1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność trójkąta) 3 o d(x, y) = 0 x = y. Gdy spełnione są jedynie warunki 1 o i 2 o, wtedy d nazywa się półmetryką. Parę (, d) nazywamy przestrzenią metryczną. Uwaga. Z definicji wynika, że zawsze d(x, y) 0. Definicja 1.2 (zbiór ograniczony) Niech (, d) - przestrzeń metryczna. Zbiór nazywamy ograniczonym, jeśli sup d(x, y) <. x, y Definicja 1.3 Przekształcenie f : Y, gdzie Y - przestrzeń metryczna nazywamy ograniczonym, jeśli obraz przekształcenia f() (zbiór wartości f) jest ograniczony. Zbiór przekształceń ograniczonych z przestrzeni do przestrzeni metrycznej (Y, d Y ) oznaczamy B(, Y ). Definicja 1.4 (metryka supremum) Niech f, g B(, Y ). Określamy: d(f, g) = sup d Y (f(x), g(x)) x Wtedy (B(, Y ), d) jest przestrzenią metryczną. W szczególności, gdy za Y przyjmiemy R z metryką euklidesową otrzymamy B(, R) - zbiór funkcji o wartościach rzeczywistych ograniczonych określonych na przestrzeni. Metryka przyjmuje wówczas postać: d(f, g) = sup f(x) g(x) x dla f, g B(, R). 1.1 Zbiory w przestrzeni metrycznej Definicja 1.5 (kula) Kulą (otwartą) o środku w punkcie p i promieniu r (ozn. K(p, r), B(p, r)) nazywamy zbiór: B(p, r) = {x : d(p, x) < r}. Definicja 1.6 (wnętrze zbioru) Niech. Punkt a nazywamy punktem wewnętrznym zbioru, jeśli istnieje kula o środku w tym punkcie zawarta w zbiorze. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru nazywamy wnętrzem zbioru i oznaczamy int. Uwaga. Mamy oczywiście int dla każdego zbioru. Definicja 1.7 (zbiór otwarty) Zbiór U nazywamy otwartym, jeśli int U = U. Uwaga. Zbiór pusty traktujemy jako otwarty. 1

Stwierdzenie 1.8 Kula otwarta jest zbiorem otwartym w sensie powyższej definicji. Twierdzenie 1.9 Dla dowolnego zbioru zbiór int jest zbiorem otwartym. Twierdzenie 1.10 Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przecięcie skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Definicja 1.11 (otoczenie) Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty U taki, że x U. Definicja 1.12 (domknięcie zbioru) Punkt x nazywamy punktem skupienia zbioru jeśli dla każdego otoczenia U punktu x mamy: U \ {x} =. Jeśli x oraz x nie jest punktem skupienia zbioru to x nazywamy punktem izolowanym zbioru. Domknięciem zbioru nazywamy zbiór złożony z wszystkich jego punktów skupienia i punktów izolowanych i oznaczamy cl. Mamy oczywiście cl dla każdego zbioru. Definicja 1.13 (zbiór domknięty) Zbiór F nazywamy domkniętym jeśli cl F = F. Uwaga. Zbiór pusty traktujemy jako domknięty. Twierdzenie 1.14 Dla dowolnego zbioru zbiór cl jest zbiorem domkniętym. Twierdzenie 1.15 Niech. Wtedy otwarty wtedy i tylko wtedy gdy domknięty. = \ jest Definicja 1.16 (brzeg zbioru) Brzegiem zbioru nazywamy zbiór bd = cl \ int. Wniosek: Brzeg dowolnego zbioru jest zbiorem domkniętym (bo bd = cl ( \ int)). 2 Ciągi Definicja 2.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze nazywamy odwzorowanie x: N. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Uwaga. Przestrzeń wszystkich podzbiorów danego zbioru będziemy oznaczali jako P(). Definicja 2.2 (ciąg zbieżny) Niech (, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech (x n ) będzie ciągiem z przestrzeni. Ciąg ten nazywamy zbieżnym jeśli istnieje x takie, że: ε>0 n0 N n>n0 x n K(x, ε) x spełniające powyższy warunek nazywamy granicą ciągu. Jeśli granica nie istnieje, ciąg nazywamy rozbieżnym. Stwierdzenie 2.3 Granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie. Stwierdzenie 2.4 Ciąg zbieżny jest ograniczony. 2

