowanie przekroju pręta z jedną osią symetrii Ekstremalny moment zginający zg M Y EXT =max M x Y=Ygl sc Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie W Y =min zd MY(EXT) W Yg = Z=Zgl JY zg { W Yg W dy W Yd = JY zd 16

3.4. Działanie momentu zginającego Projektowanie przekroju pręta z jedną osią symetrii Ekstremalne naprężenie styczne - warunek wytrzymałości EXT M Y XEXT = R WY R - wytrzymałość materiału Wskaźnik wytrzymałości na zginanie wynosi więc M YEXT WY R 17

3.4. Działanie momentu zginającego Projektowanie przekroju pręta z dwiema osiami symetrii Ekstremalne naprężenie styczne - warunek wytrzymałości EXT M Y XEXT = R WY R - wytrzymałość materiału Wskaźnik wytrzymałości na zginanie wynosi więc M YEXT WY R 19

3.5. Projektowanie przekroju pręta Zadanie 1 Zaprojektować przekroje dwuteowy, skrzynkowy oraz teowy stalowej belki przedstawionej na poniższym rysunku. 44,0 kn/m 4,0 28,0 kn 2,0 [m] 20

3.5. Projektowanie przekroju pręta Wykres siły poprzecznej w belce 44,0 kn/m 28,0 kn [m] 74,0 kn 130,0 kn 2,0 74,0 4,0 102,0 28,0 1,682 T(x) [kn] 2,318 21

3.5. Projektowanie przekroju pręta Wykres momentu zginającego w belce 44,0 kn/m 28,0 kn [m] 74,0 kn 130,0 kn 2,0 1,682 0,0 56,0 0,0 62,22 4,0 M(x) [kn m] 2,318 22

3.5. Projektowanie przekroju pręta Wskaźnik przekroju na zginanie Wytrzymałość materiału (stali) wynosi R=215 MPa=21,5 kn cm 2 Ekstremalny moment zginający wynosi M Y EXT =62,22 kn m=6222 kn cm 23

3.5. Projektowanie przekroju pręta Wskaźnik przekroju na zginanie M Y EXT =62,22 kn m=6222 kn cm Wskaźnik wytrzymałości na zginanie wynosi WY 6222 =289,4 cm 3 21,5 24

3.5. Projektowanie przekroju pręta Przekrój dwuteowy Y Dwuteownik 240 W Y =W TX =354,0cm 3 X sc 1,31 X 24,0 0,87 Y 10,6 [cm] 25

3.5. Projektowanie przekroju pręta 1,3 Przekrój dwuteowy 0,9 Z=Zgl 11,0 4423 =368,6 cm3 289,4 cm3 12,0 21,4 sc WY= 1,3 Y=Ygl 11,0 24,03 10,1 21,4 3 JY= =4423 cm4 12 12 [cm] 26

3.5. Projektowanie przekroju pręta Przekrój teowy 20,0 Połówka dwuteownika 550 X W Y =W TX =366,0cm 3 X sc 1,9 Y 27,5 3,0 Y [cm] 30

3.5. Projektowanie przekroju pręta 7,681 Środek ciężkości zc= 24,5 sc 19,82 Y=Ygl Przekrój teowy 3,0 20,0 Główny moment bezwładności 3 2,0 Z=Zgl 20,0 3,0 1,5 24,5 2,0 15,25 =7,681cm 20,0 3,0 24,5 2,0 [cm] 2 20,0 3,0 J Y = J Ygl = 6,181 20,0 3,0 12 2,0 24,53 2 7,569 2,0 24,5= 12 =7596 cm 4 31

3.5. Projektowanie przekroju pręta 7,681 J Y = J Ygl =7596 cm W Yg = 24,5 sc 19,82 Y=Ygl Przekrój teowy 3,0 20,0 7596 =988,9cm 3 7,681 7596 =383,2cm 3 19,82 W Y =383,2 cm3 289,4 cm3 2,0 Z=Zgl W Yd = 4 [cm] 32

3.5. Projektowanie przekroju pręta Norma PN-90/B-03200 M 1 MR Nośność obliczeniowa przy zginaniu M R=W f d Wytrzymałość obliczeniowa stali f d=r 33

