PRZEGLĄD STATYSTYCZNY

POLSKA AKADEMIA NAUK KOMITET STATYSTYKI I EKONOMETRII PRZEGLĄD STATYSTYCZNY STATISTICAL REVIEW TOM 63 4 2016 WARSZAWA 2016

WYDAWCA Komitet Statystyki i Ekonometrii Polskiej Akademii Nauk RADA PROGRAMOWA Andrzej S. Barczak, Czesław Domański, Marek Gruszczyński, Krzysztof Jajuga (Przewodniczący), Tadeusz Kufel, Jacek Osiewalski, Sven Schreiber, Mirosław Szreder, D. Stephen G. Pollock, Jaroslav Ramík, Peter Summers, Matti Virén, Aleksander Welfe, Janusz Wywiał KOMITET REDAKCYJNY Magdalena Osińska (Redaktor Naczelny) Marek Walesiak (Zastępca Redaktora Naczelnego, Redaktor Tematyczny) Michał Majsterek (Redaktor Tematyczny) Maciej Nowak (Redaktor Tematyczny) Anna Pajor (Redaktor Statystyczny) Piotr Fiszeder (Sekretarz Naukowy) Wydanie publikacji dofinansowane przez Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego Copyright by Komitet Statystyki i Ekonometrii PAN Strona WWW Przegląd Statystyczny : http://www.przegladstatystyczny.pan.pl Nakład 140 egz. Przygotowanie do druku: Dom Wydawniczy ELIPSA ul. Inflancka 15/198, 00-189 Warszawa tel./fax 22 635 03 01, 22 635 17 85 e-mail: elipsa@elipsa.pl, www.elipsa.pl Druk: Wrocławska Drukarnia Naukowa PAN Sp. z o.o. im. Stanisława Kulczyńskiego 53-505 Wrocław, ul. Lelewela 4

SPIS TREŚCI Emil Panek Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali............. 355 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień Koncepcja wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego w ujęciu nieparametrycznym........................................................ 375 Henryk G u r g u l, Paweł Zają c Zastosowanie modelu przyspieszonej porażki do analizy przeżycia małopolskich przedsiębiorstw............................................... 391 Joanna Kisieliń s k a Rozkłady wybranych bootstrapowych estymatorów mediany oraz zastosowanie dokładnej metody percentyli do jej przedziałowego szacowania............ 411 Piotr Sulewski Moc testów niezależności w tablicy trójdzielczej 2 2 2.................... 431 Sergiusz Herman Analiza porównawcza wybranych metod szacowania błędu predykcji klasyfikatora...................................................................... 449

CONTENTS Emil Panek Gale s Economy with Multiple Turnpikes. Weak Turnpike Effect............... 355 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień Nonparametric Band Business Cycle Clock............... 375 Henryk G u r g u l, Paweł Zają c The Application of an Accelerated Failure Time Model to the Survival Analysis of Enterprises Founded in Lesser Poland Voivodship................ 391 Joanna Kisieliń s k a Distribution of Selected Bootstrap Median Estimators and Application of the Exact Percentile Method for its Interval Estimating................................ 411 Piotr Sulewski Power Analysis of Independence Testing for Three-way Contingency Table 2 2 2...................................................................... 431 Sergiusz Herman Comparative Analysis of Selected Methods for Estimating the Prediction Error of Classifier..................................................... 449

PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LXIII ZESZYT 4 2016 EMIL PANEK 1 GOSPODARKA GALE A Z WIELOMA MAGISTRALAMI. SŁABY EFEKT MAGISTRALI 1. WSTĘP W teorii magistral dowodzi się, że bez względu na stan wyjściowy gospodarki optymalne procesy wzrostu są w długich okresach czasu zawsze zbieżne do pewnej wzorcowej ścieżki zwanej magistralą (produkcyjną, kapitałową, konsumpcyjną), na której gospodarka osiąga najwyższe tempo równomiernego wzrostu 2. W stacjonarnych modelach dynamiki ekonomicznej typu Neumanna-Gale a-leontiefa magistrala jest zazwyczaj określona jednoznacznie, a jej obrazem geometrycznym w przestrzeni stanów gospodarki jest półprosta zwana promieniem von Neumanna. Pisaliśmy o tym m.in. w artykułach Panek (2015a, 2016) sugerując, że założenie jednoznaczności magistrali można osłabić, ale niestety kosztem wzrostu złożoności modelu. Przykład takiego uogólnienia prezentujemy poniżej. Co ciekawe, złożoność modelu szczególnie przy tym nie rośnie. Zajmiemy się n produktową gospodarką typu Gale a, w której pojedynczą magistralę zastąpimy wiązką magistral, nazywaną dalej umownie magistralą wielopasmową. Ustalimy warunki istnienia magistrali wielopasmowej w gospodarce Gale a oraz jej niektóre własności, ale przede wszystkim pokażemy, że podobnie jak w klasycznych modelach z pojedynczą magistralą, w gospodarce Gale a z magistralą wielopasmową obserwujemy specyficzną stabilność optymalnych procesów wzrostu, nazywaną w literaturze słabym efektem magistrali. Prezentowany model nawiązuje do wersji przedstawionej w książce Panek (2003, rozdz. 5, punkt 5.1). 1 Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej, Katedra Ekonomii Matematycznej, al. Niepodległości 10, 60-967 Poznań, Polska, e-mail: emil.panek@ue.poznan.pl. 2 Zob. np. McKenzie (1976; 1998; 2005, rozdz. 26), Nikaido (1968, rozdz. IV), Panek (2003, rozdz. 5, 6), Takayama (1985, rodz. 7).

356 Emil Panek 2. PRZESTRZEŃ PRODKCYJNA GALE A. DEFINICJA, WYBRANE WŁASNOŚCI Standardowa n produktowa przestrzeń produkcyjna Gale a Z (inaczej: zbiór technologiczny) jest stożkiem wypukłym zawartym w, z wierzchołkiem w 0. Jego elementami są 2n-wymiarowe wektory 3, o których mówimy, że opisują dopuszczalne procesy produkcji w gospodarce Gale a; x nazywamy wektorem zużycia (nakładów), y wektorem produkcji (wyników). Zapis oznacza, że w gospodarce, której technologię opisuje przestrzeń produkcyjna Z, z wektora nakładów x możliwe jest wytworzenie wektora produkcji y. Procesy produkcji podporządkowane są następującym regułom: (G1) (warunek proporcjonalności nakładów i wyników), (G2) (warunek addytywności procesów produkcyjnych), (G3) (warunek braku rogu obfitości ), (G4) (możliwość marnotrawstwa nakładów), (G5) (możliwość marnotrawstwa mocy produkcyjnych), (G6) (domkniętość przestrzeni produkcyjnych). Zauważmy, że jeżeli oraz, to. Dalej interesują nas nietrywialne (niezerowe) procesy. Liczbę 3 Jeżeli a, b R n, to zapis a b oznacza, że dla każdego i zachodzi: a i b i. Pisząc a b rozumiemy, że a b oraz a b.

Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali 357 nazywamy wskaźnikiem technologicznej efektywności procesu. Funkcja α jest ciągła i dodatnio jednorodna stopnia 0 na. Stąd i z twierdzenia Weierstrassa o istnieniu maksimum funkcji ciągłej na zbiorze zwartym otrzymujemy wniosek, że istnieje rozwiązanie zadania gdzie (tutaj i dalej, (1) ). 4 Wobec dodatniej jednorodności stopnia 0 funkcji α rozwiązanie to jest określone z dokładnością do mnożenia przez dowolną stałą dodatnią (z dokładnością do struktury): jeżeli to także,. (2) Proces będący rozwiązaniem zadania (1) nazywamy optymalnym procesem produkcji w gospodarce Gale a. Liczbę α M nazywamy optymalnym wskaźnikiem technologicznej efektywności produkcji. Oznaczmy przez zbiór wszystkich optymalnych procesów produkcji:. O jego kształcie mówi poniższe twierdzenie. Twierdzenie 1. Przy założeniach (G1) (G6) zbiór Z opt jest stożkiem wypukłym nie zawierającym 0. Dowód. Weźmy dowolną parę optymalnych procesów, i = 1, 2, oraz takie liczby, że. Niech. Wówczas, czyli. (3) 4 Zob. np. Panek (2003, tw. 5.2). Zbiór jest zwarty. W twierdzeniu 5.2 zamiast niego mamy (też zwarty) zbiór ).

358 Emil Panek Z założenia, więc i wobec tego oraz skąd wnioskujemy, że:,. (4) Z (3), (4) otrzymujemy, zatem. Jeżeli, to wobec (G4), (G5) również oraz. Jednakowoż, bez dodatkowych warunków, o optymalnym wskaźniku technologicznej efektywności α M możemy jedynie powiedzieć, że jest nieujemny. Aby wykluczyć ten nierealistyczny przypadek zakładamy, że spełniony jest następujący postulat, który nazywamy warunkiem silnej regularności 5 : (G7) głoszący, że w optymalnych procesach produkcji wytwarzane są wszystkie towary. Oczywiście, wówczas α M > 0. Ponadto, z (G7), (G4) wynika, że istnieją takie procesy (x, y ) > 0, w których produkcja y jest (po wszystkich współrzędnych) α M wielokrotnością nakładów x :. (5) Weźmy dowolny proces produkcji z wektorem. O wektorze mówimy, że charakteryzuje strukturę produkcji w procesie (x,y). Oznaczamy przez S następujący zbiór wektorów struktury produkcji we wszystkich optymalnych procesach :. (6) W standardowym modelu Gale a zbiór ten redukuje się do punktu. O jego (niektórych) własnościach mówi kolejne twierdzenie. 5 Słabszą wersję tego warunku sformułujemy w punkcie 6.

Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali 359 Twierdzenie 2. Przy przyjętych założeniach zbiór S: (i) jest niepusty, zwarty i wypukły, (ii) zawiera wyłącznie wektory dodatnie. Dowód. (i) Zbiór S jest niepusty, gdyż istnieje rozwiązanie zadania (1). (Zwartość) Weźmy dowolny ciąg wektorów, i = 1, 2,,. Ponieważ i simpleks jest zbiorem zwartym, więc Niech. Wówczas.,. Jednocześnie oraz, więc. (Wypukłość) Weźmy dowolne wektory oraz liczby,. Pokażemy, że. Ponieważ, więc, i = 1, 2. Oczywiście,. Z (G1) oraz dodatniej jednorodności stopnia 0 funkcji α wynika, że, gdzie,, i = 1, 2. Stożek Z opt jest zbiorem wypukłym, więc oraz. Zatem. Zauważmy, że przy dowodzie zwartości i wypukłości zbioru S nie korzystamy z warunku (G7). (ii) Teza jest bezpośrednią konsekwencją warunku (G7).

360 Emil Panek 3. WIELOPASMOWA MAGISTRALA PRODUKCYJNA I RÓWNOWAGA VON NEUMANNA Weźmy dowolny wektor (optymalnej) struktury produkcji. W literaturze półprostą (7) nazywa się promieniem von Neumanna (lub magistralą produkcyjną), zob. Takayama (1985, rozdz. 7), Nikaido (1968, rozdz. IV). Zbiór (8) nazywamy wielopasmową magistralą produkcyjną w gospodarce Gale a. Magistralę wielopasmową N tworzy wiązka promieni (pojedynczych magistral) N S,. Zbiór S składa się z wszystkich unormowanych (do 1) wektorów charakteryzujących strukturę produkcji na wielopasmowej magistrali. Twierdzenie 3. Przestrzeń metryczna (N, ρ) z metryką oraz operacjami dodawania: i mnożenia przez skalar : jest zwarta i wypukła., Dowód. (Zwartość) Niech, i = 1, 2,,, tzn., i = 1, 2,,. Zbiór S jest zwarty, a odwzorowanie postaci ciągłe, więc przestrzeń metryczna (N, ρ) jest zwarta (jako ciągły obraz zbioru zwartego). (Wypukłość) Weźmy dowolne promienie oraz liczby, α + β = 1. Niech. Pokażemy, że. Jeżeli α = 0, to. Podobnie, jeżeli β = 0, to. Załóżmy, że α, β > 0. Wówczas:, gdyż.

Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali 361 Oznaczmy przez wektor cen towarów w gospodarce Gale a. Niech. Iloczyn przedstawia wartość nakładów, a wartość produkcji w procesie (x, y) (przy cenach p). Liczbę (tam gdzie ) nazywamy wskaźnikiem ekonomicznej efektywności procesu (x, y) (przy cenach p). Twierdzenie 4. Przy założeniach (G1) (G7) istnieje taki wektor cen, że oraz lub inaczej, (9), (10) (wszędzie gdzie funkcja jest określona) oraz dla wszystkich procesów. Dowód 6. Zbiór (9 ) (10 ) jest stożkiem wypukłym w R n (jako liniowy obraz stożka Z) nie zawierającym wektorów ujemnych. Istotnie, gdyby istniał taki proces, że, to znalazłaby się również taka liczba, że prawdziwa byłaby nierówność. Wówczas musiałby zachodzić także warunek: co jest oczywiście niemożliwe. Zbiór, 6 Dowód nawiązuje do tw. 5.4 z pracy Panek (2003); zob. także Panek (2015a, tw. 1).

362 Emil Panek też jest stożkiem wypukłym z wierzchołkiem w 0 (jako suma pary stożków) nadal nie zawierającym wektorów ujemnych (nie ma ich bowiem w żadnym ze zbiorów C, ) oraz. Natomiast do D należą wektory jednostkowe e i = (0,, 1,, 0)), i = 1, 2,, n. Z twierdzenia o hiperpłaszczyźnie oddzielającej wnioskujemy, że istnieje taki wektor, że. Ponieważ, i = 1, 2,, n, więc, i = 1, 2,, n. W szczególności czyli,, tzn. zachodzi warunek (9) (równoważnie (9 )). Jeżeli, wtedy, więc. Natomiast z (9), zważywszy na (G7) dostajemy:. Tym samym spełniony jest warunek (10) (równoważnie (10 )). Wektor p nazywamy wektorem cen von Neumanna. O każdej trójce spełniającej warunki (9) (10) mówimy, że tworzy (optymalny) stan równowagi von Neumanna 7. 4. DOPUSZCZALNE I STACJONARNE PROCESY WZROSTU Zakładamy czas skokowy, t = 1, 2,. Przez T = {0, 1,, t 1 }, t 1 < +, oznaczamy horyzont funkcjonowania gospodarki, jest wektorem 7 W równowadze neumannowskiej ceny oraz proces produkcji są określone z dokładnością do struktury (mnożenia przez stałą dodatnią). Dochodzi w niej do zrównania ekonomicznej efektywności produkcji z efektywnością technologiczną na maksymalnym możliwym do osiągnięcia przez gospodarkę poziomie.

Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali 363 nakładów (zużycia) towarów w okresie t, wektorem produkcji wytworzonej w tym okresie z nakładów x(t). O parze wektorów mówimy, że opisuje technologicznie dopuszczalny proces produkcji w okresie t. Gospodarka jest zamknięta w tym znaczeniu, że nakłady w okresie następnym, t + 1, pochodzą w niej wyłącznie z produkcji wytworzonej w okresie poprzednim t: co w myśl (G4) prowadzi do inkluzji:, t = 0, 1,, t 1 1,, t = 0, 1,, t 1 1. (11) Przez y 0 oznaczamy początkowy wektor produkcji:. (12) O ciągu wektorów spełniającym warunki (11) (12) mówimy, że opisuje (y 0, t 1 ) dopuszczalny proces wzrostu w gospodarce Gale a. Łatwo zauważyć, że przy przyjętych założeniach, dla dowolnego początkowego wektora produkcji, w każdym (dowolnej długości) horyzoncie T istnieją (y 0, t 1 ) dopuszczalne procesy wzrostu; zob. np. Panek (2003, lemat 5.1). Proces dopuszczalny szczególnej postaci, t = 0, 1,, t 1 (13) ( ) nazywamy stacjonarnym procesem wzrostu z tempem γ. Nie zawsze (nie dla każdego wektora ) istnieje stacjonarny proces wzrostu. Proces taki (z tempem γ > 0) istnieje, gdy zachodzi inkluzja. Przy założeniach (G1) (G7) w gospodarce Gale a istnieją stacjonarne procesy wzrostu z dowolnym tempem : Zauważmy, że. Stąd, wobec (G4), (G5) dostajemy:.,

364 Emil Panek co prowadzi do stacjonarnego procesu postaci (13) z tempem γ = αm i początkowym wektorem produkcji,. Nazywamy go optymalnym stacjonarnym procesem wzrostu w gospodarce Gale a. Optymalny stacjonarny proces postaci, t = 0, 1,, t 1 (z początkowym wektorem produkcji y ), biegnie po magistrali (promieniu) N S :, gdzie. Jego dowolna dodatnia λ wielokrotność też jest optymalnym stacjonarnym procesem (z początkowym wektorem produkcji λy ). Suma dwóch optymalnych stacjonarnych procesów, jest optymalnym stacjonarnym procesem wzrostu (z początkowym wektorem produkcji ). Reasumując, optymalne stacjonarne procesy wzrostu w gospodarce Gale a z wielopasmową magistralą tworzą stożek wypukły nie zawierający 0. Jak pisaliśmy na wstępie, w pracach z teorii magistral przyjmuje się zazwyczaj, że optymalny stacjonarny proces jest w gospodarce Gale a określony jednoznacznie z dokładnością do struktury (mnożenia przez stałą dodatnią), co skutkuje istnieniem dokładnie jednej magistrali N S (jednego promienia von Neumanna), a nie wiązki magistral N. Jednoznaczność promienia von Neumanna zapewnia następujący warunek 8 : jeżeli oraz, to (jeżeli struktura nakładów w jakimkolwiek dopuszczalnym procesie produkcji odbiega od jedynego wektora s struktury produkcji na magistrali, to efektywność ekonomiczna takiego procesu jest niższa od optymalnej). W konsekwencji mamy jednoelementowy zbiór S oraz jeden, określony z dokładnością o struktury, optymalny proces produkcji. Założenie o istnieniu w gospodarce tylko jednej magistrali nie ma uzasadnienia. Ponieważ nie można wykluczyć istnienia wielu optymalnych stacjonarnych ścieżek/ procesów wzrostu, dlatego dalej zakładamy, że w gospodarce Gale a może istnieć cała wiązka (pasmo) magistral N. W myśl twierdzeń 2, 3 zbiór S wektorów struktury produkcji we wszystkich optymalnych procesach produkcji oraz wielopasmowa magistrala N, złożona z wiązki promieni von Neumanna, są zwarte i wypukłe. Po wielopasmowej magistrali biegną wszystkie optymalne stacjonarne procesy wzrostu postaci, 8 Zob. np. Radner (1961), Nikaido (1968, rozdz. IV, par. 13).,, więc

Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali 365, t = 0, 1,, t 1 1, co pokazuje, że procesy takie wyróżniają się także najwyższą efektywnością ekonomiczną. Wprowadźmy następującą miarę odległości (kątowej) wektora od wielopasmowej magistrali (zbioru) N: Zakładamy, że. (G8) (efektywność ekonomiczna procesu leżącego poza wielopasmową magistralą jest niższa od optymalnej) lub równoważnie: (G8 ). Warunek (G8) nie wyklucza istnienia wielu magistral, tym samym występowania w równowadze von Neumanna wielu optymalnych procesów produkcji o różnej strukturze. Wszystkie wyróżnia też najwyższa efektywność ekonomiczna. Twierdzenie 5. Jeżeli zachodzą warunki (G1) (G8), to. Dowód 9. Zauważmy, że jeżeli proces spełnia warunki twierdzenia, to spełnia je także każdy proces λ(x, y) z liczbą λ > 0. Przy dowodzie wystarczy ograniczyć się do dopuszczalnych procesów produkcji (x, y) ze zbioru. Z definicji mamy, gdzie, lub inaczej:,. 9 Dowód jest (dostosowaną do specyfiki obecnego modelu) wersją lematu Radnera (1961). Odległość (kątową) wektora x od pojedynczej magistrali postaci w oryginalnym dowodzie Radnera zastępuje obecnie odległość wektora x od zbioru (wiązki) magistral N. Technika dowodzenia pozostaje bez zmian.

366 Emil Panek Ponieważ oraz zbiór S jest zwarty, więc. (14) Ustalmy dowolną liczbę ε > 0. Pokażemy, że zbiór V (ε) jest zwarty (ograniczony i domknięty w R 2n ). (Ograniczoność) Załóżmy, że,. Wobec tego, że wnioskujemy, iż. Wtedy, zgodnie z (G1), istnieje ciąg dopuszczalnych procesów, i = 1, 2,,, zatem istnieje podciąg zbieżny do granicy oraz. Przestrzeń produkcyjna Z jest zbiorem domkniętym w R 2n, więc, co przeczy jednak (G3). Tym samym V(ε) jest zbiorem ograniczonym. (Domkniętość) Niech będzie ciągiem procesów ze zbioru V(ε) zbieżnym do granicy. Wówczas oczywiście oraz. Pokażemy, że. Wobec ciągłości funkcji i zwartości zbioru S, zgodnie z (14): oraz. Wówczas. Zbiór V(ε) jest zatem domknięty w R 2n. Jest także ograniczony, więc jest zwarty. czyli W myśl (G8 ),.

Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali 367 Funkcja jest ciągła na V(ε) jako iloraz dwóch funkcji liniowych z niezerową funkcją w mianowniku (wszędzie na V(ε) mamy bowiem ), więc w myśl twierdzenia Weierstrassa istnieje rozwiązanie zadania Wówczas., (wystarczy przyjąć ) lub równoważnie:, c.n.d. 5. OPTYMALNE PROCESY WZROSTU. SŁABE TWIERDZENIE O WIELOPASMOWEJ MAGISTRALI Interesuje nas następujące zadanie maksymalizacji wartości produkcji mierzonej w cenach von Neumanna w końcowym okresie t 1 horyzontu T 10 : max p.w. (11) (12). Przy założeniach (G1) (G8) zadanie to ma rozwiązanie, które nazywamy optymalnym procesem wzrostu (trajektorią produkcji) w gospodarce Gale a, zob. np. Panek (2003, tw. 5.7). Kolejne twierdzenie (twierdzenie 6) mówi o specyficznej stabilności optymalnych procesów wzrostu w gospodarce Gale a w otoczeniu wielopasmowej magistrali N. Decydujemy się na przedstawienie jego dowodu, mimo że jest on wzorowany na dowodach podobnych twierdzeń w gospodarce Gale a z pojedynczą magistralą, przedstawionych przez autora, m.in. w pracach (2003, tw. 5.8; 2013, tw. 4). W szczegółach różni się na tyle istotnie, iż uznaliśmy jego przytoczenie za zasadne. 10 Tzw. zagadnienie wzrostu docelowego.

368 Emil Panek Twierdzenie 6 ( Słabe twierdzenie o magistrali). Jeżeli zachodzą warunki (G1) (G8) oraz istnieje taki dopuszczalny proces,, że, to dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje taka liczba naturalna k ε, że liczba okresów czasu, w których optymalny proces wzrostu spełnia warunek: (15) nie przekracza k ε. Liczba k ε nie zależy od długości horyzontu T. Dowód. Z definicji optymalnego procesu wzrostu, zgodnie z (9), mamy:, t = 0, 1,, t 1 1. (16) Załóżmy, że w okresach zachodzi warunek (15). Wówczas, w myśl twierdzenia 5 istnieje taka liczba, że Łącząc (16), (17) dostajemy:,. (17). (18) Z założenia istnieje dopuszczalny proces prowadzący w okresie do wielopasmowej magistrali N, zatem istnieje liczba σ > 0 i taki wektor, że oraz dopuszczalny jest proces postaci (19) utworzony ze sklejenia procesu i stacjonarnego procesu postaci (13) z tempem α M (dla ). Wówczas Z (18), (20) wynika nierówność:. (20), a stąd, po przekształceniach otrzymujemy:

Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali 369, (21) gdzie. W charakterze liczby k ε wystarczy wziąć najmniejszą liczbę naturalną większą od max. Twierdzenie orzeka, że jeżeli choćby jeden dopuszczalny proces wzrostu prowadzi ze stanu początkowego y 0 do wielopasmowej magistrali N, to w długich okresach czasu każdy optymalny proces wzrostu prawie zawsze przebiega w jej dowolnie bliskim otoczeniu (kątowym). 6. UOGÓLNIENIA Twierdzenie 4 o istnieniu optymalnego stanu równowagi von Neumanna pozostaje prawdziwe po zastąpieniu warunku silnej regularności (G7) następującym warunkiem słabej regularności gospodarki Gale a: (G7 ) dopuszczalny proces spełniający warunek:, t = 0, 1,, t s 1,. Mówi o tym twierdzenie 4. Każdy (unormowany do 1) wektor spełniający warunek (G7) jest dodatni (zob. twierdzenie 2(ii)), natomiast obecnie zbiór S może zawierać zarówno wektory dodatnie jak i półdodatnie (nieujemne i niezerowe) 11. Warunek (G7 ) jest równoważny z warunkiem głoszącym, że z każdego miejsca (punktu) wielopasmowej magistrali N pewien proces wzrostu w skończonym czasie t s prowadzi do dodatniego wektora produkcji y(t s ). Oczywiście, warunek ten jest słabszy od (G7), tzn. jeżeli zachodzi (G7), to zachodzi także (G7 ) (dla t s = 0). Twierdzenie 4. Przy założeniach (G1) (G6), (G7 ) zachodzą warunki (9) (10) (równoważnie (9 ) (10 )). Dowód warunku (9) nie zmienia się (przebiega analogicznie jak w twierdzeniu 4). Przechodząc do dowodu warunku (10) zauważmy, że wprawdzie przy założeniach 11 Odnosi się to rzecz jasna także do magistral, na których mogą obecnie znajdować się nie tylko dodatnie, ale również półdodatnie wektory produkcji. Zwracamy także uwagę, że po zastąpieniu warunku (G7) warunkiem (G7 ) zbiór S pozostaje zwarty; zob. dowód twierdzenia 2(i).

370 Emil Panek (G1) (G6) każdy optymalny proces produkcji spełnia nierówność i wobec tego, ale wektor produkcji y nie musi być dodatni. Z drugiej strony, w myśl (9), zatem każdy proces produkcji spełnia warunek:. (22) Wobec (9) i (G7 ) istnieje taki dopuszczalny proces, że, (23) gdzie, czyli (zważywszy na definicję zbioru S; zob. (6)):. Stąd i z (22) otrzymujemy warunek (10) (równoważnie (10 )). Słabe twierdzenie o magistrali (twierdzenie 6) zachowuje moc, gdy warunek (G7) zastąpimy słabszym warunkiem (G7 ). Co więcej, zastąpienie w warunku początkowym (14) półdodatniego wektora produkcji y 0 wektorem dodatnim zapewnia istnienie dopuszczalnego procesu prowadzącego do wielopasmowej magistrali N już w okresie. Słabe twierdzenie o magistrali przyjmuje wówczas postać następującą. Twierdzenie 6. Jeżeli gospodarka Gale a z dodatnim początkowym wektorem produkcji y 0 spełnia warunki (G1) (G6), (G7 ), (G8), to dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje taka liczba naturalna k, że liczba okresów czasu, w których optymalny proces wzrostu spełnia warunek (15) nie przekracza k. Liczba k nie zależy od długości horyzontu T. Dowód jest dosłownym powtórzeniem dowodu twierdzenia 6, z tym że obecnie dopuszczalny proces wzrostu przyjmuje postać następującą:

Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali 371 gdzie. Zamiast warunku (20) mamy 12 :. (20 ) W ten sposób zastąpienie warunku (G7) słabszym warunkiem (G7 ) znowu prowadzi do oszacowania (21) i zamyka dowód. Niech będzie ciągłą, wklęsłą, rosnącą i dodatnio jednorodną stopnia 1 społeczną funkcją użyteczności produkcji, spełniającą dodatkowo następujące warunki: (G9) (i), (ii) 13. Warunek (i) stanowi, że funkcję użyteczności można aproksymować (z góry) formą liniową (z wektorem tworzącym ap, gdzie a jest pewną liczbą dodatnią) 14. Zgodnie z (ii) produkcję na magistrali charakteryzuje dodatnia użyteczność. Rozwiązanie zadania max u (y (t 1 )) p.w. (11) (12) nazywamy optymalnym procesem wzrostu w gospodarce Gale a 15. Twierdzenie 7. Jeżeli zachodzą warunki (G1) (G9) oraz istnieje taki dopuszczalny proces,, że, to dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje taka liczba naturalna k, iż liczba okresów czasu, w których optymalny proces wzrostu spełnia warunek (15) nie przekracza k. Liczba k zależy od ε oraz nie zależy od długości horyzontu T. Dowód. Postępując analogicznie jak przy dowodzie twierdzenia 6 dochodzimy do warunku (18):. Stąd, wobec (G9), otrzymujemy ograniczenie górne (wartości funkcji użyteczności): 12 Parametry σ oraz α M są bowiem dodatnie oraz (zgodnie z (23)). 13 Jeżeli zachodzi warunek (G7), to (ii) można zastąpić równoważnym warunkiem: u(y) > 0 choćby dla jednego wektora y > 0. 14 Zob. np. Takayama (1985, rozdz. 7). Warunki takie spełniają np. dodatnio jednorodne stopnia 1 funkcje użyteczności typu Cobba-Douglasa i CES oraz funkcja Leontiefa-Koopmansa. 15 Przy przyjętych założeniach procesy takie istnieją dla dowolnego wektora początkowego i dowolnej długości (skończonego) horyzontu T.

