Teoretyczne podstawy modelowania tsunami



Podobne dokumenty
Solitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych

Dynamika morza FALE Wykład 1


Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

ROZCHODZENIE SIĘ POWIERZCHNIOWYCH FAL LOVE A W FALOWODACH SPREśYSTYCH OBCIĄśONYCH NA POWIERZCHNI CIECZĄ LEPKĄ (NEWTONOWSKĄ)

Fizyka dla Informatyków Wykład 6 DRGANIA I FALE

IV. Transmisja. /~bezet

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:

Widmo fal elektromagnetycznych

Równania Maxwella. Wstęp E B H J D

Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16


Efekt Halla i konforemna teoria pola

Ośrodki dielektryczne optycznie nieliniowe

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

Spis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona

k + l 0 + k 2 k 2m 1 . (3) ) 2 v 1 = 2g (h h 0 ). (5) v 1 = m 1 m 1 + m 2 2g (h h0 ). (6) . (7) (m 1 + m 2 ) 2 h m ( 2 h h 0 k (m 1 + m 2 ) ω =

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych.

SEMINARIA DYPLOMOWE - studia II stopnia kierunek: informatyka i ekonometria oraz matematyka

Światło fala, czy strumień cząstek?

Problem Odwrotny rozchodzenia się fali Love'a w falowodach sprężystych obciążonych cieczą lepką

III. Opis falowy. /~bezet

Materiały pomocnicze 8 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Oddziaływanie promieniowania X z materią. Podstawowe mechanizmy

Metody rozwiązania równania Schrödingera

- Strumień mocy, który wpływa do obszaru ograniczonego powierzchnią A ( z minusem wpływa z plusem wypływa)

& ( )! ( + !! (#!! #, (#) % )! % % #. /

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych

Solitonowe rozwiązania nieliniowego równania Schrödingera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.

Pracownia Optyki Nieliniowej

Podstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] -częstotliwość.

Co to jest promieniowanie grawitacyjne? Szymon Charzyński KMMF UW

7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

WSTĘP DO OPTYKI FOURIEROWSKIEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów

CHARAKTERYSTYKA WIĄZKI GENEROWANEJ PRZEZ LASER

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Fale cz. 1. dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ 2012/13

Wykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

Konstrukcja biortogonalnych baz dyskryminacyjnych dla problemu klasyfikacji sygnałów. Wit Jakuczun

Spis treści. Wykaz ważniejszych oznaczeń. Przedmowa 15. Wprowadzenie Ruch falowy w ośrodku płynnym Pola akustyczne źródeł rzeczywistych

Płatew dachowa. Kombinacje przypadków obciążeń ustala się na podstawie wzoru. γ Gi G ki ) γ Q Q k. + γ Qi Q ki ψ ( i ) G ki - obciążenia stałe

Wykład 3 Ruch drgający Ruch falowy

Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

Czy umiemy mnożyć wektory?

9 Funkcje Użyteczności

Podstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera.

Spis treści. Wstęp 13. Część I. UKŁADY REDUKCJI DRGAŃ Wykaz oznaczeń 18. Literatura Wprowadzenie do części I 22

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

ANALIZA NUMERYCZNA PŁASZCZYZNY FAZOWEJ DLA FALI BIEGNĄCEJ W MATERIALE ZAHORSKIEGO

Tsunami. P. F. Góra. Kraków, 22 maja 2007

Rys. 1 Pole dyfrakcyjne obiektu wejściowego. Rys. 2 Obiekt quasi-periodyczny.

VI. Elementy techniki, lasery

Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień

Fale w przyrodzie - dźwięk

4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)

Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera

Wykład VI. Teoria pasmowa ciał stałych

WSTĘP DO ELEKTRONIKI

Wykład III. Teoria pasmowa ciał stałych


Systemy satelitarne Paweł Kułakowski

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski

Szczegółowy wgląd w proces chłodzenia jedno-wymiarowego gazu bozonów

(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa.

podsumowanie (E) E l Eds 0 V jds

Funkcja falowa i związek między gęstością mocy i funkcją falową to postulaty skalarnego modelu falowego światła.

Impulsy magnetostrykcyjne informacje podstawowe

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY Z PRAWA STOKESA

Fizyka mało znana. Modele a rzeczywistość

Dlaczego transmisja światłowodowa?

