EKONOMERIA ECONOMERICS 4(46 204 ISSN 507-3866 Alcja Wolny-Domnk Unwersytet Ekonomczny w Katowcach e-mal: alcja.wolny-domnak@e.katowce.pl JEDNOMODELOWA ARYFIKACJA A PRIORI W KRÓKOERMINOWYCH UBEZPIECZENIACH MAJĄKOWYCH Streszczene: W obecnej praktyce bznesowej zakłady bezpeczeń majątkowych dla portfel, w których występje dża lczba pols (np. komnkacyjne, bezpeczene nerchomośc, wykorzystją w taryfkacj a pror dwa modele regresyjne: model częstośc szkód (clams freqency oraz model wartośc szkody (clams severty. Najczęścej stosowane są modele GLM oraz regresja negatywno-dwmanowa w przypadk nadmernej dyspersj lczby szkód. Alternatywą dla dwmodelowej taryfkacj jest modelowane wykorzystjące jedyne jeden model regresyjny, w którym zmenną objaśnaną jest łączna wartość szkód dla pojedynczej polsy przy założonym złożonym rozkładze Possona (compond Posson. aka taryfkacja wymaga zatem analzowana jedyne jednej grpy czynnków ryzyka, pomja np. modelowane lczby szkód. Ponadto pozwala na względnane nadmernej lczby wartośc zerowych, co jest bardzej zawłe w przypadk taryfkacj dwmodelowej. Celem nnejszego artykł jest zaproponowane model regresyjnego w jednomodelowej taryfkacj względnającego specyfkę danych w portfel bezpeczenowym, tj. założene nezależnośc pols w portfel ne jest spełnone. Słowa klczowe: jednomodelowa taryfkacja, bezpeczena majątkowe, składka czysta, rozkład weede, złożony rozkład Possona. DOI: 0.56/ekt.204.4.03. Wstęp W obecnej praktyce bznesowej zakłady bezpeczeń majątkowych dla portfel, w których występje dża lczba pols (np. komnkacyjne, bezpeczene nerchomośc, wykorzystją w taryfkacj a pror dwa modele regresyjne: model częstośc szkód (clam freqency model oraz model wartośc pojedynczej szkody (clam severty model, wykorzystjąc nformacje o lczbe szkód oraz wartośc szkód dla poszczególnych pols [Dmakos, D Rattalma 2002; Wolny-Domnak 20; Antono, Valdez 202]. Oba modele pozwalają na estymację wartośc składk ryzyka (pre Praca częścowo fnansowana przez grant Narodowego Centrm Nak (nr NN 46540.
Jednomodelowa taryfkacja a pror w krótkotermnowych bezpeczenach majątkowych 35 rsk premm dla pojedynczego ryzyka rozmanej jako wartość oczekwana łącznej wartośc szkód dla pojedynczego ryzyka. W modelach tych zmennym objaśnającym są welokategoralne czynnk ryzyka stalane osobno dla lczby szkód oraz wartośc pojedynczej szkody. Najczęścej stosowane są modele GLM, tj. GLM- -Posson oraz GLM-gamma, ew. regresja negatywno-dwmanowa w przypadk nadmernej dyspersj dla lczby szkód. Do estymacj parametrów model stosje sę metodę najwększej warygodnośc. Jako ż maksymalzacja fnkcj warygodnośc ne może być przeprowadzona analtyczne (brak rozwązana analtycznego dla równań skorngowych, nezbędne jest stosowane algorytmów nmerycznych. W pracy korzystamy z szybkego algorytm teracyjnego IWSL [McCllagh, Wedderbrn 972]. Alternatywą dla dwmodelowej taryfkacj jest modelowane wykorzystjące jedyne jeden model regresyjny, w którym zmenną objaśnaną jest łączna wartość szkód dla pojedynczej polsy przy założonym złożonym rozkładze Possona (compond Posson [Jørgensen, Paes De Soza 994]. Jednomodelowa taryfkacja a pror jest alternatywą dla poplarnej taryfkacj dwmodelowej główne w sytacj, gdy zakład bezpeczeń dysponje jedyne nformacjam o łącznej wartośc szkód