Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r
Zmienne losowe i ich rozkłady
Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Z wynikiem doświadczenia losowego wiąże się w naturalny sposób pewną liczbę albo ciąg liczb. Funkcję przekształcająca wynik eksperymentu losowego na liczbę rzeczywistą nazywamy zmienną losową.
Zmienna losowa Niech (Ω, F, P) oznacza podstawową przestrzeń probabilistyczną. Definicja 2.1: Zmienna losowa Zmienną losową nazywamy funkcję określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych X : Ω R, taką że dla każdego a R {ω : X (ω) a} F
Zmienna losowa Niech (Ω, F, P) oznacza podstawową przestrzeń probabilistyczną. Definicja 2.1: Zmienna losowa Zmienną losową nazywamy funkcję określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych X : Ω R, taką że dla każdego a R {ω : X (ω) a} F Mniej formalnie mówiąc, zmienna losowa to taka funkcja X określona na zbiorze zdarzeń elementarnych o wartościach liczbowych, dla której dane są prawdopodobieństwa przyjmowania przez X wartości z dowolnego zbioru.
Zmienna losowa Zmienne losowe: dyskretne (typu skokowego) - zmienna przyjmuje dowolne wartości ze zbioru skończonego albo przeliczalnego typu ciągłego -zmienna przyjmuje dowolne wartości z określonego przedziału
Zmienna losowa Zmienne losowe: dyskretne (typu skokowego) - zmienna przyjmuje dowolne wartości ze zbioru skończonego albo przeliczalnego typu ciągłego -zmienna przyjmuje dowolne wartości z określonego przedziału Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami, np.: X, Y, Z, natomiast małymi literami (x, y, z) oznaczamy wartości zmiennych losowych.
Rozkład zmiennej losowej Definicja 2.2: Rozkład zmiennej losowej Dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako F X (t) = P(ω : X (ω) t)
Rozkład zmiennej losowej Definicja 2.2: Rozkład zmiennej losowej Dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako F X (t) = P(ω : X (ω) t) Własności dystrybuanty F X jest niemalejąca lim t F X (t) = 1 lim t F X (t) = 0 F X jest prawostronnie ciągła
Rozkład zmiennej losowej Warto zauważyć, że dla ciągłej zmiennej losowej i dowolnych liczb a, b R P(X a) = F X (a) P(X a) = 1 F X (a) P(a X b) = F X (b) F X (a)
Gęstość zmiennej losowej Definicja 2.3: Funkcją gęstości rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X nazywamy funkcję f X (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako f X (t) = P(ω : X (ω) = t)
Gęstość zmiennej losowej Definicja 2.3: Funkcją gęstości rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X nazywamy funkcję f X (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako f X (t) = P(ω : X (ω) = t) Definicja 2.4: Funkcją gęstości rozkładu ciągłej zmiennej losowej X nazywamy funkcję f X (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako F X (t) = t f X (s)ds
Własności gęstości zmiennej losowej Uwaga! d dt F X (t) = f X (t) Każda funkcja, będąca gęstością prawdopodobieństwa, wyznacza jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej.
Własności gęstości zmiennej losowej Uwaga! d dt F X (t) = f X (t) Każda funkcja, będąca gęstością prawdopodobieństwa, wyznacza jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej. Twierdzenie 2.1 Funkcja f (x) jest gęstością pewnej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy, gdy 1 f (x) 0 2 f (t)dt = 1
Własności gęstości zmiennej losowej Przykład 2.1 Dobrać stałe a i b > 0 tak, aby funkcja { a cos x dla x [0, b] f (x) = 0 dla x / [0, b] była gęstością pewnej zmiennej losowej.
