Własności spektralne operatorów unitarnych na przestrzeniach Focka

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Teorii Ergodycznej i Układów Dynamicznych Joanna Kułaga nr albumu: 183529 Praca magisterska na kierunku matematyka Własności spektralne operatorów unitarnych na przestrzeniach Focka Opiekun pracy dyplomowej prof. dr hab. Mariusz Lemańczyk Katedra Teorii Ergodycznej i Układów Dynamicznych TORUŃ 2008 Pracę przyjmuję i akceptuję... data i podpis opiekuna pracy Potwierdzam złożenie pracy dyplomowej... data i podpis pracownika dziekanatu

Spis treści Wstęp v 1 Wiadomości z teorii spektralnej 1 2 Iloczyn tensorowy 5 3 Teoria miary, działanie grup na zbiorach 11 3.1 Miary warunkowe......................... 11 3.2 Działanie grup na zbiorach................... 14 4 Przykłady analizy spektralnej 15 4.1 Iloczyn tensorowy dwóch operatorów.............. 15 4.2 Słaba zbieżność.......................... 19 4.3 Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność miar....... 29 Bibliografia 45 Lista symboli 47 Skorowidz 49 iii

Wstęp Opis skończonych produktów tensorowych przestrzeni Hilberta i operatorów na unitarnych tych przestrzeniach został podany przez J. von Neumanna oraz F. Murraya w roku 1936 w pracy On Rings of Operators (Ann. Math. (2) 37, 116-229) ([14]). Produkty tensorowe przestrzeni skończenie wymiarowych były jednak znane o wiele wcześniej. Operatory unitarne na przestrzeniach Focka związane są z układami dynamicznymi Gaussa ([7], [10]) i Poissona ([15]). Przestrzenie Focka są również ważnym narzędziem w mechanice kwantowej. Przy ich pomocy można np. wyjaśnić zjawiska anihilacji i tworzenia się cząstek ([5]). W pracy nie będziemy się zajmować znanymi faktami dotyczącymi operatorów unitarnych na przestrzeniach Focka związanymi z maksymalnym typem spektralnym, czy problemem ograniczoności funkcji krotności spektralnej (patrz [7], [10]). Skoncentrujemy się na kilku mniej znanych rezultatach. Najpierw podamy kryterium na prostotę widma dla produktów tensorowych (na podstawie preprintu [9]). Wskażemy też inny dowód niedawnego wyniku O. Ageeva ([2]) dotyczącego częściowo zsymetryzowanych produktów tensorowych. Na koniec uogólnimy rezultat F. Parreau i E. Roy związany z wzajemną zależnością warunków na prostotę widma operatora unitarnego na symetrycznej przestrzeni Focka. Praca składa się z czterech rozdziałów: 1. Wiadomości z teorii spektralnej W tym rozdziale zamieszczone są wiadomości z teorii spektralnej wykorzystywane w pracy. 2. Iloczyn tensorowy Przedstawiono tutaj konstrukcje iloczynu tensorowego, symetrycznego iloczynu tensorowego oraz przestrzeni Focka i symetrycznej przestrzeni Focka. 3. Teoria miary, działanie grup na zbiorach Podane są tu podstawowe wiadomości o miarach warunkowych oraz działaniach grup na zbiorach. 4. Przykłady analizy spektralnej Przeprowadzona została analiza spektralna produktu tensorowego v

dwóch operatorów unitarnych z prostym widmem. W następnej części założono pewne słabe zbieżności, by uzyskać proste widmo dla produktów tensorowych. Na koniec badana jest funkcja krotności spektralnej. Wskazane są pewne zależności między miarami spektralnymi na naturalnych podprzestrzeniach symetrycznej przestrzeni Focka przy założeniu prostego widma na tych podprzestrzeniach. U czytelnika założono podstawową znajomość następujących działów matematyki: algebry liniowej, teorii miary, analizy funkcjonalnej, topologii i analizy harmonicznej. vi

Rozdział 1 Wiadomości z teorii spektralnej Definicje i twierdzenia z tego rozdziału oraz ich dowody można znaleźć w [13]. W dalszej części pracy będziemy swobodnie korzystać z podanych tutaj informacji. Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta, zaś U : H H operatorem unitarnym, tzn. izomorfizmem liniowym spełniającym warunek Uh, Ug = h, g dla dowolnych elementów h, g H. Definicja 1.1. Ciąg liczb zespolonych {r n } + n= nazywamy dodatnio określonym, gdy dla dowolnego ciągu {a n } + n=0 C i dowolnego N > 0 zachodzi warunek N r n m a n ā m 0. n,m=0 Przykładem ciągu dodatnio określonego jest ciąg { U n h, h } + n=. Istotnie: Nn,m=0 U n m h, h a n ā m = N n,m=0 U n h, U m h a n ā m = = N n=0 a n U n h, N m=0 a m U m h = N n=0 a n U n h 2 0. Twierdzenie 1.1 (G. Herglotz). Jeśli ciąg {r n } + n= jest dodatnio określony, to istnieje dokładnie jedna nieujemna, skończona miara borelowska σ na T taka, że dla wszystkich n Z r n = z n dσ(z). T Ponadto dla dowolnej miary nieujemnej, skończonej, borelowskiej σ na T ciąg r n zadany powyższym wzorem jest dodatnio określony. Wniosek 1.2. Dla każdego x H istnieje jedyna miara σ x na okręgu spełniająca dla wszystkich n Z warunek U n x, x = z n dσ(z). 1 T

2 1. Wiadomości z teorii spektralnej Definicja 1.2. Miarę σ h nazywamy miarą spektralną elementu h. Definicja 1.3. Przestrzeń Z(x) = span{u n x, n Z} nazywamy przestrzenią cykliczną elementu h. Przestrzeń ta jest U-niezmiennicza. Głównym twierdzeniem w teorii spektralnej operatorów unitarnych jest następujące twierdzenie o rozkładzie ośrodkowej przestrzeni Hilberta na sumę prostą podprzestrzeni cyklicznych: Twierdzenie 1.3. Niech U : H H będzie operatorem unitarnym ośrodkowej przestrzeni Hilberta. Wówczas istnieją elementy x n H takie, że H = Z(x n ) oraz σ x1 σ x2... (1.1) n=1 Ponadto, jeśli H = n=1 Z(y n ) dla pewnych y 1,..., y n σ y1 σ y2..., to dla dowolnego n 1, σ xn σ yn. H takich, że Definicja 1.4. Każdy rozkład przestrzeni H spełniający warunek (1.1) nazywamy rozkładem spektralnym. Definicja 1.5. Typ miary σ x1 nazywamy maksymalnym typem spektralnym operatora U. Niech A n = supp dσxn dσ x1 ( dµ dν oznacza pochodną Radona-Nikodyma miary µ wględem miary ν, gdzie µ ν, patrz [4]). Zbiory A n są zdefiniowane prawie wszędzie względem miary σ x1. Ponadto więc dσ xn+1 dσ x1 = dσ x n+1 dσ xn dσ x n dσ x1, A 1 A 2 A 3.... Definiujemy funkcję M U : T N { } wzorem M U (z) = χ An (z). n=1 Funkcja ta jest zdefiniowana z dokładnością do zbioru miary σ U zero. Definicja 1.6. Funkcję M U nazywamy funkcją krotności spektralnej operatora U. Definicja 1.7. Powiemy, że operatory unitarne U i : H i H i, i = 1, 2 są spektralnie izomorficzne, jeśli istnieje W : H 1 H 2 izometria na taka, że W U 1 = U 2 W. Piszemy wtedy U 1 U 2.

3 Twierdzenie 1.4. Operatory U 1, U 2 ośrodkowych przestrzeni Hilberta odpowiednio H 1, H 2 są spektralnie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same maksymalne typy spektralne i funkcje krotności spektralnej. Definicja 1.8. Powiemy, że operator U ma proste widmo, jeśli jego ciąg miar spektralnych jest postaci σ x1 0 0..., U ma jednorodne widmo krotności n, jeśli jego ciąg miar spektralnych jest postaci σ x1 σ xn 0... Stwierdzenie 1.5. Przestrzeń L 2 (T, µ) z operatorem mnożenia przez zmienną niezależną V (f)(z) = zf(z) jest przestrzenią cykliczną z typem spektralnym µ. Stwierdzenie 1.6. Operator unitarny U : Z(x) Z(x) jest spektralnie izomorficzny z operatorem V x : L 2 (T, σ x ) L 2 (T, σ x ). Twierdzenie 1.7 (Lemat Wienera). Jeśli H 0 jest domkniętą podprzestrzenią V -niezmienniczą (tzn. V H 0 = H 0 ) przestrzeni L 2 (T, µ) (gdzie V jest operatorem mnożenia przez zmienną niezależną), to H 0 = χ A L 2 (T, µ) dla pewnego zbioru borelowskiego A T. Stwierdzenie 1.8. Jeśli H 1 Z(x) jest domkniętą podprzestrzenią U-niezmienniczą, to H 1 jest także przestrzenią cykliczną. Stwierdzenie 1.9. Jeśli µ σ x, to istnieje y Z(x) takie, że σ y = µ. Stwierdzenie 1.10. Jeśli y Z(x), to σ y σ x, przy czym σ x σ y dokładnie wtedy, gdy Z(x) = Z(y). Stwierdzenie 1.11. Jeśli σ jest maksymalnym typem spektralnym operatora U : H H, to dla każdego x H, σ x σ. Jeśli µ σ, to istnieje x H takie, że σ x = µ. Stwierdzenie 1.12. Jeśli σ x σ y, to Z(x) Z(y), σ x+y = σ x + σ y oraz Z(x + y) = Z(x) Z(y). Stwierdzenie 1.13. Jeśli miary {σ xn } n=1 są parami ortogonalne oraz szereg x n jest zbieżny, to przestrzenie Z(x n ) (n 1) również są parami n=1 ortogonalne, σ = n=1 xn n=1 σ xn oraz Z( x n ) = n=1 Z(x n ). n=1