3.5. Projektowanie przekroju pręta Norma PN-90/B-03200 M 1 W R M R W Według teorii EXT M Y XEXT = R WY 34

3.6. Działanie siły poprzecznej Składowe wektora naprężenia przy działaniu siły poprzecznej τxz da τ XY T=TZ sc Y gl Y= X da Z=Zgl 35

3.6. Działanie siły poprzecznej Naprężenia styczne T Z S Y z XZ = T=TZ b(z) sc z Y=Ygl b z J Y SY(z) - moment statyczny części przekroju pręta leżący poniżej lub powyżej punktu, w którym wyznaczamy naprężenie styczne τxz. Naprężenie styczne τxz ma ten sam zwrot co siła poprzeczna. Z=Zgl 36

3.6. Działanie siły poprzecznej Naprężenia styczne S dy S Yg =0 d Y=Ygl sc Z=Zgl Y=Ygl g S Y = S Y sc Z=Zgl 37

3.6. Działanie siły poprzecznej Wykres naprężenia stycznego τxz τxz 0 T=TZ T=TZ Y=Ygl sc 0 Z=Zgl 38

3.6. Działanie siły poprzecznej Naprężenia styczne w półkach T Z S Y y XY = h y J Y SY(y) - moment statyczny części półki h(y) - grubość półki. 39

3.6. Działanie siły poprzecznej Moment statyczny części półki dwuteownika W przypadku przekroju dwuteowego część półki liczymy od lewej lub prawej krawędzi do punktu, w którym liczymy naprężenie styczne τxy. Y0=Ygl sc Y0=Ygl sc y y Z0=Zgl Z0=Zgl 40

3.6. Działanie siły poprzecznej Moment statyczny części półki teownika W przypadku przekroju teowego część półki liczymy od lewej lub prawej krawędzi do punktu, w którym liczymy naprężenie styczne τxy. y Y0=Ygl y sc Y0=Ygl Z0=Zgl sc Z0=Zgl 41

3.6. Działanie siły poprzecznej Moment statyczny części półki przekroju skrzynkowego W przypadku przekroju skrzynkowego część półki liczymy od osi Z do punktu, w którym liczymy naprężenie styczne τxy. Y=Ygl Y=Ygl sc y sc y Z=Zgl Z=Zgl 42

3.6. Działanie siły poprzecznej Znaki naprężenia stycznego τxy W przekroju dwuteowym oraz teowym usuwamy najkrótsze krawędzie. Traktujemy taki przekrój jako rurkę, w której płynie woda. Musi ona płynąć w półkach, tak aby w środniku płynęła zgodnie ze zwrotem siły poprzecznej T. Kierunek przepływu wody w półkach oznacza nam zwrot odpowiedniego naprężenia stycznego τxy. 43

3.6. Działanie siły poprzecznej Znaki naprężenia stycznego τxy - przekrój dwuteowy T=TZ sc Y0=Ygl T=TZ sc Y0=Ygl Z0=Zgl Z0=Zgl 44

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta Zadanie 1 W przekroju α-α belki przedstawionej na poniższym rysunku narysować wykresy naprężeń normalnego σx oraz stycznych τxy i τxz. 44,0 kn/m α 4,0 α 28,0 kn 2,0 [m] 48

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta Prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych 44,0 kn/m 28,0 kn [m] 74,0 kn 102,0 kn 130,0 kn 2,0 74,0 4,0 28,0 102,0 T(x) [kn] 2,318 56,0 kn m 1,682 0,0 56,0 0,0 62,22 1,682 M(x) [kn m] 2,318 49

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta Przekrój dwuteowy 1,3 J Y =4423cm 4 T Y =102,0 kn 102,0 kn Y0=Ygl M Y = 56,0 kn m= 5600 kn cm 21,4 sc 56,0 kn m Z0=Zgl 11,0 1,3 0,9 [cm] 50

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 1,3 Przekrój dwuteowy - naprężenie normalne X= 5600 z= 1,266 z 4423 1 X = 1,266 12,0= 15,19 21,4 sc =3 56,0 kn m 0,9 2 Z0=Zgl 1 11,0 2 X = 1,266 10,7= 13,55 3 X = 1,266 0,0=0,0 1,3 Y0=Ygl kn 2 = 151,9 MPa cm kn 2 = 135,5 MPa cm kn 2 =0,0 MPa cm [cm] 51