dla ndywdalnych pols, a ne zna lczby szkód N. Wymaga ona analzowana jedyne jednej grpy czynnków ryzyka, ponadto zyskjemy jeden błąd model, a ne dwa jak w przypadk taryfkacj dwmodelowej. Jednak problemem w podejśc jednomodelowym jest fakt, ż fnkcj gęstośc złożonego rozkład Possona ne można zapsać w postac analtycznej. Wadomo jednak powszechne, ż jest on szczególnym przypadkem rozkład weede dla p (, 2. Mmo ż rozkłady weede równeż ne mają swojej analtycznej postac, jednak należą do dyspersyjnej rodzny rozkładów, co pozwala na stosowane algorytm IWSL. Wadą tego podejśca jest jednak koneczność estymacj dodatkowego parametr p. Algorytm zaproponowany w pracy [Dnn, Smyth 2008] dla dżych zborów danych, a takm są portfele masowe, dzała bardzo wolno, co powodje neefektywność jego stosowana w praktyce. Celem nnejszego artykł jest zaproponowane model regresyjnego w jednomodelowej taryfkacj, który względna specyfkę danych w portfel bezpeczenowym w aspekce nezależnośc ryzyk. W tym przypadk nezależność ta rozmana jest jako nezależność zmennych losowych reprezentjących łączną wartość szkód dla pojedynczego ryzyka. W perwszej częśc artykł przedstawono podstawy teoretyczne zwązane z modelowanem oraz estymacją w jednomodelowej taryfkacj. Drga część zawera proponowany model klasy HGLM będący rozszerzenem model GLM o efekty losowe. Artykł kończy przykład empryczny, który ma na cel zobrazowane proponowanych model w procese estymacj parametrów tych model. W oblczenach wykorzystano program R.
36 Alcja Wolny-Domnak 2. Jednomodelowa taryfkacja a pror Rozważmy portfel n pols w portfelach bezpeczeń majątkowych o dżej lczbe pols. Każdej polse odpowada pewna zmenna losowa o określonym rozkładze, dalej oznaczana przez S,,..., n. Oznaczmy przez N lczbę szkód dla -tej polsy w portfel, natomast przez Y k, k,..., N odpowadającą jej wartość pojedynczej szkody 2. Wtedy zmenna S ma postać: S Y... Y określa łączną wartość szkód wygenerowaną przez -tą polsę. ak zdefnowana zmenna, przy założenach: N Pos (, ~ 2 Y,..., Y N mają take same rozkłady pochodzące z dyspersyjnej rodzny rozkładów wykładnczych z parametram (,, p spełnające warnek Var ( (podrodzna weede rozkładów, Y k p 3 Y,..., Y N są nezależne oraz nezależne od N, rozkłada sę zgodne ze złożonym rozkładem Possona (ozn. CPos. W tym przypadk dwa perwsze momenty rozkład CPos mają następjącą postać: N E S ] E[ E[ S N ]] E[ Y ] E[ N ], [ 2 Var ( S E [ Y ] Var ( N E[ N ] Var ( Y. Składka ryzyka (pre rsk premm dla pojedynczego ryzyka defnowana jest jako: ( E S ],,..., n. (2 [ W cel zyskana konkretnej wartośc składk ryzyka w masowych portfelach pols zakłady bezpeczeń powszechne stosją odpowedne modele statystyczne, w których wartość składk ryzyka jest estymowaną wartoścą ˆ na podstawe nformacj zawartych w portfel (próbe statystycznej. Jako ż charakterystyczną cechą portfela pols jest jego nejednorodność, powodjąca generowane różnych wartośc szkód dla polsy, stosowane są najczęścej modele regresyjne klasy GLM. Portfel różncją czynnk ryzyka charakteryzjące ogólne osobę bezpeczającą sę, przedmot bezpeczena oraz zmenną przestrzenną (w sense geografcznym. W kontekśce bezpeczenowym polsa wraz z odpowadającym jej zmennym losowym nazywana jest ryzykem, natomast portfel pols portfelem ryzyk.
