Ćwiczenia 26.02.2016 1 Endomorfizmy przestrzeni liniowych i ich macierze. 1.1. Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym przestrzeni liniowych nad ciałem Z 3. Niech A = (α 1, α 2, α 3 ) będzie bazą V. Niech M(f) A A = 2 2 2 0 1 1. 2 0 0 a) Znaleźć takie bazy B, C przestrzeni V aby w nich macierz f miała postać: M(f) C B = 1 0 0 0 1 0. 0 0 0 b) Ustalić, czy istnieje baza D, dla której 1 0 0 M(f) D D = 0 1 0. 0 0 0 1.2. Które z poniższych macierzy traktowanych jako macierze przekształceń R 3 R 3 są macierzami tego samego przekształcenia liniowego zapisanego w różnych bazach (to znaczy, dla których par macierzy A, B istnieje macierz nieosobliwa C, że C 1 AC = B)? Które z nich są macierzami symetrii? 1 2 3 1 0 0 1 0 0 2 3 1, 0 2 0, 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0, 1 2 3, 2 3 3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 1 2 Definicja. Niech f : V V będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Mówimy, że W V jest niezmienniczą podprzestrzenią endomorfizmu f (lub krócej f niezmienniczą podprzestrzenią) jeżeli f(w ) W. 1.3. Pokazać, że dla dowolnego k N, ker f k i im f k są niezmienniczymi podprzestrzeniami dowolnego endomorfizmu f : V V. 1.4. Niech f : V V bedzie endomorfizmem, a g : V V automorfizmem. Pokazać, ze jeżeli W V jest podprzestrzenią niezmienniczą endomorfizmu f, to g(w ) jest podprzestrzenią niezmienniczą endomorfizmu gfg 1.
Definicja. Niech f : V V będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Mówimy, że niezmiennicza podprzestrzeń W V endomorfizmu f ma niezmiennicze dopełnienie jeżeli istnieje podprzestrzeń niezmiennicza U V i W U = V. 1.5. Pokazać, że jeżeli f jest rzutem, to ker f ma niezmiennicze dopełnienie. Podać przykład endomorfizmu, dla którego ker f nie ma dopełnienia niezmienniczego. Ćwiczenia 1.03.2016 1.6. Zadanie 3 str. 81 ze skryptu dr. Koźniewskiego. 1.7. Zadanie 4 str. 81 ze skryptu dr. Koźniewskiego. 1.8. Niech f, h Hom(V, V ). Niech fh = hf. Pokazać, że ker(f) jest podprzestrzenią niezmienniczą endomorfizmu h. 1.9. Niech f : V V będzie endomorfizmem. Niech α V i rozpatrzmy ciąg wektorów α, f(α), f 2 (α)..., a) Pokazać, że lin{α, f(α), f 2 (α)... } jest najmniejszą podprzestrzenią niezmienniczą zawierającą wektor α. b) Pokazać, że jeżeli V jest przestrzenią skończenie wymiarową, to istnieje takie k, że dla każdego m > k, f m (α) lin{α, f(α), f 2 (α)... f k (α)}. c) Niech k będzie najmniejszą liczba o jakiej mowa w poprzednim punkcie. Pokazać, że α, f(α), f 2 (α)... f k (α) jest bazą podprzestrzeni lin{α, f(α), f 2 (α)... f k (α)}. Znaleźć macierz f w tej bazie. d) Czy przy założeniach poprzedniego podpunktu przestrzeń lin{α, f(α),... f k (α)} może zawierać właściwe podprzestrzenie niezmiennnicze endomorfizmu f? Czy podprzestrzeń niezmiennicza lin{α, f(α),... f k (α)} musi mieć niezmiennicze dopełnienie? Ćwiczenia 4.03.2016 2 Wektory własne i wartości własne. Diagonalizowalność endomorfizmu. 2.1. skrypt, str.84 zad 1 c),d),e) 2.2. skrypt str.85 zad 3
2.3. Niech W V będzie podprzestrzenią niezmienniczą przekształcenia liniowego f : V V. Pokazać, że wielomian charakterystyczny przekształcenia f W jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego przekształcenia f. Ćwiczenia 8.03.2016 2.4. Niech przekształcenie f : V V n wymiarowej przestrzeni nad K ma n różnych wartości własnych. Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze przekształcenia f. 2.5. Niech f : V V będzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem K. Niech f : V V. a) Pokazać, że wielomiany charakterystyczne f i f są równe. b) Dla W V niech W = {φ V : W ker φ}. Pokazać, że jeżeli W V jest podprzestrzenią niezmienniczą dla endomorfizmu f, to W jest podprzestrzenią niezmienniczą dla f. c) Korzystając z b), pokazać, że jeśli dim V = n i każda n 1 wymiarowa podprzestrzeń V jest f niezmiennicza, to f = a id V, dla pewnego a K. Uwaga: Można to udowodnić nie korzystając z b), ale sugerowany sposób jest moim zdaniem elegancki i szybki. 2.6. Znaleźć wektory własne odpowiadające wartościom własnym a 11, a 22, a 33 macierzy a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23. 0 0 a 33 Ćwiczenia 11,15,18, 22 marca.2016 2.7. Niech f : V V będzie izomorfizmem przestrzeni n wymiarowej. Wyrazić wielomian charakterystyczny w f 1 w terminach wielomianu w f. 2.8. Ciąg Fibonacciego 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... jest zadany rekurencyjnie ϕ 0 = 0, ϕ 1 = 1, ϕ n+2 = ϕ n + ϕ n+1. a) Znaleźć macierz A, taką że A [ ϕn+1 ϕ n ] = [ ϕn+2 ϕ n+1 b) Znaleźć A n i wzór na ϕ n. [ ϕn+1 ] c) Udowodnić, że ϕ n1 zbiega do wektora własnego macierzy A. Dlaczego? ].
3 Twierdzenie Jordana w zadaniach 3.1. Niech f : V V będzie endomorfizmem n wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem K. Niech V i = ker f i, V i = im f i. Mamy ciągi podprzestrzeni: V 1 V 2 V V V 1 V 2... Jeżeli i jest najmniejszą liczbą naturalną dla której V i = V i+1 (a takie i oczywiście istnieje ze względów wymiarowych), to: a) V i = V i+k dla dowolnego k N oraz dim V i i. b) V i = V i+k dla dowolnego k N oraz i jest najmniejszą liczbą naturalną dla której V i = V i+1. c) V i = V i+1 wtedy i tylko wtedy, gdy ker f i im f i = {0} a zatem V = V i V i, d) Przestrzenie V i oraz V i są f niezmiennicze. e) Jeżeli α 1,... α k jest bazą V i a β 1,... β n k jest bazą V i, to macierz f : V V w bazie α 1,... α k, β 1,... β n k ma postać: [ ] A 0 0 B Ponadto A i = 0, A j 0 dla j < i, zaś B jest macierzą nieosobliwą. Zauważmy, że f : V i V i i f i = 0 3.2. Niech f : V V i f k = 0, f k 1 0. Znajdziemy szczególną bazę V. Mamy ciąg właściwych inkluzji podprzestrzeni: {0} V 1 V k 1 V k = V. Schematycznie zilustrujemy to w postaci domku Jordana stawiając na pierwszym poziomie tyle klocków ile wynosi dim V 1, na drugim dodajemy tyle klocków ile wynosi dim V 2 dim V 1 tak by pierwsze dwa piętra miały dim V 2 klocków, itd..