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 5 1,3 Przekrój dwuteowy - naprężenie normalne 4 4 X = 1,266 10,7 =13,55 21,4 sc =3 56,0 kn m 5 X = 1,266 12,0 =15,19 0,9 2 Z0=Zgl 1 11,0 5600 z= 1,266 z 4423 kn 2 =135,5 MPa cm kn 2 =151,9 MPa cm 1,3 Y0=Ygl X= [cm] 52

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 5 1,3 Przekrój dwuteowy - wykres naprężenia normalnego σx 4 21,4 sc =3 56,0 kn m 0,9 2 Z0=Zgl 1 11,0 1,3 Y0=Ygl 151,9 135,5 0,0 135,5 151,9 [MPa] [cm] 53

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 1,3 Przekrój dwuteowy - naprężenie styczne τxz 1 XZ =0,0 MPa sc 0,9 Z0=Zgl 1 11,0 1,3 Y0=Ygl 21,4 102,0 kn [cm] 54

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 1,3 Przekrój dwuteowy - naprężenie styczne τxz 102,0 kn 11,35 sc 102,0 11,0 1,3 11,35 kn =4,159 2 = 0,9 4423 cm =41,59 MPa 2s XZ = 21,4 Y0=Ygl 102,0 11,0 1,3 11,35 kn =0,3403 2= 11,0 4423 cm =3,403 MPa 2p XZ = 0,9 Z0=Zgl 11,0 1,3 2 sc1 [cm] 55

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 1,3 5 102,0 11,0 1,3 11,35 10,7 0,9 5,35 = = 0,9 4423 kn =5,479 2 =54,79 MPa cm 21,4 Przekrój dwuteowy - naprężenie styczne τxz Naprężenia styczne τxz w punkcie 4 (w półce i w środniku) równe są tym samym naprężeniom w punkcie 2. 4 Y0=Ygl sc =3 11,35 sc2 0,9 5,35 102,0 kn Z0=Zgl 11,0 1,3 sc1 3 XZ Naprężenie styczne τxz w punkcie 5 równe jest temu samemu naprężeniu w punkcie 1. [cm] 56

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 1,3 Przekrój dwuteowy - naprężenie styczne τxy 11,35 sc 7 XY =0,0 MPa 21,4 Y0=Ygl 102,0 kn 0,9 sc1 6 7 Z0=Zgl 11,0 1,3 5,05 102,0 5,05 1,3 11,35 kn =1,322 2 = 1,3 4423 cm =13,22 MPa 6 XY = [cm] 57

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 1,3 Przekrój dwuteowy - wykres naprężeń stycznych τxz 5 τxz 4 0,0 3,403/41,59 sc=3 54,79 0,9 2 Z0=Zgl 1 11,0 1,3 Y0=Ygl 21,4 102,0 kn [MPa] 3,403/41,59 0,0 [cm] 58

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta Przekrój dwuteowy - wykres naprężeń stycznych τxy 7 6 τxy 1,3 13,22 [MPa] 0,0 0,0 13,22 Y0=Ygl sc 21,4 102,0 kn Z0=Zgl 11,0 1,3 0,9 [cm] 59

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta Przekrój teowy J Y = J Ygl =7596 cm 7,681 4 T Y =102,0 kn 24,5 19,82 Y=Ygl 102,0 kn sc 3,0 20,0 2,0 Z=Zgl [cm] 67

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta Przekrój teowy - naprężenie styczne τxz 7,681 1 XZ =0,0 MPa 24,5 19,82 Y=Ygl 102,0 kn sc 3,0 20,0 2,0 1 Z=Zgl [cm] 68

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta sc1 2 102,0 19,82 2.0 9,91 kn =2,638 2 = 2,0 7596 cm =26,38 MPa XZ = 24,5 19,82 9,91 Y=Ygl 7,681 102,0 kn sc =2 Przekrój teowy - naprężenie styczne τxz 3,0 20,0 2,0 Z=Zgl [cm] 69

Przekrój teowy - naprężenie styczne τxz 3,0 7,681 3s 102,0 20,0 3,0 6,181 kn =2,490 2 = 2,0 7596 cm =24,90 MPa XZ = 24,5 20,0 4 sc1 3 102,0 kn sc 19,82 Y=Ygl 6,181 3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 102,0 20,0 3,0 6,181 kn =0,249 2 = 20,0 7596 cm =2,49 MPa 3p XZ = 2,0 Z=Zgl [cm] Naprężenie styczne τxz w punkcie 4 równe jest temu samemu naprężeniu w punkcie 1. 70

