ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seri: Technologie Informcyjne 007 Tomsz Dobrowolski Ktedr Algorytmów i Modelowni Systemów Politechnik Gdńsk ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Streszczenie Prc opisuje metody pokrywni trójkątnymi płytkmi dowolnych powierzchni trójwymirowych reprezentownych przez sitki trójkątne. Omówione są znne metody konstruowni i ukłdni trójkątnych płytek orz ich optymlizcj lgorytmmi kolorowni grfów. Zproponown jest również ulepszon, hybrydow metod, umożliwijąc pokrycie dowolnej powierzchni wzorem, który wymg kierunkowego uporządkowni. Przykłdem zstosowń może być modelownie wzorów n futrze zwierząt (np. pski zebry, cętki lmprt) orz wzorów skłdjących się z łusek (występujących u ryb i gdów). Metod umożliwi optymlizcję ilości pmięci zjmownej przez teksturę orz utomtyczne pokrywnie wzorem geometrii generownej procedurlnie. Słow kluczowe: grfik komputerow, teksturownie dowolnych powierzchni, periodyczne kfelkownie. WSTĘP Prezentown w niniejszej prcy metod umożliwi pokrycie dowolnych powierzchni trójwymirowych, reprezentownych przez sitki trójkątne, qusi-powtrzlnym wzorem skłdjącym się z odpowiednio ułożonych trójkątnych płytek. Opisne są dwie podstwowe metody ukłdni trójkątnych płytek wykorzystujące kolorownie krwędzi i wierzchołków, orz ulepszon metod hybrydow, umożliwijąc pokrycie dowolnej powierzchni wzorem o kierunkowym chrkterze. Sitk trójkątn S = (V, T), to zbiór wierzchołków V i trójkątów T. Kżdy trójkąt to uporządkown trójk wierzchołków. Trójkąt oprty n wierzchołkch, b i c (kolejność m znczenie), oznczmy jko (,b,c). Dl kżdego trójkąt t = (,b,c) możemy określić zbiór skierownych krwędzi, zorientownych zgodnie z uporządkowniem wierzchołków t jko E(t) = ((,b),(b,c),(c,)). Zbiór wszystkich skierownych krwędzi oznczmy jko E(S). Poprwnie zorientown sitk trójkątn to tk sitk trójkątn, w której żdne dw trójkąty nie zwierją tkiej smej skierownej krwędzi (,b), orz może być co njwyżej
Tomsz Dobrowolski jedn pr trójkątów, zwierjących przeciwnie skierowne krwędzie oprte o te sme wierzchołki: (,b) orz (b,). W prcy używne jest określenie kolorowni wierzchołków bądź krwędzi sitek trójkątnych, przez które rozumine jest przypisywnie liczby nturlnej, zwnej kolorem, do elementów sitki (wierzchołków lub skierownych krwędzi).. TRÓJKĄTNE KAFELKOWANIE Kżdą poprwnie zorientowną sitkę trójkątną S możn pokryć wzorem z 4 trójkątnych płytek. Algorytm pokrywni wzorem rozpoczyn się od dowolnego, losowego pokolorowni wierzchołków sitki S dwom kolormi ze zbioru {,} lub odpowiedniego kolorowni skierownych krwędzi dwom kolormi ze zbioru {,}, w tki sposób, że jeśli krwędź (,b) zostnie pokolorown kolorem x to krwędź (b,) musi być pokolorown kolorem przeciwnym, tj. -x. Funkcję kolorującą wierzchołki oznczmy jko: C V (S): V {,}, funkcję kolorującą skierowne krwędzie: C E (S): E(S) {,}, gdzie C E ((,b)) = -C E ((b,)). Dzięki pokolorowniu wierzchołków lub skierownych krwędzi kżdemu trójkątowi w sitce przyporządkowujemy jedną z możliwych trójkątnych płytek. Dl kżdego trójkąt istnieją tylko 4 możliwe ukłdy niewrżliwe n obroty z nstępującymi kolormi wierzchołkch bądź skierownych krwędzich: {{,,}, {,,}, {,,}, {,,}}. A B C D Rysunek. Zbiór 4 płytek dl odpowiedniego kolorowni skierownych krwędzi, wystrczjący do pokryci dowolnej sitki trójkątnej przykłdowym wzorem. Krwędź pokolorown jest dopsown do przeciwnie skierownej krwędzi pokolorownej.