Rozdział 2 Iloczyn tensorowy W niniejszym rozdziale przedstawimy konstrukcję iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta, iloczynu tensorowego symetrycznego, przestrzeni Focka oraz symetrycznej przestrzeni Focka. Wiadomości te pochodzą z [12] oraz [14]. Tam również można znaleźć dowody przytaczanych faktów. Zdefiniujemy najpierw iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych. Niech E 1, E 2 będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Będziemy analizować jedynie przypadek, gdy K = C. Niech E 1 E 2 będzie przestrzenią liniową, której bazą jest zbiór E 1 E 2. Niech N E 1 E 2 oznacza podprzestrzeń generowaną przez wektory postaci n n ( a i x 1,i, x 2 ) a i (x 1,i, x 2 ), (2.1) i=1 i=1 n n (x 1, a i x 2,i ) a i (x 1, x 2,i ), (2.2) i=1 i=1 gdzie a i C, x 1,i, x 1 E 1, x 2,i, x 2 E 2, 1 i n, n 1. Definicja 2.1. Przestrzeń ilorazową E 1 E 2 /N nazywamy (algebraicznym) produktem (iloczynem) tensorowym przestrzeni liniowych E 1, E 2 i oznaczamy ją E 1 E 2. Niech π : E 1 E 2 E 1 E 2 /N = E 1 E 2 będzie naturalnym homomorfizmem. Dla x 1 E 1, x 2 E 2 stosujemy oznaczenie x 1 x 2 = π((x 1, x 2 )). Wówczas (2.1) i (2.2) oznaczają, że n n ( a i x 1,i ) x 2 = a i x 1,i x 2, i=1 i=1 5

6 2. Iloczyn tensorowy n n x 1 ( a i x 2,i ) = a i x 1 x 2,i. i=1 i=1 Zasadniczą własnością produktu tensorowego jest następujące stwierdzenie: Stwierdzenie 2.1. Niech E 1, E 2, F będą przestrzeniami liniowymi. Istnieje naturalny izomorfizm liniowy pomiędzy przestrzenią odwzorowań liniowych E 1 E 2 w F : Lin(E 1 E 2, F ), a przestrzenią odwzorowań dwuliniowych E 1 E 2 w F : Lin 2 (E 1 E 2, F ). Izomorfizm ten wyznaczony jest przez zależność Â(x 1 x 2 ) = A(x 1, x 2 ), dla A: E 1 E 2 F. Stwierdzenie 2.2. Niech X 1, X 2 będą niepustymi zbiorami i niech V 1 C X 1, V 2 C X 2 będą podprzestrzeniami liniowymi. Wówczas przestrzeń V 1 V 2 jest izomorficzna z poprzestrzenią W C X 1 X 2 generowaną przez funkcje postaci f 1 f 2, gdzie dla dowolnych (x 1, x 2 ) X 1 X 2. f 1 f 2 (x 1, x 2 ) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ) Stwierdzenie 2.3. Niech H 1, H 2 będą przestrzeniami prehilbertowskimi z iloczynami skalarnymi odpowiednio, H1,, H2. Wówczas przestrzeń liniowa H 1 H 2 jest również przestrzenią prehilbertowską, z iloczynem skalarnym danym wzorem x 1 x 2, y 1 y 2 = x 1, y 1 H1 x 2, y 2 H2. Definicja 2.2. Produktem tensorowym (iloczynem tensorowym) przestrzeni Hilberta H 1, H 2 nazywamy uzupełnienie przestrzeni metrycznej H 1 H 2 z metryką wyznaczoną przez określony powyżej iloczyn skalarny. Oznaczamy ją w ten sam sposób: H 1 H 2. W dalszym ciągu pracy przez H 1 H 2 będziemy rozumieć przestrzeń Hilberta. Stwierdzenie 2.4. Jeśli {x i ; i I} oraz {y j ; j J} generują przestrzenie Hilberta odpowiednio H 1 i H 2, to rodzina {x i y j ; (i, j) I J} generuje przestrzeń Hilberta H 1 H 2. Ponadto, jeśli {x i ; i I} oraz {y j ; j J} są bazami ortonormalnymi odpowiednio przestrzeni H 1, H 2, to {x i y j ; (i, j) I J} jest bazą ortonormalną przestrzeni H 1 H 2. Stwierdzenie 2.5. Produkt tensorowy przestrzeni Hilberta L 2 (X 1, B 1, µ 1 ) L 2 (X 2, B 2, µ 2 )

7 jest izomorficzny z przestrzenią L 2 (X 1 X 2, B 1 B 2, µ 1 µ 2 ) oraz z przestrzenią L 2 (X 1, µ 1 ; L 2 (X 2, µ 2 )). Pierwszy z izomorfizmów otrzymujemy przez identyfikację tensora f 1 f 2 z funkcją (x 1, x 2 ) f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ), a drugi przez jego identyfikację z funkcją x 1 f 1 (x 1 ) f 2 ( ) L 2 (X 2, µ 2 ). W podobny sposób, jak w przypadku dwóch przestrzeni Hilberta, można rozpatrywać produkt tensorowy dowolnej skończonej liczby przestrzeni Hilberta H 1,..., H n. Odwzorowania dwuliniowe zamienia się na wieloliniowe, przy czym z konstrukcji wynika reguła łączności produktu tensorowego. Iloczyn skalarny w przestrzeni H 1 H n spełnia równość x 1 x n, y 1 y n = x 1, y 1 H1 x n, y n Hn. Uwaga 2.1. x, y = x, y n dla x, y H. Definicja 2.3. Niech U 1, U 2 będą operatorami unitarnymi przestrzeni Hilberta odpowiednio H 1, H 2. Operator U 1 U 2 : H 1 H 1 H 1 H 2 definiujemy w następujący sposób: (U 1 U 2 )(x 1 x 2 ) = U 1 (x 1 ) U 2 (x 2 ), (2.3) dla dowolnych elementów x 1 H 1, x 2 H 2 i nazywamy go produktem (iloczynem) tensorowym operatorów U 1, U 2. Uwaga 2.2. Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy wzór (2.3) rozszerza się w sposób jednoznaczny do operatora unitarnego zadanego na przestrzeni H 1 H 2. Definicja 2.4. Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta. Przestrzeń gdzie H F (H) = H, n=0 = H H, H }{{} 0 = C, nazywamy przestrzenią Focka. Dla n operatora unitarnego U : H H przez F (U) oznaczać będziemy odpowiadający operator unitarny przestrzeni Focka: F (U) = U : F (H) F (H). n=0 Zdefiniujemy teraz symetryczny produkt tensorowy.

8 2. Iloczyn tensorowy Stwierdzenie 2.6. Niech H będzie przestrzenią Hilberta, niech n 1 oraz niech σ S(n), gdzie S(n) oznacza grupę permutacji zbioru {1,..., n}. Istnieje dokładnie jeden operator unitarny na H, oznaczany przez U σ, który spełnia warunek: U σ (x 1 x n ) = x σ(1) x σ(n) dla dowolnych x 1,..., x n H. Uwaga 2.3. Operatorem odwrotnym do U σ jest operator U σ 1. Definicja 2.5. Niech H będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta. Przestrzeń H n = { x H ; U σ ( x) = x dla dowolnej permutacji σ S(n)} nazywamy n-tą symetryczną potęgą tensorową przestrzeni H. Stwierdzenie 2.7. Dla dowolnej przestrzeni Hilberta H oraz n 1, proj H n = 1 n! Niech x 1,..., x n H. Kładziemy x 1 x n = 1 n! Wówczas = 1 n! π S(n) π S(n) π S(n) U π. x π(1) x π(n) = x 1 x n, y 1 y n = W szczególności, dla x H mamy U π (x 1 x n ) = n! proj H nx 1 x n. π S(n) x n = n! x x 1, y π(1) x n, y π(n). oraz x n, y n = n! x, y n. Stwierdzenie 2.8. Niech {x i ; i I} będzie bazą ortonormalną ośrodkowej przestrzeni Hilberta H. Wówczas rodzina 1 { rs=1 k s! x k 1 i 1 x kr i r ; i 1 < < i r, 0 < k s (s = 1,..., r), k 1 + + k r = n} jest bazą ortonormalną przestrzeni H n.