Definicja 2.5 (zbiór zwarty) Zbiór, (, d) - przestrzeń metryczna nazywamy zwartym, jeśli z każdego ciągu elementów zbioru można wybrać podciąg zbieżny do granicy w zbiorze. Definicja 2.6 (norma) - przestrzeń liniowa nad R (ogólnie nad ciałem K). Funkcja N : R + nazywa się normą, gdy dla t R, u, v spełnione są warunki: N(tu) = t N(u) (jednorodność) N(u) = 0 u = 0 (niezdegenerowaność) N(u + v) N(u) + N(v) (warunek trójkąta) Parę (, N) nazywamy przestrzenią unormowaną. Stwierdzenie 2.7 Norma definiuje metrykę: d(u, v) = N(u v). Mówimy, że jest to metryka indukowana przez normę. 3 Funkcje i zbiory Definicja 3.1 (obraz zbioru) Obrazem zbioru dla funkcji f : Y nazywamy zbiór {y Y : x y = f(x)} i oznaczamy przez f() lub f[]. Definicja 3.2 (obraz funkcji) Obrazem funkcji f : Y nazywamy obraz całego zbioru, czyli f(). Definicja 3.3 (przeciwobraz zbioru) Przeciwobrazem zbioru B Y dla funkcji f : Y nazywamy zbiór {x : f(x) B} i oznaczamy przez f 1 () lub f 1 []. Definicja 3.4 (różnowartościowość) Mówimy, że funkcja f : Y jest różnowartościowa (jest injekcją), jeśli dla każdego y f() istnieje dokładnie jeden x, taki że f(x) = y. Inaczej mówiąc: f jest różnowartościowa, jeśli zachodzi implikacja f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. Definicja 3.5 (na) Mówimy, że funkcja f : Y jest na (jest suriekcją), jeśli dla każdego y Y istnieje x, taki że f(x) = y. Definicja 3.6 (bijekcja) Mówimy, że funkcja f : Y jest bijekcją, jeśli jest różnowartościowa i na. Definicja 3.7 (złożenie) Dane są funkcje f : Y oraz g : Y Z. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h: Z daną wzorem h(x) = g ( f(x) ) i oznaczamy h = g f. Definicja 3.8 (funkcja odwrotna) Dana jest funkcja f : Y. Funkcją odwrotną do f nazywamy funkcję g : Y (o ile istnieje) spełniającą zależności f g = id oraz g f = id Y, gdzie id Z jest funkcją identycznościową na zbiorze Z. Funkcję odwrotną oznaczamy g = f 1. Uwaga. Funkcja odwrotna do f istnieje wtedy i tylko wtedy gdy f jest bijekcją. Definicja 3.9 (suma) Dana jest rodzina (zbiór) podzbiorów { i } i I przestrzeni. Sumą zbiorów i nazywamy zbiór = {x : i I x i } i oznaczamy = i I i. Definicja 3.10 (przecięcie) Dana jest rodzina podzbiorów { i } i I przestrzeni. Przecięciem (częścią wspólną) zbiorów i nazywamy zbiór = {x : i I x i } i oznaczamy = i. i I 3

4 Ciągi funkcyjne Definicja 4.1 (zbieżność punktowa) Ciąg funkcji f n : R jest zbieżny punktowo na zbiorze do funkcji f : R jeśli: x f n (x) f(x) dla n Definicja 4.2 (zbieżność jednostajna) Niech f, f n B(, R) dla n N. Ciąg funkcji f n jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ((f n f) jeśli jest zbieżny w sensie normy supremum, tzn: f f n sup 0 Wniosek: ciąg funkcji ograniczonych zbieżny jednostajnie jest zbieżny punktowo. Implikacja przeciwna nie zachodzi!!! Uwaga. Powyższe definicje można w sposób oczywisty uogólnić na przypadek funkcji których zbiorem wartości jest dowolna przestrzeń metryczna. Twierdzenie 4.3 Jeśli ciąg funkcji ciągłych f n jest zbieżny jednostajnie na zbiorze do funkcji f, to funkcja graniczna f jest ciągła na. Wniosek. W wielu sytuacjach ułatwia to badanie zbieżności - jeśli funkcje f n są ciągłe, a funkcja graniczna jest nieciągła, wtedy od razu wiemy, że zbieżność nie jest jednostajna. Uwaga. Implikacja przeciwna nie zachodzi - mimo że funkcja graniczna jest ciągła, zbieżność może nie być jednostajna. 4.1 Szeregi funkcyjne Definicja 4.4 Niech dany będzie ciąg funkcyjny f n, gdzie f n : R. Oznaczmy przez S k funkcję k S k (x) = f i (x) i=1 Dla szeregu S(x) = i=1 f i (x) pojęcia zbieżności punktowej i jednostajnej definiujemy jak powyżej wykorzystując ciąg funkcyjny S k (x), przy czym szereg S(x) jest określony na zbiorze tych x dla których jest on zbieżny jako szereg liczbowy. Uwaga. Z twierdzenia (4.3) można otrzymać, że suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą wewnątrz koła zbieżności. 5 Ciągłość odwzorowań Definicja 5.1 (granica odwzorowania) Niech (, d ), (Y, d Y ) przestrzenie metryczne,. Mówimy że odwzorowanie f : Y ma w punkcie x 0 granicę y 0, jeśli dla każdego ciągu x n elementów dziedziny zbieżnego do x 0 mamy f(x n ) y 0. Definicja 5.2 (ciągowa definicja ciągłości (wg Heinego)) Niech (, d ), (Y, d Y ) przestrzenie metryczne,. Mówimy, że odwzorowanie f : Y jest ciągłe w punkcie x 0, jeśli dla każdego ciągu x n elementów dziedziny zbieżnego do x 0 ciąg f(x n ) jest zbieżny do f(x 0 ). 4