Zstosowni trójkątnych płytek w grfice komputerowej Dl trójkąt (,b,c) ze zbiorem krwędzi skierownych: ((,b),(b,c),(c,)), istnieją nstępujące możliwe ukłdy implikujące wybór odpowiednich płytek: Płytk C V() lub C E((,b)) C V(b) lub C E((b,c)) C V(c) lub C E((c,)) A B B B C C C D Możn zuwżyć, że obrót płytek B i C jest jednozncznie określony, ntomist płytki A i D możn dowolnie obrcć, bez utrty dopsowni. A B C D Rysunek. Zbiór 4 płytek z pokolorownymi wierzchołkmi, wystrczjący do pokryci dowolnej sitki trójkątnej przykłdowym wzorem. Metod teksturowni wykorzystując trójkątne płytki kolorowne dwom kolormi krwędziowo i wierzchołkowo zostł opisn przez Neyret i Cni []. Niemniej jednk możn przyjrzeć się dokłdniej lgorytmowi kolorowni. Kżd sitk trójkątn z nieskierownymi krwędzimi jest grfem plnrnym, więc d się leglnie pokolorowć używjąc 4 kolorów (z twierdzeni o kolorowniu mp czterem brwmi, Appel i Hkken [6]). Stąd dl sitek plnrnych wystrczy użycie płytek B i C (w metodzie kolorowni wierzchołkowego), przez leglne pokolorownie wierzchołków njpierw 4 kolormi później przez odpowiednie zmniejszenie liczby
4 Tomsz Dobrowolski kolorów do dwóch: {,} orz {,4}. Poniewż kżdy trójkąt będzie pokolorowny różnymi kolormi, po zmniejszeniu do dwóch, kolor co njmniej jednego wierzchołk będzie się różnił, stąd możn ogrniczyć się jedynie do płytek B i C: {,,} orz {,,}. Niestety sitki reprezentujące powierzchnie o dodtnim genusie (w literturze polskiej genus jest zwny również rodzjem, dl torus genus g=, dl precelk z n dziurmi, g=n) nie zwsze są 4-kolorowlne. Widomo ntomist, że odpowiednio gęste (o odpowiednio długim nieściąglnym cyklu) sitki o dodtnim genusie są co njwyżej 5-kolorowlne (Thomssen [5], Hutchinson [4]), niestety znne są również szczególne przypdki stosunkowo niewielkich grfów (niekoniecznie sitek trójkątnych) opisujących tkie powierzchnie o liczbie chromtycznej większej niż 5 i tym większej, im wyższy jest genus powierzchni (Hewood []).. UPORZĄDKOWANE KOLOROWANIE TRÓJKĄTNEJ SIATKI W metodzie kolorowni wierzchołkowego kżd kombincj dwóch kolorów jest dozwolon, stąd duż dowolność w ukłdniu płytek n dnej trójkątnej sitce. W celu (!) strt Rysunek. Kolorownie sitki nprzemiennie kolormi. zmodelowni wzorów przejwijących pewną regulrność (np. pski zebry lub łuski ryby), możn kolorowć sitkę nprzemiennie. Zczynjąc od dowolnego wierzchołk (np. o njmniejszych współrzędnych) możemy sukcesywnie kolorowć przeciwnym kolorem sąsidujące z nim wierzchołki, nstępnie przeciwnym kolorem sąsidujące z nowo pokolorownymi, i powtrzć ż wszystkie wierzchołki zostną pokolorowne (rys. ). strt Rysunek 4. Kolorownie sitki nprzemiennie kolormi pozwl wyznczyć kierunek rozchodzeni się wzoru.
Zstosowni trójkątnych płytek w grfice komputerowej 5 Tkie pokolorownie nie gwrntuje uniknięci płytek o jednkowych kolorch n wierzchołkch, tj. płytek {,,} orz {,,}, jednk umożliwi znczne zredukownie ich liczby w końcowym ułożeniu, co okzuje się wystrczjące do zstosowń prktycznych. Korzystjąc z 4 płytek pokolorownych dwom kolormi n wierzchołkch nie możemy ntomist pokryć sitki fkturą rozchodzącą się wzdłuż określonego kierunku (np. jk łuski ryb i gdów), poniewż często sąsidowć będą ze sobą obrócone o 80 stopni jednkowo pokolorowne płytki. Rysunek 5. Zestw 0 płytek pozwljących opisć wzory o chrkterze kierunkowym. Aby zmodelowć wzory dopsowne do siebie kierunkowo możn użyć 0 płytek pokolorownych nieleglnie kolormi n wierzchołkch (rys. 5). Jeśli sitk jest 6- kolorowln w sposób leglny (wszystkie sitki plnrne możn kolorowć 6 kolormi w sposób zchłnny, również sitki reprezentujące powierzchnie o dodtnim genusie są 6- kolorowlne, jeśli spełniją wspomnine wyżej złożeni o długości nieściąglnego cyklu) możn ogrniczyć się do 7 płytek, kolorując sitkę 6 kolormi i zmniejszjąc liczbę kolorów do przez odpowiednie mpownie (nlogiczne jk dl dwóch kolorów): {,}, {,4}, {5,6}. Przy tkim pokolorowniu nie wystąpią płytki: {,,}, {,,} orz {,,}, poniewż kżdy trójkąt m pierwotnie uniktowo pokolorowne wierzchołki, stąd po zmniejszeniu liczby kolorów, kolory co njmniej dwóch wierzchołków + mod + mod Rysunek 6. Hybrydowy ukłd 7 trójkątnych płytek, częściowo kolorownych wierzchołkowo, częściowo krwędziowo. Symbol ozncz dowolny z kolorów. Opercj mod (modulo) dził w pierścieniu {,,}. Krwędzie z kolorem psują do przeciwnie skierownych krwędzi z kolorem.
