Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64
Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek i 2 = 1. Inaczej i = 1. Liczbami zespolonymi nazywamy obiekty postaci a + bi, gdzie a R, b R. p. 2 of 64
Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek i 2 = 1. Inaczej i = 1. Liczbami zespolonymi nazywamy obiekty postaci a + bi, gdzie a R, b R. Równanie x 2 + 1 = 0 ma w liczbach zespolonych dwa rozwiązania: x = i oraz x = i. p. 3 of 64
Zespolone pierwiastki wielomianów Wielomian x 3 1 ma jeden pierwiastek rzeczywisty. (x 3 1) = (x 1)(x 2 + x + 1) Wyznaczymy jego pierwiastki zespolone: x 2 + x + 1 = 0 ( 1) 2 3 x + + 2 4 = 0 ( 1) 2 3 x + = 2 4 x + 1 2 = 3 1 lub x + 1 3 2 2 = 1 2 x = 1 3 2 + i lub x = 1 3 2 2 i 2. p. 4 of 64
Działania na liczbach zespolonych Dodawanie: (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i Mnożenie (a + bi) (c + di) = ac + bdi 2 + (ad + bc)i p. 5 of 64
Działania na liczbach zespolonych Dodawanie: (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i Mnożenie (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i p. 6 of 64
To istotnie są pierwiastki (z 1) (z + 1 3 )(z 2 i + 1 3 ) 2 2 + i 2 ( ( 1 3 = (z 1) z 2 + z 2 i 2 + 1 3 2 + i 2 = (z 1) ( z 2 + z + 1 4 + 3 4) = z 3 1. ) + ( 1 2 i 3 2 )( 1 3 )) 2 + i 2 p. 7 of 64
To istotnie są pierwiastki (z 1) (z + 1 3 )(z 2 i + 1 3 ) 2 2 + i 2 ( ( 1 3 = (z 1) z 2 + z 2 i 2 + 1 3 2 + i 2 = (z 1) ( z 2 + z + 1 4 + 3 4) = z 3 1. Jeszcze jeden przykład: z 4 + 1 =(z 2 i)(z 2 + i) ) + ( 1 2 i 3 2 )( 1 3 )) 2 + i 2 =(z + (a + bi))(z (a + bi))(z i(a + bi))(z + i(a + bi)), p. 8 of 64
To istotnie są pierwiastki (z 1) (z + 1 3 )(z 2 i + 1 3 ) 2 2 + i 2 ( ( 1 3 = (z 1) z 2 + z 2 i 2 + 1 3 2 + i 2 = (z 1) ( z 2 + z + 1 4 + 3 4) = z 3 1. Jeszcze jeden przykład: z 4 + 1 =(z 2 i)(z 2 + i) ) + ( 1 2 i 3 2 )( 1 3 )) 2 + i 2 =(z + (a + bi))(z (a + bi))(z i(a + bi))(z + i(a + bi)), gdzie (a + bi) 2 = i, czyli a 2 + 2abi b 2 = i p. 9 of 64
Twierdzenie (Najmocniejsze twierdzenie algebry) Każdy wielomian stopnia n ma n pierwiastków zespolonych (liczonych z krotnościami). Twierdzenie (Najmocniejsze twierdzenie algebry) Każdy wielomian o współczynnikach zespolonych można przedstawić jako iloczyn jednomianów (o współczynnikach zespolonych). p. 10 of 64
Płaszczyzna zespolona Dla każdej liczby zespolonej z = a + bi określamy: Część rzeczywistą: Rez = a, Część urojoną: Imz = b. Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na płaszczyźnie p. 11 of 64
Dodawanie liczb zespolonych a + bi + c + di = a + c + (b + d)i p. 12 of 64
Postać trygonometryczna liczby zespolonej z moduł odległość od początku układu współrzędnych z = a 2 + b 2. ϕ = argz argument liczby zespolonej p. 13 of 64
Postać trygonometryczna liczby zespolonej z = a 2 + b 2. z = a+bi = ( a 2 + b 2 a a 2 + b + b ) 2 a 2 + b i = z ( cos ϕ+i sin ϕ ) 2 p. 14 of 64
Mnożenie liczb zespolonych - postać trygonometryczna z 1 z 2 = z 1 (cos α + i sin α) z 2 (cos β + i sin β) = z 1 z 2 ( ) cos α cos β sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β) = z 1 z 2 ( cos(α + β) + i sin(α + β) ) p. 15 of 64
