CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE

CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE Wykład 6: Wymiarowanie elementów cienkościennych o przekroju w ujęciu teorii Własowa

INFORMACJE OGÓLNE Ścianki rozważanych elementów, w zależności od smukłości pod naprężeniami ściskającymi lub stycznymi, mogą lub nie mogą tracić stateczność lokalnie. Pręty, w zależności od kształtu profili i sposobu podparcia oraz obciążenia, mogą w różny sposób reagować na skutki skręcania. W elementach ściskanych lub zginanych wpływ ten może mieć większe lub mniejsze znaczenie. Łączne rozpatrzenie obu czynników przy ocenie nośności elementów jest zagadnieniem złożonym (nieprzydatnym z praktycznego punktu widzenia). Rozpatruje się dwie teorie opisujące powyższe zjawiska: A. teoria prętów cienkościennych Własowa (nie uwzględnia lokalnej utraty stateczności), B. teoria nośności nadkrytycznej Wintera (nie uwzględnia skutków skręcania). 2/24

GEORGE WINTER I VASILY ZACHAROWICH VLASV ur. 1. kwietnia 1912 w Wiedniu (Austria) zm. 3. listopada 1972 w Ithica (NY, USA) ur. 24. lutego 1906 w Tarusie (Rosja) zm. 7. sierpnia 1958 w Moskwie (ZSRR) 3/24

TEORIA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WŁASOWA Podstawowe założenia: hipoteza sztywnego konturu przekrój pręta odkształconego pod obciążeniem ma taki sam kontur jak przed obciążeniem, może się tylko obracać i przemieszczać w swojej płaszczyźnie, w wyniku skręcania przestaje być płaski i ulega spaczeniu, pręt rozpatruje się jako powłokę pryzmatyczną, zerowe odkształcenia powierzchni środkowych (dotyczy przekrojów otwartych). 4/24

PODSTAWOWE POJĘCIA Przemieszczenia przekroju i odpowiadające im siły przekrojowe: przemieszczanie siła osiowa N powodująca odkształcenia wzdłuż pręta, obroty wokół osi głównych momenty M powodujące obrót przekroju, paczenie (deplanacja) bimoment B, podwójna para sił powdująca wzajemny obrót dwóch płaszczyzn. Pojęcia: deplanacja, bimoment. 5/24

PODSTAWOWE POJĘCIA Charakterystyki geometryczne: współrzędne wycinkowe ω, wycinkowy moment bezwładności I ω, środek ścinania. Profil sprowadza się do konturu w linii środkowej profilu. Punkty konturu definiują trzy współrzędne: y, z, ω. ω A = න α β s2 r w 2 dθ = න s1 r w 2 ds, gdzie r w = f θ jest funkcją określającą kształt konturu. I ω = නω 2 da. A W środku ścinania A σω da = 0. 6/24

WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK 7/24

WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK 8/24

WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK 9/24

NAPRĘŻENIA NORMALNE σ x, s = N x A + M y x I y z s M z x I z y s + B x I ω ω s 10/24

NAPRĘŻENIA NORMALNE Naprężenia sprowadzone do sił wewnętrznych: siła podłużna: N = A σ da, momenty zginające: M y = A σz da lub M z = A σy da, bimoment: B = A σω da. Stąd warunek nośności przekroju: M y,ed M y,el,rd + M y,ed M y,el,rd + B Ed B el,rd 1 11/24

NAPRĘŻENIA STYCZNE τ = V zs y ti y V ys z ti z M ωs ω ti ω ± M t I t t 12/24

NAPRĘŻENIA STYCZNE Naprężenia sprowadzone do sił wewnętrznych: siły poprzeczne: V z = A τ 1 da lub V y = A τ 2 da, moment giętno-skrętny: M ω = A τ ω ω da, moment czystego skręcania: przekroju otwartego: przekroju zamkniętego: M T = A τ 4 δ da, M T = A τ 5 r da 13/24

WYMIAROWANIE CEOWNIKA Obciążenia Naprężenia normalne 14/24

WYMIAROWANIE CEOWNIKA Naprężenia styczne Przemieszczenia 15/24

SKRĘCANIE SWOBODNE (CZYSTE) Teoria opracowana przez Saint-Venanta i Bredta przyjmuje, że odkształcenie pręta pryzmatycznego składa się z: obrotu poprzecznego wokół osi di niego prostopadłej, przechodzącej przez środek ścinania, jednakowej deplanacji wszystkich przekrojów. Taka swoboda deplanacji występuje, gdy: na pryzmatyczny pręt oddziałują dwa równoważące się momenty skręcające, kąt skręcenia jest infinitezymalny (można pominąć zmiany odległości wzajemnych końców pręta zakrzywiających się śrubowo). 16/24

SKRĘCANIE SWOBODNE (CZYSTE) Strumień naprężeń stycznych 17/24

SKRĘCANIE SWOBODNE (CZYSTE) Kąt skręcenia: Deplanacja: Naprężenia styczne φ = Ml GI T. φ = M GI T. profil otwarty: τ T = ± 2Mδ I T, τ T,max = ± Mt I T, profil zamknięty: τ T = τ T,max = M A o t. 18/24

SKRĘCANIE NIESWOBODNE (SKRĘPOWANE) Występuje w sytuacji, gdy nie mamy do czynienia ze swobodą deplanacji przekroju. Moment skręcający M x jest sumą efektów momentu giętno-skrętnego M ω i czystego skręcania M T. M x = M ω + M T 19/24

SKRĘCANIE NIESWOBODNE (SKRĘPOWANE) Moment giętno-skrętny wyznaczony na podstawie zależności na naprężenia styczne τ ω przyjmuje postać: M ω = EI ω φ 3, wówczas otrzymuje się, że: M x = M ω + M T = GI T φ (1) EI ω φ 3, a po jednokrotnym zróżniczkowaniu otrzymuje się równanie kątów skręcenia skrępowanego pręta: EI ω φ 4 GI T φ 2 = m x x Przemieszczenia: kąty skręcenia φ x, deplanacja φ x, Siły wewnętrzne: bimoment B x = EI ω φ 2 x moment giętno-skrętny M ω, moment czystego skręcania M T, moment skręcający M x. 20/24

SKRĘCANIE NIESWOBODNE (SKRĘPOWANE) Naprężenia normalne: σ ω = Bω I ω. Naprężenia styczne τ = τ T + τ ω. styczne wycinkowe τ ω = M ωs ω I ω t. profile otwarte τ = ± M Tt + M ωs ω I T I ω t, profile zamknięte τ = ± M T A o t + M ωs ω I ω t. 21/24

SKRĘCANIE NIESWOBODNE (SKRĘPOWANE) 22/24

SKRĘCANIE Znaczenie skręcania swobodnego i skrępowanego w zależności od przekroju. 23/24

WARUNKI NOŚNOŚCI PRZEKROJU Maksymalne naprężenia w przekrojach pręta nie powinny przekraczać wytrzymałości obliczeniowej: σ x,ed f y γ M0 i τ Ed f y 3γ M0. W każdym punkcie przekroju łączne naprężenia normalne i styczne powinny spełniać warunek normowy: σ x,ed f y /γ M0 2 + σ z,ed f y /γ M0 2 σ x,ed f y /γ M0 σ z,ed f y /γ M0 + 3 τ Ed f y /γ M0 2 1,0. 24/24