Rozdziaª 2. Proste przykªady opcji egzotycznych

Rozdziaª 2 Proste przykªady opcji egzotycznych Cztery podstawowe typy opcji: europejskie/ameryka«skie opcje call/put to tzw. opcje waniliowe (vanilla options); b d je równie» okre±laª jako opcje zwykªe. Mo»na tworzy bardziej zªo»one ich wersje, modykuj c na przykªad funkcj wypªaty, prawo do realizacji (okre±lane te» jako styl wykonania), wprowadzaj c nietypowy instrument bazowy (na przykªad mo»e nim by inna opcja), tworz c opcj na kilka ró»nych instrumentów bazowych itd. Mo»liwo±ci s praktycznie nieograniczone. Prowadzi to do tzw. opcji egzotycznych. W tym rozdziale przyjrzymy si kilku prostym przykªadom takich opcji. Zostaªy wybrane pod k tem zastosowa«: jedne pomog nam w wycenie pewnych instrumentów pochodnych, inne b d przydatne w konstrukcji lokat strukturyzowanych. W»adnym wypadku nie jest to wyczerpuj ce opracowanie ±wiat opcji egzotycznych jest bardzo du»y i nawet tak obszerna pozycja jak [37] jest do± skrótowa. Przedstawione s wzory na wycen w modelu Blacka-Scholesa-Mertona, zwykle w najprostszej wersji, gdy instrumentem bazowym s akcje nie wypªacaj ce dywidendy, lub aktywa generuj ce stop dywidendy. Oczywi±cie wzory te mo»na ªatwo zmodykowa by uzyska wersj dla akcji z dywidend gotówkow, stosuj c schemat jak we wzorze (1.16). 29

30 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH 2.1 Opcje binarne Zaczniemy od opcji binarnych. S one w gruncie rzeczy prostszym, bardziej podstawowym instrumentem pochodnym ni» opcje waniliowe. Opcje binarne, okre±lane te» jako opcje cyfrowe (digital ) wypªacaj zero lub warto± jednej jednostki aktywów. Charakteryzuj si nieci gª funkcj wypªaty. Przykªadowo, opcja call wypªaci warto± jednej jednostki aktywów je±li S T ; w przeciwnym razie wypªata wynosi 0. Analogicznie b dzie w przypadku opcji put: tu wªa±ciciel dostanie 0 gdy S T, za± warto± jednostki aktywów w przeciwnym razie. Opcje binarne mo»na porówna do zakªadu: opcja call to zakªad,»e w chwili T warto± instrumentu bazowego wyniesie co najmniej, za± opcja put jest zakªadem,»e S T b dzie w dniu wyga±ni cia poni»ej. Nagrod za wygrany zakªad jest jednostka aktywów. B dziemy rozwa»a sytuacj, gdy aktywa w których dostaniemy wypªat to gotówka (opcje gotówka albo nic), a tak»e, gdy jest to instrument bazowy (opcje aktywa 1 albo nic). Mamy zatem cztery podstawowe typy opcji binarnych. Ich angielskie nazwy i stosowane w podr czniku skróty przedstawia tabela 2.1. Na przykªad w przypadku opcji kupna typu gotówka albo nic oznaczenie H con.c to odpowiadaj ca tej opcji funkcja wypªaty, za± C con.c (t) oznacza warto± opcji gotówka albo nic w chwili t. Tabela 2.1: Opcje binarne Opcja kupna Opcja sprzeda»y Gotówka cash or nothing call cash or nothing put albo nic con.c con.p Aktywa asset or nothing call asset or nothing put albo nic aon.c aon.p 2.1.1 Funkcje wypªaty Wzory i schematyczne wykresy funkcji wypªaty dla opcji binarnych przedstawione s w tabeli 2.2 (w przypadku opcji gotówka albo nic przedstawiona zostaªa wypªata dla opcji). 1 Chyba wªa±ciwsza byªaby nazwa instrument bazowy albo nic, jednak wydaje si by troch za dªuga.