9 Definicja 2.6. Niech U : H H będzie operatorem unitarnym ośrodkowej przestrzeni Hilberta. Ograniczenie U do podprzestrzeni H n będziemy oznaczać przez U n. Przestrzeń F sym (H) = H n, H 0 = C, n=0 nazywamy symetryczną przestrzenią Focka. Przez F sym (U) oznaczamy odpowiadający operator unitarny symetrycznej przestrzeni Focka: F sym (U) = n=0 U n.

Rozdział 3 Teoria miary, działanie grup na zbiorach W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia i zacytujemy twierdzenia, które są potrzebne w dalszej części pracy. 3.1 Miary warunkowe Zdefiniujemy teraz warunkową wartość oczekiwaną. Twierdzenie 3.1. Niech (X, B, µ) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś A B pod-σ-algebrą. Wówczas istnieje odwzorowanie (nazywane warunkową wartością oczekiwaną) które spełnia poniższe własności: E( A): L 1 (X, B, µ) L 1 (X, A, µ), 1. Dla f L 1 (X, B, µ), E(f A) jest wyznaczona jednoznacznie prawie wszędzie przez następujące warunki: E(f A) jest funkcją A-mierzalną, dla dowolnego zbioru A A, A E(f A)dµ = A fdµ. 2. E( A) jest operatorem liniowym o normie 1. Ponadto E(f A) 0, gdy f 0 dla f L 1 (X, B, µ). 3. Dla f L 1 (X, B, µ), g L (X, A, µ) 4. Jeśli A A jest pod-σ-algebrą, to E(gf A) = ge(f A) p.w. E(E(f A) A ) = E(f A ) p.w. 11

12 3. Teoria miary, działanie grup na zbiorach 5. Dla f L 1 (X, A, µ) E(f A) = f p.w. 6. Dla dowolnej funkcji f L 1 (X, B, µ), E(f A) E( f A) p.w. Uwaga 3.1. Operator E( A) działa na przestrzeni L 2 (X, B, µ) jako projekcja ortogonalna na podprzestrzeń L 2 (X, A, µ). Przykład 3.1. Jeśli A = σ(ξ) jest skończoną σ-algebrą generowaną przez skończone rozbicie ξ = {A 1,..., A n } przestrzeni X, to E(f A)(x) = 1 fdµ dla x A i. µ(a i ) A i Przykład 3.2. Rozpatrzmy przestrzeń X = [0, 1] 2 z dwuwymiarową miarą Lebesgue a. Niech A = B {, [0, 1]} będzie σ-algebrą złożoną ze zbiorów postaci B [0, 1] (B B). Wówczas E(f A)(x 1, x 2 ) = 1 0 f(x 1, t)dt. Zauważmy, że wartości funkcji E(f A) są otrzymywane przez obliczenie średniej funkcji f na zbiorze dwuwymiarowej miary Lebesgue a zero. W świetle własności z twierdzenia 3.1 oraz powyższych przykładów, na E(f A)(x) możemy patrzeć jak na średnią funkcji f na pewnej części przestrzeni mierzalnej, gdzie wybór tej części zależy od argumentu x. Definicja 3.1. Niech X będzie zwartą przestrzenią metryczną z miarą probabilistyczną zadaną na σ-algebrze B zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Przestrzeń (X, B, µ) nazywamy standardową borelowską przestrzenią probabilistyczną. Definicja 3.2. Dla σ-algebr C, C równość C µ = C oznacza, że dla dowolnych zbiorów A C, B C istnieją zbiory B C, A C takie, że µ(a A ) = 0 oraz µ(b B ) = 0. Zachodzi następujące twierdzenie: Twierdzenie 3.2. Niech (X, B, µ) będzie standardową borelowską przestrzenią probabilistyczną, zaś A B pod-σ-algebrą. Istnieje podzbiór X X taki, że µ(x \ X ) = 0 oraz układ {µ A x ; x X } miar na X, nazywany układem miar warunkowych o następujących własnościach: 1. µ A x jest miarą probabilistyczną na X oraz dla wszystkich f L 1 (X, B, µ) zachodzi E(f A)(x) = f(y)dµ A x (y) p.w. Innymi słowy, dla dowolnej funkcji f L 1 (X, B, µ), f(y)dµ A x (y) zależy w sposób A-mierzalny od x oraz f(y)dµ A x (y)dµ(x) = fdµ dla wszystkich A A. A A

3.1. Miary warunkowe 13 2. Dla dowolnej σ-algebry A takiej, że A µ = A zachodzi µ A x = µ A x p.w. x X. dla 3. Jeśli σ-algebra A jest przeliczalnie generowana, to µ A x ([x] A ) = 1 p.w., gdzie [x] A = A x A A jest atomem σ-algebry A, do którego należy x. Ponadto, jeśli [x] A = [y] A, to µ A x = µ A y. 4. Własność 1 w jednoznaczny sposób wyznacza µ A x dla p.w. x X. Co więcej, wystarczy, by własność 1 zachodziła dla gęstego przeliczalnego zbioru funkcji ciągłych na X, by miary µ A x były w jednoznaczny sposób wyznaczone dla p.w. x X. Definicja 3.3. Układ miar warunkowych z powyższego twierdzenia nazywamy dezintegracją miary µ. Twierdzenie 3.2 charakteryzuje miary warunkowe w terminach warunkowej wartości oczekiwanej. Podamy teraz bardziej geometryczną charakteryzację. Twierdzenie 3.3. Niech (X, B, µ) będzie standardową borelowską przestrzenią probabilistyczną i niech A będzie pod-σ-algebrą σ-algebry B. Przypuśćmy, że istnieje zbiór X B pełnej miary µ oraz układ {ν x ; x X } miar probabilistycznych takich, że: odwzorowanie x ν x jest mierzalne, to znaczy dla dowolnej funkcji f L (X, B, µ) funkcja fdν x jest mierzalna, ν x = ν y dla x, y X takich, że [x] A = [y] A, ν x ([x] A ) = 1, µ = ν x dµ(x), to znaczy fdµ = fdν x dµ(x) dla wszystkich funkcji f L (X, B, µ). Wówczas ν x = µ A x dla p.w. x. Teza jest również prawdziwa w przypadku, gdy powyższe własności zachodzą dla gęstęgo przeliczalnego zbioru rzeczywistych funkcji ciągłych na X. Dowody twierdzeń dotyczących warunkowych wartości oczekiwanych i miar warunkowych oraz więcej informacji na ten temat można znaleźć w [6]. Stamtąd pochodzą też przytoczone przykłady.

14 3. Teoria miary, działanie grup na zbiorach 3.2 Działanie grup na zbiorach Niech G będzie grupą, a X niepustym zbiorem. Poniższe definicje i stwierdzenia pochodzą z [3]. Definicja 3.4. Niech δ : G X X. Oznaczmy δ(g, x) = g(x) X. Funkcję δ nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X, o ile spełnione są następujące warunki: 1. x X e(x) = x, 2. x X g,h G (gh)(x) = g(h(x)). Definicja 3.5. Stabilizatorem elementu x X nazywamy zbiór G x = {g G; g(x) = x}. Definicja 3.6. Orbitą elementu x X nazywamy zbiór Gx = {y X; g G y = g(x)}. Niech grupa skończona G działa na zbiorze X. Prawdziwe są wówczas następujące stwierdzenia: Stwierdzenie 3.4. Dla dowolnego x X stabilizator G x elementu x jest podgrupą grupy G. Stwierdzenie 3.5. Moc orbity dowolnego elementu grupy jest równa indeksowi jego stabilizatora: #(Gx) = #(G: G x ). Lemat 3.6 (Cauchy, Frobenius, Burnside). Liczba o G orbit wyznaczonych przez działanie grupy G na zbiorze X jest równa gdzie X g = {x X; g(x) = x}. o G = 1 #X g, #G g G

Rozdział 4 Przykłady analizy spektralnej 4.1 Iloczyn tensorowy dwóch operatorów Niech U i : H i H i, i = 1, 2 będą operatorami unitarnymi ośrodkowych przestrzeni Hilberta. Twierdzenie 4.1. Maksymalny typ spektralny σ U1 U 2 jest równy σ U1 σ U2. Dowód. Ponieważ przestrzeń H 1 H 2 jest generowana przez tensory postaci x 1 x 2 oraz (U 1 U 2 ) n (x 1 x 2 ), x 1 x 2 = U n 1 x 1, x 1 U n 2 x 2, x 2, więc zachodzi następująca równość współczynników Fouriera miar: dla dowolnego n Z. Zatem σ x1 x 2 [n] = σ x1 [n] σ x2 [n] σ x1 x 2 = σ x1 σ x2 σ U1 σ U2. Stąd miara spektralna dowolnego elementu przestrzeni H 1 H 2 względem operatora U 1 U 2 jest absolutnie ciągła względem miary σ U1 σ U2. Ponadto miara ta jest realizowana przez iloczyn tensorowy elementów realizujących maksymalne typy spektralne operatorów U 1, U 2. Wskażemy teraz metodę obliczania krotności spektralnej produktu tensorowego operatorów unitarnych. Przeprowadzimy analizę przypadku, gdy U 1, U 2 mają proste widmo. Niech σ, ν będą miarami dodatnimi na T. Rozpatrzmy operator V σ V ν. Przy identyfikacji przestrzeni L 2 (T, σ) L 2 (T, ν) 15