Definicja 5.3 (otoczeniowa definicja ciągłości) Niech (, d ), (Y, d Y ) przestrzenie metryczne,. Mówimy, że odwzorowanie f : Y jest ciągłe w punkcie x 0, jeśli dla każdego otoczenia U punktu f(x 0 ) przeciwobraz f 1 (U) jest zbiorem otwartym w przestrzeni. Definicja 5.4 (epsilonowa definicja ciągłości (wg Cauchy ego)) Niech (, d ), (Y, d Y ) przestrzenie metryczne,. Mówimy, że odwzorowanie f : Y jest ciągłe w punkcie x 0, jeśli zachodzi: ε>0 δ>0 x d (x, x 0 ) < δ d Y (f(x), f(x 0 )) < ε Uwaga. Definicje 2.2, 2.3 i 2.4 są równoważne. Odwzorowanie ciągłe w każdym punkcie dziedziny nazywamy odwzorowaniem ciągłym. Zbiór przekształceń ciągłych z w Y oznaczamy przez C(, Y ). Stwierdzenie 5.5 Niech (, d ), (Y, d Y ), (Z, d Z ) będą przestrzeniami metrycznymi oraz odwzorowania f : Y, g : Y Z są ciągłe. Wówczas złożenie g f : Z jest ciągłe. Stwierdzenie 5.6 Niech f, g : R n R k będą ciągłe. Wówczas f + g, f g, f g są ciągłe. f g jest funkcją ciągłą w punktach, gdzie g 0. Stwierdzenie 5.7 Funkcja stała, funkcje potęgowe x p (dla p 0), sin(x), cos(x), e x, ln(x) są ciągłe w swoich dziedzinach. Uwaga. Powyższe stwierdzenia pozwalają łatwo wykazać ciągłość np. ln(x 2 3x + 2) cos(e x ). 6 Różniczkowanie odwzorowań Przyjmijmy następujące oznaczenia: (, ), (Y, Y ) - przestrzenie liniowe unormowane (u nas najczęściej R n i R k ), G - podzbiór otwarty, p G, f : G Y. Definicja 6.1 (pochodna kierunkowa funkcji) Pochodną kierunkową odwzorowania f : G Y w punkcie p G w kierunku wektora h nazywamy granicę f h (p) = f h(p) = D h f(p) = lim t 0 1 (f(p + th) f(p)), t o ile istnieje i jest skończona. Wyrażenie występujące pod znakiem granicy rozważamy oczywiście dla tych t R, dla których p + th G. Przez e 1,..., e n oznaczamy bazę kanoniczną przestrzeni R n, tzn. e i = (}{{} 0,..., }{{} 1,..., }{{} 0 ) 1 i n Definicja 6.2 (pochodna cząstkowa) Pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p względem i-tej zmiennej nazywamy pochodną kierunkową tej funkcji w punkcie p w kierunku e i o ile ona istnieje i oznaczamy f x i (p) = D xi f(p) = D i f(p) = f x i (p). Definicja 6.3 (pochodna funkcji (odwzorowania)) Pochodną funkcji f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe L L(, Y ) spełniające warunek: Oznaczamy je najczęściej L = Df(p). f(p + u) f(p) L(u) lim u 0 u 5 = 0.

Oznacza to, że: f(p + u) = f(p) + Lu + α(u), gdzie α(u) = o(u), tzn lim u 0 α(u) u = 0. Stwierdzenie 6.4 Jeśli funkcja jest różniczkowalna w p, to jest ciągła w tym punkcie. Twierdzenie 6.5 Niech G będzie otoczeniem punktu p. Wówczas, jeśli funkcja f jest różniczkowalna w p, to: a) przy każdym h istnieje pochodna kierunkowa f (p) oraz jest równa Df(p)h; h b) istnieją pochodne cząstkowe D i f(p) oraz: n Df(p)h = D i f(p)h i, gdzie h = (h 1,..., h n ) R n. i=1 Twierdzenie 6.6 (o różniczkowalności funkcji o ciągłych pochodnych cząstkowych) Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe funkcji f w otoczeniu punktu p istnieją i są ciągłe w p, to funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie p. 6.1 Pochodna złożenia Twierdzenie 6.7 Niech G R m =, G 1 R n = Y, R k = Z, G jest otoczeniem punktu x 0, a G 1 otoczeniem punktu y 0. Niech f : G G 1 będzie odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie x 0, a g : G 1 Z odwzorowaniem różniczkowalnym w punkcie y 0 = f(x 0 ), gdzie Wówczas odwzorowanie g f jest różniczkowalne w punkcie x 0 oraz zachodzi wzór: D(g f)(x 0 ) = Dg(y 0 ) Df(x 0 ). Rozpiszmy powyższy napis przyjmijmy, że f = (f 1,..., f n ), gdzie f i : R dla i = 1,... n, g j : Y R, gdzie j = 1,... k. (W celu nie komplikowania zapisu przyjmujemy na chwilę, że odwzorowania te są określone na całych przestrzeniach, Y, Z.) Możemy wtedy zapisać, że: f 1 f x 1... 1 g 1 g x m y Df =....., Dg = 1... 1 y n..... f n g x 1... k y 1... Daje to na mocy twierdzenia: D(g f) = Jeśli teraz przyjmiemy, że to otrzymamy wzór: D(f g) = g 1 f n x m g 1 y n y 1........ g k y 1... [ ] (g f)i x j (g f) i x j = g k y n f 1 f 1 x m x 1........ f n x 1... f n x m i = 1,... k, j = 1..., m, n l=1 g i y l f l x j. W powyższych zapisach (żeby nie zaciemnianiać) pominęliśmy punkty w jakich liczone są pochodne cząstkowe i różniczki. 6 g k y n.