372 Emil Panek, (24) gdzie a jest pewną liczbą dodatnią. Z drugiej strony, zważywszy na definicję optymalnego procesu wzrostu, własność (i), (ii) funkcji użyteczności (warunek (G9)) oraz konstrukcję dopuszczalnego procesu (zob. (19)), dochodzimy do ograniczenia dolnego:. (25) Z (24), (25) otrzymujemy nierówność:, co daje oszacowanie (21) liczby k, z tym że obecnie. Podobnie jak w twierdzeniu 6, w charakterze liczby k ε wystarczy wziąć najmniejszą liczbę naturalną większą od max, gdzie. Twierdzenie 7, podobnie jak twierdzenie 6, pozostaje prawdziwe, gdy warunek (G7) zastąpimy w nim warunkiem (G7 ). Jeżeli ponadto przyjmiemy, że początkowy wektor produkcji y 0 jest dodatni, wtedy dostajemy wersję słabego twierdzenia o magistrali podobną do twierdzenia 6. 7. UWAGI KOŃCOWE Przedstawione twierdzenia (6, 7) nawiązują do podobnych twierdzeń mówiących o własnościach optymalnych procesów wzrostu w gospodarce Gale a z pojedynczą magistralą produkcyjną (jednym promieniem von Neumanna) 16. W artykule uchylamy ten warunek i dopuszczamy istnienie w gospodarce Gale a zbioru magistral, złożonego ze zwartej wiązki promieni von Neumanna. Obydwa udowodnione twierdzenia o wielopasmowej magistrali należą do relatywnie najprostszej grupy tzw. słabych twierdzeń mówiących wprawdzie o zbieżności optymalnych procesów do magistrali, jednak bez wskazania okresów czasu, w których zbieżność taka zachodzi. Z tego punktu widzenia inspirujące i zachęcające do dalszych badań są tzw. silne oraz bardzo silne twierdzenia o wielopasmowej magistrali na gruncie modeli Neumanna-Gale a. 16 Zob. np. wspomniane wcześniej prace: Nikaido (1968, rozdz. IV, tw. 13.8), Panek (2003, rozdz. 5, tw. 5.8), Takayama (1985, rozdz. 7).

Gospodarka Gale a z wieloma magistralami. Słaby efekt magistrali 373 LITERATURA McKenzie L. W., (1976), Turnpike Theory, Econometrica, 44, 841 866. McKenzie L. W., (1998), Turnpikes, American Economic Review, 88 (2), 1 14. McKenzie L. W., (2005), Optimal Economic Growth, Turnpike Theorems and Comparative Dynamics, w: Arrow K. J., Intriligator M. D., (red.), Handbook of Mathematical Economics, ed. 2, vol. III, chapter 26, 1281 1355. Nikaido H., (1968), Convex Structures and Economic Theory, Acad. Press, New York. Panek E., (2003), Ekonomia matematyczna, Wydawnictwo AE, Poznań. Panek E., (2013), Słaby i bardzo silny efekt magistrali w niestacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną technologią, Przegląd Statystyczny, 60 (3), 291 303. Panek E., (2014), Niestacjonarna gospodarka Gale a z rosnącą efektywnością produkcji na magistrali, Przegląd Statystyczny, 61 (1), 5 14. Panek E., (2015a), Zakrzywiona magistrala w niestacjonarnej gospodarce Gale a. Część I, Przegląd Statystyczny, 62 (2), 149 163. Panek E., (2015b), Zakrzywiona magistrala w niestacjonarnej gospodarce Gale a. Część II, Przegląd Statystyczny, 62 (2), 349 360. Panek E., (2016), Silny efekt magistrali w modelu niestacjonarnej gospodarki z graniczną technologią, Przegląd Statystyczny, 63 (2), 109 121. Radner R., (1961), Paths of Economic Growth that are Optimal with Regard only to Final States: A Turnpike Theorem, Review of Economic Studies, 28 (2), 98 104. Takayama A., (1985), Mathematical Economics, Cambridge University Press, Cambridge. GOSPODARKA GALE A Z WIELOMA MAGISTRALAMI. SŁABY EFEKT MAGISTRALI Streszczenie W bogatej literaturze z teorii magistral zazwyczaj zakłada się, że wzorcowa ścieżka zwana magistralą do której w długich okresach czasu zbieżne są wszystkie optymalne procesy wzrostu, jest określona jednoznacznie. W modelu Gale a (w wersji stacjonarnej) jej obrazem geometrycznym jest półprosta w przestrzeni stanów gospodarki, zwana promieniem von Neumanna. W artykule uchylamy założenie jednoznaczności magistrali (promienia von Neumanna) i badamy zachowanie stacjonarnej gospodarki typu Gale a ze zwartą wiązką magistral, którą umownie nazywamy magistralą wielopasmową. Prezentujemy dowód kilku wariantów słabego twierdzenia o wielopasmowej magistrali w stacjonarnej gospodarce Gale a. Słowa kluczowe: model wzrostu Gale a, równowaga von Neumanna, warunek silnej (słabej) regularności, wielopasmowa magistrala produkcyjna, słaby efekt magistrali GALE S ECONOMY WITH MULTIPLE TURNPIKES. WEAK TURNPIKE EFFECT Abstract In the vast literature on turnpike theory it is generally assumed that the model path called the turnpike to which in a long time period all the optimal processes are convergent, is uniquely determined. Its geometric image in the Gale s model (in its stationary version) is a ray in the space of all states of

374 Emil Panek the economy. We call it von Neumann s ray. In this paper we evade the assumption of the uniqueness of this turnpike (von Neumann s ray) and study the behaviour of the stationary Gale s economy with the compact turnpikes bundle. We call it multilane turnpike. We present proofs for several variants of the weak multilane turnpike theorem in the stationary Gales economy. Keywords: Gale economy, von Neumann equilibrium, strong (weak) regularity condition, multilane production turnpike, weak turnpike theorem

PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LXIII ZESZYT 4 2016 ŁUKASZ LENART 1, MATEUSZ PIPIEŃ 2 KONCEPCJA WSTĘGOWEGO ZEGARA CYKLU KONIUNKTURALNEGO W UJĘCIU NIEPARAMETRYCZNYM 3 1. WPROWADZENIE Zegary cyklu koniunkturalnego są powszechnie stosowanym narzędziem w monitorowaniu i prezentacji aktualnej pozycji cyklicznej gospodarki. Narzędzie to jest z powodzeniem stosowane w wielu bankach centralnych oraz instytucjach, w których analiza aktualnej pozycji cyklu koniunkturalnego jest ważna w celu podjęcia optymalnych decyzji. Popularność zegara ma swe źródło w prostym w interpretacji sposobie wizualizacji zmian w cyklu koniunkturalnym, który odnosi się bezpośrednio do wykresu fazowego. Zegar jest stosowany między innymi przez EUROSTAT, sprawozdawczość statystyczną OECD, Statistics Netherlands, Statistisches Bundesamt Deutschland (patrz Abberger, Nierhaus, 2010) oraz wielu bankach centralnych. Podejście, które jest wykorzystywane w konstrukcji zegara cyklu opiera się w głównej mierze na analizie dynamiki wyodrębnionych wahań, które utożsamia się z wahaniami aktywności gospodarczej. Wnioski jakie są wynikiem obserwacji dynamiki zegara są jednak bardzo często obarczone dużą niepewnością wynikającą z przyjętej metodologii wyodrębnienia komponentu cyklicznego. Mechanizm zegara cyklu koniunkturalnego oparty jest bowiem w głównej mierze na dynamice wyodrębnionych wahań utożsamianych z wahaniami aktywności gospodarczej. Wszystkie kwestie jakie dotyczą poprawnego wyodrębnienia wahań cyklicznych przenoszą się zatem automatycznie na poprawną dynamikę zegara cyklu. Jednym z kluczowych problemów podczas wyodrębniania wahań utożsamianych z wahaniami aktywności gospodarczej na podstawie wskaźników makroekonomicznych jest dobór parametrów. Jeśli metodą wyodrębniania jest filtr pasmowo-przepustowy wtedy różne wartości parametrów metody mogą wpływać znacząco na otrzymane wyniki. W przypadku 1 Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, Wydział Finansów, Katedra Matematyki, ul. Rakowicka 27, 31-510 Kraków, Polska. 2 Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, Wydział Zarządzania, Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych, ul. Rakowicka 27, 31-510 Kraków, Polska, autor prowadzący korespondencję e-mail: eepipien@cyf-kr.edu.pl. 3 Badania finansowane przez Narodowe Centrum Nauki w ramach grantu OPUS, numer grantu DEC-2013/09/B/HS4/01945.

376 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień filtracji filtrem zaproponowanym przez Hodricka, Prescotta (1997) (w skrócie HP) kluczowy jest dobór parametru wygładzającego λ. Celem pracy jest uwzględnienie w metodzie wyodrębniania cyklu filtrem HP przedziału dla parametru λ, zamiast pojedynczej arbitralnej wartości. W ten sposób interpretacji podlega nie arbitralnie wyodrębniony cykl dla jednego parametru wygładzającego a znacznie szersze spektrum wahań cyklicznych. W oparciu o tak otrzymane spektrum wahań cyklicznych skonstruowano nieparametryczny zegar koniunkturalny (wahań cyklicznych) uwzględniający przedział parametrów w metodzie HP (tzw. wstęgowy zegar koniunkturalny). Wahania skonstruowanego zegara zdekomponowano na wahania fazy cyklu oraz wahania amplitudy cyklu. W analizie fazy wahań cyklicznych również uwzględniono przedział parametrów wygładzających, tworząc tzw. wstęgowy wykres fazy cyklu. W artkule przedstawiono też metodę ilustracji dwóch charakterystyk cykliczności, to jest fazy i amplitudy w sposób odseparowany. Wyodrębnienie fazy cyklu z pominięciem jego amplitudy może bowiem dostarczyć bardziej precyzyjnego określenia stanu koniunktury, bez wnikania w szczegóły dotyczące głębokości jej wahań. Wyniki empiryczne w ramach tego problemu wyraźnie wskazują na potrzebę określenia dodatkowo odrębnej fazy cyklu, zwaną przez autorów fazą neutralną. Rozdział 2 przedstawia ideę konstrukcji zegara cyklu koniunkturalnego opartego na jednowymiarowych realnym wskaźniku makroekonomicznym. W rozdziale 3 zaproponowano konstrukcję nieparametrycznego zegara cyklu koniunkturalnego zgodnie z równaniem modelu wprowadzonym w pracy Lenart, Pipień (2013). W części empirycznej rozdziału wskazano na wrażliwość dynamiki zegara dla PKB Polski na różne wartości parametru wygładzającego metody HP. Kolejny rozdział przedstawia metodologię odseparowania fazy od wahań cyklicznych na podstawie dynamiki wstęgowego zegara cyklu. W części empirycznej tego rozdziału proces fazy wyodrębniono dla wcześniej analizowanego wskaźnika PKB dla Polski oraz dla: Belgii, Czech, Estonii, Francji, Niemiec oraz Bułgarii, gdzie uwagę zwrócono na wrażliwość fazy na wartość parametru wygładzającego. W analizie tej rozważono okres o raczej niskiej aktywności gospodarczej (bez wyraźnych oznak poprawy lub pogorszenia koniunktury). 2. KONCEPCJA ZEGARA CYKLU KONIUNKTURALNEGO Zegar cyklu ilustruje cztery możliwe stany aktywności gospodarczej, zgodnie z przyjętymi w literaturze czterema fazami cyklu koniunkturalnego, to jest fazą ekspansji, spowolnienia, recesji oraz ożywienia. Naniesione na układzie współrzędnych punkty zegara, które opisują wartości poziomu cyklu odchyleń od trendu, oraz jego przyrostów wartości, tworzą trajektorię ruchu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Niech dla pewnego zaobserwowanego szeregu czasowego niech będzie wyodrębnionym cyklem odchyleń od długookresowego trendu. Zegar cyklu koniunkturalnego jest zbiorem punktów w R 2 postaci.