16 4. Przykłady analizy spektralnej z przestrzenią L 2 (T T, σ ν) ze stwierdzenia 2.5 operator V σ V ν staje się równy operatorowi W, dla którego W (F )(z 1, z 2 ) = z 1 z 2 F (z 1, z 2 ) dla dowolnej funkcji F L 2 (T T, σ ν). Niech s: T T T będzie dane wzorem s(z 1, z 2 ) = z 1 z 2. Zatem s (σ ν) = σ ν, a ponadto σ ν = µ z d(σ ν)(z), T gdzie miary warunkowe µ z są skupione na zbiorach s 1 (z) dla σ ν prawie wszystkich z T. Zauważmy, że wówczas dla A B(T) mamy Rzeczywiście, σ ν(a) = 0 µ z (s 1 (A)) = 0 dla σ µ-p.w. z A. (4.1) σ µ(a) = 0 s (σ µ)(a) = 0 σ µ(s 1 (A)) = 0 µ z (s 1 (A))dσ µ(z) = 0 µ z (s 1 (A)) = 0 dla σ µ-p.w. z A. A Zauważmy ponadto, że operator U s : L 2 (T, σ µ) L 2 (T T, σ µ) określony wzorem U s (f)(z 1, z 2 ) = f(s(z 1, z 2 )) = f(z 1 z 2 ) jest izometrią (na ogół nieodwracalną, gdyż odwzorowanie s nie musi być różnowartościowe p.w.). Ponadto Rozbijamy teraz okrąg T: W U s = U s V σ ν. (4.2) T = Z n Z Z c, (4.3) n=1 gdzie dla z Z n miara warunkowa µ z jest miarą atomową o n atomach (n 1), dla z Z miara µ z jest miarą dyskretną o nieskończenie wielu atomach, natomiast dla z Z c miara warunkowa nie jest miarą dyskretną. Aby wykazać mierzalność powyższego rozbicia skorzystamy z następującego lematu Lebesgue a (jego dowód można znaleźć np. w [8]): Twierdzenie 4.2 (H. Lebesgue). Niech (X, d) będzie zwartą przestrzenią metryczną i niech U = {U λ } λ Λ będzie otwartym pokryciem X. Wówczas istnieje liczba δ > 0 (nazywana liczbą Lebesgue a) taka, że dla dowolnego podzbioru A X o średnicy diam(a) < δ istnieje λ Λ taka, że A U λ. Lemat 4.3. Rozbicie (4.3) jest mierzalne.

4.1. Iloczyn tensorowy dwóch operatorów 17 Dowód. Niech {x i ; i N} będzie podzbiorem gęstym (np. zbiorem liczb zespolonych o module jeden i argumentach będących wymierną wielokrotnością π). Oznaczmy przez A i,j (i, j N) następujące zbiory: A i,j = {(z 1, z 2 ) T 2 ; Arg(x i ) Arg(z 2 ) Arg(x j ) lub Niech funkcje f n 1, f z : T R będą dane wzorami Arg(x j ) Arg(z 2 ) Arg(x i )}. f1 n (z) = sup {µ z (A i,j ); Arg(x i ) Arg(x j ) < 1 i,j N n }, f 1 (z) = inf n N f n 1 (z). Ze względu na twierdzenie 3.2, funkcje f1 n dla n 1 są mierzalne, więc również funkcja f 1 jest mierzalna. Pokażemy, że wartość funkcji f 1 dla argumentu z T to miara największego atomu miary µ z, a w przypadku miary ciągłej wartość ta wynosi zero. Istotnie, załóżmy, że f 1 (z 0 ) > ε dla pewnego ε > 0. Pokażemy, że miara µ z0 ma atom. Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn. miara ta jest ciągła. Z definicji funkcji f 1, f1 n otrzymujemy, że f 1 n(z 0) > ε dla wszystkich n N, a następnie, że dla dowolnego n N istnieją i n, j n N takie, że Arg(x in ) Arg(x jn ) < 1 n oraz µ z 0 (A in,jn ) > ε. Weźmy teraz otwarte pokrycie T 2 zbiorami miary ε postaci T U λ, gdzie λ T oraz λ U λ dla dowolnego λ T. Niech δ > 0 będzie liczbą Lebesgue a dla tego pokrycia. Istnieje n N takie, że Arg(x in ) Arg(x jn ) < δ. Oznacza to, że istnieje takie λ Λ, że A in,jn T U λ. Zatem ε < µ z0 (A in,j n ) µ z0 (T U λ ) = ε. Otrzymaliśmy więc sprzeczność. Z drugiej strony, jeśli punkt (zz0 1, z 0) jest atomem miary µ z, to f1 n(z) µ z({(zz0 1, z 0)}) dla wszystkich n N, więc również f 1 (z) = inf n N f1 n(z) µ z({(zz0 1, z 0)}) > 0, co kończy dowód faktu, że f 1 (z) przyjmuje wartość miary największego atomu miary µ z. Niech funkcje fk n, f k : T R dla k 1 dane będą wzorami: f n k (z) = sup i1,...,i k,j 1,...,j k N{µ z (A i1,j 1 A ik,j k ); zbiory A i1,j 1,..., A ik,j k są parami rozłączne oraz x is x js < 1 n dla 1 s k}, f k (z) = inf n N f n k (z). Podobnie, jak wcześniej, można pokazać, że wartość funkcji f k dla argumentu z T to suma miar k atomów miary µ z o największej mierze. Niech funkcja g : T R będzie dana wzorem g(z) = µ z (T 2 ) lim k f k(z).

18 4. Przykłady analizy spektralnej Funkcja g jest funkcją mierzalną i przyjmuje wartość zero dla tych argumentów z T, dla których miara µ z jest czysto atomowa i przyjmuje wartość większą od zera dla tych z T, dla których miara µ z ma część ciągłą. Zauważmy, że Z n = {z T; f n+1 (z) = f n (z)} g 1 ({0}) dla n 1, Z c = g 1 ((0, + )), Z = T \ n=1z n \ Z c. Są to więc zbiory mierzalne. Tym samym dowód lematu został zakończony. 1 Twierdzenie 4.4. Operator V σ V ν ma: jednorodną krotność spektralną n na Z n z typem σ ν Zn, n 1, nieskończoną krotność jednorodną na Z Z c z typem σ ν Z Z c. Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego Z B(T) podprzestrzeń χ s 1 (Z)L 2 (T T, σ ν) jest podprzestrzenią niezmienniczą dla operatora W. Ustalmy n 1 i niech ρ n = σ ν Zn. Istnieje rozbicie mierzalne 2 n s 1 (Z n ) = Z n,i, i=1 dla którego zbiór Z n,i s 1 (z) zawiera dokładnie jeden atom miary µ z dla ρ n -p.w. z Z n (tzn. istnieje mierzalna metoda wyboru po jednym atomie miar warunkowych z włókien odwzorowania s). Oznacza to, że odwzorowanie s Zn,i jest różnowartościowe (p.w.), a ponadto (s Zn,i ) (σ ν s 1 (Z n,i )) σ ν Zn, co (patrz (4.2)) oznacza, że odpowiednie obcięcie operatora U s ustala izomorfizm działania operatora W na podprzestrzeni χ Zn,i L 2 (T T, σ ν) z obcięciem działania operatora V σ ν do χ Zn L 2 (T, s (σ ν) Zn,i ). Ale ze względu na (4.1), s (σ ν) Zn,i (σ ν) Zn. Ponieważ V σ ν χzn L 2 (T,σ ν) ma proste widmo, więc na χ s 1 (Z n)l 2 (T T, σ ν) operator W ma krotność jednorodną równą n (a maksymalny typ spektralny wynosi σ ν Zn ). 1 Funkcje, których wartościami są miary kolejnych atomów miar warunkowych pojawiają się w [1], jednak bez dowodu ich mierzalności. 2 W. A. Rochlin, Ob osnownych poniatiach tieorii miery, Mat. Sbornik 67 (1949), 107-150 (patrz [10])