6.2 Twierdzenie o odwracaniu odwzorowań Definicja 6.8 Odwzorowanie F : G R n, gdzie G R k nazywamy klasy C 1, jeśli jest różniczkowalne, oraz odwzorowanie G x w h (x) = DF (x)h jest ciągłe dla każdego ustalonego h R k. Uwaga. Zbiór wszystkich odwzorowań klasy C 1 z w Y oznaczamy przez C 1 (, Y ). Twierdzenie 6.9 Na to by odwzorowanie F : G R n, F = (f 1, f 2,..., f n ), gdzie f i - funkcje rzeczywiste, i = 1, 2,..., n było klasy C 1 potrzeba i wystarcza, by istniały w G wszystkie pochodne cząstkowe D j f i, j = 1, 2,..., k i były w nim ciągłe. Definicja 6.10 (dyfeomorfizm) Odwzorowanie ϕ: U R n, gdzie U R n - zbiór otwarty, nazywa się dyfeomorfizmem, jeśli jest ono klasy C 1, jest nieosobliwe i różnowartościowe, a odwzorowanie ϕ 1 jest ciągłe. Twierdzenie 6.11 Jeśli ϕ: U V, ψ : V R k są dyfeomorfizmami, to ψ ϕ jest też dyfeomorfizmem ( U, V -podzbiory otwarte przestrzeni R k ). Definicja 6.12 Niech f : Y. Powiemy, że f jest lokalnie odwracalne w punkcie p, jeśli istnieje otoczenie U punktu p takie, że f obcięte do U jest odwracalne. Twierdzenie 6.13 Niech f : U R k będzie odwzorowaniem klasy C 1, gdzie U R k - zbiór otwarty. Wówczas, jeśli det Df 0, to: a) zbiór f(u) jest otwarty; b) odwzorowanie f zawężone do pewnego otoczenia punktu x 0 jest różnowartościowe. c) jeśli f jest różnowartościowe, to f 1 istnieje, jest klasy C 1 oraz zachodzi: gdzie y = f(x), x U. Df 1 (y) = (Df(x)) 1 Wniosek. Jeśli odwzorowanie ϕ: U R m klasy C 1, U R n jest nieosobliwe i różnowartościowe, to jest ono dyfeomorfizmem oraz ϕ 1 jest też dyfeomorfizmem. 6.3 Odwzorowania uwikłane Definicja 6.14 (odwzorowanie uwikłane) Niech będzie dane odwzorowanie f : U Y, gdzie U Y, = R n, Y = R m, oraz odwzorowanie ϕ: V Y, gdzie V. Jeśli f(x, ϕ(x)) = 0 dla każdego x V, to mówimy, że odwzorowanie f generuje odwzorowanie uwikłane ϕ: V Y. Twierdzenie 6.15 (o istnieniu) Przypuśćmy, że = R n, Y = R m, U podzbiór otwarty Y, f C 1 (U, Y ), f(x 0, y 0 ) = 0, f (x Y 0, y 0 ) I(Y, Y ). Wówczas istnieją otoczenia U 1 x 0 i U 2 y 0, takie że U 1 U 2 U, oraz funkcja ϕ C 1 (U 1, U 2 ) takie że: a) dla (x, y) U 1 U 2 mamy f(x, y) = 0 y = ϕ(x); b) dla x U 1 ϕ (x) = f Y (x, ϕ(x)) 1 f (x, ϕ(x)) 7