Tabela 1: (htbp] Powyższy domek jest dla dim V = 12, endomorfizmu f, dla którego f 4 0, f 5 = 0, dim V 1 = 4, dim V 2 = 7, dim V 3 = 9, dim V 4 = 11, dim V 5 = 12. Lemat 1. Załóżmy, że α 1,..., α m V i \ V i 1 jest układem liniowo niezależnym, takim że lin{α 1,..., α m } V i 1 = {0}. Wynika z tego, że f(α 1 ),..., f(α m ) V i 1 oraz ponadto jeżeli a 1 f(α 1 ) + + a m f(α m ) V n 2, to a 1 = = a m = 0. (W szczególności oznacza to, że układ f(α 1 ),..., f(α m ) jest liniowo niezależny.) Dowód: Jest jasne, że f(α 1 ),..., f(α m ) V i 1. Przypuśćmy, że a 1 f(α 1 ) + + a m f(α m ) V n 2. Oznacza to, że f n 2 (a 1 f(α 1 ) + + a m f(α m )) = f n 1 (a 1 α 1 + + a m α m ) = 0 a zatem a 1 α 1 + + a m α m V i 1. Z założenia lin{α 1,..., α m } V i 1 = {0} wynika, że a 1 α 1 + +a m α m = 0 zaś z liniowej niezależności otrzymujemy a 1 = = a m = 0. Wniosek 1. Dla każdego i k, dim V i dim V i 1 dim V i 1 dim V i 2. Dla architektury naszego domku Jordana oznacza to, że budując i te piętro dokładamy co najwyżej tyle klocków ile ma piętro i 1. Tak więc raczej piramida Majów niż budynek Liebeskinda. Rozpatrzmy następujący algorytm tworzenia zbioru wektorów w V. krok I Niech α1, k..., αm k k V k \ V k 1 będą wektorami liniowo niezależnymi takimi, że V k 1 lin{α1, k..., αm k k } = V k = V. Zatem m k = dim V k dim V k 1.
krok II Rozpatrzmy wektory f(α1), k..., f(αm k k ) V k 1. Z lematu wynika, że żadna niezerowa ich kombinacja liniowa nie należy do V k 2 ( są więc one liniowo niezależne). Istnieją zatem wektory α1 k 1,..., αm k 1 k 1 V k 1 \ V k 2 liniowo niezależne, dla których V k 2 lin{f(α k 1),..., f(α k m k ), α k 1 1,..., α k 1 m k 1 } = V k 1. m k + m k 1 = dim V k 1 dim V k 2. krok III i dalsze Powtórzmy krok II w odniesieniu do układu wektorów f(α 1 ),..., f(α mk ), α1 k 1,..., αm k 1 k 1 V k 1 oraz przestrzeni V k 2 i powtarzajmy tę konstrukcję aż dojdziemy do podprzestrzeni V 1. Otrzymaliśmy układ wektorów, który możemy ustawić w następującej tablicy: α1 k... αm k k f(α1) k... f(αm k k ) α1 k 1... αm k 1 k 1 f 2 (α k 1)... f 2 (α k m k ) f(α k 1 1 )... f(α k 1 m k 1 ) α k 2 1... α k 2 m k 2...................................................................................................................................................................................... f k 1 (α k 1)... f k 1 (α k m k ) f k 2 (α k 1 1 )... f k 2 (α k 1 mk 1 ) f k 3 (α k 2 1 )... f k 3 (α k 2 m k 2 )... α 1 1... α 1 m 1 a) Pokazać, że wektory ostatnich i wierszy tworzą bazę podprzestrzeni V i oraz że wektory ostatniego wiersza są bazą ker f = V 1, zaś wszystkie wektory tablicy są bazą V. b) Pokazać że podprzestrzeń generowana przez wektory każdej kolumny (są one jej bazą) jest niezmiennicza dla przekształcenia f jest to podprzestrzeń cykliczna. Zauważyć, że przestrzeń V jest sumą prostą niezmienniczych podprzestrzeni cyklicznych wyznaczonych przez kolumny tablicy. c) Macierz endomorfizmu f ograniczonego do podprzestrzeni cyklicznej wyznaczonej przez kolumnę tablicy w bazie wektorów tej kolumny (uszeregowanych od dołu do góry) jest postaci: 0 1 0... 0 0 0 0 1... 0 0. 0.... 0... 0........... 0... 0.. 0 0 0... 0 1 0 0 0... 0 0 Taka macierz nazywa się klatką Jordana dla wartości 0.
d) Pokazać, że podprzestrzeń cykliczna wyznaczona przez kolumnę tablicy nie może być przedstawiona w postaci sumy prostej swoich dwóch właściwych podprzestrzeni niezmienniczych. e) Macierz endomorfizmu f w bazie wektorów tablicy składa się z klatek Jordana na głównej przekątnej, a poza tym zer. Powiemy, że jest to macierz endomorfizmu f w postaci Jordana. Baza, w której macierz f ma postać Jordana nie jest wyznaczona jednoznacznie. Natomiast jej postać nie zależy od żadnych wyborów. Pokazać, że postać ta zależy tylko od ciągu liczb dim V 1 dim V 2... dim V k 1 dim V k = dim V, a zatem tylko od kształtu domku Jordana. Klatek jest tyle ile kolumn tablicy, czyli dim V 1, każda jest wielkości odpowiadającej wysokości kolumny. 4 Postać Jordana dowolnego endomorfizmu. Zakładamy, że wielomian charakterystyczny rozpatrywanego endomorfizmu jest iloczynem czynników liniowych. (Tak jest zawsze, gdy ciałem bazowym jest ciało C liczb zespolonych.) 4.1. (oczywista, ale przydatna obserwacja) Niech g : V V, będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V jest g niezmiennicza ( to znaczy g(w ) W ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest g ai niezmiennicza, gdzie a C jest dowolną liczbą, zaś I oznacza przekształcenie identycznościowe. 4.2. Udowodnić twierdzenie: Niech g : V V, będzie przekształceniem liniowym skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, którego wielomian charakterystyczny jest iloczynem czynników liniowych. Niech λ 1,..., λ m będą różnymi wartościami własnymi endomorfizmu g. Niech f i = g λ i I. Niech dla f i,v k i λ i 2, tzn.ker f k i i = ker f k i+1 i = ker f k i i będzie jak w zadaniu. Wówczas V jest sumą prostą g niezmienniczych podprzestrzeni: V = V k 1 λ 1 V k m λ m 4.3. Pokazać, że istnieje baza podprzestrzeni V k i λ i, w której g jest sumą klatek postaci: λ i 1 0... 0 0 0 λ i 1... 0 0 ( ). 0..... 0.... λ. i........... 0.... 0.. 0 0 0... λ i 1 0 0 0... 0 λ i Macierz taka nazywa się klatką Jordana. 4.4. Pokazać, że choć konstrukcja bazy, w której macierz g ma formę Jordana nie jest jednoznaczna, to forma Jordana tej macierzy jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do kolejności klatek Jordana. W tym celu pokazać, że:
podprzestrzenie V ki λ i są wyznaczone jednoznacznie, wystarczy więc pokazać jednoznaczność rozkładu dla każdej z nich. Ustalmy wartość własną λ i. Największy rząd klatki Jordana odpowiadający tej wartości własnej wynosi m, gdzie m jest najmniejszą liczbą naturalną dla której = V k i λ i. Jeżeli a j oznacza liczbę klatek Jordana rzędu j, j = 1,..., k zaś b j V m λ i jest rzędem przekształcenia f j : V ki λ i V ki λ i, to a j = b j 1 2b j + bj + 1, j = 1,..., k. 4.5. Pokazać, że jeżeli f : V V, jest przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej nad C, to w pewnej bazie macierz ta ma postać Jordana i że postać ta nie zależy od wyboru bazy. Przykład: Znaleźć formę Jordana macierzy nad C: 1 3 0 3 A = 2 6 0 13 0 3 1 3 1 4 0 8 Wielomianem charakterystycznym tej macierzy jest (λ 1) 4 Macierz 0 3 0 3 A 1 I = B = 2 7 0 13 0 3 0 3 1 4 0 7 ker B = lin{e 3, 3e 1 + e 2 + e 4 } i dim ker B = 2 zatem będziemy mieli dwie klatki Jordana Liczymy kolejne potęgi macierzy B, aż się ustabilizuje - ponieważ tu mamy tylko jedną wartość własną, to ustabilizuje się jak dostaniemy macierz zerową [zad 4.14)) 3 9 0 18 B 2 = 1 3 0 6 3 9 0 18 1 3 0 6 ker B 2 = lin{e 3, 3e 1 + e 2 + e 4, 3e 1 + e 2 } dim ker B 3 = 3 Sprawdzanie, że B 3 = 0 możemy sobie darować, bo z powodów wymiarowych i tak wiadomo (zad 4.14), że wyjdzie macierz zerowa. Zatem dostaniemy jedną klatkę wymiaru 3 i jedną klatkę wymiaru 1 konstruujemy bazę: wybieramy jeden (mamy jedną klatkę wymiaru 3) wektor α, tak by lin{α} ker B 2 = C 4 Po to wybieraliśmy bazę ker B 2, by móc to stwierdzić
Niech α = e 1 = [1, 0, 0]. Zjeżdżamy windą e 1 B[e 1 ) = [0, 2, 0, 1] B 2 [e 1 ) = [3, 1, 3, 1] Możemy spojrzeć, czy się zgadza - ten ostatni wektor powinien być wektorem własnym czyli wektorem z ker B i jest nim w istocie [3, 1, 3, 1] = 3e 3 +3e 1 +e 2 +e 4 Wektory [3, 1, 3, 1], [0, 2, 0, 1], [1, 0, 0] są bazą klatki rozmiaru 3. Trzeba jeszcze dobrać jeden wektor własny liniowo niezależny z [3, 1, 3, 1] wektor e 3 = [0, 0, 1, 0] nadaje się znakomicie. Przekształcenie zadane macierzą A w bazie standardowej ma w bazie [3, 1, 3, 1], [0, 2, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 0, 1, 0] macierz: 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 W języku macierzy : 3 0 1 0 1 2 0 0 3 0 0 1 1 1 0 0 1 1 3 0 3 3 0 1 0 1 1 0 0 2 6 0 13 0 3 1 3 1 2 0 0 3 0 0 1 = 0 1 1 0 0 0 1 0 1 4 0 8 1 1 0 0 Tego mnożenia macierzy powyżej sprawdzającego, czy się nie pomyliłam nie wykonałam - mam nadzieję że się zgadza :) 4.6. Znaleźć formę Jordana macierzy zespolonej, która ma tylko jedną prostą niezmienniczą. 4.7. Niech przekształcenie liniowe f ma w pewnej bazie macierz Jordana A. Udowodnić, że liczba liniowo niezależnych wektorów własnych o wartości własnej a jest równa liczbie klatek Jordana mających a na przekątnej. 4.8. Znaleźć formę Jordana macierzy nad C: 1 1 1... 1 0 1 1... 1 a) 0 0 1... 1............... 0 0 0... 1 0 1 0 0... 0 0 0 1 0... 0 b)... 0................... 1 0 0 0... 0 α 0 1 0... 0 0 0 α 0 1... 0 0 c) 0 0 α 0... 0 0......................... 0 0 0 0... α 0 0 0 0 0... 0 α
4.9. Niech K[X] n oznacza przestrzeń liniową wielomianów stopnia n nad ciałem K charakterystyki 0. Niech φ : K[X] n K[X] n będzie różniczkowaniem. Znaleźć wielomian charakterystyczny i rozkład na klatki Jordana. 4.10. Korzystając z formy Jordana, pokazać, że każda macierz nad C jest produktem dwóch macierzy symetrycznych. 4.11. Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem K, dla którego f k = id. Zbadać diagonalizowalność przekształcenia f dla K = R, K = C. 4.12. Znaleźć postać Jordana macierzy cyklicznej o współczynnikach zespolonych. Ćwiczenia 1 kwietnia 2016 5 Przestrzenie afiniczne Uwaga: W zapisie będziemy odróżniać punkty przestrzeni afinicznej od wektorów przestrzeni liniowej. Współrzędne punktu przestrzeni afinicznej pisać będziemy w nawiasach kwadratowych, zaś wektorów, tak jak dotychczas, w okrągłych. 5.1. W przestrzeni afinicznej C 3 znaleźć współrzędne barycentryczne punktu [1, 0, i] w układzie punktów [1, 0, 1], [2, i, 1], [1 + i, 0, 2], [1, i, 1]. 5.2. Czy punkty przestrzeni afinicznej R 3 są w położeniu szczególnym a) [1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]; b) [0, 0, 0], [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 1, 1]; c) [1, 2, 1], [3, 0, 1], [2, 2, 0]? Jeśli tak, to znaleźć maksymalne podukłady punktów w położeniu ogólnym. 5.3. Niech S E. Udowodnić, że af(s) = q + lin{ qp : p S} nie zależy od wyboru punktu q S i jest najmniejszą podprzestrzenią afiniczną zawierającą zbiór S. 5.4. skrypt str. 5 zad 2 i zad. 3 5.5. skrypt str. 9 zad.1 b), c). d) 5.6. skrypt zad. 2
5.7. skrypt zad. 4 5.8. W przestrzeni afinicznej R 4 znaleźć przedstawienie parametryczne oraz układ równań opisujący podprzestrzeń afiniczną generowaną przez punkty: {[ 1, 1, 0, 1], [0, 0, 2, 0], [ 3, 1, 5, 4], [2, 2, 3, 3]}. Przestrzeń przedstawić jako przecięcie hiperpłaszczyzn w R 4. 5.9. Znaleźć bazę punktową podprzestrzeni K 3 opisanej równaniem x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 4. 5.10. Znaleźć bazę punktową af(l 1 L 2 ) K 3, gdzie L 1 = {[4, 1, 0) + t(2, 3, 1) : t K}, L 2 = {[2, 2, 1] + t(1, 0, 1)}. 5.11. W układzie bazowym p = [0, 2, 1, 0], α 1 = (1, 0, 1, 0), α 2 = (0, 0, 0, 1), α 3 = (0, 1, 0, 1), α 4 = (0, 1, 1, 1) przestrzeni afinicznej R 4 płaszczyzna H jest opisana przez układ równań: x 1 +2x 2 x 4 = 1 x 1 x 2 x 3 = 2. Znaleźć równanie opisujące tę płaszczyznę w układzie bazowym q = [1, 0, 1, 1], β 1 = (1, 1, 0, 0), β 2 = (1, 0, 0, 1), β 3 = (0, 1, 0, 0), β 4 = (0, 1, 1, 1). 5.12. Niech E 1 = p + V 1, E 2 = q + V 2 będą podprzestrzeniami przestrzeni afinicznej E. Udowodnić, że: a) E 1 E 2 pq V 1 + V 2 Rozwiązanie: Niech r E 1 E 2. Wówczas pr = α V 1 i qr = β V 2. pq = pr + rq = α β V 1 + V 2. Odwrotnie, jeśli pq = α + β, α V 1, β V 2, to r = p + α = q β E 1 E 2. b) jeśli E 1 E 2 to dim af(e 1 E 2 ) = dim E 1 + dim E 2 dim E 1 E 2 c) jeśli E 1 E 2 =, to dim af(e 1 E 2 ) = dim E 1 + dim E 2 dim V 1 V 2 + 1. 5.13. Udowodnić, że dla dwóch podprzestrzeni afinicznych E 1, E 2 przestrzeni afinicznej E takich, że E 1 E 2 = następujące liczby są równe: a) największa liczba naturalna k, dla której istnieją równoległe podprzestrzenie Q 1 E 1, Q 2 E 2 wymiaru dim Q 1 = dim Q 2 = k b) największemu wymiarowi podprzestrzeni zawartej w E 1 równoległej do podprzestrzeni E 2 jeśli dim E 1 dim E 2 Liczba ta nazywa sie stopniem równoległości.