Koncepcja wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego w ujęciu nieparametrycznym 377 Przejście rozważanej trajektorii przez pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych wskazuje na okres poprawy koniunktury, z dodatnim wyhamowywanym tempem zmian cyklu odchyleń. Zbliżanie się trajektorii do drugiej ćwiartki układu współrzędnych wskazuje zaś na coraz słabszą dynamikę wzrostu aktywności. Prowadzi to do przejścia przez górny punkt zwrotny cyklu odchyleń i wejście trajektorii do drugiej ćwiartki układu współrzędnych. Następuje wtedy pogorszenie koniunktury, przy ujemnej stopie wzrostu cyklu odchyleń. Trzecia ćwiartka to kontynuacja okresu pogarszania się koniunktury, przy rosnącej stopie wzrostu cyklu odchyleń, jednak w dalszym ciągu ujemnej. Przejście z trzeciej do czwartej ćwiartki układu współrzędnych oznacza przejście przez tak zwany dolny punkt zwrotny cyklu odchyleń. W czwartej ćwiartce układu współrzędnych mamy do czynienia z okresem poprawy koniunktury, z dodatnią i rosnącą stopą wzrostu z cyklu odchyleń. W niniejszym artykule przedstawiono również podejście alternatywne, w którym, przy prezentacji pozycji cyklicznej na zegarze, wzięto pod uwagę także element trendu zjawiska. Przedstawiono zatem na osi poziomej pierwsze różnice łącznie trendu i cyklu odchyleń, zaś na osi pionowej wartości cyklu odchyleń. Wariant ten uwzględnia zatem (na osi poziomej) zmiany nie tylko wahań cyklicznych, lecz łączną dynamikę trendu i wahań cyklicznych. W konsekwencji punkty zegara w drugim wariancie są przesunięte w prawo w przypadku występowania trendu rosnącego oraz odpowiednio w lewo w stosunku do ścieżki pierwszego wariantu w przypadku obecności trendu odpowiednio malejącego. Pozycję cykliczną w przypadku obydwu wariantów wygodnie jest przedstawiać w kategoriach procentowych. Wariant 1 klasyczny na osi poziomej przedstawia przybliżone wartości procentowych miesięcznych zmian komponentu cyklicznego (cyklu odchyleń), czyli wielkości danej zmiennej, z pominięciem wahań sezonowych oraz trendu. W przypadku wariantu 2, na osi poziomej zaznaczono (przybliżone) procentowe zmiany miesięczne wielkości danej zmiennej, z pominięciem wahań sezonowych. Oś pionowa to (przybliżone) procentowe odchylenia wielkości danej zmiennej od linii trendu w danej chwili czasu. Analiza zmian w koniunkturze może bazować na łącznym modelowaniu wahań cyklicznych, sezonowych i ogólnej tendencji rozwojowej obserwowanego makroekonomicznego szeregu czasowego. Takie podejście stosowali Luginbuhl, de Vos (2003) sugerując, że It is generally acknowledged that the growth rate of output, the seasonal pattern, and the business cycle are best estimated simultaneously. Jednak powszechnie przyjęta w analizach wahań cyklicznych procedura polega na wyodrębnieniu w pierwszym kroku wahań utożsamianych z wahaniami aktywności gospodarczej, poprzez eliminację wahań sezonowych metodami parametrycznymi. W drugim kroku stosuje się metody filtracji filtrami pasmowo przepustowymi. Takie podejście nie jest spójne ze względu na zastosowanie w pierwszym kroku podejścia parametrycznego, zaś w drugim kroku (w sposób niezależny od estymacji w kroku pierwszym) podejścia alternatywnego. W następnej części zaprezentowano propozycję spójnej konstrukcji zegara cyklu koniunkturalnego w podejściu nieparametrycznym.

378 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień 3. ZASTOSOWANIE UJĘCIA NIEPARAMETRYCZNEGO W KONSTRUKCJI ZEGARA CYKLU KONIUNKTURALNEGO W celu zdefiniowania nieparametrycznego zegara cyklu koniunkturalnego należy wprowadzić równanie nieparametrycznego modelu opisującego dynamikę jednowymiarowego procesu makroekonomicznego. Równanie to zaczerpnięto z pracy Lenart, Pipień (2013), w której autorzy zaproponowali niestandardową metodę wnioskowania statystycznego o naturze wahań cyklicznych, sezonowych i trendu z możliwością interakcji tych komponentów. Niech będzie logarytmem naturalnym obserwowanego procesu makroekonomicznego. W równaniu modelu przyjmujemy, iż dla średniej procesu (bezwarunkowej wartości oczekiwanej) zachodzi:, gdzie g(t) jest funkcją prawie okresową postaci:, (1) zaś jest wielomianem stopnia p o zerowym wyrazie wolnym;. Nieznany zbiór można w naturalny sposób przedstawić jako:, (2) gdzie, dla T oznaczającego liczbę obserwacji w roku dla procesu P t (dane miesięczne lub kwartalne). Zbiór Ψ P,1 zawiera zatem częstotliwości odpowiadające wahaniom dłuższym niż 1,5 roku. Zbiór Ψ P,2 zawiera częstotliwości odpowiadające wahaniom sezonowym, tzn.. Zbiór Ψ P,3 jest zbiorem pozostałych częstotliwości, które nie są obiektem zainteresowania w tym artykule (np. częstotliwości korespondujące do efektu dni roboczych; patrz Ladiray, 2012). W celu wyodrębnienia wahań utożsamianych z wahaniami koniunkturalnymi zastosowano nieparametryczne podejście bazujące na filtracji. W celu osłabienia efektu wahań sezonowych zastosowano filtr scentrowanej średniej ruchomej 2xTMA. Działając tym operatorem otrzymujemy szereg czasowy dla którego: gdzie,,

Koncepcja wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego w ujęciu nieparametrycznym 379 zaś dla dowolnych całkowitoliczbowych wartości czasu t i przesunięcia k. Jak wykazano w pracy Lenart, Pipień (2013) zbiór Ψ P,1 jest niezmienniczy ze względu na zastosowanie filtra, zaś zbiór Ψ P,2 jest co najwyżej zbiorem jednoelementowym zawierającym częstotliwość równą zero. Wynika to z tego, iż funkcja bezwarunkowej wartości oczekiwanej szeregu czasowego ma postać, (3) gdzie oraz. Zatem szereg czasowy zawiera te same częstotliwości w zbiorze Ψ Y co szereg czasowy w zbiorze Ψ P, po odjęciu częstotliwości identyfikowanych z wahaniami sezonowymi. Dodatkowo, dla współczynników m P (ψ) oraz m Y (ψ) zachodzi zależność. (4) Dla współczynników oraz otrzymujemy =, dla k = p oraz k = p 1, co oznacza, że dla p = 0 oraz p = 1 współczynniki odpowiednich wielomianów nie ulegają zmianie. W przypadku zaś, gdy p = 2 może się zmieniać jedynie wyraz wolny wielomianu. W kolejnym kroku wyodrębniony zostanie komponent cykliczny przy użyciu filtra HP z parametrem wygładzającym λ > 0. Jeśli wielomian jest wielomianem stopnia co najwyżej czwartego wtedy dla wyodrębnionego procesu wahań cyklicznych mamy, gdzie, co oznacza iż zbiory te różnią się co najwyżej jedną częstotliwością równą zero oraz (patrz twierdzenie 1 w Dodatku). Zbiór Ψ P,1 jest zatem niezmienniczy ze względu na zastosowane nieparametrycznej metody filtracji. Oznacza to, że punkty zegara mające współrzędne mogą być interpretowane jako proces stochastyczny o prawie okresowej dwuwymiarowej funkcji wartości oczekiwanej. Rozważmy przykład, który zilustruje zasady działania powyższej konstrukcji. Na rysunkach 1 i 2 przestawiono zegary cyklu koniunkturalnego uzyskanego na podstawie szeregu czasowego PKB w Polsce (GDP and main components, Chain linked volumes, index 2005 = 100, NSA) dla dwóch różnych wartości parametru wygładzającego λ, odpowiadających granicznemu okresowi wahań odpowiednio 4 i pół roku oraz 8 lat. Dla każdego parametru λ przedstawiono cztery zegary (w ruchomym oknie 13 obserwacji w okresie od pierwszego kwartału 2008 r. do pierwszego kwartału 2014 r.).

380 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień Trajektorie umieszczone na zegarach należy odczytywać jako opis ruchu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Punkty zegara w drugim wariancie są wyraźnie przesunięte w prawą stronę i praktycznie dla wszystkich okien znajdują się po prawej stronie osi OY. Wskazuje to na dodatnie co do wartości miesięczne przyrosty analizowanego wskaźnika (z pominięciem wahań sezonowych). Wszystkie punkty zegara w wariancie 1 znajdujące się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych wskazują na występowanie fazy spowolnienia gospodarczego jednak z dodatnimi wartościami kwartalnych zmian (z pominięciem wahań sezonowych patrz wariant 2). Od Q1 2008 do Q1 2011 Od Q1 2009 do Q1 2012 Od Q1 2010 do Q1 2013 Od Q1 2011 do Q1 2014 Rysunek 1. Zegary cykli koniunkturalnych uzyskane na podstawie szeregu czasowego realnego PKB Polski parametr wygładzania λ odpowiada cyklowi 8 lat Źródło: opracowanie własne.

Koncepcja wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego w ujęciu nieparametrycznym 381 Od Q1 2008 do Q1 2011 Od Q1 2009 do Q1 2012 Od Q1 2010 do Q1 2013 Od Q1 2011 do Q1 2014 Rysunek 2. Zegary cykli koniunkturalnych uzyskane na podstawie szeregu czasowego realnego PKB Polski parametr wygładzania λ odpowiada cyklowi 4 i pół roku Źródło: opracowanie własne. Trajektorie wyznaczone przez punkty zegara zależą od wartości parametru wygładzającego metody HP. W przypadku czwartego z rozpatrywanych okresów (to jest dla okresu czasu od pierwszego kwartału 2011 do pierwszego kwartału 2014) ostatni punkt zegara znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, jeśli przyjmie się wartość parametru wygładzającego λ odpowiadającego cyklowi 4 i półrocznemu (rysunek 1). Natomiast dla wartości λ odpowiadającej cyklowi ośmioletniemu (rysunek 2) ostatni punkt zegara pozostaje nadal w czwartej ćwiartce. Oznacza to, że w pewnych szczególnych przypadkach badacz może mieć poważne kłopoty z precyzyjnym odczytaniem fazy cyklu w ramach analizowanej metody. Skoro w prawidłowym określeniu przebiegu trajektorii na zegarze kluczową rolę odgrywa wybór parametru wygładzającego λ, należy przyjrzeć się jego roli w stosowanym filtrze. Literatura nie podaje jednoznacznej odpowiedzi jaką wartość parametru wygładzania λ należy wybrać. Ogólne względy metodologiczne sugerują aby wartości parametru λ były różne dla danych o różnej częstotliwości obserwacji. Zmiana parametru λ wpływa na przebieg wyodrębnionej linii trendu w ten sposób, że im większa wartość parametru λ, tym uzyskana linia trendu jest gładsza, a przez to wyodrębnione wahania (będące różnicą pomiędzy danymi a wartościami z linii trendu) zawierają cykle

382 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień o większej długości. Algorytm doboru parametru wygładzającego λ w zależności od długości cykli będących obiektem zainteresowania zaprezentowano w pracy Maravall, del Rio (2001), gdzie przytoczono formułę na wartość parametru λ jako funkcję częstotliwości ω 0 postaci:. (5) Wartość ω 0 można interpretować jako dolną granicę częstotliwości będących obiektem zainteresowania. Przy ustalonej wartości ω 0, wyliczona na podstawie (5) wartość parametru λ może być interpretowana jako granica, dla której, po zastosowaniu filtra HP, wzmocnione zostaną wahania o częstotliwościach powyżej wartości ω 0. Osłabieniu zaś podlegać będą wahania o częstotliwościach poniżej wartości ω 0. Ta interpretacja bazuje na wykazaniu, że filtr HP można otrzymać jako szczególny przypadek filtra Butterwortha, Gómez (1999), Gómez (2001). Od Q1 2008 do Q1 2011 Od Q1 2009 do Q1 2012 Od Q1 2010 do Q1 2013 Od Q1 2011 do Q1 2014 Rysunek 3. Wstęgowe zegary cyklu koniunkturalnego uzyskane na podstawie szeregu czasowego realnego PKB Polski graniczne wartości parametru wygładzania λ min i λ max odpowiadają okresom 4 i pół roku oraz 8 lat Źródło: opracowanie własne.

Koncepcja wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego w ujęciu nieparametrycznym 383 Rezultaty analizy wrażliwości przebiegu trajektorii cyklu na zegarze można przedstawić w postaci całego pasma punktów, które będziemy nazywać zegarem wstęgowym cyklu koniunkturalnego. W proponowanym podejściu na zegarze nie jest prezentowana pojedyncza trajektoria a cała wiązka trajektorii, uzyskanych na podstawie wyboru różnych wartości parametru wygładzania, dla pewnych granicznych wartości λ min i λ max. Odpowiada to analizie filtru HP w przedziale odpowiadających parametrom λ częstości granicznych. Na rysunku 3 przedstawiono pasmo skonstruowane poprzez przyjęcie wartości parametru wygładzania λ w ten sposób, że przedział częstości granicznych odpowiada wahaniom nie krótszym niż 4 i pół roku i nie dłuższym niż 8 lat. Wybór częstotliwości granicznych jest w pewnym sensie arbitralny i ma w głównej mierze cel ilustracyjny. Dotychczasowe analizy autorów niniejszego opracowania w zakresie badań nad naturą cyklu koniunkturalnego w Polsce pokazują, że cykl ten może być opisany jako złożenie kilku komponentów cyklicznych o długości odpowiednio 2 lata, około czterech lat i 8 lat; por. Lenart, Pipień (2013), Lenart i inni (2016). Ten okołoczteroletni komponent jest interpretowany jako cykl produkcji. Widoczne na rysunku 3 pasma mają charakter regularny. Nie w każdym jednak okresie czasu ścieżki odpowiadające wahaniom granicznym 4 i pół roku oraz 8 lat wyznaczają obwiednię prezentowanej wstęgi. Dyskutowana forma prezentacji cykliczności na zegarze umożliwia przedstawienie w jakościowy sposób niepewności co do kształtowania się faz cyklu jak i ich czasów trwania. Wstęgowe zegary cyklu informują, iż w pewnych przypadkach analizy mogą nie dawać jednoznacznych konkluzji co do aktualnej fazy cyklu, zaś szerokość pasma może być interpretowana jako miara stopnia niepewności co do właściwego jej określenia. 4. WYODRĘBNIENIE FAZY I AMPLITUDY Podstawowe charakterystyki cyklu koniunkturalneg o to faza oraz amplituda. Problemem wartym podjęcia jest wypracowanie metody ilustracji tych dwóch charakterystyk w sposób odseparowany. Wyodrębnienie fazy cyklu z pominięciem jego amplitudy może bowiem dostarczyć bardziej precyzyjnego określenia stanu koniunktury, bez wnikania w szczegóły dotyczące głębokości jej wahań. W tym celu wprowadzimy pojęcie wykresu wstęgowego fazy. Niech będzie ustalona wartość parametru dla wstęgowego zegara cyklu. Sinus kąta jaki tworzy prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i dany punkt zegara, tj. (6) będziemy nazywać fazą cyklu koniunkturalnego. Zbiór punktów, gdzie będziemy nazywać wykresem wstęgowym fazy.