7 Pochodne wyższych rzędów Definicja 7.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech G R k oraz f : G R m. Wówczas, jeśli istnieje pochodna cząstkowa D j ( Di f ) (x 0 ), to nazywamy ją drugą pochodną cząstkową (pochodną cząstkową drugiego rzędu) odwzorowania f w punkcie x 0 względem i-tej i j-tej zmiennej i oznaczamy ją przez D j D i f(x 0 ), (i, j = 1,..., k). Inne stosowane oznaczenia: 2 f (x 0 ), lub f x x j x i x j (x 0 ). i Cząstkowe pochodne drugiego rzędu dla i j nazywa się pochodnymi mieszanymi. Pochodną D i D i f(x 0 ) oznaczamy również Di 2 f(x 0 ), lub 2 f (x 0 ). x 2 i Definicja 7.2 (Pochodna drugiego rzędu) Odwzorowanie f o wartościach w R m określone w otoczeniu G punktu x 0 R k nazywamy dwukrotnie różniczkowalnym w tym punkcie, jeśli: 1) jest ono różniczkowalne w każdym punkcie pewnego otoczenia punktu x 0 ; 2) przy każdym ustalonym h R k odwzorowanie (określone w pewnym otoczeniu punktu x 0, o wartościach w R m ) x Df(x)h jest różniczkowalne w punkcie x 0. Wówczas dwuliniowe (liniowe ze względu na każdą z dwóch współrzędnych oddzielnie) odwzorowanie: (h, h) D(Df(x)h)h określone na produkcie R k R k ( o wartościach w R m ) nazywamy pochodną drugiego rzędu odwzorowania f w punkcie x 0 i oznaczamy D 2 f(x 0 ). Twierdzenie 7.3 Warunkiem dostatecznym dwukrotnej różniczkowalności odwzorowania f w punkcie x 0 jest istnienie w pewnym otoczeniu punktu x 0 ciągłych pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu oraz istnienie w pewnym otoczeniu tego punktu drugich pochodnych cząstkowych i ich ciągłość w punkcie x 0. Twierdzenie 7.4 Jeśli odwzorowanie f jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x 0, to istnieją drugie pochodne cząstkowe D j D i f(x 0 ) (i, j = 1,..., k) oraz zachodzi wzór D 2 f(x 0 )h h = dla dowolnych h = (h 1,..., h k), h = (h 1,..., h k ) k i,j=1 h jh i D j D i f(x 0 ) Twierdzenie 7.5 (Schwarza o symetrii drugiej pochodnej) Jeśli odwzorowanie f jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x 0, to pochodna jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym, tzn. dla dowolnych h, h R k zachodzi: D 2 fhh (x 0 ) = D 2 fh h(x 0 ), w szczególności: D i D j f(x 0 ) = D j D i f(x 0 ). Twierdzenie 7.6 (Wzór Taylora) Jeśli odwzorowanie f jest n-krotnie różniczkowalne (przy danym n N) w punkcie x 0, to zachodzi wzór: f(x 0 + h) = f(x 0 ) + 1 1! Df(x0 )h +... + 1 n! Dn f(x 0 )h n + α(h) gdzie α(h) = o(h n ), tzn lim h 0 α(h) h n = 0. 8

8 Moce zbiorów Definicja 8.1 Zbiory i B nazywamy równolicznymi (tej samej mocy), jeśli istnieje bijekcja f : B. Piszemy wtedy: = B lub B. Zbiór ma co najwyżej tyle elementów co zbiór B, jeśli istnieje podzbiór C zbioru B równoliczny ze zbiorem. Piszemy wtedy: B. Twierdzenie 8.2 Dla dowolnych zbiorów i B następujące warunki są równoważne: (i) B (ii) istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru w zbiór B (iii) istnieje funkcja ze zbioru B na zbiór. Twierdzenie 8.3 (Cantor Bernstein) Dla dowolnych zbiorów i B, jeśli B i B, to = B. Definicja 8.4 Powiemy, ze zbiór ma mniej elementów niż B, gdy zachodzi B oraz zbiory i B nie są równoliczne. Definicja 8.5 Powiemy, że zbiór jest zbiorem skończonym jeśli jest on zbiorem pustym lub istnieje liczba naturalna n N taka, że {1, 2,..., n}. W takim przypadku mówimy, że zbiór ma n elementów. Zbiór, który nie jest skończony nazywamy nieskończonym. Zbiór nazywamy przeliczalnym jeśli jest on równoliczny ze zbiorem licz naturalnych. Piszemy wtedy = ℵ 0. Zbiór nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest on skończony lub przeliczalny. Zbiór nazywamy nieprzeliczalnym jeśli nie jest on zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Twierdzenie 8.6 Podzbiór zbioru skończonego, suma oraz iloczyn kartezjański skończenie wielu zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym. Twierdzenie 8.7 Każdy zbiór zawierający zbiór przeliczalny jest zbiorem nieskończonym. Każdy zbiór nieskończony, zawiera zbiór przeliczalny. Wniosek. by wykazać, że dany zbiór nieskończony jest przeliczalny, wystarczy ustawić jego elementy w ciąg. Twierdzenie 8.8 Zbiór wszystkich podzbiorów skończonych zbioru mocy ℵ 0 jest mocy ℵ 0. Twierdzenie 8.9 Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Wniosek. Zbiór liczb całkowitych Z jest zbiorem przeliczalnym. Twierdzenie 8.10 Przeliczalne suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Twierdzenie 8.11 Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym Wniosek. Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym (jako nieskończony podzbiór zbioru przeliczalnego - iloczynu kartezjańskiego Z Z). 9

Twierdzenie 8.12 Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym Twierdzenie 8.13 Zbiór liczb rzeczywistych R nie jest zbiorem przeliczalnym. Definicja 8.14 Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorami mocy continuum. Twierdzenie 8.15 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru przeliczalnego jest mocy continuum. Twierdzenie 8.16 Zbiór wszystkich nieskończonych ciągów o wartościach w zbiorze mocy continuum jest mocy continuum. Wniosek. R n = R. Twierdzenie 8.17 Niech zbiór będzie zbiorem mocy continuum i niech S. wtedy, jeśli S < R, to \ S = R. Wniosek. Zbiór liczb niewymiernych jest mocy continuum. Twierdzenie 8.18 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru mocy continuum ma moc większą niż continuum. 9 σ-ciała Definicja 9.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli M, to \ M; 3 o jeśli n M dla każdego n N, to n N n M. Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze. Z powyższych warunków wynikają łatwo następujące własności σ - ciała M: M jeśli J jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem, oraz j M dla każdego j J, to: a) j J j M; b) j J j M tzn. suma i przecięcie co najwyżej przeliczalnej rodziny zbiorów należących do σ-ciała M, należą do M; jeśli, B M, to \ B M. 10