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta Przekrój teowy - naprężenie styczne τxy 3,0 7,681 9,0 5 102,0 9,0 3,0 6,181 kn =0,7497 2 = 3,0 7596 cm =7,497 MPa XY = 24,5 102,0 kn sc 19,82 Y=Ygl 6,181 6 sc1 20,0 5 6 XY =0,0 MPa 2,0 Z=Zgl [cm] 71

3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta Przekrój teowy - wykres naprężeń stycznych τxz τxz 7,681 0,0 2,49/24,90 26,38 24,5 Y=Ygl 102,0 kn sc=2 19,82 3 3,0 20,0 4 2,0 1 Z=Zgl [cm] [MPa] 0,0 72

Y=Ygl 102,0 kn sc 3,0 19,82 6 7,497 20,0 5 τxy Przekrój teowy - wykres naprężeń stycznych τxy 24,5 [MPa] 3.7. Wykresy naprężeń w przekroju pręta 7,681 7,497 0,0 0,0 2,0 Z=Zgl [cm] 73

3.8. Płaski stan naprężenia Stan naprężenia w punkcie Z Aby jednoznacznie określić stan naprężenia w punkcie musimy znać wektory naprężenia na trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach. f(z) f(y) Y A X f(x) 74

3.8. Płaski stan naprężenia Stan naprężenia w punkcie - elementarny sześcian Z Ściankami dodatnimi nazywamy te ścianki, które są widoczne z punktu o wszystkich współrzędnych dodatnich. σz τzy τ ZX τyz τxz X σ X τxy Y τ YX A σy Pierwszy indeks przy naprężeniu stycznym oznacza normalną do płaszczyzny, na której ono działa, drugi indeks oznacza kierunek tego naprężenia. Składowe wektorów naprężeń są dodatnie, jeżeli na dodatnich ściankach mają zwroty osi układu współrzędnych XYZ. 75

3.8. Płaski stan naprężenia Stan naprężenia w punkcie - tensor naprężenia Z Składowe wektorów naprężenia zapisujmy w tablicy nazywanej tensorem naprężenia. σz τzy τ ZX τyz τxz X σ τxy Y τ YX A σy [ X XY XZ = YX Y YZ ZX ZY Z ] X 76

3.8. Płaski stan naprężenia Stan naprężenia w punkcie - tensor naprężenia Z Tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym. σz τzy τ ZX τyz σ τxy σy Y [ ] τ YX X τxz X XY XZ = YX Y YZ ZX ZY Z XY = YX YZ = ZY X XZ = ZX 77

3.8. Płaski stan naprężenia Definicja płaskiego stanu naprężenia Z Płaski stan naprężenia występuje wtedy, gdy jeden z wektorów nap-rężenia jest wektorem zerowy. σz τzy τ ZX τyz σ τxy σy Y [[ τ YX X τxz Tensor naprężenia w płaskim stanie naprężenia ma postać ] X X 0XY XZXZ = YX0 0Y 0 YZ = ZXZX 0ZY Z Z X 78

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta A σz τz X X Y τxz sc σx X Y gl Y= Z Z=Zgl W przypadku stanu naprężenia w punkcie przekroju pręta naprężenie normalne σz wynosi zero. 79

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - elementarny kwadrat τzx [ X = 0 ZX σz τxz σx σx τxz σz Z τzx 0 XZ 0 0 0 Z ] X Bokami dodatnimi nazywamy boki ele-mentarnego kwadratu, które są widoczne z punktu o obu współrzędnych dodatnich. Składowe płaskiego stanu naprężenia są dodatnie, jeżeli na dodatnich ściankach mają zwroty osi układu współrzędnych ZX. W przypadku stanu naprężenia w punkcie przekroju pręta naprężenie normalne σz wynosi zero. 80

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - transformacja układu współrzędnych Transformacja jest to obrót układu współrzędnych dookoła jego początku. Dodatni kąt α kręci od osi Z do osi X. Z ' = Z X Z X cos 2 XZ sin 2 2 2 X '= Z X Z X cos 2 XZ sin 2 2 2 Z X X ' Z ' = sin 2 XZ cos 2 2 81