1. Po upływie jakiego czasu ciało drgające ruchem harmonicznym o okresie T = 8 s przebędzie drogę równą: a) całej amplitudzie b) czterem amplitudom?

Aerodynamika I. wykład 3: Ściśliwy opływ profilu. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa A E R O D Y N A M I K A I

Systemy. Krzysztof Patan

PODSUMOWANIE SPRAWDZIANU

f = 2 śr MODULACJE

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.

Politechnika Warszawska

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Fotonika. Plan: Wykład 11: Kryształy fotoniczne

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Informacje wstępne. Witamy serdecznie wszystkich uczestników na pierwszym etapie konkursu.

Atomy w zewnętrznym polu magnetycznym i elektrycznym

Wykład 17: Optyka falowa cz.1.

Aerodynamika I Podstawy nielepkich przepływów ściśliwych

Transkrypt:

Teoretyczne podstawy modelowania tsunami 04.04.2011 / Seminarium UJ

O czym będziemy mówić? Tsunami Tsunami - zjawisko przyrody Równania Stokesa Przybliżenia Solitony Odkrycie samotnej fali i równanie KdV Inne nieliniowe modele Literatura

Zjawisko Tsunami jako zjawisko przyrody Tsunami to trzy fazy: Wytworzenie Propagacja Załamanie przy brzegu (powódź)

Zjawisko Generacja Głównie trzęsienia ziemi, rzadziej wybuchy wulkanów Teoria: Dynamika płyt tektonicznych

Zjawisko Propagacja Teoria: Ruch falowy

Zjawisko Run-up The Great Wave Off Kanagawa, Hokusai XIX w. Teoria: Metody numeryczne głównie

Zjawisko Występowanie i skutki 04 na Oceanie Indyjskim: 250 tys. ofiar 11 w Japonii: 20 tys. ofiar

Równania Stokesa Przybliżenia Równania Stokesa Stokes 1847 - wychodzimy z równań Eulera (nieściśliwa, nielepka ciecz): ρ t ( u ) ρ t + u u = + (ρu) = 0 (1) 0 0 ρg ρ = const u = 0 u = 0 u = φ p (2)

Równania Stokesa Przybliżenia Warunki brzegowe η (x,y,t) h(x,y,t) Z 100 0-100 -200-300 -400-500 -600 5 10-10 -5 0 X 5 10-10 -5 0 Y

Równania Stokesa Przybliżenia Równania 2 φ = 0 dla h(x, y) < z < η(x, y, t) φ (z + h(x, y)) = 0 dla z = h(x, y) t η + x η x φ + y η y φ = z φ dla z = η(x, y, t) t φ + 1 2 φ 2 + gη = 0 dla z = η(x, y, t) Laplace + 3 dynamiczne równania brzegowe... wygladaj a ciężko.

Równania Stokesa Przybliżenia Przybliżenie Wprowadzamy parametry: α = a d β = ( d λ ) 2 Gdzie: a amplituda, d głębokość zbiornika, λ długość fali. Antycypujemy też pewna prędkość fali v

Równania Stokesa Przybliżenia Za pomoca tych wielkości wprowadzamy zmienne bezwymiarowe: x λx, y λy, z dz, t λ v t η aη, h dh, φ gaλ v φ Przeskalowane równania: β(φ xx + φ yy ) + φ zz = 0 dla h(x, y) < z < η(x, y, t) β(φ x h x + φ y h y ) + φ z = 0 dla z = h(x, y) βη t + αβ(φ x η x + φ y η y ) = φ z dla z = αη(x, y, t) βφ t + 1 2 αβ(φ2 x + φ 2 y) + 1 2 αφ2 z + gη = 0 dla z = αη(x, y, t)

Równania Stokesa Przybliżenia Dla tsunami rozpatruje się przybliżenie α 0 (mała amplituda) i β 0 (płytki zbiornik). Zakładamy ruch wzdłuż x i stałość podłoża h(x, y) = d. Równania: φ z z(x, z, t) + φ x x(x, z, t) = 0 (3) φ z (x, z = d, t) = 0 (4) η t (x, z = 0, t) = ψ z (x, z = 0, t) (5) ψ t (x, z = 0, t) = gη(x, z = 0, t) (6) Poszukujemy rozwiazania periodycznego: Nie znamy k, ω ani A(z). φ(x, z, t) = A(z)e i(ωt kx) (7)