4.2. Słaba zbieżność 19 Podobne rozumowanie przeprowadzamy dla Z. Dla (p.w.) z Z c kładziemy µ z = µ (d) z + µ (c) z, gdzie µ (c) z jest (z założenia niezerową) częścią ciągłą miary µ z. Zauważmy, że maksymalny typ spektralny operatora W na podprzestrzeni χ s 1 (Z c)l 2 (T T, σ ν) jest równy σ ν Zc. Weźmy dowolną liczbę naturalną k 1. Ponieważ miary µ (c) z są ciągłe, więc istnieje rozbicie mierzalne k s 1 (Z c ) = Z c,i i=1 takie, że µ (c) z (Z c,i ) > 0 dla (p.w.) z Z c. Wtedy, ze względu na (4.1) miara s (σ ν) Zc,i jest miarą równoważną mierze σ ν Zc. Oznacza to, że znaleźliśmy k podprzestrzeni niezmienniczych (dla operatora W ) przestrzeni χ s 1 (Z c,i )L 2 (T T, σ ν) parami ortogonalnych, na których ich maksymalny typ spektralny jest typem miary σ ν Zc. Ponieważ maksymalny typ spektralny operatora W na χ s 1 (Z c,i )L 2 (T T, σ ν) jest równy σ ν Zc, więc na χ s 1L 2 (T T, σ ν) operator W ma nieskończoną krotność jednorodną (zauważmy, że ewentualne atomy miar warunkowych dla z Z c już niczego nie wnoszą do tego rozumowania). Powyższe twierdzenia wraz z dowodami (oprócz twierdzenia 4.2 i lematu 4.3) pochodzą z [11]. 4.2 Słaba zbieżność W tej części pracy będziemy zakładać pewne słabe zbieżności, aby otrzymać proste widmo dla produktów tensorowych rozpatrywanych operatorów. Będziemy się opierać na [9]. Lemat 4.5. Niech V : H H będzie operatorem unitarnym przestrzeni Hilberta. Jeśli F H jest domkniętą podprzestrzenią V -niezmienniczą, oraz V nt A w słabej topologii operatorowej, gdzie A jest operatorem liniowym i ciągłym na H, to AF F. Dowód. Z twierdzenia Mazura przestrzeń F jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta H jest słabo domknięta, co pociąga zawieranie AF F. Lemat 4.6. Niech V i : H i H i będzie operatorem unitarnym (i = 1, 2) oraz Vi nt A i słabo, gdzie A i są operatorami liniowymi i ograniczonymi na przestrzeniach H i. Wówczas (Vi )nt A i słabo oraz (V 1 V 2 ) nt A 1 A 2 słabo. Dowód. Dowód wynika wprost z definicji słabej zbieżności.

20 4. Przykłady analizy spektralnej Twierdzenie 4.7. Niech V 1 i V 2 będą operatorami unitarnymi ośrodkowych przestrzeni Hilberta odpowiednio H 1, H 2 oraz załóżmy następujące słabe zbieżności: gdzie c 1 c 2. Wówczas σ V1 σ V2. V nt 1 c 1 Id, V nt 2 c 2 Id, Dowód. Przypuśćmy, że σ V1 σ V2. Wówczas istnieje niezerowa miara µ taka, że µ σ V1, σ V2. Zatem istnieją niezerowe elementy y i H i takie, że σ y1,v 1 = σ y2,v 2 = µ. Stąd Z drugiej strony jednak µ[ n t ] = ˆσ y1,v 1 [ n t ] = V nt 1 y 1, y 1 c 1 y 1 2. µ[ n t ] = ˆσ y2,v 2 [ n t ] = V nt 2 y 2, y 2 c 2 y 2 2. Obie te równości nie mogą zachodzić jednocześnie przy c 1 c 2, gdyż y 1 2 = σ y1,v 1 (T) = ν(t) = σ y2,v 2 (T) = y 2 2. Lemat 4.8. Załóżmy, że W : H H jest operatorem liniowym i ograniczonym przestrzeni Hilberta. Jeśli F H jest podprzestrzenią W - oraz W -niezmienniczą, to proj F W = W proj F. Dowód. Zauważmy, że W (F ) F. Istotnie, niech x F. Wówczas dla f F mamy W x, f = x, W f. Ponieważ W (F ) F, więc x W (F ), co pociąga W x F. Niech x H. Wówczas ze względu na liniowość rozpatrywanych operatorów otrzymujemy, że proj F W (x) = proj F (W (proj F (x)) + W (x proj F (x))) = W proj F (x). }{{}}{{} F F Twierdzenie 4.9. Niech V i : H i H i, i = 1, 2 będą operatorami unitarnymi z prostym widmem. Przypuśćmy ponadto, że 1. V nt i 1 2 (Id + V i) słabo (i = 1, 2),

4.2. Słaba zbieżność 21 2. V mt i 1 2 (Id + c iv i ) słabo (i = 1, 2). Jeśli c 1 c 2, to również operator V 1 V 2 : H 1 H 2 H 1 H 2 ma proste widmo. że Dowód. Niech f i H i będą takie, że H i = Z Vi (f i ) (i = 1, 2). Pokażemy, Połóżmy F := Z V1 V 2 (f 1 f 2 ). Mamy dla dowolnego k Z. Ponieważ z lematu 4.6 więc H 1 H 2 = Z V1 V 2 (f 1 f 2 ). (4.4) V k 1 f 1 V k 2 f 2 F (4.5) (V 1 V 2 ) nt 1 4 (Id + V 1) (Id + V 2 ), (f 1 + V 1 f 1 ) (f 2 + V 2 f 2 ) F, a zatem, korzystając z (4.5) otrzymujemy, że f 1 V 2 f 2 + V 1 f 1 f 2 = = (f 1 + V 1 f 1 ) (f 2 + V 2 f 2 ) f 1 f 2 V 1 f 1 V 2 f 2 F. (4.6) Podobnie, (f 1 + c 1 V 1 f 1 ) (f 2 + c 2 V 2 f 2 ) F, skąd c 1 V 1 f 1 f 2 + f 1 (c 2 V 2 f 2 ) = Z (4.6) oraz (4.7) wynika, że c 1 f 1 V 2 f 2 c 2 f 1 V 2 f 2 = = (f 1 + c 1 V 1 f 1 ) (f 2 + c 2 V 2 f 2 )+ f 1 f 2 (c 1 V 1 f 1 ) (c 2 V 2 f 2 ) F. (4.7) = c 1 (f 1 V 2 f 2 + V 1 f 1 f 2 ) (c 1 V 1 f 1 f 2 + f 1 (c 2 V 2 f 2 )) F, c 2 V 1 f 1 f 2 c 1 V 1 f 1 f 2 = = c 2 (f 1 V 2 f 2 + V 1 f 1 f 2 ) (c 1 V 1 f 1 f 2 + f 1 (c 2 V 2 f 2 )) F. Ponieważ c 1 c 2, więc f 1 V 2 f 2 F, V 1 f 1 f 2 F. Załóżmy teraz, że f 1 V j 2 f 2 F, V j 1 f 1 f 2 F dla j = 0, 1,..., s. Wówczas ze względu na założone słabe zbieżności 4V nt 1 V nt 2 (V s 1 f 1 f 2 ) (V s 1 f 1 + V s+1 1 f 1 ) (f 2 + V 2 f 2 ) F.

22 4. Przykłady analizy spektralnej Po opuszczeniu nawiasów mamy więc V s 1 f 1 f 2 + V s 1 f 1 V 2 f 2 + V s+1 1 f 1 f 2 + V s+1 1 f 1 V 2 f 2 F. Zauważmy, że pierwszy, drugi i czwarty składnik sumy należą do F z założenia indukcyjnego. W związku z tym, również musi zachodzić V1 s+1 f 1 f 2 F. Podobnie, (f 1 + V 1 f 1 ) (V2 sf 2 + V2 s+1 f 2 ) F. Po opuszczeniu nawiasów otrzymujemy, że f 1 V s 2 f 2 + f 1 V s+1 2 f 2 + V 1 f 1 V s 2 f 2 + V 1 f 1 V s+1 2 f 2 F. Tak, jak wcześniej, pierwszy, trzeci i czwarty składnik już z założenia należą do F, zatem również drugi składnik musi należeć do tej podprzestrzeni: f 1 V s+1 2 f 2 F. Wykazaliśmy zatem, że V1 sf 1 V2 rf 2 F dla dowolnych r, s Z, skąd już wynika (4.4) i dowód twierdzenia jest tym samym zakończony. Twierdzenie 4.10. Niech V : H H będzie operatorem unitarnym z prostym ciągłym widmem. Przypuśćmy, że V nt 1 2 (Id+V ). Wówczas operator V V ma widmo jednorodne krotności 2. Dowód. Pokażemy najpierw, że krotności spektralne operatora V V są parzyste. Weźmy dezintegrację miary σ V σ V nad σ V σ V : σ V σ V = µ z dσ V σ V. T Niech miary µ z dla z T dane będą wzorem P (µ z ) gdzie przekształcenie P : T 2 T 2 zdefiniowane jest jako P ((z 1, z 2 )) = (z 2, z 1 ). Wówczas σ V σ V = P (σ V σ V ) = P (µ z )dσ V σ V = µ z dσ V σ V, T więc z twierdzenia 3.3 mamy µ z = µ z dla p.w. z T. Pokażemy, że dla p.w. z T prawdziwa jest następująca własność: jeśli punkt (z 1, z 2 ) T 2 jest atomem miary µ z, to również (z 2, z 1 ) T 2 jest jej atomem. (4.8) Istotnie, niech z T będzie takie, że µ z = µ z. Załóżmy, że µ z ({(z 1, z 2 )}) > 0. Wówczas µ z ({(z 2, z 1 )}) = µ z ({(z 1, z 2 )}) = µ z ({(z 1, z 2 )}) > 0. T Ponieważ σ V σ V {(z, z) T 2 ; z T} = 0, (4.9)