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - naprężenia główne Istnieje taki układ współrzędnych, w którym naprężenia normalne osiągają wartości ekstremalne. Ponadto w układzie tym naprężenia styczne wynoszą zero. Układ ten nazywamy układem osi głównych, a ekstremalne naprężenia normalne nazywamy naprężeniami głównymi. 82

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - naprężenia główne Kąt nachylenia osi głównych wynosi tg 2 gl = 2 XZ Z X Naprężenia główne wynoszą Z X Z X Zgl = cos 2 gl XZ sin 2 gl 2 2 Z X Z X Xgl = cos 2 gl XZ sin 2 gl 2 2 83

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - naprężenia główne Naprężenia główne możemy także wyznaczyć ze wzoru Z X 1/2= ± 2 1=max 2 Z X 2XZ 2 { Zgl Xgl 2=min { Zgl Xgl 84

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - naprężenia główne Tensor naprężenia w układzie osi głównych na postać [ Xgl 0 0 gl = 0 0 0 0 0 Zgl ] 85

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - ekstremalne naprężenia styczne Istnieje taki układ współrzędnych, w którym naprężenia styczne osiągają wartości ekstremalne. Kąt nachylenia tego układu wynosi Z X tg 2 = 2 XZ Ekstremalne naprężenie styczne wynosi Z X MAX = sin 2 XZ cos 2 2 86

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - ekstremalne naprężenia styczne Ekstremalne naprężenie styczne możemy także wyznaczyć ze wzoru MAX = 2 Z X 2XZ 2 Naprężenia normalne stowarzyszone z ekstremalnym naprężeniem stycznym wynoszą Z X Z X Z = cos 2 XZ sin 2 2 2 Z X Z X X = cos 2 XZ sin 2 2 2 87

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - ekstremalne naprężenia styczne Naprężenia normalne stowarzyszone z ekstremalnym naprężeniem stycznym możemy także wyznaczyć ze wzoru Z = X = Z X 2 Tensor naprężenia w układzie ekstremalnego naprężenia stycznego ma postać [ X 0 MAX = 0 0 0 MAX 0 Z ] 88

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - układ osi głównych i układ ekstremalnego naprężenia stycznego 2 XZ tg 2 gl = Z X Z X tg 2 = 2 XZ 2 XZ Z X tg 2 gl tg 2 = = 1 Z X 2 XZ Układ współrzędnych związany z ekstremalnym naprężeniem stycznym nachylony jest pod kątem 450 do układu osi głównych. 89

3.8. Płaski stan naprężenia X gl X ατ Xτ αgl Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - układ osi głównych i układ ekstremalnego naprężenia stycznego 2 XZ tg 2 gl = Z X Z X tg 2 = 2 XZ 450 Z gl Zτ Z 90

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - niezmienniki Niezmiennikiem nazywamy wielkość, która nie zmienia swojej wartości przy transformacji układu współrzędnych. Pierwszy niezmiennik ma wartość I 1 = Z X = Zgl Xgl = Z X Drugi niezmiennik ma wartość I 2= Z X 2XZ = Zgl Xgl = Z X 2MAX 91

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - osiowe rozciąganie lub ściskanie X =Xgl σx =σxgl σx =σxgl Z =Zgl 92

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - czyste ścinanie τ Tensor naprężenia ma postać X [ ] τ τ 0 0 = 0 0 0 0 0 τ Kąt nachylenia osi głównych wynosi Z tg 2 gl = 2 = 0 0 gl = 45o 93

Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - czyste ścinanie τ Naprężenia główne wynoszą gl X 3.8. Płaski stan naprężenia τ X Xgl = sin 2 45o = τ τ Zgl = sin 2 45o = Z gl 450 Z 94

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - czyste ścinanie τ τ τ X τ τ τ τ τ τ Z 95

3.8. Płaski stan naprężenia Płaski stan naprężenia w przekroju pręta - czyste ścinanie τ τ τ X τ τ τ τ τ τ Z 96

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 1,3 Zadanie 1 Wyznaczyć naprężenia oraz kierunki główne w przekroju dwuteowym przedstawionym na poniższym rysunku. 102,0 kn Y0=Ygl 21,4 sc 56,0 kn m Z0=Zgl 11,0 1,3 0,9 [cm] 97

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 Y0=Ygl sc =C B 0,9 Z0=Zgl A 11,0 1,3 D 5,35 5,35 5,35 5,35 E 21,4 1,3 Zadanie 1 [cm] 98