Mnożenie liczb zespolonych - postać trygonometryczna z 1 z 2 = z 1 (cos α + i sin α) z 2 (cos β + i sin β) = z 1 z 2 ( ) cos α cos β sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β) = z 1 z 2 ( cos(α + β) + i sin(α + β) ) p. 16 of 64
Mnożenie liczb zespolonych - postać trygonometryczna z 1 z 2 = z 1 (cos α + i sin α) z 2 (cos β + i sin β) = z 1 z 2 ( ) cos α cos β sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β) = z 1 z 2 ( cos(α + β) + i sin(α + β) ) p. 17 of 64
Potęgowanie liczb zespolonych z 2 = z 2( cos(2α) + i sin(2α) ) p. 18 of 64
Potęgowanie liczb zespolonych z 3 = z 3( cos(3α) + i sin(3α) ) p. 19 of 64
Kolorowanie płaszyczyzny zespolonej p. 20 of 64
Kolorowanie płaszyczyzny zespolonej p. 21 of 64
Kolorowanie płaszyczyzny zespolonej identyczność p. 22 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 23 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 24 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 25 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 26 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 27 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 28 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 29 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 30 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 31 of 64
Kolorowanie płaszczyzny zespolonej: f (z) = z 2 p. 32 of 64
Kolorowy wykres: f (z) = z 2 p. 33 of 64
Kolorowy wykres: f (z) = z 2 p. 34 of 64
Kolorowanie płaszczyzny: f (z) = z 3 p. 35 of 64
Kolorowanie płaszczyzny: f (z) = z 3 p. 36 of 64
Kolorowanie płaszczyzny: f (z) = z 2 1 p. 37 of 64
Kolorowy wykres: f (z) = z 2 1 p. 38 of 64
Jakiego stopnia to wielomian? p. 39 of 64
f (z) = z 3 1 p. 40 of 64
f (z) = z 3 1 p. 41 of 64
Co możemy powiedzieć o tym wielomianie? p. 42 of 64
f (z) = (z 1) 2 (z + 1)(z i 1) p. 43 of 64
A cóż to za wielomian? p. 44 of 64
Kolorowy wykres: f (z) = (z 1) 2 (z i 1) p. 45 of 64
Sprzężenie i dzielenie Liczba sprzężona do z = a + bi to Dzielenie liczb zespolonych: z = a + bi = a bi. a + bi c + di = a + bi c + di c di c di = (a + bi)(c di) c 2 + d 2 p. 46 of 64
Sprzężenie i dzielenie Liczba sprzężona do z = a + bi to Dzielenie liczb zespolonych: z = a + bi = a bi. Inaczej: a + bi c + di = a + bi c + di c di c di = z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 2. (a + bi)(c di) c 2 + d 2 p. 47 of 64
Sprzężenie i dzielenie Liczba sprzężona do z = a + bi to Dzielenie liczb zespolonych: Inaczej: a + bi c + di W szczególności: z = a + bi = a bi. = a + bi c + di c di c di = z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 2. 1 z = z z 2. (a + bi)(c di) c 2 + d 2 p. 48 of 64
Kolorowanie: z i z p. 49 of 64
f (z) = z 2 p. 50 of 64
f (z) = z 2 p. 51 of 64
Kolorowanie: funkcja wymierna p. 52 of 64
Kolorowanie: funkcja wymierna f (z) = (z2 1)(z 2 i) 2 z 2 + 2 + 2i p. 53 of 64
Wykres funkcji wymiernej f (z) = (z2 1)(z 2 i) 2 z 2 + 2 + 2i p. 54 of 64
Wykres funkcji wymiernej f (z) = (z2 1)(z 2 i) 2 z 2 p. 55 of+ 64 2 + 2i
Jakiej funkcji to może być wykres? p. 56 of 64
p. 57 of 64
f (z) = z p. 58 of 64
Jakiej funkcji to może być wykres? p. 59 of 64
Rzut z góry p. 60 of 64
p. 61 of 64
f (z) = 3 z p. 62 of 64
Obraz kontrolny p. 63 of 64
Obraz kontrolny f (z) = e z = e a+bi = e a e bi = e a (cos b + i sin b) p. 64 of 64