4.2. Słaba zbieżność 23 więc z (4.8) wynika, że ilość atomów miar warunkowych nie leżących na przekątnej {(z, z) T 2 ; z T} jest parzysta i tym samym, z twierdzenia 4.4 (po modyfikacji uwzględniającej (4.9)), funkcja krotności spektralnej operatora V V może przyjować tylko wartości parzyste. Oznaczmy F = Z V V (f V f) + Z V V (V f f), gdzie f H jest taki, że H = Z V (f). Pokażemy, że F = H H. Postępując podobnie jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia mamy (V nt V )(f V f) 1 2 (f + V f) V 2 f, więc (ponieważ (V V )(f V f) = V f V 2 f F ) otrzymujemy, że f V 2 f F i podobnie f V k f F dla k 1, a następnie dla k 1. Podobnie, jak wcześniej, korzystając z lematu 4.6 (V nt V )(V f f) 1 2 V f f + f f F, więc również V k f V k f F dla dowolnego k Z (wiemy już, że V f f F ). Oznacza to, że dla dowolnych k, l N mamy V k f V l f F, a zatem H H F. Oczywiście zawieranie odwrotne również zachodzi. Zatem funkcja krotności spektralnej operatora V V jest ograniczona z góry przez 2, co kończy dowód. Uwaga 4.1. Zauważmy, że zamiast założenia o ciągłym widmie w powyższym twierdzeniu wystarczy przyjąć, że σ V ({1}) = 0. Istotnie, przypuśćmy, że funkcja f jest wektorem własnym dla operatora V, to znaczy V f = cf dla pewnego c T. Mamy więc c nt f 2 = V nt f, f 1 2 f + cf, f = 1 2 (1 + c) f 2, skąd c nt 1 2 (1 + c), co jest możliwe jedynie dla c = 1. Zatem jedyną możliwą wartością własną operatora V jest jeden. Jeśli wykluczymy tę możliwość, prawdziwa będzie równość (4.9). Jest to jedyne miejsce w dowodzie, w którym została wykorzystana ciągłość miary σ V. W dalszej części rozpatrywać będziemy operatory unitarne V z prostym widmem takie, że dla nieskończenie wielu κ ( κ 1) istnieje ciąg nieskończony n (κ) t taki, że V n(κ) t 1 2 (κ Id + V ) w słabej topologii operatorowej. Uwaga 4.2. Zauważmy, że takie operatory mają czysto ciągłe widmo. Istotnie, przypuśćmy, że widmo nie jest czysto ciągłe. Jeśli V f = cf ( c = 1, bo V unitarny), to c nt 1 2 (κ+c), co jest możliwe tylko dla κ = c, a założyliśmy istnienie nieskończonie wielu takich κ. Otrzymaliśmy więc sprzeczność.

24 4. Przykłady analizy spektralnej Poniższe twierdzenie - w nieco słabszej wersji - udowonił O. Ageev. Podany tu dowód pochodzi natomiast z [9]. Twierdzenie 4.11. Załóżmy, że V i W są operatorami unitarnymi przestrzeni Hilberta odpowiednio H i G oraz mają proste widmo. Niech S C będzie zbiorem przeliczalnym. Załóżmy ponadto, że dla dowolnego κ S istnieją podciągi (n (κ) t ), (m (κ) t ) takie, że zachodzą następujące zbieżności w słabej topologii operatorowej: V n(κ) t V m(κ) t 1 n(κ) (κ Id + V ), W t 1 (κ Id + W ), (4.10) 2 2 1 m(κ) (κ Id + V ), W t 1 ( κ Id + W ), (4.11) 2 2 gdzie κ κ. Wówczas operator F sym (V ) W ma proste widmo. W szczególności, dla dowolnego k 1 operator V k W ma proste widmo. Dowód. Ustalmy k 1. Pokażemy, że V k W ma proste widmo. Załóżmy, że H = Z V (f), G = Z W (g) dla pewnych elementów f H, g G. Udowodnimy, że H k G = Z V k W (f k g). (4.12) Pokażemy najpierw, że H k = Z V k(f k ). (4.13) Oznaczmy F = Z V k(f k ). Z (4.10), dla dowolnego κ S, ponieważ przestrzeń H k jest V k -niezmiennicza oraz ( (κ Id + V ) k) -niezmiennicza i z le- więc jest również (κ Id + V ) k - oraz matu 4.8 (V k ) nκ t 1 2 k (κ Id + V ) k, proj H k (κ Id + V ) k = (κ Id + V ) k proj H k. (4.14) Udowodnimy, że ) proj H k (f i 0 (V n 1 f) i 1 (V np f) ip F (4.15) dla dowolnych i 0,..., i p 0, i 0 + i 1 + + i p = k, 0 = n 0 < n 1 < < n p. Istotnie, (4.15) zachodzi, gdy p = 0 (wtedy n p = 0). Przypuśćmy, że równość ta jest prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wyborów parametrów takich, że n p N. Pokażemy teraz, że zależność ta jest też prawdziwa dla ograniczenia N + 1. W tym celu przypuśćmy, że j 0,..., j p 0, p s=0 j s = k, n p = N oraz proj H k(f j 0 (V n 1 f) j 1 (V np f) jp ) F.

4.2. Słaba zbieżność 25 Ponieważ, podobnie jak H k, podprzestrzeń F jest V k -niezmiennicza, mamy ( z (4.10), że przestrzeń ta jest też (κ Id + V ) k -niezmiennicza oraz (κ Id + V ) k) -niezmiennicza. Korzystając więc z lematu 4.5 otrzymujemy, że ( )) (κ Id + V ) k proj H k (f j 0 (V n 1 f) j 1 (V np f) jp F. Z (4.14) wynika, że proj H k ( (κ Id + V ) k (f j 0 (V n 1 f) j 1 (V np f) jp )) F. (4.16) Innymi słowy, ze względu na liniowość operatora rzutowania, proj H k(κ k f j 0 (V np F ) jp + κ k 1 (... ) +... ) = = κ k proj H k(f j 0 (V np f) jp ) + κ k 1 proj H k(... ) + F. Popatrzmy na tę zależność, jak na pewne równanie algebraiczne, konkretnie κ k (proj H k(f j 0 (V np f) jp )+F )+κ k 1 (proj H k(... )+F )+ = 0 w H k /F. Ponieważ powyższa równość jest spełniona dla nieskończonej ilości κ, zatem współczynniki z H k /F znikają, to znaczy należą wszystkie do F. Faktycznie, wystarczy zadziałać na powyższą równość elementami z (H k /F ) (gdyby któryś ze współczynników nie należał do F, to po zadziałaniu na nim pewnym funkcjonałem z przestrzeni sprzężonej otrzymalibyśmy liczbę różną od zera, co nie jest możliwe ze względu na nieskończoną ilość wartości κ, dla których równość ma być spełniona oraz teorię równań algebraicznych). Zwróćmy teraz uwagę na współczynnik przy κ k 1. Otrzymujemy, że proj H k( f f (V n 1 f) j 1 (V np f) jp + }{{} jedno f zastąpione przez V f + f j 0 V n 1 f V n 1 f }{{} (V np f) jp + + jedno V n 1 f zastąpione przez V n 1 +1 f + f j 0 (V n 1 f) j 1 V np f V np f }{{} ) F. jedno V np f zastąpione przez V np+1 f Korzystając z liniowości operatora proj H k oraz założenia indukcyjnego otrzymujemy, że wszystkie składniki oprócz ostatniego są już elementami F. Stąd proj H k(f j 0 (V n 1 f) j 1 (V np f) (jp 1) V np+1 f) F

26 4. Przykłady analizy spektralnej i tym samym wykazaliśmy (4.15) dla ograniczenia N + 1 i wszystkich dopuszczalnych parametrów z ostatnim elementem j q = 1. Spójrzmy na współczynnik przy κ k 2. Otrzymujemy, że proj H k( f j 1 V nu f V nu f }{{} u w jedno V nu f zastąpione przez V nu+1 f V nw f V nw f }{{} jedno V nw f zastąpione przez V nw+1 f (V np f) jp ) F. Jeśli w < p, możemy skorzystać z założenia indukcyjnego - odpowiednie projekcje są już elementami podprzestrzeni F. Jeśli u < w = p również tak jest, gdyż wykazaliśmy już (4.15) dla N + 1 oraz j q = 1. Zatem ostatni składnik jest jedynym, który nie pojawił się wcześniej. Stąd proj H k(f j 1 (V n 1 f) j 1 (V np f) (jp 2) (V np+1 ) 2 ) F. Pokazaliśmy zatem (4.15) dla ograniczenia N + 1 z j q = 2. Rozpatrując współczynniki przy κ k 3, κ k 4 itd., otrzymujemy, że (4.15) zachodzi. Ponieważ Z(f) = H, span({f i 0 (V n 1 f) i 1 (V np f) ip ; i 0,..., i p 0, i 0 + i 1 + + i p = k, n 0, n 1,..., n p Z}) = H k. Zatem, z (4.15), F = Z V k(f k ) = H k i (4.13) zachodzi, więc operator V k ma proste widmo. Oznaczmy przez F 1 = Z V k W (f k g). Tak jak wcześniej, wykazujemy, że dla dowolnego κ S (κf + V f) k (κg + W g) F 1, (κf + V f) k ( κg + W g) F 1, więc po wzięciu różnicy mamy (κf + V f) k (κ κ)g F 1 i dalej (κf + V f) k g F 1. Powtarzając wcześniejsze rozumowanie, patrzymy tym razem na współczynnik przy κ 0 i orzymujemy, że (V f) k g F 1. (4.17) Ponieważ jednak przestrzeń F 1 jest niezmiennicza ze względu na operatory (κ Id + V ) k (κ Id + W ) oraz (κ Id + V ) k ( κ Id + W ), więc (κv f + V 2 f) k (κg + W g) F 1, (κv f + V 2 f) k ( κg + W g) F 1, skąd (κv f + V 2 f) k g F 1 i - powtarzając argumenty, które uzasadniały (4.17) - również (V 2 f) k g F 1 oraz (indukcyjnie) (V r f) k g F 1