5.14. Znaleźć dim af(e 1 E 2 ), dim E 1 E 2 lub stopień równoległości jeżeli E 1 E 2 =, podprzestrzeni afinicznych rzeczywistych przestrzeni afinicznych. a) E 1 : 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 3 E 2 : 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5 5x 1 x 2 + 3x 3 5x 4 = 2 b) E 1 : 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 6 6x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 2 E 2 : x 1 = 1 t 1 x 2 = 1 + 2t 1 + t 2 x 3 = 1 2t 1 +2t 2 x 4 = 1 t 1 + t 2 5.15. Niech E 1, E 2 będą dwoma podprzestrzeniami afinicznymi w przestrzeni afinicznej E nad ciałem K. Niech af(e 1 E 2 ) = E, E 1 E 2 = i niech λ K, λ 0, 1 będzie ustalonym elementem. Znaleźć miejsce geometryczne elementów λx + [1 λ)y, gdzie x i y przebiegają E 1 i E 2 odpowiednio. 5.16. Niech E = p + S[E 1 ), E 2 = q + S[E 2 ) będą dwiema skośnymi podprzestrze niami w przestrzeni afinicznej E nad dowolnym ciałem. Pokazać, że dla każdego punktu x / E 1 E 2 istnieje conajwyżej jedna prosta P przechodząca przez punkt x i przecinająca E 1 i E 2. Wykazać, że prosta istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x af(e 1 E 2 ) ale px / S[E 1 ) + S[E 2 ) i qx / S(E 1 ) + S(E 2 ). 5.17. Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt b i przecinającą podprzestrzenie E 1 i E 2. a) b = [6, 5, 1, 1] E 1 : x 1 +2x 2 +x 3 = 1 x 1 +x 4 = 1 E 2 : x 1 x 2 x 3 x 4 = 4 + t = 4 + 2t = 5 + 3t = 4 + 4t b) b = [5, 9, 2, 10, 10] E 1 : x 1 x 2 x 4 +x 5 = 2 x 1 x 3 x 4 +x 5 = 1 x 1 +3x 2 2x 3 x 5 = 0 E 2 : x 1 = 3 x 2 = 2 +6t 1 +5t 2 x 3 = 0 x 4 = 5 +4t 1 +3t 2 x 5 = 6 +t 1 +2t 2 5.18. W przestrzeni afinicznej R 4 dany jest punkt c = [4, 5, 2, 7] oraz dwie proste: L przechodząca przez punkty a 1 = [1, 1, 1, 1], a 2 = [0, 1, 0, 1] K przechodząca przez punkty b 1 = [2, 2, 3, 1], b 2 = [1, 2, 2, 2]
a) Znaleźć prostą N przechodzącą przez punkt c i przecinającą proste L i K. Znaleźć punkty przecięcia L z N i K z N. b) Znaleźć prostą K, taką by L i K były skośne i by nie istniała prosta zawierająca punkt c i przecinająca L i K. Opisać prostą K przy pomocy układu równań. Cwiczenia 8 kwietnia 2016 5.19. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E. Niech W V będzie podprzestrzenią liniową, dla której S(H) W = V. Udowodnić, że każdy punkt x E można przedstawić w dokładnie jeden sposób w postaci x = e + α, gdzie e H, zaś α W i odwzorowanie f : E E zadane wzorem f(x) = e jest przekształceniem afinicznym. Takie przekształcenie nazywa się rzutem na H wzdłuż W. 5.20. Niech f : E E będzie przekształceniem afinicznym takim, że f (α) α dla każdego α 0. Pokazać, że istnieje x E taki, że f(x) = x. Co oznacza to twierdzenie w przypadku afinicznych przekształceń płaszczyzny R 2? 5.21. W przestrzeni afinicznej R 3 dana jest płaszczyzna M = {[x 1, x 2, x 3 ] R 3 : x 1 x 2 + 2x 3 = 2}. a) Podać wzór na przekształcenie afiniczne f : R 3 R 3 takie, że p M f(p) = p oraz f([2, 1, 0]) = [0, 1, 1]. b) Niech L r = [2, 1, 0] + lin{(3, r, 1)}. Dla jakich r R istnieje przekształcenie afiniczne g : R 3 R 3 takie, że p M g(p) = [1, 1, 1] oraz p Lr g(p) = [3, 1, 3]? Odpowiedź uzasadnić, zarówno gdy g istnieje, jak i gdy g nie istnieje. 6 Formy dwuliniowe. Iloczyn skalarny Krótkie streszczenie najważniejszych faktów: 1. Niech <, >: V V K będzie przekształceniem dwuliniowym symetrycznym. Takie przekształcenie wyznacza homomorfizm zadany wzorem Φ : V V Φ(α)(β) =< α, β >. 2. Macierz przekształcenia dwuliniowego przestrzeni skończenie wymiarowej: Jeżeli {α 1,..., α n } jest bazą, to A = {a ij }, a ij =< α i, α j > jest macierzą przekształcenia dwuliniowego. Jeżeli to przekształcenie jest symetryczne, to jego macierz też. Jeżeli {β 1,..., β n } jest też bazą i B jest macierzą przejścia od bazy {β 1,..., β n } do {α 1,..., α n }, to macierz w bazie {β 1,..., β n } wyraża się wzorem B T AB.
3. Jeżeli {α 1,..., α n } jest bazą, to macierz A jest macierzą przekształcenia Φ : V V w bazach {α 1,..., α n } i {α 1,..., α n}. W tej interpretacji wzór na zmianę bazy też można zobaczyć. Jeżeli B jest macierzą przejścia od bazy {β 1,..., β n } do {α 1,..., α n }, to B T jest macierzą przejścia od bazy {α 1,..., α n} do {β 1,..., β n}. Mamy więc: V B V A V BT V 4. Iloczyn skalarny to przekształcenie dwuliniowe symetryczne przestrzeni nad ciałem R takie, że dla każdego α, < α, α > 0 i < α, α >= 0 wtedy i tylko wtedy gdy α = 0. Dla prostoty załóżmy że rozpatrywane przestrzenie są skończenie wymiarowe. Wynika z tego, że dla iloczynu skalarnego a) odpowiadający mu homomorfizm Φ (jak wyżej) jest izomorfizmem. To oczywiste: dla każdego α 0, Φ(α) nie jest funkcjonałem zerowym, bo (Φ(α))(α) =< α, α > 0. b) Kryterium Sylwestera: macierz symetryczna A jest macierzą iloczynu skalarnego wtedy i tylko wtedy, gdy wyznaczniki wszystkich minorów głównych (od lewego górnego rogu) są dodatnie. ( trzeba wiedzieć dlaczego tak jest - skrypt str. 31) c) przekształcenie dwuliniowe symetryczne jest iloczynem skalarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza, w której jego macierz jest identycznościowa. Taka baza nazywa się ortonormalna. Jeżeli macierz w pewnej bazie jest diagonalna, to baza nazywa się ortogonalna. 5. Wzór na współrzędne wektora w bazie ortogonalnej jest bardzo prosty i użyteczny: Jeżeli α 1,..., α n jest bazą ortogonalną, to α = i=n i=1 < α, α i > < α i, α i > α i. 6. Jeżeli dana jest podprzestrzeń W przestrzeni euklidesowej (V, <, >), to V = W W, gdzie W = {α V : β W < α, β >= 0}. Taki rozkład nazywa się ortogonalny. Oczywiście (W ) = W. 7. Rzuty ortogonalne i symetrie ortogonalne - to rzuty i symetrie przestrzeni Euklidesowej zadane przez rozkład ortogonalny. Jeżeli dana jest baza ortogonalna jednej z przestrzeni rozkładu to łatwy jest wzór na rzut ortogonalny oraz na symetrię ortogonalną zadaną przez rozkład ortogonalny. Jeżeli V = W W jest rozkładem i α 1,..., α k jest bazą ortogonalną W, to rzut ortodgonalny na W wyraża się wzorem π W (α) = i=k i=1 < α, α i > < α i, α i > α i. Jeżeli α k+1,..., α n jest bazą ortogonalną W, to rzut na W wyraża się wzorem π W (α) = α i=n i=k+1 < α, α i > < α i, α i > α i.