6 Tomsz Dobrowolski będą się różnić. Optymlne kolorownie sitek ogrnicz jednk możliwość swobodnej kontroli nd kierunkiem rozchodzeni się wzoru, dltego w proponownej metodzie również wykorzystno kolorownie bez nrzuconych ogrniczeń. Kolorując nprzemiennie sąsiednie wierzchołki możemy pokryć sitkę wzorem rozchodzącym się po powierzchni sitki promieniście od strtowego wierzchołk (rys. 4). W przypdku zmkniętych powierzchni może okzć się konieczne użycie płytek {,,}, {,,}, {,,} lub {,,} w miejscch, gdzie wzoru nie d się odpowiednio zczesć (zgodnie z twierdziem o niemożliwości zczesni sfery, które dowodzi, że kżde ciągłe pole wektorów stycznych n sferze S musi przyjmowć wrtość zerową przynjmniej w jednym punkcie [9]). Biorąc pod uwgę liczne możliwe ukłdy płytek do pokrywni powierzchni ukierunkownych wzorów njlepszy wydje się ukłd hybrydowy skłdjący się z 7 płytek, cześciowo kolorownych wierzchołkowo, częściowo krwędziowo. W odróżnieniu od zestwu 0 płytek prezentownego n rys. 5 orz pierwotnego zestwu 4 płytek kolorownych dwom kolormi n wierzchołkch, nowy ukłd nie wymusz symetrycznego dopsowni wzoru n krwędzich pokolorownych jednym kolorem. Pokolorownie ukłdu hybrydowego wymg użyci specjlnego lgorytmu:. Kolorujemy wierzchołki trzem kolormi nprzemiennie (rys. 4): ) pierwszemu dowolnemu wierzchołkowi przydzielmy kolor i wstwimy go do kolejki, b) zdejmujemy pierwszy wierzchołek z kolejki, ozncz jego kolor, kolorujemy jego wszystkich niepokolorownych jeszcze sąsidów kolorem + mod i odstwimy n koniec kolejki, c) powtrzmy punkt b, ż wszystkie wierzchołki zostną pokolorowne.. Płytki pokolorowne dwom identycznymi i jednym różniącym się kolorem n wierzchołkch postci {,,b}, gdzie b wymuszją odpowiednie pokolorownie skierownej krwędzi (,) odpowiednim kolorem x ze zbioru {,} orz wspólnej skierownej krwędzi sąsidującego trójkąt kolorem -x. Kierunek ustl pierwsz płytk o niepokolorownej krwędzi (,).. Dokolorowujemy krwędzie płytek {,,} (o jednkowych kolorch n wierzchołkch), które nie zostły pokolorowne w poprzednim kroku, w sposób dowolny, nlogicznie jk w poprzednim punkcie. + mod + mod Rysunek 7. Kompletny zestw 7 trójkątnych płytek ze wzorem łusek, którymi możn pokryć dowolną powierzchnię reprezentowną przez sitkę trójkątną zchowując ciągłość
Zstosowni trójkątnych płytek w grfice komputerowej 7 Wrto zuwżyć, że w tkim pokolorowniu mogą wystąpić trójkąty o kolorch n uporządkownych zgodnie z kierunkmi krwędzi wierzchołkch: (,,) i (,,), gdzie koniecznie jest zstosownie lustrznego odbici wzoru (,,). Specjlnego potrktowni wymgją tkże płytki o kolorch n wierzchołkch (,,+ mod ) z wymuszonym kolorem n krwędzi (,) (inczej niż n rys. 6) orz nlogicznie płytki (,,+ mod ) z wymuszonym kolorem n krwędzi (,). Tk sytucj może zjść, jeśli dwie identycznie pokolorowne płytki (,,b), gdzie b sąsidują ze sobą krwędzią (,). W tkim wypdku nleży zstosowć ten sm wzór, lecz symetrycznie odbity wzdłuż krwędzi (,). 4. PRZYKŁAD ZASTOSOWAŃ MODELOWANIE ŁUSEK Łuski występujące u ryb i gdów są przykłdem wzoru, w którym kierunek ułożeni poszczególnych jego elementów jest szczególnie istotny. Aby pokryć powierzchnię reprezentowną przez sitkę trójkątną modelującą frgment skóry ryby możn zstosowć opisną metodę hybrydową i przygotowć odpowiedni zestw trójkątnych płytek zwierjących wzór regulrnych łusek (rys. 7). Płytki typu (,,b), gdzie b określją bzowy wzór łusek, ntomist pięć pozostłych płytek zpewni ciągłe pokrycie wzorem n rogch, tzn. w miejscch, gdzie kierunek ukłdni się wzoru n sąsiednich płytkch nie jest zgodny. Frgmenty przykłdowych powierzchni pokrytych wzorem łusek przedstwi rys. 8. Rysunek 8. Przykłdowe odpowiednio pokolorowne sitki trójkątne i odpowidjące im pokrycie trójkątnymi płytkmi zwierjącymi wzór łusek. 5. ZAKOŃCZENIE Zprezentown metod umożliwi pokrycie ciągłym wzorem dowolnej powierzchni w sposób utomtyczny (opisnym lgorytmem kolorowni), co w przypdku zstosowń