384 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień Od Q1 2008 do Q1 2011 Od Q1 2009 do Q1 2012 Od Q1 2010 do Q1 2013 Od Q1 2011 do Q1 2014 Rysunek 4. Wstęgowe wykresy fazy cyklu uzyskane na podstawie szeregu czasowego realnego PKB Polski graniczne wartości parametru wygładzania λ min i λ max odpowiadają okresom 4 i pół roku oraz 8 lat Źródło: opracowanie własne. Rysunek 4 przedstawia wykresy przebiegu faz cyklu, otrzymanych zgodnie z formułą (6). Wiązka wykresów fazy jest uzyskana, podobnie jak na rysunku 3, poprzez przyjęcie parametrów wygładzania odpowiadających okresowi cyklu od 4 i pół roku do 8 lat. Wykresy przedstawiają wartości funkcji sinus obliczanych dla kolejnych punktów zegara cyklu w ruchomym oknie obserwacji analogicznym do ilustracji zawartych na rysunkach 1 i 2. Przebiegi wykresów fazy nie zmieniają się zasadniczo wraz ze zmianami parametru wygładzania λ. Wstęgowy wykres przebiegu faz jest bardziej skoncentrowany na skali wartości niż analogiczny wykres wstęgowy zegarów; por. rysunek 3. Zatem odizolowanie informacji o samej fazie cyklu od amplitudy wahań powoduje, że określenie stanu koniunktury wydaje się łatwiejsze. Jedynie w przypadku analiz cykliczności w okresie od 1 kwartału 2011 do 1 kwartału 2014 znacznej niepewności podlega określenie fazy cyklu pod koniec próby, to jest w przypadku 4 kwartału 2013 i 1 kwartału 2014; por. rysunek 4, wykres (d). Ale i w tym przypadku odizolowanie fazy od amplitudy wahań, zgodnie z formułą (6), daje obraz bardziej czytelny od informacji zawartej na zegarze koniunktury. W przypadku 4 kwartału 2013 (obserwacja 12 na wykresie (d)) większość przebiegów, uzyskanych na podstawie wyboru poszczególnej wartości λ, wskazuje na fazę ożywienia po recesji, natomiast w znacznie mniejszej liczbie przypadków okres ten może być utożsamiany z fazą

Koncepcja wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego w ujęciu nieparametrycznym 385 ekspansji. W przypadku 1 kwartału 2014 (obserwacja 13 na wykresie (d)) określenie fazy cyklu jest trudne. Niemal w połowie przypadków wartości parametru λ punkt określający pozycję cykliczną wskazuje na fazę ożywienia a w drugiej połowie wartości na fazę ekspansji. Analogiczną sytuację, choć nie tak wyraźnie zaakcentowaną, ilustruje wykres (a) na rysunku 4. W przypadku 4 kwartału 2008 (obserwacja 4) dla większości przyjętych wartości parametru λ pozycja cykliczna w tym okresie powinna być określona jako recesja. Niektóre zaś wartości λ lokalizują trajektorię w obszarze wartości dodatnich, co może prowadzić do wniosku, że w badanym okresie czasu mamy do czynienia jeszcze z wyhamowaniem a nie z recesją. Belgia Czechy Estonia Francja Niemcy Bułgaria Rysunek 5. Wstęgowe zegary cyklu koniunkturalnego uzyskane na podstawie szeregów czasowych realnego PKB wybranych krajów europejskich graniczne wartości parametru wygładzania λ min i λ max odpowiadają okresom 4 i pół roku oraz 8 lat Źródło: opracowanie własne.

386 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień Określenie aktualnej fazy cyklu na podstawie analizy zegarów cykli koniunkturalnych może nie zawsze być łatwe i precyzyjne. Na rysunku 5 przedstawiono kolejne przykłady zegarów cykli o silnie zróżnicowanej czytelności. Cykliczność koniunktury określono w okresie od pierwszego kwartału 2003 do pierwszego kwartału 2006 w przypadku Belgii, Czech, Estonii, Francji, Niemiec i Bułgarii. Okres ten był dla większości gospodarek europejskich okresem o stosunkowo niskiej aktywności gospodarczej, w odniesieniu do innych okresów, bez oznak wyraźnego ożywienia bądź recesji. Taki stan gospodarki, polegający na wybiciu z naturalnego rytmu faz sprawia, iż niepewność co do określenia perspektyw rozwojowych jest duża. Na zegarze cyklu stan ten jest identyfikowany w przypadku, gdy punkty zegara znajdują się blisko początku układu współrzędnych. Na przykład w pierwszym i drugim kwartale 2003 roku dla Estonii wartości cyklu odchyleń oraz przyrosty wartości są bliskie zera. Dodatkowo, w przypadku przyjęcia różnych wartości parametru λ punkty te znajdują się w różnych ćwiartkach układu współrzędnych. Podobnie, precyzyjne określenie fazy cyklu w przypadku Bułgarii może przysparzać sporo kłopotów. Oznacza to, że dla pełnego obrazu konieczne jest zdefiniowanie odrębnej fazy cyklu, którą będziemy nazywać fazą neutralną. Niech będzie wyodrębnionym cyklem odchyleń dla pewnego λ. Wtedy będziemy mówić o okresie fazy neutralnej jeśli jednocześnie wartości cyklu odchyleń C t, λ oraz przyrosty wartości tego cyklu C t, λ C t 1, λ będą bliskie zera, tj.:, (7) gdzie a,b > 0 są odpowiednio progami dla wartości cyklu odchyleń oraz różnic C t, λ C t 1, λ. Niskie wartości C t,1 świadczą o rozwoju w tempie bliskim potencjału zaś niskie wartości C t, λ C t 1, λ świadczą o tym, iż odstępstwa od potencjału nie są duże. Dobór parametrów a oraz b powinien zależeć od własności procesu cyklicznego C t, λ, jednak nie jest przedmiotem naszych rozważań. Nierówność, spełniają punkty (x,y) które leżą wewnątrz elipsy o półosiach a oraz b. Rezultaty odseparowania informacji o fazie cyklu od amplitudy, uzyskane w przypadku analizowanych sześciu krajów, zawarto na rysunku 6. Podobnie jak na rysunku 4, przedmiotem analiz jest przebieg faz cyklu otrzymanych według formuły (6). Wiązkę wykresów uzyskano poprzez przyjęcie parametrów wygładzania odpowiadających okresowi cyklu od 4 i pół roku do 8 lat. Odizolowanie informacji o samej fazie cyklu od amplitudy wahań nie powoduje tak znaczącej poprawy w precyzyjnym określeniu stanu koniunktury analizowanych krajów, jak w przypadku Polski; por. rysunek 4. Szczególnie, określenie faz ożywienia i ekspansji, które występują w różnych okre-

Koncepcja wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego w ujęciu nieparametrycznym 387 sach czasu dla poszczególnych krajów, jest obarczone dużą niepewnością. Dla Belgii i Czech fazy spowolnienia i recesji są określone precyzyjnie i przebieg komponentu cyklicznego, z pominięciem informacji o amplitudzie, prawie nie zmienia się w tych przypadkach, wraz ze zmianami wartości parametru wygładzania. W przypadku Estonii, Francji, Niemiec i Bułgarii określenie fazy cyklu w większości kwartałów jest niemożliwe. Komponent cykliczny z pominięciem informacji o amplitudzie jest bardzo wrażliwy na zmiany wartości parametru wygładzania i może wskazywać zarówno na ożywienie, jaki i na recesję. Belgia Czechy Estonia Francja Niemcy Bułgaria Rysunek 6. Wstęgowe wykresy fazy cyklu uzyskane na podstawie szeregu czasowego realnego PKB wybranych krajów europejskich graniczne wartości parametru wygładzania λ min i λ max odpowiadają okresom 4 i pół roku oraz 8 lat Źródło: opracowanie własne.

388 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień 5. PODSUMOWANIE W pracy przedstawiono konstrukcję wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego (bazującego n a jednowymiarowym realnym wskaźniku makroekonomicznym) z uwzględnieniem przedziału dla parametru wygładzającego metody filtracji. Przyjęcie takiej koncepcji zegara powoduje, iż interpretacji podlega całe spektrum punktów zegara a nie tylko pojedyncza ścieżka. W celu trafniejszego opisu aktualnej pozycji cyklicznej na zegarze cyklu przedstawiono prosty sposób odseparowania fazy cyklu od amplitudy. Również ta konstrukcja uwzględnia przedział parametrów wygładzających metody filtracji HP. Przykłady analizy danych empirycznych w pracy mają charakter ilustracyjny i ich analiza koncentrowała się bardziej na wskazaniu użyteczności skonstruowanych narzędzi niż na weryfikacji ewentualnych hipotez badawczych dla analizowanych gospodarek i okresów. Praca wskazuje, iż skonstruowane narzędzia oparte na realnych wskaźnikach makroekonomicznych mogą być pomocne w badaniach nad naturą cykli koniunkturalnych. Wstęgowe zegary cyklu informują, iż w pewnych przypadkach analizy mogą nie dawać jednoznacznych konkluzji co do aktualnej fazy cyklu. Szerokość pasma może być interpretowana jako miara stopnia niepewności co do właściwego jej określenia. Odizolowanie informacji o samej fazie cyklu od amplitudy wahań powoduje, że określenie stanu koniunktury wydaje się łatwiejsze. Dodatkowo takie podejście skłania do określenia alternatywnej fazy cyklu, którą autorzy proponują nazywać neutralną. LITERATURA Abberger K., Nierhaus W., (2010), IFO Business Cycle Clock: Circular Correlation with the Real GDP, CESifo Working Paper Series No. 3179. Gómez V., (1999), Three Equivalent Methods for Filtering Finite Nonstationary Time Series, Journal of Business and Economic Statistics, 17 (1), 109 117. Gómez V., (2001), The Use of Butterworth Filters for Trend and Cycle Estimation in Economic Time Series, Journal of Business and Economic Statistics, 19 (3), 365 373. Hodrick R., Prescott E., (1997), Postwar U.S. Business Cycles: An Empirical Investigation, Journal of Money, Credit and Banking, 29, 1 16. Ladiray D., (2012), Theoretical and Real Trading-Day Frequencies, w: Bell W. R., Holan S. H., McErloy T. S., (red.), Economic Time Series: Modeling and Seasonality, 255 279. Lenart Ł., Pipień M., (2013), Almost Periodically Correlated Time Series in Business Fluctuations Analysis, Acta Physica Polonica A, 123 (3), 567 583. Lenart Ł., Mazur B., Pipień M., (2016), Statistical Analysis of Business Cycle Fluctuations in Poland Before and After the Crisis, Equilibrium. Quarterly Journal of Economics and Economic Policy (in press). Luginbuhl R., de Vos A., (2003), Seasonality and Markov Switching in an Unobserved Component Time Series Model, Empirical Economics, 28, 365 386.

Koncepcja wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego w ujęciu nieparametrycznym 389 DODATEK Twierdzenie 1. Jeśli f (t) jest wielomianem stopnia co najmniej czwartego, oraz jest operatorem trendu w filtrze HP, takim, że L k f (t) = f (t k) dla każdego, wtedy T (L) f (t) i f (t) różnią się co najwyżej o stałą. Dowód. Niech f (t) będzie wielomianem rzędu co najwyżej cztery, f (t) = at 4 + bt 3 + + ct 2 + dt + e. Wtedy wielomian w (t) = T (L) f (t) jest równoważny. (8) Rozważmy reprezentację w (t) = f (t) + z (t). Na jej podstawie otrzymujemy:. (9) Powyższe równanie funkcyjne ma rozwiązanie postaci z (t) = 24aλ. Skoro w (t) jest określony jednoznacznie, to z (t) jest funkcją stałą. KONCEPCJA WSTĘGOWEGO ZEGARA CYKLU KONIUNKTURALNEGO W UJĘCIU NIEPARAMETRYCZNYM Streszczenie W artykule omówiono propozycję uwzględnienia niepewności na zegarze cyklu koniunkturalnego. Stosowane podejście bazuje na reprezentacji wartości oczekiwanej realnych wskaźników makroekonomicznych jako sumy trendu i funkcji prawie okresowej w ramach równania nieparametrycznego. Ujmujemy w ten sposób łącznie dynamikę wahań koniunkturalnych, sezonowych, trendu i możliwej interakcji pomiędzy tymi komponentami. Poprzez zastosowanie nieparametrycznych metod filtracji, w celu eliminacji wahań sezonowych oraz trendu, uzyskano wartość pierwszego momentu punktów zegara jako poszczególne wartości funkcji prawie okresowej. Częstotliwości utożsamiane z wahaniami aktywności gospodarczej, jak również te, które charakteryzują dynamikę zegara cyklu, są niezmiennicze ze względu na stosowane metody filtracji. Słowa kluczowe: zegar cyklu koniunkturalnego, metody filtracyjne, procesy prawie okresowo skorelowane

390 Łukasz Lenart, Mateusz Pipień NONPARAMETRIC BAND BUSINESS CYCLE CLOCK Abstract We discuss representation of uncertainty in the business cycle clock. We propose approach utilising description of the unconditional mean of the process, applied for modelling dynamics of macroeconomic time series, as a trend component and almost period function in a non-parametric setting. We capture the dynamics over the business cycle, trend component and seasonal fluctuations and possible interactions between these features. A particular values of the almost periodic function are key for representation of the business cycle in a clock, expressing the dynamics according to phase diagram. The set of frequencies interpreted as a properties of the business fluctuations are invariant with respect to filtration methods applied in the procedure. Keywords: business cycle clock, filtration, almost periodically correlated processes

PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LXIII ZESZYT 4 2016 HENRYK GURGUL 1, PAWEŁ ZAJĄC 2 ZASTOSOWANIE MODELU PRZYSPIESZONEJ PORAŻKI DO ANALIZY PRZEŻYCIA MAŁOPOLSKICH PRZEDSIĘBIORSTW 1. WSTĘP Powstawanie i likwidacja przedsiębiorstw, jako nieodłączne elementy mechanizmu rynkowego, decydują o obrazie współczesnej gospodarki. W odpowiedzi na zmieniające się potrzeby rynku powstają nowe podmioty gospodarcze oraz upadają przedsiębiorstwa, które nie są w stanie sprostać konkurencji. Nowe jednostki gospodarcze, wprowadzając innowacje, stają się motorem rozwoju gospodarczego, a jednocześnie są przyczyną upadku podmiotów, które nie nadążają za postępem. Likwidacja przedsiębiorstw pełni rolę katalizatora, oczyszcza rynek z nieefektywnych jednostek i tworzy miejsce dla nowych. Selekcja wśród przedsiębiorstw w dużej mierze kształtuje rozwój gospodarki regionu i całego kraju. Ze względu na decydujące znaczenie kondycji przedsiębiorstw dla szeroko pojętego rozwoju gospodarczego regionu (poziom zatrudnienia, wzrost gospodarczy, konkurencyjność gospodarki) ścisłe określenie czynników oddziałujących na nie zarówno w krótkim, jak i długim okresie jest istotnym problemem stojącym przed badaczami. W publikacjach teoretycznych i empirycznych stosuje się podział czynników wpływających na powstawanie, rozwój i przeżywalność przedsiębiorstw na czynniki endogeniczne i egzogeniczne. Wśród czynników endogenicznych wyróżnia się najczęściej bodźce finansowe, które związane są z odpowiednim finansowaniem aktywów i utrzymaniem płynności finansowej, a także czynniki menedżerskie, związane z podejmowaniem trafnych decyzji oraz przyjmowaniem właściwych postaw przez zarządzającego przedsiębiorstwem menedżera. Wśród czynników endogenicznych można wymienić ponadto wiek przedsiębiorstwa, jego wielkość, rodzaj prowadzonej działalności gospodarczej i region, w którym firma operuje. Czynniki egzogeniczne podzielić można na czynniki branżowe oraz na czynniki ogólnoekonomiczne (w szczególności makroekonomiczne), dotyczące całego kraju. Wyróżnić tutaj można poziom konkurencji, koszty pracy, kurs walutowy, kapitał ludzki, zamożność społeczeństwa, wysokość inflacji, 1 AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Zarządzania, Samodzielna Pracownia Zastosowań Matematyki w Ekonomii, Al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, Polska, autor prowadzący korespondencję e-mail: henryk.gurgul@gmail.com. 2 AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Zarządzania, Samodzielna Pracownia Zastosowań Matematyki w Ekonomii, Al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, Polska.

392 Henryk Gurgul, Paweł Zając dostępność kredytów, poziom biurokracji, stabilność przepisów, wysokość podatków, postęp technologiczny. Nie bez znaczenia pozostaje również pomoc finansowa ze środków Funduszy Europejskich oraz pomoc instytucji wspierania biznesu w regionie. W rzeczywistości często zdarza się, że czynniki zewnętrzne stymulują te wewnętrzne, w równej mierze dotyczy to zarówno rozwoju jak i upadłości przedsiębiorstw. Tematyką demografii przedsiębiorstw w Polsce zajmowały się m.in. Ptak- -Chmielewska (2010) i Markowicz (2012). W swoich badaniach korzystały one z narzędzi analizy czasu trwania, w tym z tablic trwania, estymatora Kaplana-Meiera, modelu Coxa oraz modeli logitowych. Z modelem logitowym pracował również Pociecha (2012), przeanalizował on zalety i ograniczenia stosowalności modelu w badaniach bankructw w Polsce. Nehrebecka, Dzik (2013) wykorzystując regresję logistyczną analizowały wpływ indywidualnych danych bilansowych oraz danych z raportu dochodów polskich spółek na prawdopodobieństwo bankructwa polskich przedsiębiorstw. Przedmiotem niniejszego artykułu jest weryfikacja wpływu szeregu czynników mierzalnych na dynamikę populacji przedsiębiorstw w Małopolsce. Wykorzystanie metod analizy przeżycia, w tym w szczególności modelu przyspieszonej porażki, pozwoli sprecyzować, w jaki sposób czynniki związane z miejscem i rodzajem rozpoczęcia działalności gospodarczej wpływają na czas jej trwania. 2. PRZEGLĄD LITERATURY Powody skłaniające ludzi do rozpoczynania działalności gospodarczej mogą być bardzo zróżnicowane. Według van Praag (1996) decyzja o założeniu firmy jest pochodną chęci i możliwości. Opisując chęci wskazuje ona bardziej szczegółowo na indywidualne preferencje uzależnione od posiadanych cech charakteru przedsiębiorcy. Chęci zależą również w znacznej mierze od występowania opcji alternatywnych i ich atrakcyjności w oczach potencjalnego przedsiębiorcy. Mówiąc o możliwościach, badaczka wskazuje na czynniki mikroekonomiczne, np. dostępność kapitału początkowego, i makroekonomiczne, związane z ogólną koniunkturą gospodarczą. W sposób naturalny koniunkturę gospodarczą w regionie można łączyć z rynkiem pracy. Już Knight (1921) twierdził, że człowiek ma trzy wyjścia, może być bezrobotny, może zostać pracownikiem najemnym, albo może się sam zatrudnić. W związku z tym decyzja o założeniu działalności gospodarczej wynika z prostej kalkulacji zysków i strat płynących z wyboru poszczególnych ścieżek. Można zatem na czynniki rozwoju przedsiębiorczości spojrzeć w ten sposób, że determinantą decyzji o uruchomieniu własnego przedsiębiorstwa jest zmniejszenie atrakcyjności alternatyw, czyli zredukowanie świadczeń przysługujących bezrobotnym lub spadek atrakcyjności pracy na stanowisku najemnym, wynikający np. ze wzrostu konkurencji spowodowanego wzrostem bezrobocia. Decyzja o założeniu działalności gospodarczej jest silnie uzależniona od czynników geograficznych (Armington, Acs, 2002). Fritsch (1997) twierdzi, że powstanie

Zastosowanie modelu przyspieszonej porażki do analizy przeżycia małopolskich przedsiębiorstw 393 nawet połowy nowych przedsiębiorstw można wyjaśnić jedynie za pomocą wskaźników struktury przemysłu w regionie. W związku z tym konieczne jest w jego opinii uwzględnienie zarówno regionu, jak i branży wśród determinant wyjaśniających podjęcie decyzji o uruchomieniu i ewentualnie likwidacji przedsiębiorstwa. Niezwykle ważna teoria, skupiająca się m.in. na opisie procesu powstawania przedsiębiorstw, została przedstawiona przez Jovanovica (1982). Według tej teorii proces ten jest w dużej mierze przypadkowy. Przypadkowość ta wynika z faktu, że zakładając nową firmę przedsiębiorca nie jest w stanie ocenić szans na jej przetrwanie, a nawet nie jest w stanie właściwie określić swoich kompetencji menedżerskich. Decyzja o pozostaniu na rynku lub o zakończeniu działalności wynika z konfrontacji niejasnych, mglistych oczekiwań przedsiębiorcy dotyczących działalności firmy z rzeczywistością. Gerosky (1995) zwraca uwagę na to, że liczba nowych firm zależy od spodziewanych zysków w branży, ale zależność ta uwidacznia się dopiero od pewnego poziomu zysków. Do jego ciekawych spostrzeżeń należy zaliczyć to, że bariery rozpoczynania działalności gospodarczej są w praktyce barierami przetrwania na rynku i to właśnie nimi powinni zająć się badacze. Teoria cyklu życia przedsiębiorstwa w swojej naturze nawiązuje do nauk biologicznych. Występuje tutaj analogia pomiędzy przedsiębiorstwami i organizmami żywymi, jeśli chodzi o ich fazy życia narodziny, etap wzrostu, następnie stabilizacji, po której ewentualnie następuje starzenie się i śmierć. W nurcie nawiązującym do teorii biologicznych, a także teorii twórczej destrukcji Schumpetera (1999) mieści się praca Gurgula i inni (2014), w której za pomocą równania różniczkowego cząstkowego typu von Foerstera opisana jest dynamika powstawania i upadłości przedsiębiorstw niemieckich. Za pomocą tego modelu autorzy podjęli próbę prognozy liczby zlikwidowanych przedsiębiorstw i liczby przedsiębiorstw, które zostaną utworzone. Literatura przedmiotu dotycząca cyklu życia przedsiębiorstw jest bogata. Levie, Lichtenstein (2010) twierdzą, że opublikowano już ponad 100 różnych modeli fazowych rozwoju przedsiębiorstwa. Liczba faz w tego typu modelach bywa różna, według nich waha się od trzech (np. Smith i inni, 1985) do jedenastu (np. Bruce, 1976). Prusak (2011) analizował cykl życia przedsiębiorstwa pod kątem jego upadłości. Zaproponował schemat opisujący typowy przebieg cyklu życia, uwzględniający zmianę wartości przedsiębiorstwa, który składa się z czterech faz (Prusak, 2011, s. 52): założenie przedsiębiorstwa, zgromadzenie odpowiednich zasobów i rozpoczęcie działalności w wyniku sprzedaży produktów czy świadczenia usług, wzrost przedsiębiorstwa, stabilizacja w działalności przedsiębiorstwa, kryzys prowadzący do upadku przedsiębiorstwa lub kryzys będący etapem pośrednim w dalszym wzroście firmy. Wyjątkowy charakter w modelu Prusaka ma faza pierwsza, która jako jedyna pojawia się tylko raz zaraz po rozpoczęciu działalności gospodarczej. Z kolei czwarta faza cyklu (kryzys) prowadzić może do likwidacji przedsiębiorstwa lub do powrotu

394 Henryk Gurgul, Paweł Zając do fazy drugiej (wzrost). W szczególności oznacza to, że zaproponowany przez niego model nie ma charakteru skończonego. W modelu Greinera (1972) przyszłość przedsiębiorstwa jest zdeterminowana głównie jego historią, a nie czynnikami zewnętrznymi. W jego modelu rozwój firmy ma miejsce wskutek następujących naprzemiennie procesów ewolucji i rewolucji. Fazy ewolucji charakteryzuje stopniowy i zrównoważony wzrost, natomiast fazy rewolucji cechują się występowaniem wstrząsów i ogólnego zamieszania. Fazy rozwoju są mocno od siebie uzależnione i determinują się nawzajem. Podczas kryzysów w przedsiębiorstwie muszą zajść zmiany o charakterze organizacyjnym, które w myśl powiedzenia co cię nie zabije, to cię wzmocni przyczyniają się do jego rozwoju. Z drugiej strony brak odpowiedniego dostosowania się i wprowadzenia zmian w odpowiedzi na pojawiające się kryzysy skutkować może stagnacją i ewentualnie upadłością. Według Greinera, Schein (1988) sprawność przedsiębiorstwa w początkowej fazie jego istnienia, wynika ze zdolności i kreatywności menedżera/właściciela. Dalsze ulepszenia wynikają już z problemów, na jakie organizacja napotyka w następnych etapach swojego istnienia i sposobów ich przezwyciężenia, co jest warunkiem jej przetrwania. Jeśli zarząd nie zauważy w porę tych problemów, to wcześniej czy później dochodzi do upadku tego przedsiębiorstwa. W warunkach niepewności, w których podejmuje się działania, w niezwykle szybko zmieniającym się otoczeniu, przy pojawiających się ciągle nowych problemach i zadaniach, cykl życia przedsiębiorstw w niezmienionej formie ulega w obecnej rzeczywistości gospodarczej znacznemu skróceniu. Oznacza to, że ma miejsce szybka eliminacja podmiotów, które trwają przy starych, niekonkurencyjnych już rozwiązaniach. Brak zmian wewnątrz przedsiębiorstwa prowadzi z upływem czasu do jego całkowitego upadku. Te zagadnienia są także przedmiotem rozważań Handy ego (1996), który jest autorem tzw. esowatej krzywej. Sednem jego tezy jest stwierdzenie, że przedsiębiorcy jeszcze w okresie prosperity powinni przygotowywać firmę na czas kryzysu, wywołując sztucznie objawy kryzysu i podejmując środki zaradcze. Choć firma na krótką metę wskutek tych sztucznych bodźców osłabia się, to jednak zmiany w odpowiedzi na wywołany kryzys na dłuższą metę wzmacniają i uodparniają tę firmę. Jest to efekt podobny do efektu szczepień ochronnych. 3. MODEL PRZYSPIESZONEJ PORAŻKI Model przyspieszonej porażki (skrót AFT od ang. accelerated failure time) należy do grupy tzw. modeli parametrycznych. Istotą tych modeli jest założenie o znajomości postaci analitycznej funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu zmiennej losowej opisującej długość czasu trwania. Współczesne badania (Zając, 2013; Agarwal i inni, 2002; Cefis, Marsili, 2005) wskazują, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa likwidacji przedsiębiorstw oraz związana z nią funkcja hazardu 3 nie są monotoniczne, 3 Funkcja hazardu opisuje warunkową gęstość rozkładu długości czasu trwania przedsiębiorstwa w chwili t. Warunkiem jest założenie, że przedsiębiorstwo nadal istnieje w chwili t.

