WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11
DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim interwale czasowym o długości t? x 1 W przedziale czasu dolny indeks A) 0 x 3 =x B -x A t B '=x B' -x A' Położenie pierwszego z elementów (względem globalnego układu odniesienia) po czasie t opisane jest wzorem Ponieważ B A dla drugiego elementu x x υ A A ( t, x A) Δt O( Δt ) x x ρ, mamy analogiczne wyrażenie B x ρ υ A ( t, x ρ A ) Δt O( Δt ), gdzie wektor ρ opisuje względne położenie tego elementu w czasie t. t wektor ten przyjmuje nową wartość zgodnie z formułą (opuszczamy ρ( t t) x x ρ( t) [ υ( t, x ρ) υ( t, x )] t O( t ) B A A A ρ( t) υ( t, x) ρt O( t, t ρ ) A t+t B' ' A' /11
W powyższej formule pojawia się macierz (tensor) υ zwany gradientem pola prędkości. Z definicji υ,, 1,,3 ij x j i i j. Tempo zmian wektora opisującego względne położenie dwóch elementów płynu otrzymamy różniczkując względem czasu Gradient prędkości mianowicie gdzie i d ρ ρ( t t) ρ( t) lim υ( t, x) ρo( ρ ). dt t0 t T D 1[ υ ( υ ) ] lub T R 1[ υ ( υ ) ] lub υ może być przedstawiony w postaci sumy dwóch tensorów, a d r ij ij υ D R 1 i j x x 1 i j x x j j i i - tensor symetryczny, - tensor antysymetryczny 3/11
Pokażemy, że krótkotrwała zmiana względnej pozycji bliskich elementów płynu zachodząca w wyniku działania antysymetrycznego tensora R odpowiada sztywnemu obrotowi płynu. Następnie pokażemy, że działaniu symetrycznego tensora D odpowiada prawdziwa deformacja, tj. zmiana kształtu i/lub objętości elementów płynu. Zauważmy po pierwsze, że 1 współrzędne wektora wirowości Istotnie, mamy bowiem r, gdzie,,, ij ijk k ω υ ijk e i. k k x j k k 1 3, to kartezjańskie 1 1 1 j i 1 i j ijkk ( i j) r x x xi x j x j x i Wobec tego, możemy napisać równość j i ij R ρ r e e ρω ω ρ. 1 1 1 ij j i ijk j k i 4/11
Wykażemy, że długość wektora ρ pod wpływem działania tensora R nie ulega zmianie: ρ ( ρ, ρ) ( ρ, ρ) ( ρ, Rρ) ρ( ω ρ) 0 d d d dt dt dt Ponieważ para elementów płynu może być wybrana dowolnie, otrzymany wynik jest równoznaczny ze stwierdzeniem, że transformacja geometryczna generowana przez tensor R to czysty (sztywny) obrót bez deformacji kształtu. Tensor ten nazywać będziemy dalej tensorem obrotu. Podsumowując: antysymetryczna część tensora gradientu prędkości opisuje lokalny sztywny obrót elementów płynu. Odpowiadająca temu obrotowi lokalna prędkość kątowa jest równa 1 ω, czyli połowie lokalnego wektora wirowości. 5/11
DEFORMACJA ELEMENTÓW PŁYNU Wiemy już, że tempo zmian wektora względnego położenia ρ (czyli prędkość zmian względnego położenia dwóch bliskich elementów płynu) dane jest wzorem t ρ D ρ R ρ D ρ ω ρ. d 1 d deformacja sztywny obrót Pierwszy ze składników zawiera symetryczny tensor deformacji. D, zwany tensorem prędkości Tensor D może być przedstawiony jako suma dwóch składników: tensora sferycznego D i dewiatora D DW D D D DW Tensor sferyczny D zdefiniowany jest następująco 1 1 1 k D trd ( ) ( ) ij ij 3 I 3 υ I D 3, x slad D k 1 Zauważmy, że trd ( υ) tri υ divυ. 3 6/11
Dewiator D DW jest oczywiście równy różnicy D i D. Mamy 1 1 i j 1 k DDW D ( υ) I ( D DW ) ij ij 3 x x 3 x Zauważmy, że cechą dewiatora jest zerowy ślad trd trd trd 0 DW j i k W celu wyjaśnieniu kinematycznego sensu rozkładu tensora D na część sferyczną i dewiatorową rozważymy deformację niewielkiego obszaru płynu. Dla uproszczenia ograniczymy się do analizy przypadku D i założymy, że początkowy kształt obszaru to prostokąt. Założymy, że tensor obrotu znika tożsamościowo. Pochodna wektora względnego położenia przyjmuje postać Dla małego przyrostu czasu ρ D ρ D ρ D ρ. d dt DW t, deformacja opisana jest następującą formułą ρ( t t) ρ( t) D ρt D ρ t O( t ) ρ 1 DW ρ 7/11
{ Rozważmy najpierw przypadek, w którym dewiator jest równy zeru. d 0 Możemy napisać D 0 d Stąd tr D d Prostokątny obszar OABC podlega deformacji przyjmując w czasie t t kształt opisany transformacją ρ( t t) ( 1 d t) ρ ( t) O( t ) B C O A x 1 (t) dt L { (t+t) B' C' B C O A A' x 1 (t) dt L 1 Kształt obszaru pozostaje zachowany bowiem transformacja ta jest izotropowym rozciąganiem ( d 0) lub kurczeniem ( d 0). Vol t L L Oryginalna objętość (w sensie D) obszaru to () 1. W wyniku deformacji przyjmuje ona wartość Vol ( t t) L L ( 1 dt) Vol ( t)( 1 d t) O( t ) 1 8/11
Względne tempo zmiany objętości obliczamy następująco 1 Vol( t t) Vol( t) lim Vol () t t 0 t d tr D υ Widzimy, że lokalne, chwilowe tempo zmian objętości elementu płynu jest równe wartości dywergencji pola prędkości. 9/11
{ { Rozważmy przypadek odwrotny niech tym razem część sferyczna tensora prędkości deformacji jest równa zeru. W przypadku D ogólna postać dewiatora (czyli tensora symetrycznego o zerowym śladzie) jest następująca D d 1 1 11 d d1 ( d11 d) d1 d d d d ( d d ). DW 1 1 1 1 11 Wzór opisujący deformację płynu w krótkim przedziale czasu t ma postać ρ( t t) ( I t DDW ) ρ ( t) O( t ) Tym razem przyda się forma rozpisana x1( t t) ( 1 t) x1( t) t x( t) x ( t t) t x ( t) ( 1 t) x ( t) 1 B C O A x 1 (t) t L C' {(t+t) { t L B' B C A' t L 1 A O (t) t L 1 x 1 Zauważmy obecność ścinania, która manifestuje się zmianą kątów pomiędzy wektorami lokalizacji tych samych elementów płynu przed i po deformacji. 10/11
Obliczmy ponownie chwilowe tempo zmian objętości odpowiadające powyższej deformacji. Z wykorzystaniem elementarnej geometrii, rachunek przebiega następująco: 1 t t Vol ( t t) L1L L1L ( 1 t t ) t 1 t Vol ( t) O( t ), Stąd 1 Vol( t t) Vol( t) lim Vol () t t 0 t 0. Wnioskujemy, że chwilowe tempo zmian objętości odpowiadające deformacji opisanej wyłącznie przez część dewiatorową jest równe zeru. Mamy zatem do czynienia z czystą zmianą kształtu (czystym ścinaniem). 11/11