Własności gęstości zmiennej losowej Przykład 2.1 Dobrać stałe a i b > 0 tak, aby funkcja { a cos x dla x [0, b] f (x) = 0 dla x / [0, b] była gęstością pewnej zmiennej losowej. Należy dobrać stałe tak aby były spełnione warunki 1 i 2 z Twierdzenia 2.1. A zatem, aby f (x) 0 musi zachodzić a 0 oraz 0 b π/2. Aby był spełniony warunek 2 musi zachodzić równość: b 0 a cos xdx = 1
Własności gęstości zmiennej losowej Obliczając całkę b 0 a cos xdx = a sin x b 0 = a sin b a sin 0 = a sin b dostajemy warunek a sin b = 1, a stąd b = arc sin(1/a). Zatem aby dana funkcja była gęstością, stałe muszą spełniać warunki: a 0, b = arc sin(1/a).
Interpretacja graficzna zależności pomiędzy funkcją gęstości a rozkładem prawdopodobieństwa
Funkcje zmiennych losowych Przykład 2.2 Niech X będzie nieujemną zmienną losową o gęstości f X. Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = X.
Funkcje zmiennych losowych Przykład 2.2 Niech X będzie nieujemną zmienną losową o gęstości f X. Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = X. Dla x 0 zachodzi: F Y (t) = P( X t) = P(X t 2 ) = F X (t 2 ) = a stąd: f Y (t) = df Y (t) dt = 2tf X (t 2 )I (0, ) (t) t 2 0 f X (u)du
Transformacje zmiennych losowych Twierdzenie 2.2 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie z gęstością f X (x) oraz niech Y = g(x ), gdzie g jest funkcją ściśle monotoniczną. Załóżmy, że f X (x) jest funkcją ciągłą oraz że g 1 (y) jest funkcją z ciągłą pochodną. Wtedy gęstość rozkładu zmiennej losowej Y jest postaci: f Y (y) = f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y)
Transformacje zmiennych losowych Przykład 2.3 Niech X oznacza zmienną losową o gęstości: f X (x) = e x I (0, ) (x). Chcemy znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ln X.
Transformacje zmiennych losowych Przykład 2.3 Niech X oznacza zmienną losową o gęstości: f X (x) = e x I (0, ) (x). Chcemy znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ln X. Funkcją g jest tutaj g(x) = ln(x), a zatem dla y R, g 1 (y) = e y.
Transformacje zmiennych losowych Przykład 2.3 Niech X oznacza zmienną losową o gęstości: f X (x) = e x I (0, ) (x). Chcemy znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ln X. Funkcją g jest tutaj g(x) = ln(x), a zatem dla y R, g 1 (y) = e y. Dalej d dy g 1 (y) = e y.
Transformacje zmiennych losowych Przykład 2.3 Niech X oznacza zmienną losową o gęstości: f X (x) = e x I (0, ) (x). Chcemy znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ln X. Funkcją g jest tutaj g(x) = ln(x), a zatem dla y R, g 1 (y) = e y d. Dalej dy g 1 (y) = e y. Korzystając z Twierdzenia 2.2 otrzymujemy f Y (y) = e ey e y
Transformacje zmiennych losowych Przykład 2.4 Niech X będzie daną zmienną losową. Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ax + b, a, b R +
Transformacje zmiennych losowych Przykład 2.4 Niech X będzie daną zmienną losową. Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ax + b, a, b R + Sposób I: ( F Y (t) = P(aX +b t) = P(ax t b) = P X t b ) = a ( ) t b = F X a
Transformacje zmiennych losowych Przykład 2.4 Niech X będzie daną zmienną losową. Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ax + b, a, b R + Sposób I: ( F Y (t) = P(aX +b t) = P(ax t b) = P X t b ) = a ( ) t b = F X a zatem f Y (t) = df Y (t) = 1 ( ) t b dt a f X a
Transformacje zmiennych losowych Sposób II g(x) = ax + b, a stąd g 1 (y) = 1 a (y b), a następnie d dy g 1 (y) = 1 a. Zatem f Y (y) = f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) = 1 ( ) y b a f X a
Literatura: Bartoszewicz J.,Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1989. Gajek L., Kałuszka M.,Wnioskowanie statystyczne, WNT, Warszawa 2000, wyd. IV. Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Krówlikowska K., Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, część II, PWN, 2012 Magiera M, Modele i metody statystyki matematycznej, część II, wnioskowanie statystyczne, Wrocław, 2007