Zastosowanie modelu przyspieszonej porażki do analizy przeżycia małopolskich przedsiębiorstw 395 a ich kształt przypomina odwróconą literę U. Ryzyko likwidacji firmy na początku wzrasta, by po osiągnięciu maksymalnego poziomu po kilku latach zmniejszyć się. W szczególności obserwuje się, że tradycyjne przedsiębiorstwa są najmniej narażone na ryzyko likwidacji 4. Jovanovic (1982) argumentuje to faktem, że firmy potrzebują czasu, by nauczyć się w jaki sposób wykorzystywać szanse dające możliwość przetrwania i potencjalnego rozwoju. W związku z tym w prowadzonych badaniach empirycznych uwaga została zwrócona w kierunku U-kształtnych funkcji hazardu. Głównym pomysłem, na którym oparte są modele przyspieszonej porażki, jest założenie, że zmienne egzogeniczne wpływają na długość czasu trwania. Oznacza to, że w wyniku oddziaływania zmiennych objaśniających funkcja przeżycia jest rozciągana (skracana) horyzontalnie. Własność rozciągania można zapisać jako zależność pomiędzy funkcjami przeżycia 5 dla dwóch różnych populacji S 1 (t) i S 2 (t). Model AFT zakłada bowiem, że istnieje stała ψ taka, że dla każdego t 6 :. (1) Klasycznym przykładem, pozwalającym zrozumieć opisaną tutaj zależność, jest przykład długości życia człowieka i psa. Przyjmuje się, że rok życia psa przekłada się na siedem lat życia człowieka, w związku z tym w tym przykładzie ψ = 7. Można zatem powiedzieć, że szansa na to by pies dożył 10 lat, jest taka jak szansa, by człowiek dożył 70 lat. Podobnie średnia długość życia psa jest siedem razy krótsza niż człowieka itp. W sposób naturalny przyjmuje się, że wartość stałej ψ jest uzależniona od wartości zmiennych egzogenicznych. Zapisanie wzoru (1) z wykorzystaniem bazowej funkcji przeżycia daje zależność:. (2) W praktyce do szacowania właściwych parametrów modelu AFT wykorzystuje się zależność opisaną równaniem:, (3) gdzie t oznacza czas, X T jest macierzą zmiennych egzogenicznych, β to wektor parametrów modelu, natomiast μ jest składnikiem losowym. Składnik losowy ma formę zmiennej losowej ε pomnożonej przez skalującą ją stałą c. Rozkład zmiennej losowej ε jest powiązany z wybraną postacią funkcji gęstości prawdopodobieństwa likwidacji. 4 Niektórzy wyciągają z tego wniosek, że podmioty powstałe w okresie rozkwitu gospodarczego mają największe szanse na przetrwanie na rynku (Gerosky i inni, 2010). 5 Funkcja przeżycia (inaczej nazywana funkcją dożycia lub funkcją trwania) opisuje prawdopodobieństwo, że przedsiębiorstwo nie zostanie zlikwidowane do chwili t. 6 Wzory (1) (11) zostały zaczerpnięte z Landmesser (2013).

396 Henryk Gurgul, Paweł Zając Umieszczenie obu stron równania (3) jako wykładników funkcji ekspotencjalnej, a następnie podzielenie równania stronami prowadzi do zależności:. (4) Przyjmując oznaczenie, wzór (4) przybiera postać:. (5) Przy takich oznaczeniach współczynnik ψ standardowo nazywany jest parametrem przyśpieszającym (ang. acceleration parameter). Parametr ten jest stałą, o ile tylko zmienne egzogeniczne nie zmieniają się w czasie. Można powiedzieć, że czas biegnie szybciej dla obserwacji, dla których odpowiadające im ψ jest większe od jednostki (i analogicznie wolniej, gdy ψ < 1). Równanie (5) pozwala zrozumieć sposób parametryzacji przyjmowany przez praktyków. Niech τ oznacza czas trwania dla całej populacji, którego szybkość upływu jest traktowana jako norma i niech τ = tψ. Wtedy założenie, że ε jest zmienną losową prowadzi do wniosku, że podobnie jest z τ. Co więcej, jeżeli przykładowo ε ma rozkład normalny, to τ ma rozkład logarytmiczno-normalny 7. Możliwe jest również zapisanie modelu AFT z wykorzystaniem funkcji hazardu. Wzór na warunkową funkcję hazardu w zależności od bazowej funkcji hazardu (czyli funkcji hazardu dla całej populacji), który będzie zgodny ze wzorem na funkcję przeżycia (2), przyjmuje wtedy postać:. (6) W celu dokonania właściwej interpretacji parametrów modelu, można chwilowo przyjąć, że dwie obserwacje o odpowiadających im wektorach X i i X j różnią się o jednostkę wartością zmiennych objaśniających na pojedynczej współrzędnej o indeksie p. Wówczas relację czasów trwania (ang. time ratio) dla tych obserwacji wyrazić można jako:. (7) Z powyższego wzoru wynika, że obliczona wartość e βp oznacza (przy założeniu ceteris paribus), ile razy zwiększyłby się średni czas trwania (długość życia) obserwowanego podmiotu, gdyby opisująca go zmienna objaśniająca x p wzrosła o jednostkę. 7 Równanie (3) jest zapisane w postaci liniowej, jednak ze względu na występowanie obserwacji cenzurowanych, nie jest możliwe szacowanie parametrów modelu klasyczną metodą najmniejszych kwadratów.

Zastosowanie modelu przyspieszonej porażki do analizy przeżycia małopolskich przedsiębiorstw 397 W badaniach empirycznych przeprowadzonych na potrzeby niniejszej pracy wykorzystane zostały trzy warianty modelu przyspieszonej porażki. W szczególności są to: model logarytmiczno-normalny, model log-logistyczny i uogólniony model gamma. Zanim przejdziemy do opisu danych i estymacji omówionych modeli zwrócimy uwagę na zjawisko heterogeniczności podmiotów gospodarczych i jego uwzględnienie w modelach hazardu. 4. MODELE HAZARDU UWZGLĘDNIAJĄCE HETEROGENICZNOŚĆ Tworząc probabilistyczny model hazardu, warto zwrócić uwagę na fakt, że poszczególne podmioty często nie spełniają założenia o homogeniczności, a funkcja hazardu dla populacji jest kombinacją hazardów indywidualnych jednostek (por. Gutierrez, 2002; Landmesser, 2013). Modele takie nazywa się modelami hazardu z heterogenicznością lub modelami z efektem frailty 8. Różnice w wartościach funkcji hazardu dla poszczególnych obserwacji mogą mieć różnorakie źródła. Po pierwsze, mogą one wynikać z indywidualnych cech jednostek składających się na badaną zbiorowość. Różnice tego rodzaju w przypadku badania długości istnienia podmiotów gospodarki narodowej na rynku mogą być spowodowane jakością zarządzania firmą lub w przypadku niewielkich firm cechami charakteru właściciela. Drugą przyczyną występowania efektu frailty może być brak uwzględnienia wszystkich istotnych zmiennych egzogenicznych, które wpływają na funkcję hazardu. Trzecim powodem może być zbyt szybka likwidacja podmiotów znajdujących się w grupie wysokiego ryzyka lub istnienie podmiotów, o których można powiedzieć, że będą zawsze istnieć 9. Brak próby uwzględnienia wpływu indywidualnych cech badanych podmiotów jest uważany za poważne niedociągnięcie, które może prowadzić do pozornych wniosków (Hougaard, 1984). Powszechnie przyjętym sposobem uwzględnienia efektu frailty w analizie przeżycia jest koncepcja modelu statystycznego, zawierającego dodatkowy efekt losowy przypisany każdej z obserwowanych jednostek, wpływający multiplikatywnie na długość okresu jej trwania (ang. time-to-event). Efekt ten można zatem traktować jako pewne uogólnienie dla parametrycznych modeli hazardu. Zmienność czasu trwania jest podzielona na część wyjaśnioną przez dostępne zmienne egzogeniczne i na pozostałą część. To właśnie ta druga część jest modelowana z wykorzystaniem losowego efektu frailty. Przewagą takiego podejścia przy znanym rozkładzie zmiennej losowej fraility jest otrzymanie warunkowej niezależności długości czasu trwania podmiotów. Niech α i oznacza efekt frailty związany z obserwacją o numerze i. Ponadto niech efekt ten oddziałuje multiplikatywnie na funkcję hazardu dla i-tej obserwacji: 8 Ang. frailty słabość, wątłość, niedociągnięcie, niedoskonałość, słabostka. W literaturze przedmiotu pojęcie nie jest zwykle tłumaczone na język polski, pojęcie po raz pierwszy wprowadzone w Vaupel i inni (1979). 9 W tym sensie, że nie będzie możliwe zaobserwowanie ich likwidacji w rozsądnym/obserwowalnym przedziale czasowym.

398 Henryk Gurgul, Paweł Zając. (8) Przyjmuje się, że α i jest realizacją zmiennej losowej α, która spełnia kilka założeń technicznych. Zmienna losowa jest niezależna zarówno od czasu t, jak i od wybranych zmiennych egzogenicznych. Dodatkowo jej realizacje są zawsze dodatnie i średnio nie wpływają na długość życia populacji (E(α) = 1). Zakłada się ponadto, że jej wariancja jest skończona i oznaczona jako θ (σ 2 (α) = θ < ). Można zatem zapisać, że:. (9) Warunkową funkcję przeżycia można teraz obliczyć, korzystając z (9) i (6):. (10) Ponieważ efekt frailty nie jest w praktyce obserwowalny, to funkcję przeżycia uzależnia się od parametrów rozkładu α, w szczególności od wariancji θ. Funkcję przeżycia, która zależy już nie od α, ale od wariancji α, otrzymuje się jako wartość oczekiwaną warunkowej funkcji przeżycia względem α, czyli wykorzystując (10) otrzymujemy:, (11) gdzie przez g(α) rozumie się gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej α. W badaniach przeprowadzonych na potrzeby niniejszego artykułu przeanalizowane zostały warianty, w których efekt frailty był opisany rozkładem gamma i odwróconym rozkładem normalnym (skrót NIG od ang. normal inverse Gaussian) 10. Estymację parametrów modelu przeprowadza się z wykorzystaniem metody największej wiarygodności. Aby sprawdzić, czy w modelu występuje efekt heterogeniczności, należy wyestymować parametry modelu uwzględniającego heterogeniczność, a następnie sprawdzić testem ilorazu wiarygodności Lagrange a (lub testem Walda), czy estymator wariancji efektu frailty θ jest statystycznie istotnie różny od zera. Zanim przejdziemy do estymacji przedstawimy wykorzystane w pracy dane. 5. DANE STATYSTYCZNE Analiza empiryczna przeprowadzona w artykule bazuje na danych otrzymanych z Wojewódzkiego Urzędu Statystycznego w Krakowie. W szczególności na zbiór danych składają się informacje na temat wszystkich podmiotów gospodarki narodowej rejestrujących się w bazie REGON oraz podmioty wyrejestrowane z niej między 1 stycznia 2006 a 31 sierpnia 2014 w województwie małopolskim. W badanym okresie zarejestrowano łącznie 267 755 podmiotów gospodarki narodowej. 10 Postać rozkładów przyjęta za Gutierrez (2002).

Zastosowanie modelu przyspieszonej porażki do analizy przeżycia małopolskich przedsiębiorstw 399 Specyfika posiadanego zbioru danych wymusza wykorzystanie tzw. obserwacji cenzurowanych prawostronnie. Przez obserwacje tego typu rozumie się w tym przypadku te dotyczące podmiotów gospodarki narodowej, które zostały zlikwidowane po 31 sierpnia 2014 lub nadal prowadzą działalność gospodarczą. Brak informacji na temat podmiotów gospodarki narodowej, które powstały przed analizowanym okresem i jednocześnie nie zakończyły działalności w czasie jego trwania, wymusił konkretny sposób uporządkowania zbioru danych. Dane posortowano w taki sposób, by wszystkie obserwowane podmioty rozpoczęły działalność w jednym, ustalonym momencie. Są one następnie obserwowane do momentu likwidacji lub do ostatniego dnia badania. W szczególności warto zauważyć, że prowadzi to do sytuacji, gdzie data cenzurowania jest najczęściej różna dla poszczególnych przedsiębiorstw. Dla każdego z podmiotów możliwe jest wskazanie deklarowanej początkowej liczby pracowników (należy do jednej z pięciu grup: 0 9, 10 49, 50 249, 250 999, 1000 i więcej pracowników), sekcja PKD do której podmiot należy (PKD2004 i/lub PKD2007 11 ) oraz miejsce prowadzenia działalności (powiat i rozróżnienie czy podmiot zarejestrowany jest w mieście czy na wsi). Wykorzystanie tego typu danych na potrzeby modelu AFT wymaga wprowadzenia szeregu zmiennych dychotomicznych. W szczególności należy jednak pamiętać by poszczególne grupy otrzymane w ramach klastrów nie były zbyt małe. W związku z tym autorzy postanowili usunąć z badania przedsiębiorstwa deklarujące zatrudnienie ponad 250 pracowników (było ich zaledwie 16) oraz te należące do sekcji T 12 (jedynie 2) i U 13 (łącznie 6). Szczegółową listę pozostałych zmiennych zero-jedynkowych zamieszczono w tabeli 1 14. Zmienne objaśniające wykorzystane w analizie parametrycznej Tabela 1. Nazwa zmiennej Opis zmiennej, w nawiasie procent obserwacji, których dana wartość dotyczy Mikro Dla deklarowanego zatrudnienia 0 9 pracowników (98,7%) Małe Dla deklarowanego zatrudnienia 10 49 pracowników (1,2%) Średnie Dla deklarowanego zatrudnienia 50 249 pracowników (0,1%) Nazwa zmiennej Opis zmiennej, w nawiasie procent obserwacji, których dana wartość dotyczy p 1 powiat bocheński (2,5%) p 2 powiat brzeski (2,0%) p 3 powiat chrzanowski (3,0%) 11 W celu poprawy czytelności wyników autorzy zdecydowali się (tam gdzie to było konieczne) przekonwertować symbol PKD2004 do jego odpowiednika w PKD2007. W tym celu wykorzystano klucz powiązań publikowany przez GUS. 12 Sekcja T oznacza gospodarstwa domowe zatrudniające pracowników; gospodarstwa domowe produkujące wyroby i świadczące usługi na własne potrzeby. 13 Sekcja U oznacza organizacje i zespoły eksterytorialne. 14 W odczuciu autorów wykorzystanie tak dużej liczby zmiennych dychotomicznych jest uzasadnione wielkością posiadanego zbioru danych.