Równania Stokesa Przybliżenia Po rachunku otrzymujemy rozwiazania: η = ae i(ωt kx π 2 ) (8) ψ = ag cosh(k(d + z)) e i(ωt kx π 2 ) ω cosh(kd) (9) z (nieliniowa!) relacja dyspersji: ω 2 = gk tanh(kd) (10)

Równania Stokesa Przybliżenia Nawet tak prosty model ma nietrywialna zależność ω(k). Jednak przybliżymy konsekwentnie kd << 1 (z β 0): ω 2 = gdk 2 (11) Uzyskaliśmy stała zależność dyspersyjna - a posteriori mamy więc spełnione równanie falowe: η tt = v 2 η xx (12)

Równania Stokesa Przybliżenia Pierwsze przybliżenie - teoria liniowa Podsumowujac, w pierwszym przybliżeniu uzyskaliśmy teorię liniowa z relacja dyspersji: v = gd Taka teoria dobrze opisuje tsunami: 1. fala zwalnia przy brzegu - dobrze! 2. brak dyspersji - fala się nie rozmyje z czasem!

Równania Stokesa Przybliżenia Wady teorii liniowej 1. brak dyspersji 2. brak mechanizmu nachodzenia fal Prawdziwe tsunami zachowuje się trochę inaczej - przykład 04.

Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Krótka historia solitonu Z pomoca przychodzi John Scott Russell, który w 1834 roku na kanale w Edynburgu zauważa niezwykle dziwna falę Zaciekawiony jej samotnościa i stabilnościa zaczyna ja badać (solitary wave).

Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Teoria zjawiska i dalsze losy 1895 Korteweg, de Vries t η + 6η x η + xxx η = 0 (13) Lata 1834-1965 : ok. 20 artykułów 1965: Kruskal i Zabusky uzyskali ważny wynik dotyczacy KdV

Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele A co z tsunami? Równania Stokesa dla kolejnych wyrazów przybliżenia względem α i β odtwarzaja równanie KdV. η t + v(1 + 3η 2d )η x + vd 2 6 η xxx = 0 Jak wyglada podstawowe rozwiazanie? ( ) 3a η(x, t) = a sech 2 (x νt), ν = v 4d 3 ( 1 + a ) 2d

Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Własności równania KdV ( ) 3a η(x, t) = a sech 2 (x νt) 4d 3, ν = v ( 1 + a ) 2d Ważne własności rozwiazań i równania KdV: fala w 2D propagacja fali w jedna stronę ν proporcjonalne do a dyspersja zahamowana nieliniowościa nieskończona liczba całek ruchu możliwość obliczenia energii

Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Kruskal i Zabusky dowiedli ważna własność równania KdV: f (0) N-soliton + zanikajacy ogon

Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Ta teoria wyjaśnia lepiej np. tsunami 04 ale także Chile 1960

Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Inne modele nieliniowe Równania Stokesa można też w inny sposób aproksymować: Boussinesq (pierwsza próba wyjaśnienia fal Russella) ( ) η tt η xx 1 2 η2 + η xx = 0 xx Kadomtsev Petviashvili (uogólnienie KdV na dwa wymiary) oraz inne (η t + ηη x + e 2 η xxx ) x ± η yy = 0

Literatura Podsumujmy Dowiedzieliśmy się czym jest tsunami Jaka teoria opisuje to zjawisko Poznaliśmy podstawowe przybliżenia stosowane w praktyce Teoria solitonów to oczywiście coś więcej niż woda: fale akustyczne w ciele stałym fale w plazmie solitony optyczne model neuronu

Literatura Literatura Tsunami and Nonlinear Waves, A. Kundu 2007 A Modern Introduction to the Mathematical Theory of Water Waves, R.S. Johnson 1997 The Versatile Soliton, A.T. Filippov 2000 Dynamics of tsunami waves, F. Dias, D. Dutykh Explaining the physics of tsunamis to undergraduate and non-physics students, G. Margaritondo 2005

Literatura Dziękuję za uwagę!