Jednomodelowa taryfkacja a pror w krótkotermnowych bezpeczenach majątkowych 37 Przyjmjmy w rozważanym portfel założene nezależnośc zmennych S,...,S n. Wtedy model ma postać: gdze ( 0,,..., k S ~ CPos (,, p, (3 E exp( β x β jest wektorem efektów stałych, x jest -tym werszem macerzy model X, natomast E oznacza ekspozycję na ryzyko jest to najczęścej czas trwana polsy. Wektor parametrów model ma zatem postać ( 0,,..., k, p,. Korzystając z tego, ż β jest wektorem stałych, wartość składk ryzyka dla -tej polsy wynos: ˆ E exp(ˆ β x. (4 W estymacj parametrów model (3 zastosowane znajdje metoda najwększej warygodnośc. W pracy [Jørgensen, Paes De Soza 994] atorzy wykazal, ż złożony rozkład Possona z przyjętym rozkładem gamma elementów smy jest specyfcznym przypadkem rozkład weede, w którym p 2. Dzęk tem, mmo że ten przypadek złożonego rozkład Possona ne ma swojej analtycznej postac fnkcj gęstośc, znana jest jego postać fnkcj warancj V (. Pozwala to zatem na nmeryczne wyznaczene estymatorów parametrów model z wykorzystanem klasycznego algorytm IWSL bez potrzeby znajomośc postac fnkcj warygodnośc. 3. Model z efektam stałym losowym klasy HGLM Zaważmy, ż założene nezależnośc zmennych S,...,S n ne zawsze jest spełnone w portfel ryzyka, a spełnona jest jedyne nezależność warnkowa. Analzjąc bezpeczene dom, należy pamętać, że w momence, kedy w jednym dom wybchne pożar, to pożar może wybchnąć równeż w dom stojącym obok, natomast ne wybchne w dom stojącym w dżej odległośc [Otto 203]. Fakt ten można względnć, przechodząc od model GLM do model GLM z efektam losowym (,..., K, zyskjąc model meszany, gdze,,..., K są nezależnym realzacjam zmennej losowej U. Oznacza to podzał portfela na klastry spełnające warnek: polsy należące do tego samego klastra są zależne, natomast dwe polsy z dwóch różnych klastrów są nezależne. Zatem spełnony jest warnek: cov( Sj, Sk U 0, j, k,..., n, (5 gdze S j, S k oznaczają łączną wartość szkód dla j-tej oraz k-tej polsy należących do -tego klastra, natomast n oznacza lczebność -tego klastra. W przypadk gdy
38 Alcja Wolny-Domnak założymy, ż nezależne efekty losowe przyjmją rozkład z dyspersyjnej rodzny wykładnczej (ozn. EDM Exponental Dsperson Model [Jorgensen 987] z parametram,, zyskjemy model klasy HGLM [Lee, Nelder 996]. Postać mo- del jest następjąca: gdze ( ( 0,,..., r,,, v (ln(,...,ln( Sj U ~ CPos ( j,, p ~ EDM (,, (6 j ( Ej exp( β xj v( zj K przypadk być przyjmowana dwojako: 3. Wektor parametrów model wynos wtedy. Wartość składk ryzyka dla -tej polsy może w tym ˆ ( [ ] exp( ˆ E S U E βx v( z j j j j j ˆ ˆ E[ S ] E[ E[ S U]] E exp( βx E[ v( ˆ z ] j j j j j j ˆ E exp( βx ˆ. j j (7 Estymacja parametrów model (6 ne jest jż taka oczywsta jak w przypadk model (3. Wynka to z fakt, ż znane są postac rozkładów dla rozkład warnkowego zmennej S j U (weede z parametrem p 2 oraz efektów losowych,..., K, natomast ne jest znana postać rozkład brzegowego zmennej S j. W takej sytacj można wykorzystać fnkcję rozszerzonej warygodnośc będącą de facto rozszerzenem fnkcj qas-warygodnośc [Bjørnstad 996]. W pracy korzystamy z pewnego przypadk fnkcj rozszerzonej warygodnośc zwanej fnkcją herarchcznej warygodnośc oznaczanej przez H(. 4 : H K n ( 0,,..., r,,, ; sj f, ( sj g, ( j. (8 Do wyznaczena wartośc maksymalnych fnkcj log-h(. zastosowane znajdje algorytm teracyjny H-IWSL (herarchczny IWSL [Lee, Nelder 996]. Algorytm ten zawera swoją mplementację w programe R w pakece {hglm} [Ronnegard n. 200]. 3 Ops przekształcena v(. por. [Lee n. 2006 s. 02], Example 4.3. 4 Warnkem tego, aby fnkcja rozszerzonej warygodnośc była fnkcją herarchcznej warygodnośc, zob. [Lee n. 2006, s. 75-76].