4.2. Słaba zbieżność 27 dla dowolnego r 0. Stosując lemat 4.6, pokażemy, że jest tak również dla ujemnych r. Ponieważ (κ Id + V ) = κ Id + V 1, więc całe powyższe rozumowanie możemy powtórzyć, zamiast V i κ pisząc V 1 i κ. Tym samym, dowód (4.12) został zakończony. Aby udowodnić, że operator F sym (U) ma również proste widmo, wystarczy pokazać, że dla dowolnego N 1 Wprowadźmy oznaczenie N Z N k=1 V ( f k ) = k k=1 N H k. (4.18) k=1 N F = Z N k=1 V ( f k ). k Ponieważ N k=1 f k F, więc dla dowolnego κ S, N k=1 (κf +V f) k F. Stąd k=1 κ N f N + κ N 1 (f (N 1) + N! proj H N (f N 1 V f)) + + + (V f + + (V f) N ) F. Rozpatrując N k=1 H k / F, tak jak wcześniej, otrzymujemy, że f N F, a zatem H N F. Ponadto f (N 1) + N! proj H N (f (N 1) V f) }{{} H N F F, więc f (N 1) F. Wynika stąd, że H (N 1) H N F. Postępując dalej w ten sam sposób wykazujemy, że dla 1 k N f k F, a zatem (4.18) zachodzi. Aby pokazać, że również operator k=0 V k W ma proste widmo, postępujemy podobnie. Przy ustalonym N 1, oznaczamy przez F 1 podprzestrzeń cykliczną generowaną przez N k=1 f k g i mamy ( N ) (κf + V f) k g F 1. k=1 Wówczas, powtarzając wcześniejszy argument, ( ) κ N f N g + κ N 1( ) f (N 1) g + N! proj H N (f (N 1) V f) g + + κ N 2( f (N 2) g + (N 1)! proj H (N 1)(f (N 2) V f) g+ ( ) N ) ( ) + proj 2 H N (f (N 2) (V f) 2 ) g + + V f+ +(V f) N g F 1.

28 4. Przykłady analizy spektralnej Zatem f N g F 1, więc H N G F 1. Ponadto f (N 1) g + proj H N (f (N 1) V f) g F 1, }{{} H N G F1 więc f (N 1) g F 1. Wynika stąd, że (H (N 1) H N ) G F 1. W ten sam sposób f k g F 1 dla dowolnego 1 k N. Oznacza to, że F 1 = N k=1 H k G. Zatem operator F sym (V ) W ma proste widmo, co kończy dowód. Uwaga 4.3. Z powyższego dowodu można wywnioskować jeszcze jedną własność: przy tych samych założeniach operator unitarny F sym (V ) F sym (V ) W również ma proste widmo. Istotnie, wystarczy pokazać, że dla dowolnych k, l N σv k σ l V σ W. Aby otrzymać tę własność wykażemy, że H k (H l G) = Z V k V l W (f k + f l g). (4.19) Kładąc F 2 = Z V k V l W (f k + f l g) i postępując, jak w dowodzie twierdzenia 4.11, otrzymujemy, że 1 2 k (κf + V f) k + 1 2 l (κf + V f) l (κg + W g) F 2, 1 2 k (κf + V f) k + 1 2 l (κf + V f) l ( κg + W g) F 2, więc biorąc różnicę, (κf + V f) l g F 2. Ponieważ takich κ jest nieskończona ilość, więc (V f) l g F 2, a zatem H l G F 2. Ponieważ f k + f l g F 2, więc również f k F 2, skąd już wynika (4.19). Uwaga 4.4. Niech V i W będą operatorami unitarnymi przestrzeni Hilberta odpowiednio H i G oraz niech dla nieskończenie wielu 0 < κ < 1 istnieją podciągi (n (κ) t ), (m (κ) t ) takie, że zachodzą następujące zbieżności w słabej topologii operatorowej: V n(κ) t κ Id + (1 κ)v, W n(κ) t κ Id + (1 κ)w, V m(κ) t κ Id + (1 κ)v, W m(κ) t κ κ Id + (1 κ)w, dla pewnego κ 1, κ C. Wówczas zachodzą tezy twierdzenia 4.11 oraz uwagi 4.3. Istotnie, zauważmy, że odwzorowanie x x 1 x jest 1 1 na odcinku (0, 1), a przestrzenie są niezmiennicze ze względu na mnożenie wektorów przez stałe. Wystarczy teraz powtórzyć argumenty z dowodów twierdzenia 4.11 oraz uwagi 4.3.

4.3. Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność miar 29 4.3 Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność miar Niech U : H H będzie operatorem unitarnym ośrodkowej przestrzeni Hilberta. Zdefiniujmy I k = { i = (i k,1,..., i k,k ) {1,..., n} k ; i k,r i k,s, r s}. Niech G będzie podgrupą grupy S(n). G działa na zbiorze I k w następujący sposób: π((i k,1,..., i k,k )) = (π(i k,1 ),..., π(i k,k )) dla π G. Zauważmy, że G(I k ) = I k. Na I k możemy rozpatrywać relację równoważności daną przez orbity działania grupy G na zbiorze I k : i k i k π G π( i k ) = i k. Oznaczmy przez o k liczbę orbit działania grupy G na I k. Udowodnimy teraz następujące własności wymienione w [2]: Lemat 4.12. Przy powyższych oznaczeniach prawdziwe są poniższe stwierdzenia: 1. (o 1,..., o n ) = (1,..., 1) dla G = S(n). 2. (o 1,..., o n ) = (n, n(n 1),..., n!, n!) dla G = {e}. 3. (o 1,..., o n ) = (2, 3,..., n, n) dla G = {g S(n); g(n) = n}. 4. o k o m dla k < m. 5. o n 1 = o n. 6. o 2 o 1 (o 1 1). 7. o n = n! #G. Dowód. 1. Ponieważ G = S(n), więc dla dowolnych i k1, i k2 I k istnieje π G takie, że π( i k1 ) = i k2, więc cały zbiór I k jest jedną orbitą. 2. k 1 o k = #{ i k I k ; i k = i k } = #I k = (n i) 3. Orbity działania grupy G na zbiorze I k można wypisać wprost: {(i 1,..., i k ); 1 i j n 1}, {(n, i 2,..., i k ); 1 i j n 1}, i=0 {(i 1, n, i 3,..., i k ); 1 i j n 1},..., {(i 1, i 2,..., i k 1, n); 1 i j n 1}.

30 4. Przykłady analizy spektralnej 4. Zauważmy, że I k widzimy w zbiorze I k+l jako jego pierwsze k współrzędnych. Elementy I k odpowiadające elementom z I k+l, które zostały sklejone, również zostaną sklejone. Zatem uzasadniane nierówności zachodzą. 5. Równość ta wynika z faktu, że elementy zbioru I n są wyznaczone jednoznacznie przez pierwszych n 1 współrzędnych. 6. Dla (i 1, j 1 ), (i 2, j 2 ) I 2, jeśli (i 1, j 1 ) (i 2, j 2 ), to i 1 i 2 oraz j 1 j 2. Oznacza to, że o 2 szacuje się z dołu przez liczbę par (i, j), gdzie wybieramy po jednym i oraz j z klas abstrakcji działania G na I 1. Takich par jest o 1 (o 1 1). 7. Zauważmy, że jeśli g id, to { i n I n ; g( i n ) = i n } =, jeśli zaś g = id, to { i n ; g( i n ) = i n } = I n. Zatem z lematu 3.6 o n = 1 #G #I n = n! #G. Przez Hinv (G) oznaczmy podprzestrzeń przestrzeni H tensorów niezmienniczych ze względu na U π dla wszystkich π G. Lemat 4.13. Dla dowolnych x 1,..., x n H, 1 #G π G x π(1) x π(n) H inv (G). Dowód. Niech τ G. Ponieważ G jest podgrupą, U τ ( 1 #G π G = 1 #G x π(1) x π(n) ) = 1 #G π G U τ (x π(1) x π(n) ) = π G x τ π(1) x τ π(n) = 1 #G x π(1) x π(n). π G Lemat 4.14. Przy powyższych oznaczeniach zachodzi następujący wzór: proj H inv (G) = 1 #G U π. Dowód. Połóżmy p = 1 #G π G U π. Ze względu na lemat 4.13, p: H Hinv (G). Ponadto dla dowolnych tensorów x H, ỹ H mamy x, ỹ = x, 1 #G π 1 G π G U π 1ỹ = 1 #G U π x, ỹ, π G inv (G)