Wzór na symetrię względem W otrzymujemy z zależności: s W = 2π W id. 8. Dla dowolnej bazy istnieje baza ortogonalna ( też ortonormalna). Dwie metody: a) Ortogonalizacja Gramma Schmidta. Dostajemy bazę wyznaczającą tę samą flagę. Jeżeli α 1,..., α n jest wyjściową bazą, to α i jest obrazem α i przy rzucie prostopadłym na (lin{α 1,..., α i 1 }) = (lin{α 1,..., α i 1 }). Jesli ma wyjsc ortonormalna, to trzeba jeszce unormować.(dobrze przed kolokwium pamiętać wzór, ale w razie wątpliwości lepiej wyprowadzić niż się pomylić. Patrz punkt 7) Pytanie: Czy operacja G-S zachowuje orientację? b) przez operacje elementarne na macierzy Gramma (operacje na kolumnach i te same powtórzone na wierszach) prowadząc licznik operacji na kolumnach. 6.1. (A.Weber) Wyznaczyć macierz formy dwuliniowej na R 3 w bazie e i gdy dana jest macierz w bazie standardowej 1, 2, 3 1, 2, 2 a) 3, 1, 4 e 1 = e 1 + e 2, e 2 = e 1 e 2, e 3 = 2e 1 + e 2 + e 3. b) 2, 5, 6 5, 1, 6 2, 6, 9 e 1 = e 1 e 2, e 2 = e 1 + 2e 2, e 3 = e 1 + e 2 e 3. 6.2. Zapisać formę a) z poprzedniego zadania w postaci sumy F = A + S, gdzie S jest symetryczną formą, a A jest antysymetryczną. [ ] a, b 6.3. Niech forma 2-liniowa F będzie zadana przez przez macierz. Zapisać F w postaci sumy F = A + S, gdzie S jest symetryczną formą, a A jest c, d antysymetryczną. 6.4. Niech U, V W będą podprzestrzeniami euklidesowej przestrzeni W. Wykazać, że a) (U + V ) = U V ; b) (U V ) = U + V ; 6.5. Sprawdzić, że A, B = T r(ab T ) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej macierzy kwadratowych n n o współczynnikach rzeczywistych. Znaleźć podprzestrzeń prostopadłą do podprzestrzeni macierzy symetrycznych. 6.6. W przestrzeni euklidesowej dane są dwa liniowo niezależne układy wektorów {α 1,..., α n } i {β 1,..., β n } takie, że α 1 = β 1 oraz dla każdego 1 i n, lin{α 1...α i } = lin{β 1,..., β i }. Czy ortonormalizacja Gramma-Schmidta prowadzi do tej samej bazy? Jeśli nie, to czym się te bazy różnią? Odpowiedź uzasadnić.
6.7. W przestrzeni R 4 ze standardowym iloczynem skalarnym znaleźć równania opisujące przestrzeń prostopadłą do lin{[1, 0, 1, 1], [0, 1, 1, 2]}. To samo, ale dla przestrzeni w której iloczyn skalarny jest zadany przez macierz: 1 1 0 0 1 3 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 6.8. Rozpatrujemy w R 4 iloczyn skalarny zadany przez macierz: 2 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 Znaleźć rzut prostopadły na podprzestrzeń W = lin{[1, 1, 1, 1], [1, 0, 0, 3]} podając jego macierz w bazie standardowej i wzór analityczny. 6.9. Pokazać, że jeżeli (V, <, >) jest przestrzenią rzeczywistą z iloczynem skalarnym, oraz < α, α >=< β, β > 0, to istnieje symetria prostopadła f : V V względem pewnej podprzestrzeni, taka że f(α) = β. 6.10. Niech R 3 [X] oznacza przestrzeń liniową wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej 3. Rozpatrujemy tę przestrzeń z iloczynem skalarnym zadanym wzorem:. f, g = 1 1 f(x)g(x)dx a) Zastosować ortonormalizację Gramma-Schmidta do bazy {1, x, x 2, x 3 }. b) Znaleźć wielomian g R 3 [X], taki że dla każdego wielomianu f R 3 [X], f(0) = 1 1 f(x)g(x)dx. Wskazówka: Iloczyn skalarny wyznacza izomorfizm R 3 [X] R 3 [X] 6.11. Niech W będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej V, Pokazać,że dla dowolnego wektora α V i β W, α β α π W (α, gdzie π W oznacza rzut prostopadły na podprzestrzeń W. Korzystając z poprzedniego zadania znaleźć wielomian stopnia co najwyżej 3, który najlepiej przybliża funkcję sin x na odcinku [ 1, 1] względem normy zadanej przez całkę.
