Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych rzędu pierwszego. Twierdzenie. Jeśli oraz są ciągle dla to zagadnienie posiada jednoznaczne rozwiązanie, które moŝe zostać przedłuŝone na cały przedział Wniosek. Jeśli jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru. 1
Twierdzenie. 1. Rozwiązania równania jednorodnego tworzą przestrzeń liniową E wymiaru m. 2. Jeśli jest pewnym rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego, zaś stanowią bazę E, to rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest postaci gdzie Niech Układ fundamentalny E. Z funkcji budujemy macierz wymiaru tak Ŝe kolejne wektory tworzą kolumny Macierz spełnia równanie będzie pewną bazą przestrzeni Oznaczmy przez Wyznacznik nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego układu funkcji Jeśli układ tych funkcji jest liniowo niezaleŝny, to nazywamy go układem fundamentalnym, zaś macierz macierzą fundamentalną. 2
Jeśli wyznacznik Wrońskiego jest niezerowy w pewnym punkcie, to układ funkcji jest liniowo niezaleŝny, a więc stanowi układ fundamentalny. Ustalmy Wtedy zachodzi zaleŝność Zatem, jeśli to dla wszystkich KaŜde liniowe równanie jednorodne ma układ fundamentalny. Wystarczy wziąć funkcje będące rozwiązaniami zagadnień początkowych Układy o stałych współczynnikach W przypadku, gdy macierz ma współczynniki zaleŝne od t, to nie są znane ogólne metody rozwiązywania układu liniowego. Jeśli macierz A nie zaleŝy od t, to układ moŝna rozwiązać analitycznie. 3
RozwaŜmy układ jednorodny z warunkiem początkowym W przypadku równania skalarnego otrzymalibyśmy rozwiązanie Okazuje się, Ŝe w przypadku układu jest podobnie Macierz Jeśli A jest macierzą kwadratową macierz jako sumę szeregu to definiujemy Twierdzenie. Macierzą fundamentalną układu jest 4
Dowód. Ponadto, więc czyli rzeczywiście jest macierzą fundamentalną. Obliczanie z definicji byłoby bardzo uciąŝliwe (szereg nieskończony!). MoŜna to zrobić prościej wykorzystując znane nam własności algebraiczne. Fakt. Jeśli A i B komutują, tzn., to 5
Przykład 1. Obliczmy dla mamy, gdzie Macierze N i B są przemienne. Co więcej otrzymamy, tak więc Ostatecznie 6
Przykład 2. Przemienność B i N była istotna. RozwaŜmy macierze A i B Wtedy czyli Zatem Z kolei Stąd musi mieć niezerowe wyrazy poza przekątną. 7
Obliczanie 1. Jeśli A jest przekątniowa, tzn., to 2. Niech A będzie klatką Jordana. Wtedy macierze oraz są przemienne, więc Mamy tak więc Stąd 8
3. Macierz A jest w postaci klatkowej Jordana, czyli Wtedy 4. Jeśli A jest macierzą dowolną, to gdzie J jest w postaci klatkowej Jordana. Wtedy Wynika stąd, Ŝe 9
Uwagi. 1. Jeśli jest macierzą fundamentalną, to dla dowolnej macierzy nieosobliwej B macierz teŝ jest macierzą fundamentalną. Zatem, jeśli to macierzą fundamentalną jest takŝe 2. Niech będzie wartością własną A, odpowiadającym jej wektorem własnym A. Wtedy jest rozwiązaniem układu jednorodnego. Stąd, jeśli są wektorami własnymi odpowiadającymi m róŝnym wartościom własnym, to jest macierzą fundamentalną, (zauwaŝmy, Ŝe jest to macierz ). 10
Przykład 3. Wartości własne Wektory własne Stąd otrzymujemy układ fundamentalny a takŝe macierz fundamentalną Aby wyznaczyć wystarczy tylko :) policzyć 11
Przykład 4. Wtedy jest podwójną wartością własną, która posiada tylko jeden wektor własny Mamy stąd rozwiązanie Uogólniony wektor własny to (rozwiązanie ). Stowarzyszone z nim rozwiązanie ma postać 12
Przykład 5., gdzie Zatem 13
Przykład 6. Wartości własne: Wektory własne Otrzymujemy rozwiązania zespolone Aby otrzymać rozwiązania rzeczywiste obliczamy Macierz fundamentalna: MoŜna stąd policzyć takŝe 14
Przykład 7. Rozwiązujemy zagadnienie początkowe Rozwiązanie 15
Równania liniowe wyższego rzędu (skalarne) RozwaŜamy teraz równanie Podstawiamy dla Funkcja wektorowa spełnia układ równań Wynika stąd, Ŝe zbiór rozwiązań rozwaŝanego równania jest przestrzenią liniową wymiaru m (tak samo będzie w przypadku współczynników zaleŝnych od t) Wielomian charakterystyczny macierzy tego układu jest postaci (ćw. z algebry) ZałóŜmy, Ŝe wielomian charakterystyczny ma m róŝnych pierwiastków. Wtedy moŝemy obliczyć wektory własne i znaleźć m liniowo niezaleŝnych rozwiązań. 16
Kłopoty pojawiłyby się w przypadku pierwiastków wielokrotnych. Okazuje się jednak, Ŝe nie jest konieczne wyznaczanie wektorów własnych. Twierdzenie. Jeśli jest k-krotnym pierwiastkiem to funkcje stanowią k liniowo niezaleŝnych rozwiązań równania jednorodnego. Uwaga. W wielomianie charakterystycznym moŝna pominąć czynnik Przykład 8. Znajdziemy rozwiązanie ogólne Wielomian charakterystyczny rozwiązanie ogólne ma postać 17
Przykład 9. Rozwiązać zagadnienie początkowe Wielomian charakterystyczny Jeden pierwiastek podwójny ogólne to więc rozwiązanie Obliczamy warunkiem początkowym i następnie porównujemy z Zatem czyli 18
Równania niejednorodne RozwaŜmy teraz sytuację, gdy równanie jest postaci Jeśli jest pewnym rozwiązaniem szczególnym tego równania to rozwiązanie ogólne jest postaci gdzie jednorodnego. stanowią bazę rozwiązań równania W celu wyznaczenia rozwiązania szczególnego stosuje się metodę uzmienniania stałych (kształt układu równań na uzmiennione stałe wynika z analizy metody uzmienniania stałych dla układów lub bezpośrednio z wstawienia do równania - ćw.). Metoda przewidywań W niektórych sytuacjach moŝna odgadnąć" postać rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Przykładowo, jeśli jest postaci 19
gdzie rozwiązanie postaci jest wielomianem stopnia r, to istnieje gdzie jest wielomianem stopnia r oraz s jest równe 0, jeśli a nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, s jest równe krotności a, jeśli a jest pierwiastkiem równania charakterystycznego. Uwaga: jest wiele innych typów prawych stron dla których moŝna stosować metodę przewidywań (lektura własna). Przykład 10. Wielomian charakterystyczny Rozwiązanie szczególne jest postaci 20
Wstawiamy do równania Stąd czyli rozwiązanie ogólne jest postaci Przykład 11. Zero jest jednokrotnym pierwiastkiem, więc Zatem Wstawiamy do równania czyli jest postaci Ostatecznie rozwiązanie ogólne 21