2.1. OPCJE BINARNE 31 Tabela 2.2: Opcje binarne: funkcja wypªaty S T S T H con.c=1 {ST } H con.p=1 {ST <} S T S T H aon.c=s T 1 {ST } H aon.p=s T 1 {ST <} 2.1.2 Parytet dla opcji binarnych Jak wida, wykresy z tabeli 2.2 uzupeªniaj si. Mamy nast puj ce zale»no±ci mi dzy funkcjami wypªaty opcji binarnych: H con.c + H con.p = 1, H aon.c + H aon.p = S T. Innymi sªowy, portfel zªo»ony z opcji call i put typu gotówka albo nic ma tak sam wypªat jak wolny od ryzyka bon bezkuponowy o nominale 1 i terminie zapadalno±ci T. Podobnie portfel opcji call i put typu aktywa albo nic ma w chwili T tak sam warto± jak portfel zªo»ony z jednej akcji

32 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH (dokªadniej: jednej jednostki instrumentu bazowego). Wobec tego, je±li nie ma mo»liwo±ci arbitra»u, ceny opcji binarnych s ze sob powi zane (ceny wyliczone s w chwili t = 0): Oto kolejna prosta wªasno± : x1 {x 0} = max(x, 0). Wstawiaj c do powy»szego równania x = S T uzyskujemy zale»no± : S T 1 {ST } 1 {ST } = max(s T, 0), C con.c + C con.p = e rt, (2.1) C aon.c + C aon.p = Se qt. (2.2) Opcje binarne nie s ju» tak egzotyczne jak kiedy±. Walutowymi opcjami binarnymi mo»na handlowa na niektórych internetowych platformach foreksowych. Opcje gotówka albo nic zostaªy wprowadzone do obrotu w maju 2008 przez gieªd AMEX (American Exchange, w pa¹dzierniku 2008 przej ta przez NYSE Euronext) i w czerwcu 2008 przez CBOE (Chicago Board of Options Exchange). Na przykªad CBOE ma w obrocie europejskie opcje binarne oznaczone symbolem BSZ. Instrumentem bazowym jest indeks S&P 500 (SPX); opcje wypªacaj 0 lub $100. czyli portfel zªo»ony z opcji call aktywa albo nic i krótkich opcji put gotówka albo nic ma t sam wypªat co zwykªa (waniliowa) opcja call. Analogicznie, opcja put ma t sam wypªat, co portfel zªo»ony z opcji binarnych put typu gotówka albo nic i krótkiej opcji put aktywa albo nic: H aon.c H con.c = H c, H con.p H aon.p = H p. W sytuacji braku arbitra»u powy»sze zale»no±ci mi dzy funkcjami wypªaty przekªadaj si na zale»no±ci mi dzy cenami opcji. Jest to rodzaj parytetu dla opcji binarnych i waniliowych: C c = C aon.c C con.c, (2.3) C p = C con.p C aon.p. (2.4) Opcje binarne s wi c bardziej elementarnymi cegieªkami ni» opcje waniliowe: te ostatnie mo»na zbudowa z opcji binarnych. Przyjrzyjmy si wzorom na wycen opcji binarnych w modelu Blacka- Scholesa-Mertona. Zaczniemy od opcji gotówka albo nic. Jak wiadomo, warto± opcji europejskiej to zdyskontowana warto± oczekiwana funkcji wypªaty

2.1. OPCJE BINARNE 33 wzgl dem miary martyngaªowej Q, zob. (1.6). Warto± oczekiwan funkcji staªej liczy si oczywi±cie bardzo prosto: C con.c (t) = e r(t t) E Q (1 {ST } F t ) = e r(t t) Q{S T } = e r(t t) N(d ) na mocy formuªy (1.42). Analogicznie, C con.p (t) = e r(t t) E Q (1 {ST <} F t ) = e r(t t) N( d ). Powy»szy wzór wynika równie» z parytetu 2.1. olejne wersje parytetu, tzn. formuªy (2.3) oraz (2.4), daj pozostaªe wzory na ceny opcji binarnych: C aon.c (t) = Se q(t t) N(d + ), C aon.p (t) = Se q(t t) N( d + ). Mo»na je oczywi±cie wyprowadzi bezpo±rednio. Zrobimy to w bardziej ogólnym kontek±cie binarnych opcji pot gowych w nast pnej sekcji. 2.1.3 Binarne opcje pot gowe Binarne opcje pot gowe s wersj opcji binarnych typu aktywa albo nic wypªacaj cych 0 (opcja wygasa poza cen ) lub warto± jednostki aktywów, podniesion do pewnej pot gi naturalnej n (opcja wygasa w cenie): Denicja 2.1 Binarna pot gowa opcja call (odpowiednio put) wypªaca kwot S n (T ) je±li warto± S T jest wi ksza lub równa (odpowiednio: mniejsza) ni» cena realizacji ; w przeciwnym razie opcja wypªaca zero. Wypªata binarnej opcji pot gowej (w pot dze n) wynosi wi c H bpn.c = S n T 1 {ST } H bpn.p = S n T 1 {ST <} (call), (put). (b dziemy stosowa skrót bpn od sªów binary power option i stopnia n wykªadnika binarnej opcji pot gowej).