6.12. Niech H i K bedą podprzestrzeniami euklidesowej przestrzeni afinicznej E i niech H K =. Pokazać,że istnieje prosta L taka, że L H, L K, i L ma punkty wspólne z H i z K. Rozwiązanie: Rozwiązanie oparte jest na zadaniu 5.12 a). Niech H = p+t (H), K = q+t (K). Ponieważ H K =, to pq T (H)+T (K). Zatem (T (H) + T (K)) jest przestrzenia niezerową. Rozpatrzmy podprzestrzeń p+t (H)+(T (H)+T (K)) i zauważmy, że (p+t (H)+(T (H)+T (K)) ) K, bo pq T (H) + T (K) + (T (H) + T (K)) = T (E). Niech r (p + T (H) + (T (H) + T (K)) ) K. Wynika z tego, że pr = α + β dla pewnych α T (H) i β (T (H) + T (K)). Wówczas p + α = p H i prosta L = p + T (lin{β}) jest prostopadła do H i K i przecina je w punktach p H oraz r K. 6.13. skrypt str. 30, zad 2 6.14. skrypt str.31 zad 5 6.15. skrypt str.31 zad 6 7 Przekształcenia ortogonalne przestrzeni euklidesowych 7.1. Udowodnić, że przekształcenie ortogonalne płaszczyzny euklidesowej jeśli zachowuje orientację, to jest obrotem, a jeśli ją zmienia to jest symetrią względem prostej. 7.2. Udowodnić, że przekształcenie liniowe przestrzeni rzeczywistej ma zawsze jedno lub dwuwymiarową podprzestrzeń własną. 7.3. Udowodnić, że przekształcenie ortogonalne przestrzeni Euklidesowej ma w pewnej bazie ortonormalnej macierz mającą na głównej przekątnej bloki 2 2 postaci [ ] cos α sin α α kπ sin α cos α oraz +1 lub 1, a poza tym same zera. Wywnioskować, że każde przekształcenie ortogonalne przestrzeni trójwymiarowej euklidesowej, które zachowuje orientację ma prostą stałą. 7.4. Znaleźć bazę i postać o jakiej mowa w poprzednim zadaniu w odniesieniu do macierzy przekształcenia przestrzeni euklidesowej, które w kanonicznej bazie ortonormalnej e 1, e 2, e 3 ma postać: 1 3 2 2 1. 2 1 2 1 2 2
7.5. Udowodnić, że złożenie dowolnej liczby obrotów przestrzeni liniowej euklidesowej trójwymiarowej jest obrotem. 7.6. Znaleźć, podając wzór analityczny, wszystkie izometrie przestrzeni euklidesowej R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym, które zachowują orientację, punkt (0, 2, 0) przeprowadzają na punkt (2, 0, 0), zaś punkt (2, 0, 0) przeprowadzają na punkt (0, 2, 0). 7.7. Niech A M n n (R), n N będzie macierzą antysymetryczną (tzn. A = A T ). Pokazać, że (A I) 1 (A + I) jest macierzą ortogonalną, dla której 1 nie jest wartością własną. 7.8. Przedstawić przekształcenie przestrzeni euklidesowej, które w kanonicznej bazie ortonormalnej e 1, e 2, e 3 ma postać: 1 2 1 2 2 2 1 3 1 2 2 jako złożenie co najwyżej trzech symetrii prostopadych względem hiperpłaszczyzn. 7.9. Przedstawić przekształcenie przestrzeni euklidesowej, które w kanonicznej bazie ortonormalnej e 1, e 2, e 3 ma postać: 1 2 1 2 2 2 1 3 1 2 2 jako złożenie symetrii prostopadych względem hiperpłaszczyzn. 7.10. Przekształcenie ortogonalne f : R 4 R 4 przestrzeni euklidesowej ze standardowym iloczynem skalarnym ma w standardowej bazie ortonormalnej macierz: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Znaleźć bazę ortonormalną, w której przekształcenie f ma formę kanoniczną. Znaleźć tę formę. 7.11. Pokazać, że jeżeli przekształcenie ortogonalne afinicznej przestrzeni euklidesowej ma dwie niezmiennicze podprzestrzenie afiniczne skośne, to ma punkt stały.
8 Przekształcenia samosprzężone Definicja. Niech (V, <, >) będzie przestrzenią liniową rzeczywistą z iloczynem skalarnym. Niech Φ : V V będzie izomorfizmem wyznaczonym przez ten iloczyn skalarny. Powiemy, że przekształcenie liniowe f : V V jest samosprzężone jeżeli przemienny jest diagram V Φ V. f V Φ f V Warunek ten jest równoważny warunkowi: α, β V < f(α), β >=< α, f(β) >. Stwierdzenie 1. Niech (V, <, >) będzie przestrzenią liniową rzeczywistą z iloczynem skalarnym zadanym w pewnej bazie α 1,.., α n przez macierz U. Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym, które w bazie α 1,.., α n ma macierz A. Wówczas f jest przekształceniem samosprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy UAU 1 = A T. Zatem jeżeli α 1,.., α n jest bazą ortonormalną, to f jest przekształceniem samosprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy A = A T. 8.1. Czy w przestrzeni euklidesowej R 3, w której iloczyn skalarny w bazie standardowej jest zadany przez macierz: 2 1 1 2 0 1 0 1 1 przekształcenie ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 2x 2 3x 3, 2x 1 3x 2 + x 3, 3x 1 + 2x 2 x 3 ) jest samosprzężone? 8.2. Niech ϕ będzie przekształceniem samosprzężonym. Wykazać, że ker ϕ im ϕ oraz ker ϕ i im ϕ rozpinają całą przestrzeń (ortogonalna suma prosta). 8.3. Niech przekształcenie ϕ przestrzeni euklidesowej będzie dane w pewnej bazie ortonormalnej przez macierz A. Znaleźć ortonormalną bazę wektorów własnych ϕ oraz macierz ϕ w tej bazie. (Uwaga: Sformułowanie to jest równoważne sformułowaniu: znaleźć macierz ortogonalną B taką, że B T AB jest macierzą diagonalną. Baza, lub równoważnie macierz B, nie musi być wyznaczona jednoznacznie). 17 8 4 8 17 4 4 4 11 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
8.4. Udowodnić, że jeśli ϕ i ψ są przekształceniami samosprzężonymi, to: a) kombinacja liniowa przekształceń ϕ i ψ jest przekształceniem samosprzężonym b) ϕψ jest przekształceniem samosprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy ϕψ = ψϕ c) ϕψ + ψϕ jest przekształceniem samosprzężonym 8.5. Udowodnić, że przekształcenia samosprzężone ϕ i ψ przestrzeni euklidesowej są przemienne (tzn. ϕψ = ψϕ) wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają wspólną ortonormalną bazę wektorów własnych. 8.6. Znaleźć wspólną ortonormalną względem standardowego iloczynu skalarnego w R 4 bazę wektorów własnych macierzy: 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 8.7. Niech φ będzie przekształceniem samosprzężonym przestrzeni euklidesowej takim, że (φ(α), α) 0 dla dowolnego α R n. Pokazać, że jeżeli dla pewnego wektora α 0, (φ(α 0 ), α 0 ) = 0, to φ(α 0 ) = 0 8.8. Definicja. Niech (V, ξ) będzie skończenie wymiarową przestrzenią euklidesową. Powiemy, że φ End(V ) jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy jest samosprzężony względem ξ oraz dla każdego 0 alpha V, ξ(φ(α), α) > 0. a) Pokazać, że jeżeli φ End(V ) jest dodatnio określony, to φ jest automorfizmem i µ(α, β) = ξ(φ(α), β) jest iloczynem skalarnym. Rozwiązanie: Jest oczywiste, że µ jest przekształceniem dwuliniowym, bo φ jest przekształceniem liniowym. Przekształcenie µ jest symetryczne µ(α, β) = ξ(φ(α), β) = ξ(α, φ(β)) = ξ(φ(β), α) = µ(β, α), bo φ jest przekształceniem samosprzężonym. Jest też dodatnio określone, bo dla każdego 0 α V, µ(α, α) = ξ(φ(α), α) > 0, bo φ jest dodatnio określone. b) Pokazać, że jeżeli µ jest iloczynem skalarnym na V, to istnieje dodatnio określony automorfizm φ, dla którego µ(α, β) = ξ(φ(α), β). Rozwiązanie: Przypomnijmy, że µ definiuje homomorfizm M : V V zadany wzorem M(α)(β) = µ(α, β). Ponieważ µ jako iloczyn skalarny jest niezdegenerowanym przekształceniem dwuliniowym, to M jest izomorfizmem. Analogicznie niech Ξ : V V będzie izomorfizmem wyznaczonym przez ξ. Niech φ = Ξ 1 M. Jest to oczywiście automorfizm przestrzeni V i dla każdego α V, Ξ φ(α) = M(α) w V. Oznacza to, że dla każdego β V, ξ(φ(α), β) = µ(α, β). Przekształcenie φ jest samosprzężone ze względu na ξ, gdyż ξ(φ(α), β) = µ(α, β) = µ(β, α) = ξ(φ(β), α). Jest ono także dodatnio określone, gdyż dla każdego 0 α V, ξ(φ(α), α) = µ(α, α) > 0.