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 E σx 151,9 τxz Punkt A 0,0 3,403/41,59 X = 151,9 MPa XZ =0,0 MPa 102,0 kn 21,4 sc =C 56,0 kn m 0,0 54,79 Punkt C 0,9 Z0=Zgl A 11,0 1,3 Y0=Ygl 1,3 Naprężenia normalne i styczne w punktach A, C i E 151,9 [MPa] [MPa] 3,403/41,59 0,0 [cm] X =0,0 MPa XZ = 54,79 MPa 99

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 E σx 151,9 τxz Punkt E 0,0 3,403/41,59 X =151,9 MPa XZ =0,0 MPa 102,0 kn 21,4 sc =C 56,0 kn m 0,0 54,79 0,9 Z0=Zgl A 11,0 1,3 Y0=Ygl 1,3 Naprężenia normalne i styczne w punktach A, C i E 151,9 [MPa] [MPa] 3,403/41,59 0,0 [cm] 100

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 Naprężenia główne w punkcie A X = 151,9 MPa XZ =0,0 MPa W punkcie A panuje osiowe rozciąganie - układ ZX jest już układem osi głównych. Xgl = 151,9 MPa Zgl=0,0 MPa 101

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 Naprężenia główne w punkcie C X =0,0 MPa XZ = 54,79 MPa W punkcie C panuje czyste ścinanie - układ osi głównych obrócony jest o kąt 450 w stosunku do układu ZX. Xgl =54,79 MPa Zgl =54,79 MPa 102

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 Naprężenia główne w punkcie E X =151,9 MPa XZ =0,0 MPa W punkcie E panuje osiowe rozciąganie - układ ZX jest już układem osi głównych. Xgl =151,9 MPa Zgl =0,0 MPa 103

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 1,3 Naprężenia normalne i styczne w punkcie B 102,0 kn 56,0 kn m 21,4 0,9 sc 11,35 5,35 5,35 5600 z= 1,266 z 4423 B 8,025 Y0=Ygl X= Z0=Zgl 11,0 kn 2 = 67,73 MPa cm 102,0 11,0 1,3 11,35 5,35 0,9 8,025 = = 0,9 4423 kn =5,149 2 =51,49 MPa cm B XZ 1,3 B sc2 sc1 X = 1,266 5,35= 6,773 [cm] B XZ = 51,49 MPa 104

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 Naprężenia i kierunek główny w punkcie B X = 67,73 MPa XZ = 51,49 MPa tg 2 gl = 2 51,49 = 1,520 0,0 67,73 gl = 28,33 Zgl = Xgl = 0,0 67,73 0,0 67,73 cos 2 28,33 51,49 sin 2 28,33 =27,76 MPa 2 2 0,0 67,73 0,0 67,73 cos 2 28,33 51,49 sin 2 28,33 = 95,49 MPa 2 2 105

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 Naprężenia i kierunek główny w punkcie B Zgl =27,76 MPa Xgl = 95,49 MPa 1/2= 0,0 67,73 ± 2 2 0,0 67,73 2 51,49 = 27,76 MPa 2 95,49 MPa { 106

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 Naprężenia i kierunek główny w punkcie B X = 67,73 MPa Zgl =27,76 MPa XZ = 51,49 MPa Xgl = 95,49 MPa I 1 =0,0 67,73= 67,73 MPa I 1 =27,76 95,49= 67,73 MPa 2 I 2=0,0 67,73 51,49 = 2651 MPa 2 I 2= 95,49 27,76= 2651 MPa 2 107

3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 Naprężenia i kierunek główny w punkcie D X =67,73 MPa XZ = 51,49 MPa tg 2 gl = 2 51,49 =1,520 0,0 67,76 gl =28,33 Zgl = 27,76 MPa Xgl =95,49 MPa 108

E 151,9 MPa 3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 X 51,49 151,9 MPa MPa D 67,73 MPa Z 54,79 MPa C X 54,79 MPa Z X B 67,73 MPa 51,49 MPa X 151,9 MPa 67,73 MPa 51,49 MPa Stany naprężenia w punktach A-E na elementarnych kwadratach Z 67,73 MPa A 151,9 MPa 51,49 MPa X Z Z 109