Definicja 9.2 Jeśli M jest σ- ciałem w zbiorze, to parę (, M) nazywamy przestrzenią mierzalną. Stwierdzenie 9.3 Część wspólna rodziny σ-ciał w jest σ- ciałem w. Powyższe stwierdzenie uprawnia nas do wprowadzenia następującego pojęcia: Definicja 9.4 Niech R - pewna rodzina podzbiorów przestrzeni. σ-ciałem generowanym przez R w nazywamy część wspólną wszystkich σ-ciał w zawierających R i oznaczamy σ(r). σ(r) bywa nazywane również najmniejszym σ-ciałem w zawierającym rodzinę R. Definicja 9.5 (zbiory borelowskie) Zbiorami borelowskimi względem danej przestrzeni metrycznej nazywamy zbiory należące do σ-ciała w generowanego przez rodzinę O() wszystkich zbiorów otwartych w. Rodzinę wszystkich zbiorów borelowskich względem oznaczamy B(). 9.1 Miara Definicja 9.6 Niech (, M) - przestrzeń mierzalna. Miarą na σ-ciele M nazywamy funkcję µ: M R + (czyli funkcję, która każdemu zbiorowi z σ-ciała M przyporządkowuje liczbę nieujemną µ() skończoną lub równą + ) spełniającą dwa warunki: 1 o µ( ) = 0 (miara zbioru pustego równa się 0); 2 o µ ( n N n ) = n N µ( n ) dla każdego ciągu zbiorów n M parami rozłącznych (miara sumy ciągu zbiorów parami rozłącznych równa się sumie ich miar). Własność 2 o nazywamy przeliczalną addytywnością funkcji zbioru µ. Jeśli µ jest miarą na σ-ciele M w, to trójkę (, M, µ) nazywamy przestrzenią z miarą. Jeśli M i µ() = 0 to mówimy, że zbiór jest miary µ zero. Jeśli M i µ() < + to mówimy, że zbiór jest miary µ skończonej. Miara µ na σ-ciele M w nazywa się: skończona, jeśli µ() < + ; unormowana lub probabilistyczna, jeśli µ() = 1; półskończona lub σ-skończona, jeśli przestrzeń daje się przedstawić w postaci sumy przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ skończonej; zupełna, jeśli z warunku B, B M, µ(b) = 0 wynika, że M (tzn. każdy podzbiór zbioru miary zero należy do M). Stwierdzenie 9.7 Niech µ będzie miarą na σ-ciele M. Wówczas: (i) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz { j : j J} - rodziną zbiorów parami rozłącznych należących do M, to µ j j J = j J µ( j ); 11

(ii) jeśli zbiór jest miary µ skończonej, B, B M, to µ(b \ ) = µ(b) µ(); (iii) jeśli B (, B M), to µ() µ(b) (tzw. monotoniczność funkcji zbioru µ.) (iv) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz { j : j J} - rodziną zbiorów należących do M, to µ µ( j ); j J j j J (v) suma przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ zero jest zbiorem miary µ zero; (vi) jeśli n, ( n M), to µ( n ) µ(); (vii) jeśli n, ( n M), to µ( n ) µ(), przy dodatkowym założeniu, że zbiór 1 jest miary µ skończonej; 9.2 Miara Lebesgue a Definicja 9.8 Przedziałem w R k nazywamy zbiór P R k postaci: P = P 1... P k gdzie P i są przedziałami jednowymiarowymi. Objętością przedziału k- wymiarowego nazywamy iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych określających ten przedział: P = P 1... P k. Definicja 9.9 Mówimy, że rodzina przedziałów {P j } j J jest pokryciem zbioru jeśli j J P j. Definicja 9.10 (k-wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue a) k-wymiarową miarą zewnętrzną Lebesgue a zbioru R k określamy: l k () = inf P n : P n przedziały w R k, n N Twierdzenie 9.11 Powyżej określona funkcja l k jest miarą zewnętrzną. P n. n N Twierdzenie 9.12 Miara zewnętrzna Lebesgue a dowolnego przedziału k-wymiarowego równa się jego objętości. Zbiory o mierze zewnętrznej Lebesgue a równej zero nazywamy zbiorami miary zero. Przez L(R k ) oznaczamy σ-ciało w przestrzeni R k generowane przez rodzinę wszystkich k-wymiarowych przedziałów i rodzinę wszystkich podzbiorów R k miary zero. σ-ciało L(R k ) nazywamy klasą podzbiorów przestrzeni R k mierzalnych w sensie Lebesgue a. Twierdzenie 9.13 a) Wszystkie podzbiory miary zero przestrzeni R k oraz wszystkie jej podzbiory borelowskie są mierzalne (tzn. należą do L(R k )); b) l k jest miarą na σ-ciele L(R k ); c) miara l k jest zupełna i σ-skończona. Twierdzenie 9.14 Iloczyn kartezjański zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym. 12