c) Pokazać, że φ End(V ) jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje automorfizm ψ Aut(V ), taki że φ = ψ ψ, gdzie ψ (α) jest automorfizmem spełniajacym warunek ξ(ψ(α), β) = ξ(α, ψ (β)). Rozwiązanie: Jeżeli φ = ψ ψ, to ξ(φ(α), β) = ξ(ψ ψ(α), β) = ξ(ψ(α), ψ(β)) = ξ(ψ(β), ψ(α)) = ξ(ψ ψ(β), α) = ξ(φ(β), α) = ξ(α, φ(β)) i φ jest samosprzężone. Ponadto jest dodatnio określone ξ(φ(α), α) = ξ(ψ ψ(α), α) = ξ(ψ(α), ψ(α)) > 0 dla α 0. Niech µ(α, β) = ξ(φ(α), β) i niech γ 1,..., γ n będzie bazą ortonormalną dla iloczynu µ, zaś δ 1,..., δ n będzie bazą ortonormalną dla iloczynu ξ. Definiujemy izomorfizm ψ zadając ψ(γ i ) = δ i, 1 i n. Sprawdzimy, że φ = ψ ψ. Wystarczy pokazać, że ξ(φ(α), β) = ξ(ψ ψ(α), β) dla dowolnych α, β V. Niech α = n i=1 a iγ i i β = n i=1 b iγ i, Wówczas: n ξ(φ(α), β) = µ(α, β) = a i b i, n n n n ξ(ψ ψ(α), β) = ξ(ψ(α), ψ(β)) = ξ( a i ψ(γ i ), b i ψ(γ i )) = ξ( a i δ i, b i δ i ) = 9 Przestrzenie ortogonalne (dwuliniowe) i=1 9.1. Pokazać, że każdą formę dwuliniową można przedstawić w postaci sumy formy symetrycznej i[ antysymetrycznej. ] Niech forma 2-liniowa F będzie zadana a, b przez przez macierz. Zapisać F w postaci sumy F = A + S, gdzie S jest c, d symetryczną formą, a A jest antysymetryczną. 9.2. W przestrzeni W macierzy 2 2 o współczynnikach rzeczywistych rozpatrujemy funkcjonał dwuliniowy ξ(a, B) = tr(ab). Sprawdzić, czy ten funkcjonał zadaje izomorfizm W z W (czyli czy jest niezdegenerowany). Znaleźć W i stożek wektorów izotropowych. i=1 i=1 i=1 i=1 n a i b i. i=1 9.3. W przestrzeni ortogonalnej (R 4, ξ), gdzie ξ w bazie standardowej jest zadane przez macierz: 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 a) znaleźć bazę prostopadłą tej przestrzeni ortogonalnej. b) znaleźć W, gdzie W jest podprzestrzenią zadaną przez układ równań: x 2 = 0 x 1 + x 3 = 0 Czy R 4 = W W? Czy (W, ξ W W ) jest przestrzenią ortogonalną niezdegenerowaną? c) znaleźć stożek wektorów izotropowych.
Szukanie bazy prostopadłej przestrzeni dwuliniowej w oparciu o operacje na macierzy formy Niech A będzie macierzą formy ξ w bazie α 1,.., α n. Zadanie sprowadza się do znalezienia macierzy nieosobliwej B, takiej, że B T AB jest macierzą diagonalną. Szukaną bazą prostopadłą są kolumny macierzy B. Nad macierzą A piszemy macierz jednostkową. Będziemy wykonywać operacje elementarne na długich kolumnach.(co odpowiada mnożeniu A przez macierz elementarną z prawej strony) i każdą taką powtarzać na długich wierszach (co odpowiada mnożeniu A przez macierz transponowaną do niej z lewej strony). Algorytm: 1) szukamy w bazie wektora nieizotropowego i przestawiamy go na pierwsze miejsce.(jeśli α i nieizotropowy, to i ta długa kolumna na pierwsze miejsce, a potem i ty wiersz dolnej macierzy na pierwsze miejsce) Przykład (charakterystyka ciała 2): 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1a) odejmując pierwszą długą kolumnę pomnożoną przez odpowiedni skalar ( a potem pierwszy wiersz dolnej macierzy ) od pozostałych kolumn (wierszy) wyzerowujemy pozostałe n 1 wyrazów w pierwszym wierszu (kolumnie) dolnej macierzy. Przykład: 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2. tak postępujemy aż na głównej przekątnej będą same zera. Przykład: 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 2
0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 1 2 co kończy ten przykład. Współrzędne wektorów szukanej bazy prostopadłej w 0 1 1 1 2 wyjściowej bazie α 1,.., α n są kolumnami macierzy B = 1 1 0 0. 0 0 1 1 2 Uwagi: liczenia jest sporo, by wychwycić błędy trzeba pamiętać, że po każdej operacji kolumny, wiersze dolna macierz powinna wyjść symetryczna. Można sprawdzić poprawność rachunków mnożąc wyjściową macierz przez B i B T, można popatrzeć czy wyznaczniki różnią się o kwadrat 3. Jeżeli j ty wektor jest izotropowy, to w j tej kolumnie szukamy wyrazu a ij 0. Jeżeli taki się znajdzie, to dodajemy i tą kolumnę do j tej (powtarzamy na wierszach) i dostajemy nieizotropowy wektor w nowej bazie. Dalej postępujemy jak w 2. Jeśli wszystkie wyrazy w j tej kolumnie są zerowe, to ten wektor bazy należy do przestrzeni V i przechodzimy d kolejnego wektora. 9.4. Niech (V, ξ) będzie przestrzenią ortogonalną i niech Φ ξ : V V będzie homomorfizmem wyznaczonym przez ξ. Pokazać, że W = Φ 1 ξ {φ V : φ. W = 0}. Wywnioskować, że jeśli ξ jest formą niezdegenerowaną zaś α 1,.., α n jest bazą V, taką że α 1,.., α k jest bazą W V, to Φ 1 ξ (α k+1 ),.., Φ 1 ξ (α n) jest bazą W. Definicja. Przestrzeń ortogonalna z iloczynem zadanym w pewnej bazie przez macierz [ 0 ] 1 1 0 nazywa się płaszczyzną hiperboliczną. 9.5. Udowodnić, że płaszczyzna hiperboliczna zawiera wektor α, taki że lin{α} = lin{α}. 9.6. Udowodnić, że niezdegenerowana przestrzeń ortogonalna (V, ξ) nad ciałem charakterystyki różnej od 2 jest sumą ortogonalną płaszczyzn hiperbolicznych oraz przestrzeni niezdegenerowanej nie zawierającej wektorów izotropowych. Udowodnić, że liczba tych hiperpłaszczyzn nie zależy od wybranej bazy.
Rozpatrując przestrzeń ortogonalną nad R o macierzy: 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 wykazać, że płaszczyzny hiperboliczne o których mowa w zadaniu nie są wyznaczone jednoznacznie. 9.7. Dla niezdegenerowanej przestrzeni ortogonalnej (V, ξ) nad ciałem charakterystyki różnej od 2 następujące warunki są równoważne: a) (V, ξ) jest sumą ortogonalną płaszczyzn hiperbolicznych b) istnieje podprzestrzeń W V, taka, że W = W c) w pewnej bazie macierz ξ ma postać: [ ] 0 I, I 0 gdzie I jest macierzą identyczności d) V = W 1 W 2, gdzie W 1 i W 2 są całkowicie zdegenerowane. 9.8. Udowodnić, że rzeczywista niezdegenerowana przestrzeń ortogonalna jest sumą ortogonalną płaszczyzn hiperbolicznych wtedy i tylko wtedy, gdy jej sygnatura jest równa 0. 9.9. (Uogólnienie ortogonalizacji Schmidta) Niech (V, ξ) będzie przestrzenią ortogonalną nad ciałem K i niech A będzie macierzą ξ w bazie α 1,..., α n. Załóżmy, że dla każdego k n podprzestrzeń lin{α 1,..., α k } jest niezdegenerowana. Pokazać, że a) istnieje baza prostopadła β 1,..., β n taka, że dla każdego 1 k n, lin{α 1,..., α k } = lin{β 1,..., β k }. Pokazać że wektory {β 1,..., β n } są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do mnożenia przez skalar. b) Pokazać, że jeżeli dla każdego 1 k n, ξ(α k, β k ) = 1, to ξ(β k, β k ) = k k 1, gdzie 0 = 1, zaś k jest wyznacznikiem macierzy [ ]. a11........... a. 1k.... a k1... a kk c) Pokazać,że jeżeli k = R, to sygnatura formy ξ jest równa n 2a, gdzie a jest liczbą zmian znaku minorów k.