8 Tomsz Dobrowolski do grfiki komputerowej zwlni z konieczności mpowni sitki trójkątnej n powierzchnię tekstury orz zmniejsz ilość pmięci zjmownej przez teksturę dzięki zstosowniu niewielkiego zestwu płytek. Optymlizcj pmięci pozwl n stosownie tekstur o większej rozdzielczości, brk konieczności ręcznego mpowni n powierzchnię tekstury umożliwi zstosownie metody do utomtycznego pokrywni wzorem modeli generownych w sposób procedurlny (Dobrowolski [7] i [8]). Pewną niedogodnością jest konieczność odpowiedniego przygotowni zestwu płytek psujących do siebie zgodnie z zdnymi wrunkmi brzegowymi. Prc Neyret i Cni [] opisuje utomtyczne metody generowni tkich płytek dl opisnej metody kolorowni krwędzi dwom kolormi. Trójkątne płytki możn zstosowć również do modelowni geometrycznych wzorów n powierzchni w podobny sposób jk w technice znnej jko shell mps (Porumbescu, Budge, Feng, Joy []). W przyszłości możn by rozwinąć metody utomtycznego generowni wzoru dl zprezentownej w tej prcy metody hybrydowej dl płytek reprezentownych zrówno przez obrzek tekstury jk i dowolną geometrię (np. modelując geometrię poszczególnych łusek). Szczególnie interesujące byłoby rozwinięcie metody do pokrywni wzorem dynmicznie zmienijącej się (rosnącej) geometrii skóry (Dobrowolski [8]). BIBLIOGRAFIA [] Neyret F., Cni M.P., Pttern-Bsed Texturing Revisited, Siggrph'99, Los Angeles, USA, August 999 [] Porumbescu S.D., Budge B., Feng L., Joy K.I., Shell mps, Siggrph'005, Los Angeles, USA, August 005 [] Hewood P.J., Mp-color theorem, Qurt. J. Pure Appl. Mth. 4 (890) -8 [4] Hutchinson J.P., Three-coloring grphs embedded on surfces with ll fces even-sided, J. Combin. Theory Ser. B 65 (995) 9-55 [5] Thomssen C., Five-colorings mps on surfces, J. Combin. Theory Ser. B 59 (99) 89-05 [6] Appel K., Hkken W., Every plnr mp is four colorble, Bull. Amer. Mth. Soc. 8 (976) 7-7 [7] Dobrowolski T., Generownie procedurlnych jskiń w Voxlp Cve Demo, Zeszyt nukowy I Ogólnopolskiej Konferencji Twórców Gier Komputerowych, 004, str. 9-5 [8] Dobrowolski T., Procedurlne modelownie stworów w Subocenic, m ukzć się w zeszycie nukowym IV Ogólnopolskiej Konferencji Inżynierii Gier Komputerowych, -5 mrc 007r. [9] Brouwer,L.E.J., Über Abbildung von Mnnigfltigkeiten, Mthemtische Annlen vol. 7, 9 TRIANGULAR TEXTURE TILES: APPLICATIONS IN COMPUTER GRAPHICS Summry This pper describes methods of tiling rbitrry three-dimensionl surfces represented by tringulr networks with tringulr texture tiles. Despite two simple well known tiling methods, n interesting hybrid pproch is proposed for tiling directionl textures such s fish scles. An exmple of usge is modeling niml fur ptterns, such s zebr stripes or scle ptterns tht cn be found on fish nd reptiles. The min dvntge of proposed method over lterntive texture mpping techniques is texture memory optimiztion. The method lso provides n esy to implement solution for texturing procedurlly generted nimls (cretures). Keywords: computer grphics, tringulr textures, tiling, Wng tiles, periodic tiling