400 Henryk Gurgul, Paweł Zając Nazwa zmiennej A Opis zmiennej, w nawiasie procent obserwacji, których dana wartość dotyczy Rolnictwo, leśnictwo, łowiectwo i rybactwo (0,7%) Nazwa zmiennej Opis zmiennej, w nawiasie procent obserwacji, których dana wartość dotyczy p 4 powiat dąbrowski (1,0%) B Górnictwo i wydobywanie (0,1%) p 5 powiat gorlicki (2,8%) C Przetwórstwo przemysłowe (7,8%) p 6 powiat krakowski (7,5%) D E Wytwarzanie i zaopatrywanie w energię elektryczną, gaz, parę wodną, gorącą wodę i powietrze do układów klimatyzacyjnych (0,2%) Dostawa wody; gospodarowanie ściekami i odpadami oraz działalność związana z rekultywacją (0,3%) p 7 powiat limanowski (3,4%) p 8 powiat miechowski (1,0%) F Budownictwo (17,8%) p 9 powiat myślenicki (3,3%) G Handel hurtowy i detaliczny; naprawa p 10 powiat nowosądecki (5,5%) pojazdów samochodowych, włączając motocykle (24,5%) H Transport i gospodarka magazynowa (5,4%) p 11 powiat nowotarski (5,1%) I Działalność związana z zakwaterowaniem p 12 powiat olkuski (2,8%) i usługami gastronomicznymi (4,5%) J Informacja i komunikacja (3,8%) p 13 powiat oświęcimski (3,6%) K Działalność finansowa i ubezpieczeniowa p 14 powiat proszowicki (0,8%) (3,8%) L Działalność związana z obsługą rynku p 15 powiat suski (1,9%) nieruchomości (2,2%) M Działalność profesjonalna, naukowa p 16 powiat tarnowski (3,9%) i techniczna (9,0%) N Działalność w zakresie usług p 17 powiat tatrzański (2,7%) administrowania i działalność wspierająca (4,2%) O Administracja publiczna i obrona p 18 powiat wadowicki (3,9%) narodowa; obowiązkowe zabezpieczenia społeczne (0,04%) P Edukacja (3,5%) p 19 powiat wielicki (3,6%) Q Opieka zdrowotna i pomoc społeczna p 61 miasto Kraków (33,1%) (4,4%) R Działalność związana z kulturą, rozrywką p 62 miasto Nowy Sącz (3,1%) i rekreacją (1,8%) S Pozostała działalność usługowa (6,1%) p 63 miasto Tarnów (3,4%) Miasto Dla podmiotów zarejestrowanych w miastach (61,0%) Źródło: opracowanie własne, na podstawie danych uzyskanych z Urzędu Statystycznego w Krakowie. Tabela 1. (cd.)

Zastosowanie modelu przyspieszonej porażki do analizy przeżycia małopolskich przedsiębiorstw 401 Przed przystąpieniem do właściwej analizy parametrycznej należy uświadomić sobie występowanie ścisłej współliniowości wśród zdefiniowanych w tabeli 1 zmiennych. Współliniowość ta bierze się z faktu, że każda z obserwacji musi przynależeć do jednaj z klas wielkości, mieć przypisany kod odpowiadającej jej sekcji PKD oraz należeć do jednego z powiatów województwa. Zapisanie tego spostrzeżenia za pomocą aparatu matematycznego prowadzi do zależności: (12) Sytuacja ta wymusza wskazanie jednego z klastrów jako punktu odniesienia dla pozostałych. Jako kryterium wybrano do tego celu wielkość poszczególnych podgrup. Punktem odniesienia są więc mikroprzedsiębiorstwa, których główna działalność gospodarcza wskazuje na ich przynależność do sekcji F, zarejestrowane w Krakowie. Korzystając z zaprezentowanych danych wykonano estymację omówionych wcześniej modeli. Jej wyniki są zamieszczone w następnym rozdziale. 6. WYNIKI ESTYMACJI MODELI PRZYSPIESZONEJ PORAŻKI AFT W niniejszym artykule rozważane są trzy zasadnicze typy modeli AFT model logarytmiczno-normalny, model log-logistyczny i uogólniony model gamma. Aby wybrać wersję modelu, która będzie najlepiej pasować do danych, wykorzystano kryterium informacyjne Akaike (AIC) i kryterium bayesowskie Schwarza (BIC). Rezultaty estymacji zostały zamieszczone w tabeli 2. Można zauważy, że zarówno kryterium AIC jak i kryterium BIC wskazują na model log-logistyczny jako na ten, który jest najlepiej odpowiada danym empirycznym. W związku z tym dla modelu log-logistycznego uwzględnione zostało występowanie efektu frailty. Efekt ten został przebadany w dwóch wersjach. W pierwszej efekt frailty ma rozkład gamma, a w drugiej odwrócony rozkład normalny NIG. Wartości kryteriów informacyjnych w obu przypadkach są do siebie mocno zbliżone, ale oba wskazują na rozkład gamma jako lepiej pasujący do danych. Analizując wyniki, warto zwrócić uwagę na podobne wartości parametrów otrzymane dla poszczególnych zmiennych we wszystkich wyestymowanych wersjach modelu AFT. Nie licząc dwóch wyjątków, parametry są statystycznie istotnie różne od zera, brak istotności dotyczy zmiennych p 17 (powiat tatrzański) i p 19 (powiat wielicki). Dla tych dwóch powiatów można przyjąć, że średni czas przeżycia podmiotów gospodarki narodowej jest niemal taki sam jak w Krakowie.

402 Henryk Gurgul, Paweł Zając Wyniki estymacji modeli przyspieszonej porażki AFT Tabela 2. Zmienna Model logistyczno- -normalny Uogólniony model gamma Model Log-logistyczny Bez efektu frailty NIG Gamma Małe -0,929 *** -0,963 *** -0,963 *** -0,961 *** -0,960 *** Średnie -1,848 *** -1,804 *** -1,768 *** -1,761 *** -1,760 *** A -0,311 *** -0,414 *** -0,396 *** -0,385 *** -0,383 *** B -0,931 *** -0,937 *** -0,918 *** -0,912 *** -0,911 *** C -0,217 *** -0,199 *** -0,192 *** -0,191 *** -0,190 *** D -0,433 *** -0,484 *** -0,452 *** -0,439 *** -0,437 *** E -0,283 *** -0,356 *** -0,335 *** -0,325 *** -0,326 *** G -0,177 *** -0,130 *** -0,151 *** -0,157 *** -0,158 *** H -0,112 *** -0,048 *** -0,076 *** -0,086 *** -0,088 *** I -0,224 *** -0,119 *** -0,154 *** -0,168 *** -0,170 *** J -0,475 *** -0,434 *** -0,420 *** -0,418 *** -0,417 *** K -0,464 *** -0,361 *** -0,401 *** -0,413 *** -0,414 *** L -0,478 *** -0,491 *** -0,472 *** -0,466 *** -0,465 *** M -0,646 *** -0,619 *** -0,605 *** -0,602 *** -0,601 *** N -0,284 *** -0,301 *** -0,272 *** -0,262 *** -0,261 *** O -0,957 *** -1,063 *** -1,043 *** -1,032 *** -1,031 *** P -0,485 *** -0,498 *** -0,481 *** -0,475 *** -0,474 *** Q -0,749 *** -0,793 *** -0,778 *** -0,772 *** -0,771 *** R -0,346 *** -0,362 *** -0,338 *** -0,330 *** -0,329 *** S -0,143 *** -0,212 *** -0,178 *** -0,165 *** -0,163 *** p 1-0,046 *** -0,056 *** -0,057 *** -0,057 *** -0,057 *** p 2-0,165 *** -0,161 *** -0,168 *** -0,169 *** -0,169 *** p 3-0,150 *** -0,157 *** -0,162 *** -0,162 *** -0,162 *** p 4-0,287 *** -0,295 *** -0,312 *** -0,314 *** -0,314 *** p 5-0,237 *** -0,240 *** -0,242 *** -0,242 *** -0,241 *** p 6-0,054 *** -0,042 *** -0,046 *** -0,047 *** -0,047 *** p 7-0,296 *** -0,303 *** -0,310 *** -0,310 *** -0,310 ***

Zastosowanie modelu przyspieszonej porażki do analizy przeżycia małopolskich przedsiębiorstw 403 Zmienna Model logistyczno- -normalny Uogólniony model gamma Model Log-logistyczny Bez efektu frailty NIG Gamma p 8-0,144 *** -0,147 *** -0,156 *** -0,157 *** -0,157 *** p 9-0,054 *** -0,074 *** -0,078 *** -0,078 *** -0,078 *** p 10-0,247 *** -0,239 *** -0,245 *** -0,246 *** -0,246 *** p 11-0,471 *** -0,412 *** -0,449 *** -0,460 *** -0,461 *** p 12-0,131 *** -0,152 *** -0,151 *** -0,150 *** -0,149 *** p 13-0,074 *** -0,080 *** -0,079 *** -0,078 *** -0,078 *** p 14-0,085 *** -0,085 *** -0,087 *** -0,088 *** -0,088 *** p 15-0,130 *** -0,127 *** -0,133 *** -0,135 *** -0,135 *** p 16-0,170 *** -0,170 *** -0,176 *** -0,178 *** -0,178 *** p 17-0,007 *** -0,008 *** -0,001 *** -0,003 *** -0,003 *** p 18-0,157 *** -0,146 *** -0,159 *** -0,163 *** -0,163 *** p 19-0,031 *** -0,019 *** -0,022 *** -0,023 *** -0,023 *** p 62-0,291 *** -0,286 *** -0,287 *** -0,286 *** -0,286 *** p 63-0,282 *** -0,270 *** -0,276 *** -0,278 *** -0,278 *** Miasto -0,081 *** -0,079 *** -0,085 *** -0,086 *** -0,087 *** const -7,861 *** -8,006 *** -7,744 *** -7,707 *** -7,703 *** σ = 1,617 σ = 1,172 κ = 0,675 γ = 0,844 γ = 0,826 θ = 0,124 γ = 0,824 θ = 0,133 Loglik AIC BIC -244686,1-489460,2-489921,3-242277,2-484889,0-485360,6-242008,8-484105,7-484566,8-241989,7-484069,4-484541,1-241987,0-484064,3-484535,9 Oznaczenia: *** poziom istotności 1%; ** poziom istotności 5%; * poziom istotności 10%. Źródło: opracowanie własne. LR = 38,26 *** LR = 43,40 *** Jako przykład właściwej interpretacji otrzymanej wartości parametrów posłuży zmienna Małe, która przyjmuje wartość 1 dla podmiotów deklarujących zatrudnienie od 10 do 49 pracowników i 0 w przeciwnym przypadku. Parametr otrzymany dla tej zmiennej jest dodatni, co oznacza, że czas trwania dla przedsiębiorstw należących do tej grupy jest średnio dłuższy niż dla mikroprzedsiębiorstw (0 9 pracowników) traktowanych w tym przypadku jako punkt odniesienia. Wartość przyjmowana przez parametr wynosi 0,963, w związku z tym firmy małe istnieją średnio 2,6 (e 0,963 = 2,620)

404 Henryk Gurgul, Paweł Zając razy dłużej niż mikroprzedsiębiorstwa. Ujemne wartości wyestymowanego parametru interpretuje się w ten sposób, że czas trwania dla podmiotów należących do danej podgrupy jest krótszy niż dla tych będących punktem odniesienia. Jeżeli wartość parametru jest równa zero, to czas trwania jest równy temu bazowemu. Punktem odniesienia w analizie są podmioty mające między 0 a 9 pracowników, zarejestrowane w Krakowie w sekcji F. Oczekiwany czas trwania w rejestrze REGON dla podmiotów spełniających te warunki wynosi e 7,744 + 0,085 = 2512,416 dni (w potędze znajduje się stała i premia związana z faktem zarejestrowania w mieście). Ogólne wyniki zobrazowane zostaną graficznie. Jako pierwszy przeanalizowany zostanie podział ze względu na wielkość mierzoną deklarowaną liczbą pracowników (rysunek 1). Rysunek 1. Czas trwania względem wielkości bazowej dla podmiotów zarejestrowanych w bazie REGON podział ze względu na liczbę pracowników Źródło: opracowanie własne. Wyraźnie zauważalne jest wydłużanie się czasu przeżycia, które następuje wraz ze wzrostem liczby pracowników. Czas trwania firm małych jest ponad dwukrotnie dłuższy niż mikroprzedsiębiorstw, a z kolei czas trwania firm średnich jest ponad dwukrotnie większy niż firm małych. Podział ze względu na sekcję PKD jest również wyraźny (rysunek 2). Najkrótszy czas trwania przypada podmiotom gospodarki narodowej zarejestrowanym w sekcji K (działalność finansowa i ubezpieczeniowa). Czas trwania dla tej grupy jest o jedną trzecią krótszy od czasu trwania w największej sekcji F. Następnymi w kolejności są sekcje I, G oraz H. Najdłuższy czas trwania przypada (zgodnie z przewidywaniami) sekcji O (administracja), zaraz za nią znajduje się sekcja B (górnictwo). Czas trwania dla podmiotu zarejestrowanego w sekcji B jest 2,5 razy dłuższy niż dla firm z sekcji F. Czas trwania podmiotów gospodarki narodowej zarejestrowanych w sekcjach A, D, E, J, L, P i R jest porównywalny i o połowę dłuższy od czasu trwania podmiotów z sekcji F.

Zastosowanie modelu przyspieszonej porażki do analizy przeżycia małopolskich przedsiębiorstw 405 Rysunek 2. Czas trwania względem wielkości bazowej dla podmiotów zarejestrowanych w bazie REGON podział ze względu na sekcję PKD2007 Źródło: opracowanie własne. Rysunek 3. Czas trwania względem wielkości bazowej dla podmiotów zarejestrowanych w bazie REGON podział ze względu powiat, w którym podmiot został zarejestrowany Źródło: opracowanie własne.