Teoretyczne podstawy modelowania tsunami 04.04.2011 / Seminarium UJ
O czym będziemy mówić? Tsunami Tsunami - zjawisko przyrody Równania Stokesa Przybliżenia Solitony Odkrycie samotnej fali i równanie KdV Inne nieliniowe modele Literatura
Zjawisko Tsunami jako zjawisko przyrody Tsunami to trzy fazy: Wytworzenie Propagacja Załamanie przy brzegu (powódź)
Zjawisko Generacja Głównie trzęsienia ziemi, rzadziej wybuchy wulkanów Teoria: Dynamika płyt tektonicznych
Zjawisko Propagacja Teoria: Ruch falowy
Zjawisko Run-up The Great Wave Off Kanagawa, Hokusai XIX w. Teoria: Metody numeryczne głównie
Zjawisko Występowanie i skutki 04 na Oceanie Indyjskim: 250 tys. ofiar 11 w Japonii: 20 tys. ofiar
Równania Stokesa Przybliżenia Równania Stokesa Stokes 1847 - wychodzimy z równań Eulera (nieściśliwa, nielepka ciecz): ρ t ( u ) ρ t + u u = + (ρu) = 0 (1) 0 0 ρg ρ = const u = 0 u = 0 u = φ p (2)
Równania Stokesa Przybliżenia Warunki brzegowe η (x,y,t) h(x,y,t) Z 100 0-100 -200-300 -400-500 -600 5 10-10 -5 0 X 5 10-10 -5 0 Y
Równania Stokesa Przybliżenia Równania 2 φ = 0 dla h(x, y) < z < η(x, y, t) φ (z + h(x, y)) = 0 dla z = h(x, y) t η + x η x φ + y η y φ = z φ dla z = η(x, y, t) t φ + 1 2 φ 2 + gη = 0 dla z = η(x, y, t) Laplace + 3 dynamiczne równania brzegowe... wygladaj a ciężko.
Równania Stokesa Przybliżenia Przybliżenie Wprowadzamy parametry: α = a d β = ( d λ ) 2 Gdzie: a amplituda, d głębokość zbiornika, λ długość fali. Antycypujemy też pewna prędkość fali v
Równania Stokesa Przybliżenia Za pomoca tych wielkości wprowadzamy zmienne bezwymiarowe: x λx, y λy, z dz, t λ v t η aη, h dh, φ gaλ v φ Przeskalowane równania: β(φ xx + φ yy ) + φ zz = 0 dla h(x, y) < z < η(x, y, t) β(φ x h x + φ y h y ) + φ z = 0 dla z = h(x, y) βη t + αβ(φ x η x + φ y η y ) = φ z dla z = αη(x, y, t) βφ t + 1 2 αβ(φ2 x + φ 2 y) + 1 2 αφ2 z + gη = 0 dla z = αη(x, y, t)
Równania Stokesa Przybliżenia Dla tsunami rozpatruje się przybliżenie α 0 (mała amplituda) i β 0 (płytki zbiornik). Zakładamy ruch wzdłuż x i stałość podłoża h(x, y) = d. Równania: φ z z(x, z, t) + φ x x(x, z, t) = 0 (3) φ z (x, z = d, t) = 0 (4) η t (x, z = 0, t) = ψ z (x, z = 0, t) (5) ψ t (x, z = 0, t) = gη(x, z = 0, t) (6) Poszukujemy rozwiazania periodycznego: Nie znamy k, ω ani A(z). φ(x, z, t) = A(z)e i(ωt kx) (7)
Równania Stokesa Przybliżenia Po rachunku otrzymujemy rozwiazania: η = ae i(ωt kx π 2 ) (8) ψ = ag cosh(k(d + z)) e i(ωt kx π 2 ) ω cosh(kd) (9) z (nieliniowa!) relacja dyspersji: ω 2 = gk tanh(kd) (10)
Równania Stokesa Przybliżenia Nawet tak prosty model ma nietrywialna zależność ω(k). Jednak przybliżymy konsekwentnie kd << 1 (z β 0): ω 2 = gdk 2 (11) Uzyskaliśmy stała zależność dyspersyjna - a posteriori mamy więc spełnione równanie falowe: η tt = v 2 η xx (12)
Równania Stokesa Przybliżenia Pierwsze przybliżenie - teoria liniowa Podsumowujac, w pierwszym przybliżeniu uzyskaliśmy teorię liniowa z relacja dyspersji: v = gd Taka teoria dobrze opisuje tsunami: 1. fala zwalnia przy brzegu - dobrze! 2. brak dyspersji - fala się nie rozmyje z czasem!
Równania Stokesa Przybliżenia Wady teorii liniowej 1. brak dyspersji 2. brak mechanizmu nachodzenia fal Prawdziwe tsunami zachowuje się trochę inaczej - przykład 04.
Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Krótka historia solitonu Z pomoca przychodzi John Scott Russell, który w 1834 roku na kanale w Edynburgu zauważa niezwykle dziwna falę Zaciekawiony jej samotnościa i stabilnościa zaczyna ja badać (solitary wave).
Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Teoria zjawiska i dalsze losy 1895 Korteweg, de Vries t η + 6η x η + xxx η = 0 (13) Lata 1834-1965 : ok. 20 artykułów 1965: Kruskal i Zabusky uzyskali ważny wynik dotyczacy KdV
Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele A co z tsunami? Równania Stokesa dla kolejnych wyrazów przybliżenia względem α i β odtwarzaja równanie KdV. η t + v(1 + 3η 2d )η x + vd 2 6 η xxx = 0 Jak wyglada podstawowe rozwiazanie? ( ) 3a η(x, t) = a sech 2 (x νt), ν = v 4d 3 ( 1 + a ) 2d
Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Własności równania KdV ( ) 3a η(x, t) = a sech 2 (x νt) 4d 3, ν = v ( 1 + a ) 2d Ważne własności rozwiazań i równania KdV: fala w 2D propagacja fali w jedna stronę ν proporcjonalne do a dyspersja zahamowana nieliniowościa nieskończona liczba całek ruchu możliwość obliczenia energii
Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Kruskal i Zabusky dowiedli ważna własność równania KdV: f (0) N-soliton + zanikajacy ogon
Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Ta teoria wyjaśnia lepiej np. tsunami 04 ale także Chile 1960
Historia solitonu i KdV Inne nieliniowe modele Inne modele nieliniowe Równania Stokesa można też w inny sposób aproksymować: Boussinesq (pierwsza próba wyjaśnienia fal Russella) ( ) η tt η xx 1 2 η2 + η xx = 0 xx Kadomtsev Petviashvili (uogólnienie KdV na dwa wymiary) oraz inne (η t + ηη x + e 2 η xxx ) x ± η yy = 0
Literatura Podsumujmy Dowiedzieliśmy się czym jest tsunami Jaka teoria opisuje to zjawisko Poznaliśmy podstawowe przybliżenia stosowane w praktyce Teoria solitonów to oczywiście coś więcej niż woda: fale akustyczne w ciele stałym fale w plazmie solitony optyczne model neuronu
Literatura Literatura Tsunami and Nonlinear Waves, A. Kundu 2007 A Modern Introduction to the Mathematical Theory of Water Waves, R.S. Johnson 1997 The Versatile Soliton, A.T. Filippov 2000 Dynamics of tsunami waves, F. Dias, D. Dutykh Explaining the physics of tsunamis to undergraduate and non-physics students, G. Margaritondo 2005
Literatura Dziękuję za uwagę!