C X 54,79 MPa C X=Xgl Pa M 151,9 MPa A Naprężenia i kierunki główne w punktach A-E 9,7 54 Z Pa M 54,79 MPa 54,7 9 9,7 54 Z =Zgl M Pa 151,9 MPa M Pa 151,9 MPa X=Xgl 54,7 9 E 3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 151,9 MPa Z =Zgl 110

54 M,79 Pa,49 5 9 Pa M D 28,330 Z gl Z =Zgl 28,330 A 95, MP 49 a X =Xgl 151,9 MPa Z gl 27, MP 76 a C Naprężenia i kierunki główne w punktach A-E 27, MP 76 a Z 9,7 54 Pa M 54 M,79 Pa 151,9 MPa,76 27 a MP 9,7 54 Pa M 151,9 MPa E X gl 9,4 95 Pa M X,76 27 a MP 151,9 MPa X =Xgl 3.9. Płaski stan naprężenia - zadanie 1 Z X B X 95, MP 49 a gl 111

3.10. Analiza stanu odkształcenia Definicja odkształcenia liniowego dz 2 σx=σxgl X=Xgl dz σx=σxgl dx Odkształcenie liniowe po kierunku osi X wynosi dz 2 dx dx 2 2 X= Odkształcenie liniowe po kierunku osi Z wynosi Z = Z=Zgl` dx dx dz dz 112

3.10. Analiza stanu odkształcenia Definicja odkształcenia liniowego W analogiczny sposób definiujemy odkształcenie liniowe po kierunku osi Y, które wynosi wynosi Y = dy dy Odkształcenie liniowe jest wielkością bezwymiarową. 113

3.10. Analiza stanu odkształcenia Definicja odkształcenia postaciowego τzx X τxz β ZX τxz αzx τzx Z Odkształcenie postaciowe na płaszczyźnie ZX X wynosi ZX ZX ZX = XZ = 2 Z 114

3.10. Analiza stanu odkształcenia Definicja odkształcenia postaciowego W podobny sposób definiujemy odkształcenia postaciowe na płaszczyznach XY i YZ. Wynoszą one XY XY XY = YX = 2 YZ = ZY = YZ YZ 2 Odkształcenie postaciowe jest także wielkością bezwymiarową. 115

3.10. Analiza stanu odkształcenia Tensor odkształcenia Odkształcenia liniowe oraz postaciowe tworzą tablicę nazywaną tensorem odkształcenia, który ma postać [ X XY XZ = YX Y YZ ZX ZY Z ] Jest on także tensorem symetrycznym, ponieważ XY = YX YZ = ZY XZ = ZX 116

3.11. Równania fizyczne Definicja równań fizycznych Równaniami fizycznymi nazywamy równania, które wyrażają zależności pomiędzy składowymi stanu naprężenia i stanu odkształcenia. Równania te uzyskuje się na podstawie badań laboratoryjnych poszczególnych materiałów budowlanych. 117

3.11. Równania fizyczne Statyczna próba rozciągania stali Statyczna próba rozciągania stali jest podstawowym testem, który służy do określenia podstawowych właściwości materiału. 118

3.11. Równania fizyczne σ Zależność pomiędzy naprężeniem normalnym σ=σx i odkształceniem osiowym ε=εx σp σsp= σh ε σh=σsp σp σh - granica proporcjonalości - zależność pomiędzy naprężeniem i odkształceniem jest liniowa σsp - granica sprężystości - nie powstają odkształcenia trwałe (plastyczne) σp - granica plastyczności - przy stałym naprężeniu normalnym rosną odkształcenia liniowe. 119

3.11. Równania fizyczne Zależność pomiędzy odkształceniami liniowymi Na podstawie badań laboratoryjnych materiałów izotropowych stwierdzono, że pomiędzy odkształceniem liniowym εx (po kierunku działania naprężenia normalnego σx) a odkształceniami liniowymi εy oraz εz istnieje zależność liniowa Z = Y = X ν - współczynnik Poissona - jest to wielkość bezwymiarowa. X X = E X = E X X Z = Y = E 121

3.11. Równania fizyczne Ogólna postać równań fizycznych X Y Z X Y Z X E X E X E Y E Y E Y E Z E Z E Z E Sumując wierszami otrzymamy równania fizyczne w postaci 1 X = [ X Y Z ] E 1 Y = [ Y X Z ] E 1 Z = [ Z X Y ] E 122