Jednomodelowa taryfkacja a pror w krótkotermnowych bezpeczenach majątkowych 39 4. Przykład oblczenowy W cel zobrazowana dzałana model HGLM w jednomodelowej taryfkacj analzjemy portfel 664 pols. Został on zaczerpnęty z pracy [Ohlsson Johansson 200] zawarty w pakece program R o nazwe {nsrancedata} [Wolny-Domnak, rzęsok 204]. Czynnk ryzyka zarejestrowane w portfel przedstawa tab.. abela. Ops czynnków ryzyka w portfel Nazwa czynnka ryzyka Ops zmennej Kategore zmennej Wek.k Klasa.MC Wek kerowcy Współczynnk: moc slnka dzelona przez wagę pojazd + 75(kg Kategore A-G (najstarszy Kategore A-G Wek.poj Wek pojazd Kategore A-C Regon Regon żytkowana pojazd Kategore A-G Źródło: oblczena własne. Przyjmjemy, ż portfel pogrpowany jest na klastry ze względ na czynnk Regon, który najczęścej generje zależnośc w portfel (o tzw. area effect por. [Dmakos, D Rattalma 2002; Żądło 204]. Zatem w model mamy,...,7 efektów losowych. Przyjmjąc klasyczne rozkład normalny dla zmennej geografcznej (wtedy, należy zaważyć, że postać model jest następjąca: 2 Sj U ~ CPos( j,, p 2 ~ N(0,, j ( Ej exp[ 0 βwek. kj β2klasa. MCj β3wek. pojj v( REgonj ] gdze,..., 7, j,...,n, n... n7 664 (9. Ze względ na to, że każdy czynnk w model jest zmenną welokategoralną, każdy wektor parametrów posada tyle współrzędnych, le jest kategor danego czynnka, np. β,,...,. abela 2 przedstawa zyskane szacnk parametrów ( A B G model (9, które można dalej wykorzystać do wyznaczena wartośc składk dla pojedynczego ryzyka. Dodatkowo tab. 2 zawera oszacowana parametrów w model GLM, bez efektów losowych. β
40 Alcja Wolny-Domnak abela 2. Szacnkowe wartośc parametrów model GLM oraz HGLM GLM exp( ˆ s.e. exp( ˆ HGLM Wyraz wolny 0 24 625 0,4708 27 493 0,3562 Wek.kerB Wek.kerC Wek.kerD Wek.kerE Wek.kerF Wek.kerG Klasa.MCB Klasa.MCC Klasa.MCD Klasa.MCE Klasa.MCF Klasa.MCG Wek.pojB Wek.pojC Źródło: oblczena własne. s.e. B 0,9633 0,3853 0,9685 0,280 c 0,943 0,3854 0,9457 0,283 D 0,9303 0,43 0,893 0,3004 E 0,4006 0,3824 0,4040 0,2769 F 0,506 0,4084 0,5549 0,2962 G 0,4003 0,607 0,3903 0,4394 2B 0,452 0,466 0,400 0,302 2c 0,5809 0,3535 0,5 0,2560 2D 0,956 0,3822 0,7949 0,2765 2E 0,5378 0,357 0,4766 0,2585 2F 0,878 0,358 0,7408 0,255 2G,5738 0,9754,7220 0,707 3B 0,5864 0,260 0,5626 0,880 3C 0,2436 0,2206 0,2395 0,596 Rozkład łącznej wartośc szkód ma dodatkowe parametry, p, których szacnk w naszym przypadk wynoszą ˆ 2, 47 oraz p ˆ, 99. Z kole parametr rozkład efektów losowych ˆ 2 0, 0429. Zaważmy, ż generalne model HGLM generje mnejsze błędy dla parametrów w stosnk do model GLM. Najwększy błąd występje dla parametr, co jest spowodowane tym, ż w portfel występje tylko 2G jedna polsa o takej kategor zmennej Klasa.MCG. 5. Zakończene Wprowadzene do model GLM efektów losowych względnających zależnośc w portfel ne jest nowoścą w omawanej tematyce. W pracy [Nelder, Verrall 997] atorzy przedstawal poszczególne modele warygodnośc jako szczególne przypadk model HGLM, gdze efektam losowym są czynnk neobserwowalne charakte-