10 Funkcje mierzalne Przez R będziemy oznaczali zbiór liczb rzeczywistych uzupełniony o dwa elementy:, +. Przyjmujemy, że przedziały (a, + >, <, a), a R są zbiorami otwartymi w R. Definicja 10.1 (funkcja mierzalna) Niech (, M) - przestrzeń mierzalna. Funkcję f : R nazywamy mierzalną względem σ-ciała M (lub krótko M-mierzalną), jeśli f 1 (G) M dla każdego zbioru G otwartego w R. Twierdzenie 10.2 Jeśli M oraz f : R, to następujące warunki są równoważne: a) funkcja f jest M-mierzalna; b) dla każdego przedziału P postaci P =<, a), a R zachodzi: f 1 (P ) M; (*) c) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =<, a >, a R; d) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P = (a, + >, a R; e) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =< a, + >, a R. Twierdzenie 10.3 Niech f : R - M - mierzalna, g : R R - ciągła. Wtedy złożenie g f jest M - mierzalne. Stwierdzenie 10.4 Jeśli funkcja f : R jest M-mierzalna, to a R zbiory {x : f(x) = a}, {x : f(x) a} są mierzalne. Twierdzenie 10.5 Jeśli funkcje f, g : R są M-mierzalne oraz suma f + g jest wykonalna (tzn. dla żadnego x liczby f(x) i g(x) nie są jednocześnie nieskończonościami różnych znaków), to jest ona funkcją mierzalną. Podobnie dla funkcji f g, f g, max{f, g}, min{f, g}. Definicja 10.6 Częścią nieujemną funkcji f nazywamy funkcję f + = max{f, 0}, a częścią niedodatnią f = max{ f, 0}. Stwierdzenie 10.7 Następujące warunki są równoważne: (i) f jest mierzalna; (ii) f + i f są mierzalne; (iii) f i jedna z funkcji f +, f jest mierzalna. Stwierdzenie 10.8 Niech (f n ) n N będzie ciągiem funkcji M-mierzalnych o wartościach w R określonych na przestrzeni. Wtedy zbiór = {x : lim f n (x)istnieje} jest mierzalny i granica n lim f n jest funkcją mierzalną. n 13

10.1 Konstrukcja całki Lebesgue a Uwaga. Mówiąc funkcja nieujemna mamy na myśli funkcję ze zbioru R o wartościach w R +. Definicja 10.9 Funkcją charakterystyczną zbioru nazywamy funkcję χ : R określoną wzorem: { 1 dla x χ (x) = 0 dla x / Definicja 10.10 Funkcją prostą nazywamy funkcję o skończonym zbiorze wartości. Uwaga. Każdą funkcję prostą można przedstawić w następującej postaci: n f = a i χ i, gdzie i = {x : f(x) = a i } i=1 Twierdzenie 10.11 Jeśli f jest nieujemną funkcją mierzalną, to istnieje niemalejący ciąg f n funkcji prostych nieujemnych i mierzalnych, takich że x lim f n (x) = f(x). n Definicja 10.12 Niech f n = n i=1 a i χ i - nieujemna funkcja prosta mierzalna określona na zbiorze. Całką funkcji f względem miary µ nazywamy liczbę (skończoną lub nie): n f(x)dµ = a i µ( i ). i=1 Definicja 10.13 Niech f -nieujemna, mierzalna funkcja, f n - ciąg nieujemnych mierzalnych funkcji prostych zbieżnych punktowo do f. Całką na zbiorze funkcji f względem miary µ nazywamy liczbę: f(x)dµ(x) = lim f n (x)dµ(x). n Definicja 10.14 Niech f - funkcja mierzalna. Jeśli przynajmniej jedna z wielkości: f + (x)dµ(x); f (x)dµ(x) jest skończona, to całką funkcji f względem miary µ nazywamy: f(x)dµ(x) = f + (x)dµ(x) f (x)dµ(x). Definicja 10.15 Funkcję mierzalną f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue a na zbiorze jeśli: f(x)dµ(x) jest skończona. Definicja 10.16 Niech. Całkę na mierzalnym zbiorze funkcji f względem miary µ definiujemy: f(x)dµ(x) = f(x)χ (x)dµ(x) 14