3.11. Równania fizyczne Ogólna postać równań fizycznych W układzie osi głównych równania fizyczne mają postać 1 Xgl = Xgl Zgl E Ygl = Zgl E Xgl 1 Zgl = Zgl Xgl E 123

3.11. Równania fizyczne Ogólna postać równań fizycznych Na drodze rozważań teoretycznych otrzymamy zależności pomiędzy naprężeniami stycznymi i odkształceniami postaciowymi. Zależności te to: XZ XZ = 2 G XY XY = 2 G W równaniach tych G nazywamy modułem Kirchhoffa G= E 2 1 YZ YZ = 2 G 124

3.11. Równania fizyczne Dylatacja Dylatacja czyli względna zmiana objętości wynosi dv = X Y Z dv Podstawiając równania fizyczne otrzymamy dv 1 1 1 = [ X Y Z ] [ Y X Z ] [ Z X Y ] dv E E E dv 1 2 = X Y Z X Y Z dv E E 125

3.11. Równania fizyczne Dylatacja dv 1 2 = X Y Z X Y Z dv E E Ostatecznie otrzymamy dv 1 2 = X Y Z dv E Współczynnik K= 1 2 E nazywamy modułem ściśliwości. 126

3.11. Równania fizyczne Dylatacja dv = K X Y Z dv Współczynnik ściśliwości powinien być dodatni. 1 2 0 E 1 2 0 1 2 Współczynnik Poissona dla materiału izotropowego musi być większy od zera i mniejszy niż 0,5. 127

3.12. Równania fizyczne - zadanie 1 Zadanie 1 W punkcie B panuje stan naprężenia przedstawiony na poniższym rysunku. Wyznaczyć składowe stanu odkształcenia odpowiadające temu stanowi naprężenia. 51,49 MPa B X = 67,73 MPa B 67,73 MPa X B XZ = 51,49 MPa 67,73 MPa 51,49 MPa E =205 GPa=205000 MPa Z =0,3 128

3.12. Równania fizyczne - zadanie 1 Odkształcenia liniowe Odkształcenia liniowe wynoszą X = 1 6 [ 67,73 0,3 0,0 0 ]= 0,0003304= 330,4 10 205000 Y = 1 6 [ 0,0 0,3 67,73 0 ]=0,00009912=99,12 10 205000 Z = 1 6 [ 0,0 0,3 67,73 0 ]=0,00009912=99,12 10 205000 129

3.12. Równania fizyczne - zadanie 1 Odkształcenia postaciowe Moduł Kirchhoffa wynosi G= 205 =78,85GPa=78850 MPa 2 1 0,3 Odkształcenia postaciowe wynoszą XZ = 51,49 6 = 0,0003265= 326,5 10 2 78850 XY = YZ =0 130

3.12. Równania fizyczne - zadanie 1 Tensor odkształcenia Tensor odkształcenia ma postać [ ] 330,4 0 326,5 6 = 0 99,12 0 10 326,5 0 99,12 131

3.12. Równania fizyczne - zadanie 1 Naprężenia główne w punkcie B 27, MP 76 a 28,330 95, MP 49 a Z 27, MP 76 a gl B Zgl=27,76 MPa Z X B X 95, MP 49 a gl B Xgl= 95,49 MPa B Ygl =0,0 MPa 132

3.12. Równania fizyczne - zadanie 1 Odkształcenia główne w punkcie B B Xgl = 95,49 MPa B Ygl =0,0 MPa B Zgl=27,76 MPa Xgl= 1 6 [ 95,49 0,3 27,76 0 ]= 0,0005064= 506,4 10 205000 Ygl = 1 6 [ 0,0 0,3 27,76 95,49 ]=0,00009912=99,12 10 205000 Zgl = 1 6 [ 27,76 0,3 0,0 95,49 ]=0,0002752=275,2 10 205000 133

3.12. Równania fizyczne - zadanie 1 Odkształcenia główne w punkcie B Tensor odkształcenia ma postać [ ] 506,4 0 0 6 gl = 0 99,12 0 10 0 0 275,2 134

3.12. Równania fizyczne - zadanie 1 28,330 95, MP 49 a 27, MP 76 a Odkształcenia główne w punkcie B Z 27, MP 76 a gl Z X B X X 95, MP 49 a X gl gl Z gl Z 6 Xgl= 506,4 10 6 Zgl =275,2 10 135