4.3. Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność miar 31 co kończy dowód. Wskażemy teraz pewne zależności między widmem operatorów U oraz U n = U H n. Twierdzenie 4.15. Załóżmy, że σ U = σ jest miarą bezatomową oraz że U ma proste widmo. Ponadto załóżmy, że operator U n ma proste widmo. Wówczas M U (T) = {o H n } σ n p.w. inv (G) Dowód. Ponieważ U ma proste widmo, więc możemy przyjąć, że H = L 2 (T, σ U ) oraz Uf(z) = zf(z). Będziemy wykorzystywać porządek na T pochodzący z przyporządkowania liczbom zespolonym ich argumentów głównych. Niech oraz A i = {(z 1,..., z n ) T n ; z i1 <... < z in } F i = 1 A i L2 (T n, σ U ) dla i I n. Zauważmy, że zbiory A i są parami rozłączne, więc dla i j mamy F i F j. Niech B = {(z 1,..., z n ) T n ; z i = z j dla pewnych i, j, i j}. Wówczas z twierdzenia Fubiniego σ (B) Z ciągłości miary σ mamy więc Zatem Stąd Otrzymujemy więc, że ( ) n σ 2 ({(z, z) T 2 ; z T}). 2 σ (B) = 0. T n = H = i I n A i B. π S(n) F π(1,...,n). H inv (G) = proj H inv (G)H = proj H inv (G)( π S(n) F π(1,...,n) ).

32 4. Przykłady analizy spektralnej Zauważmy, że U π (F i ) = F π( i) (4.20) dla π S(n) oraz i I n. Jeśli i j, to i = τ( j) dla pewnego τ G. Pokażemy, że wówczas proj H inv (G)F i = proj H inv (G)F j. Niech więc f i F i. Z lematu 4.14 oraz faktu, że G jest podgrupą wynika, że proj H inv (G) = 1 #G π G Ponieważ U τ (f i ) F τ( i) = F j, więc proj H inv (G)f i U π (f i ) = 1 #G ( 1 #G U π U τ (f i ). π G ) ( U π F j π G Zamieniając rolami i oraz j, otrzymujemy żądaną równość. Jeśli zaś i j, to dla dowolnych π, π G mamy π( i) π ( j), więc zbiory A π( i) i A π ( j) są rozłączne i F π( i) F π ( j). Pokażemy, że Weźmy f i F i, f j F j. Wtedy proj H inv (G)F i proj H inv (G)F j. proj H inv (G)f i = 1 #G proj H inv (G)f j = 1 #G U π (f i ), π G π G U π (f j ). Ponieważ zachodzi (4.20), więc składniki w powyższych wzorach na rzutowanie są parami prostopadłe, co dowodzi ortogonalności przestrzeni proj H (G)F inv i i proj H (G)F inv j. Oznacza to, że Zauważmy, że H inv (G) = o n k=1 proj H inv (G)F i k. F i proj H (G)F inv i, U U F. i projh inv (G)F i Istotnie, izomorfizm spektralny dany jest następująco: ). F i f = 1 A i f #Gproj H inv (G)f proj H inv (G)F i.

4.3. Funkcja krotności spektralnej. Rozłączność miar 33 Sprawdźmy warunek izometryczności. Z lematu 4.14, a następnie z (4.20) i twierdzenia Pitagorasa oraz z faktu, że U π zachowuje miarę σu mamy: #Gproj H T n inv (G)f 2 dσu = #G 1 U π (f) 2 dσ T n U #G = π G 1 = U π (f) 2 dσ T n U #G = #G 1 #G = π G f 2 dσ T n U T n f 2 dσ U. Rozpatrywane przyporządkowanie jest w oczywisty sposób na, pozostaje więc sprawdzić ekwiwariantność. Należy pokazać, że dla f F i ( ) ( U proj H inv (G) (f) = proj H inv (G) U ) (f). (4.21) Jednak z lematu 4.8 powyższa równość jest prawdziwa dla dowolnego elementu f H, zatem w szczególności zachodzi ona dla f F i. Stąd H o n inv (G) Fi k. Ponadto dla dowolnych i, j I k zachodzi U F U i F (izomorfizm j zadany jest przez U π dla odpowiedniego π S(n)). Zatem H k=1 o n inv (G) F (1,...,n). k=1 Aby zakończyć dowód twierdzenia, wystarczy pokazać, że przestrzenie F i są przestrzeniami cyklicznymi. Istotnie. Ponieważ operatory U projh inv (G)F i i U F są spektralnie izomorficzne dla dowolnej podgrupy grupy S(n), i więc w szczególności otrzymujemy izomorfizm między U n i U. F i Zauważmy ponadto, że ze względu na warunek ekwiwariantności operator wyznaczający izomorfizm przenosi podprzestrzenie cykliczne na podprzestrzenie cykliczne. Ponieważ zaś operator H n ma proste widmo, więc przestrzeń H n, a tym samym przestrzeń F i, jest przestrzenią cykliczną. Jej generatorem jest funkcja 1. A i Bardziej złożona sytuacja to przypadek miary ciągłej z jednym atomem w jedynce. Udowodnimy dla takich miar twierdzenie analogiczne do poprzedniego. Nieco inny dowód można znaleźć w [2]. Niech więc teraz σ U = σ + δ 1, gdzie σ jest miarą bezatomową. Załóżmy ponadto, że przestrzeń wektorów U-niezmienniczych jest jednowymiarowa. Twierdzenie 4.16. Niech n 2. Załóżmy, że U (H n ) 0 ma proste widmo, gdzie (H n ) 0 = H n Cx 0. Wówczas M U (T) = {o (H k ; k = 1,..., n} inv (G)) 0 σ + σ 2 +... + σ n p.w., gdzie (Hinv (G)) 0 = Hinv (G) Cx n 0

34 4. Przykłady analizy spektralnej Dowód. Weźmy x 0 H taki, że x 0 = 1 oraz Ux 0 = x 0. Taki element istnieje, gdyż miara δ 1 jest absolutnie ciągła względem maksymalnego typu spektralnego operatora U. Oznaczmy przez H 0 uzupełnienie ortogonalne podprzestrzeni Cx 0 : H = H 0 Cx 0. Wówczas H n = (H 0 Cx 0 ) n. Przy oznaczeniu Cx 0 = H 1 mamy więc dalej H n = n k=0 H0 k H1 n k. Zatem (H n ) 0 = n k=1 H k 0 H n k 1. Ponieważ na (H n ) 0 widmo jest proste, to musi być ono proste również na podprzestrzeniach H0 k H1 n k oraz maksymalne typy spektralne tych podprzestrzeni muszą być wzajemnie singularne: σ k σ l dla k l. W szczególności, możemy zakładać, że H = L 2 (T, σ U ) oraz Uf(z) = zf(z). Przy tej reprezentacji H 0 = 1 T\{1} L 2 (T, σ U ), H 1 = 1 {1} L 2 (T, σ U ). Istotnie, H 0 i H 1, jako domknięte podprzestrzenie niezmiennicze, są z lematu Wienera postaci 1 Bi L 2 (T, σ U ), i = 0, 1, a ich maksymalne typy spektralne to σ U Bi, i = 1, 2. Stąd B 0 = T \ {1}, B 1 = {1}. Tak jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia, będziemy wykorzystywać porządek na T pochodzący z przyporządkowania liczbom zespolonym ich argumentów głównych. Ustalmy 1 k n. Niech oraz A i k = {(z 1,..., z n ) T n ; z ik,1 <... < z ik,k ; z j = 1, j i k,l } F i k = 1 A i k L 2 (T n, σ U ), gdzie i k I k. Zbiory Ai k są parami rozłączne, a więc dla i k j k mamy Fi k Fj k. Niech B i1,i 2 = {(z 1,..., z n ) T n ; oraz I {1,...,n} #I = n k, i1,i 1 {1,...,n}i 1 i 2 ; i 1, i 2 / I; z i1 = z i2, B = Wówczas z twierdzenia Fubiniego σu = (B i 1,i 2 ) = σu (B n 1,n) = ( ) n 2 σu n k ({(z 1,..., z n ) T n ; 1 i 1 <i 2 n z i = 1 dla i I, z i 1 dla i / I} B i1,i 2. z 1 = = z n k = 1, z n k+1,..., z n 2 < 1, z n 1 = z n < 1}) = ( ) n 2 = σ U ({1}) n k σ U (T \ {1}) k 2 σ U σ U ({(z 1, z 2 ) T 2 ; z 1 = z 2 < 1}). n k