Jednomodelowa taryfkacja a pror w krótkotermnowych bezpeczenach majątkowych 4 rystyczne dla ndywdalnych ryzyk (np. cechy charakter osoby bezpeczającej sę. Z kole w pracy [Dmakos, D Rattalma 2002] atorzy proponowal model z losowym efektam przestrzennym, którego parametry szacowal w jęc bayesowskm. W proponowanym w pracy model HGLM zależnośc występjące w portfel ryzyk dotyczą pewnych zjawsk, które charakteryzją dana grpę ryzyk (klaster. o znaczy, że polsy w klastrze dzelą jeden wspólny efekt losowy, w odróżnen np. od efektów ndywdalnych. Jest to zatem podejśce zblżone do tego zaproponowanego w pracy [Dmakos, D Rattalma 2002]. Jednak w odróżnen od podejśca bayesowskego stosjemy podejśce klasyczne, bazjące ma metodze najwększej warygodnośc. Wydaje sę ono bardzej ntcyjne dla praktyków na co dzeń stosjących modele GLM. Lteratra Antono K., Valdez E.A., 202, Statstcal concepts of a pror and a posteror rsk classfcaton n nsrance, AStA Advances n Statstcal Analyss, 96(2, 87-224. Bjørnstad J.F., 996, On the generalzaton of the lkelhood fncton and the lkelhood prncple, Jornal of the Amercan Statstcal Assocaton, 9(434, 79-806. De Jong, P., Heller G.Z., 2008, Generalzed lnear models for nsrance data (Vol. 36, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge. Dmakos X.K., D Rattalma A.F., 2002, Bayesan premm ratng wth latent strctre, Scandnavan Actaral Jornal, 2002(3, 62-84. Dnn P.K., Smyth G.K., 2008, Evalaton of weede exponental dsperson model denstes by Forer nverson, Statstcs and Comptng, 8(, 73-86. Jorgensen B., 987, Exponental dsperson models, Jornal of the Royal Statstcal Socety. Seres B (Methodologcal, 27-62. Jørgensen B., Paes De Soza M.C., 994, Fttng weede's compond Posson model to nsrance clams data, Scandnavan Actaral Jornal, 994(, 69-93. Lee Y., Nelder J.A., 996, Herarchcal generalzed lnear models, Jornal of the Royal Statstcal Socety, Seres B (Methodologcal, 69-678. Lee Y., Nelder J.A., Pawtan Y., 2006, Generalzed lnear models wth random effects: nfed analyss va H-lkelhood, CRC Press. McCllagh P., Wedderbrn R.W.M., 972, Generalzed lnear model, Jornal of the Royal Statstcal Socety. Seres A (General, Vol. 35/3, 370-384. Nelder J.A., Verrall R.J., 997, Credblty theory and generalzed lnear models, Astn Blletn 27.0: 7-82. Ohlsson E., Johansson B., 200, Non-lfe Insrance Prcng wth Generalzed Lnear Models, Sprnger. Otto W., 203, Ubezpeczena majątkowe. Część I. eora ryzyka, Wydawnctwo WN. Ronnegard L., Xa Shen, Modd A., 200, hglm: a package for fttng herarchcal generalzed lnear models, he R Jornal, 2(2, 20-28. Wolny-Domnak A., rzęsok M., 204, nsrancedata: A Collecton of Insrance Datasets Usefl n Rsk Classfcaton n Non lfe Insrance, R package verson.0 http://cran.r project.org/package=nsrancedata. Wolny-Domnak A., 20, Szacowane stóp taryf w bezpeczenach majątkowych z wykorzystanem model HGLM, Zeszyty Nakowe/Unwersytet Ekonomczny w Poznan, (82, 38-328. Ża dło., 204, On longtdnal movng average model for predcton of sbpoplaton total, Statstcal Papers, -23.
42 Alcja Wolny-Domnak SINGLE-MODEL A PRIORI RAEMAKING IN SHOR ERM NON-LIFE INSURANCE Smmary: he goal of ths paper s to propose the regresson model sefll n a pror ratemakng n short term non-lfe nsrance. In the model the aggregat clam amont for ndvdal rsk followng s estmated. It s asmed that ths random varable followng the compond Posson dstrbton beng a specal case of weede. We notce that the ndependent assmton n the portfolo of rsks s volated. hat s why we adopt the mxed model wth fxed and random effects n place of the model wth fxed effects only. In the frst part of the paper the theoretcal model s presented whle n the second part practcal applcaton s analsed. All calclatons n the case stdy are made n R software. Keywords: sngle-model ratemakng, non-lfe nsrance, pre rsk premm, weede, compond Posson.