9.10. Które z poniższych macierzy są podobne nad R (tj. są macierzami tego samego funkcjonału dwuliniowego symetrycznego, tylko w różnych bazach)? 2 3 3 5 3 4 3 2 5 8 1 2 3 4 2 2 4 5 5 3 8 13 1 3 3 2 0 1 3 5 10 5 1 1 12 5 5 2 1 3 2 3 5 5 2 3 5 5 5 7 4 4 4 1 8 17 7 10 5 6 1 2 4 8 4 5 7 1 8 4 0 9 4 6 1 9 17 8 9 33 10 Zbiory algebraiczne stopnia 2 10.1. Niech f będzie funkcją kwadratową określoną na przestrzeni afninicznej E nad K. Niech p E. Pokazać, że dla dowolnych α, β S(E) zachodzi: f(p + α + β) = f(p + α) + (f p ) 2 (β) + 2ξ(α, β) + (f p ) 1 (β) gdzie (f p ) 2, (f p ) 1, (f p ) 0 oznaczają odpowiednio część kwadratową, liniową i stałą funkcji (f p )( ) = f(p + ) zaś ξ jest dwuliniową formą symetryczną wyznaczoną przez (f p ) 2. (uwaga:(f p ) 2 = (f q ) 2 dla dowolnych p, q E.) Definicja. Punkt c E nazywa się środkiem symetrii funkcji kwadratowej f wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego α S(E) f(c + α) = f(c α). 10.2. Niech p E. Pokazać, że c = p + β jest środkiem symetrii funkcji kwadratowej f wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja liniowa α 2ξ(α, β)+(f p ) 1 (α) jest zerowa. 10.3. Niech p, α 1,..., α n będzie układem bazowym w przestrzeni afinicznej. Pokazać, że w tym układzie bazowym zbiór środków symetrii dany jest przez układ równań: f p = 0, i = 1,..., n x i 10.4. Niech w układzie bazowym p, α 1,..., α n funkcja kwadratowa f ma postać: f(p + x 1 α 1 +.. + x n α n ) = Σ n i,j=1,i ja ij x i x j + Σ n i=1b i x i + c Zapisujemy to w postaci macierzy: b 12 A. Ã = b n2 b 12 b n2 c
Niech B będzie macierzą przejścia od bazy β 1,.., β n do bazy α 1,..., α n zaś (t 1,.., t n ) będą współrzędnymi wektora pq w bazie α 1,..., α n.(to znaczy, że (x 1,.., x n ) = B(x 1,.., x n) + (t 1,.., t n )). Niech à będzie macierzą f w układzie współrzędnych q, β 1,..., β n. Wówczas gdzie à = ( B) T à B t 1 B. B = t n 0 0 1 Sprowadzanie funkcji wielomianowej kwadratowej określonej na przestrzeni afinicznej nad ciałem K, chk 2, do postaci kanonicznej przy pomocy przekształceń afinicznych. Krok I: Sprowadzanie części jednorodnej kwadratowej do postaci diagonalnej: metoda I: szukamy bazy prostopadłej (i dodatkowo unormowanej jeśli K = C lub dodatkowo na wpół unormowanej, jeśli K = R) funkcjonału dwuliniowego symetrycznego odpowiadającego części jednorodnej kwadratowej. wady - żmudne rachunkowo; zalety - od razu dostajemy układ bazowy, w którym część jednorodna jest sumą kwadratów. metoda II: metoda Lagrange a: wady - odczytanie układu bazowego, w którym część jednorodna jest sumą kwadratów jest żmudne. zalety - jest prostsza rachunkowo. Na pewno opłaca się ją stosować, gdy jesteśmy pytani tylko o typ funkcji kwadratowej, bez konieczności podawanmia układu bazowego. Metoda Lagrange a: Niech w układzie bazowym p, α 1,..., α n część jednorodna kwadratowa ma postać: a) jeśli a ii 0, to Σ n i,j=1,i ja ij x i x j (f p ) 2 (x) = 1 a ii (Σ n j=1a ij x j ) 2 + (f p) 2 (x) i funkcja (f p) 2 nie zawiera zmiennej x i. b) jeśli a ii = a jj = 0 i a ij 0, to: (f p ) 2 (x) = 1 a ij (Σ n k=1 (f p) 2 nie zawiera zmiennej x i i x j. (a ik + a jk ) x k ) 2 1 (Σ n k=1 2 a ij (a ik a jk ) x k ) 2 + (f 2 p) 2 (x)
10.5. Znaleźć macierz B w przypadku a) i b). Krok II Redukcja (f p ) 1 do 0 jeśli istnieje środek symetrii, lub do x n jeśli środka symetrii nie ma. Jeśli istnieje środek symetrii istnieje niekiedy wygodnie jest wpierw przesunąć układ współrzędnych do środka symetrii. 10.6. Znaleźć środki symetrii następujących funkcji kwadratowych w R 3, które w standardowym układzie współrzędnych mają równanie: a)5x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 2x 1 x 2 4x 1 x 3 8x 1 + 10x 2 = 0 b)5x 2 1 + 9x 2 2 + 9x 2 3 12x 1 x 2 6x 1 x 3 + 12x 1 36x 3 = 0 10.7. Znaleźć przekształcenie afiniczne sprowadzające do postaci kanonicznej. SPROWADZANIE FUNKCJI WIELOMIANOWEJ KWADRATOWEJ OKREŚLONEJ NA PRZESTRZENI AFINICZNEJ EUKLIDESOWEJ DO POSTACI KANONICZNEJ PRZY POMOCY PRZEKSZTAŁCEŃ ORTO- GONALNYCH. W kroku I jest tylko jedna droga: szukamy bazy ortonormalnej wektorów własnych A. 10.8. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni euklidesowej R 4 ze standardowym iloczynem skalarnym, w której funkcja kwadratowa ma postać kanoniczną. 2x 1 x 2 6x 1 x 3 6x 2 x 4 + 2x 3 x 4 10.9. Opisać typ kwadryki i znaleźć jej środek x 2 1 2x 2 2 + x 2 3 + 6x 2 x 3 4x 1 x 3 8x 1 = 0 10.10. Znaleźć oś symetrii paraboli x 2 + 4xy + 4y 2 + 8x + y = 8. 10.11. Udowodnić, że środek symetrii kwadryki w R n opisanej równaniem Q(x) = 0 można znaleźć rozwiązując układ równań Q x i = 0, i = 1,... n. 10.12. Dany jest stożek x 2 + y 2 = z 2. Opisać wszystkie możliwe przekroje stożka z płaszczyzną. 10.13. Znaleźć rodziny prostych pokrywające powierzchnię a) hiperboloida jednopowlokowa x 2 + y 2 z 2 = 1, b) paraboloida hiperboloczna x 2 y 2 = 2z. KONIEC. EGZAMIN I WAKACJE!!!