11 Własności całki Lebesgue a Definicja 11.1 Niech (, µ) - przestrzeń mierzalna. Powiemy, że pewien warunek zachodzi µ - prawie wszędzie jeśli zachodzi on wszędzie na zbiorze poza zbiorem miary µ 0. Stwierdzenie 11.2 Całka funkcji mierzalnej po zbiorze miary zero jest równa 0. Stwierdzenie 11.3 Jeśli B =, to: f(x)dµ(x) = B tzn. jeśli obie strony istnieją to są równe. f(x)dµ(x) + B f(x)dµ(x), Stwierdzenie 11.4 Jeśli f = 0 µ - p.w. to dla każdego zbioru mierzalnego zachodzi: f(x)dµ(x) = 0. Stwierdzenie 11.5 Jeśli f = g µ - p.w., to dla każdego zbioru mierzalnego zachodzi: f(x)dµ(x) = g(x)dµ(x). Stwierdzenie 11.6 Jeśli f, g - całkowalne, f g µ-p.w. to f(x)dµ(x) g(x)dµ(x). Stwierdzenie 11.7 Funkcja mierzalna f jest całkowalna na wtedy i tylko wtedy gdy f jest całkowalna na. Ponadto zachodzi: f(x)dµ(x) f(x) dµ(x). Stwierdzenie 11.8 Jeśli f funkcja mierzalna, oraz istnieje funkcja g całkowalna na taka, że f g µ - p.w, to f jest całkowalna na. Stwierdzenie 11.9 Jeśli f, g -całkowalne to: a,b R (af(x) + bf(x))dµ(x) = a f(x)dµ(x) + b g(x)dµ(x). oraz f funkcje Twierdzenie 11.10 (Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Niech f n mierzalne. Jeśli 0 f n f to : f n (x)dµ(x) = f(x)dµ(x). lim n Uwaga. Z tego twierdzenia najczęściej korzystamy chcąc wykazać rozbieżność całki granicznej. Twierdzenie 11.11 (Lebesgue a o ograniczonej zbieżności) Jeśli f n, f - funkcje mierzalne, lim n f n = f (µ - p.w. na ) oraz istnieje g - całkowalna, taka że f n g (µ p.w. na ), to: f n (x)dµ(x) = f(x)dµ(x), lim n tzn. obie całki istnieją i są sobie równe. Twierdzenie 11.12 Niech f będzie funkcją ograniczoną na [a, b]. Jeśli f jest całkowalna w sensie Riemanna na [a, b], to f jest mierzalna i całkowalna w sensie Lebesgue a na [a, b], oraz b f(x)dx = f(x)dl 1 (x). Uwaga. Czyli całka Lebesgue a jest ulepszeniem całki Riemanna. a [a,b] 15

11.1 Całki iterowane Definicja 11.13 Niech dane będą przestrzenie mierzalne ( 1, M 1, µ 1 ), ( 2, M 2, µ 2 ). Najmniejsze σ-ciało zawierające rodzinę wszystkich zbiorów postaci 1 2, gdzie 1 M 1, 2 M 2 nazywamy σ-ciałem produktowym σ-ciał M 1 i M 2. Twierdzenie 11.14 Niech dane będą przestrzenie mierzalne ( 1, M 1, µ 1 ), ( 2, M 2, µ 2 ). Oznaczmy przez M odpowiednie σ-ciało produktowe. Wtedy funkcja µ : M R + określona jako µ () = inf n : n = n 1 n 2, n i M i, n n N jest miarą zewnętrzną, która staje się miarą po ograniczeniu do σ-ciała produktowego M. Miarę tą nazywamy miarą produktową i oznaczamy µ = µ 1 µ 2. Przykład: Miara Lebesgue a: l n+m = l n l m. Twierdzenie 11.15 (Fubiniego) Niech ( 1, M 1, µ 1 ), ( 2, M 2, µ 2 ), (, M, µ), gdzie = 1 2, M = M 1 M 2, µ = µ 1 µ 2 - odpowiednio σ - ciało i miara produktowa będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi. Jeśli funkcja f : R jest całkowalna na zbiorze względem miary µ, to dla prawie wszystkich punktów x 2 2 funkcja f(, x 2 ): 1 R jest mierzalna, funkcja f 2 : 2 R dana wzorem f 2 (x 2 ) = f(x 1, x 2 )dµ 1 (x 1 ) 1 jest mierzalna i określona µ 2 -p.w. na 2 oraz: f(x)dµ(x) = gdzie x = (x 1, x 2 ). 2 f 2 (x 2 )dµ 2 (x 2 ) Twierdzenie 11.16 (kryterium całkowalności (Tonellego)) Przy powyższych oznaczeniach, jeśli jedna z poniższych całek iterowanych: ( ) ( ) f(x 1, x 2 ) dµ 1 (x 1 ) dµ 2 (x 2 ) lub f(x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 ) dµ 1 (x 1 ) 1 2 2 jest skończona, to funkcja f jest całkowalna na zbiorze względem miary µ. 11.2 Całkowanie przez podstawienie Twierdzenie 11.17 (o całkowaniu przez podstawienie) Niech ϕ: G R k będzie dyfeomorfizmem, gdzie G - zbiór otwarty w R k i niech dany będzie zbiór E G oraz funkcja f określona na zbiorze ϕ(e). Wówczas: 1 o funkcja f jest całkowalna na zbiorze ϕ(e) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja (f ϕ)jϕ (Jϕ oznacza jakobian przekształcenia ϕ ) jest całkowalna na zbiorze E; 2 o jeśli funkcja f jest mierzalna, całkowalna (lub nieujemna) na ϕ(e), to zachodzi wzór : f = (f ϕ) Jϕ. ϕ(e) E 1 n N 16