34 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH Rysunek 2.1: Funkcje wypªaty kwadratowych opcji binarnych. 2. S T 2.. S T H bp2.c H bp2.p Funkcj wypªaty takiej opcji dla n = 2 (jest to wi c opcja kwadratowa) przedstawia Rysunek 2.1. Dla n = 0 i n = 1 dostajemy znane nam ju» zwykªe opcje binarne typu gotówka albo nic oraz aktywa albo nic. Wyliczmy warto± binarnej opcji pot gowej w chwili t = 0 (dla uproszczenia instrumentem bazowym b d akcje bez dywidendy): C bpn.c = e rt E Q (S n (T )1 {ST }). (2.5) Zaczniemy od wyprowadzenia wzorów na warto± oczekiwan wypªaty opcji call, liczon wzgl dem miary zycznej 2, zob. wzór (1.42). Oznaczymy j przez P (n) (), gdzie to cena realizacji opcji: P (n) () := E P ( S n (T )1 {ST }). (2.6) orzystamy ze wzoru (1.44) na g sto± rozkªadu S T : P (n) () = = d () x n φ(x)dx = x n N (y)dy. x n N (d (x))d (x)dx W ostatniej linii stosujemy narzucaj ce si podstawienie y = d (x). Wyliczamy x: x = (d ) 1 (y) = Se yσ T +(µ 1 2 σ2 )T, 2 Wzory te przydadz si do szacowania ryzyka portfeli opcyjnych w rozdziale 4.

2.1. OPCJE BINARNE 35 co wraz ze wzorem (1.45) na dystrybucj N ( ) daje: P (n) () = 1 d () S n e nµt e nyσ T 1 2 nσ2t e 1 2 y2 dy 2π = S n e nµt 1 d () e 1 2 (y2 +2ynσ T +nσ 2 T ) dy 2π = S n e nµt 1 d () e 1 2 (y+nσ T ) 2 e 1 2 (n2 n)σ 2T dy 2π Stosuj c podstawienie z = y + nσ T dostajemy: P (n) () = S n e nµt + 1 2 n(n 1)σ2 T 1 d ()+nσ T 2π = S n e nµt + 1 2 n(n 1)σ2T N(d () + nσ T ). e 1 2 z2 dz Ostatecznie mamy wi c wzór na oczekiwan wypªat binarnej pot gowej opcji call: P (n) () = S n e nµt + 1 2 n(n 1)σ2T N(d () + nσ T ). (2.7) W podobny sposób mo»na przeprowadzi obliczenia dla opcji put. Zamiast tego zauwa»my,»e w granicy, gdy 0, powy»szy wzór daje E P (S n (T )) = 0 x n φ(x)dx = S n e nµt + 1 2 n(n 1)σ2T, (2.8) wi c warto± oczekiwan wypªaty dla opcji put dostajemy jako ró»nic warto- ±ci dwóch caªek: (2.8) i (2.7). Zatem warto± oczekiwana wypªaty dla binarnej pot gowej opcji put wynosi S n e nµt + 1 2 n(n 1)σ2T N( d () nσ T ). Przechodz c do miar martyngaªowych i wykorzystuj c formuª (1.6) dostajemy wzory na ceny C bpn.c i C bpn.p binarnych pot gowych opcji call i put C bpn.c = S n e (n 1)rT + 1 2 n(n 1)σ2T N(d () + nσ T ), C bpn.p = S n e (n 1)rT + 1 2 n(n 1)σ2T N( d () nσ T ). Oczywi±cie w szczególnych przypadkach n = 0 i n = 1 dostajemy odpowiednio wzory na ceny opcji gotówka albo nic oraz aktywa albo nic.

36 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH wiczenie 2.1 W przeciwie«stwie do opcji binarnych, rozwa»my zwykªe opcje pot gowe (power options). Zale»nie od ¹ródeª, okre±lane s w ten sposób opcje o wypªatach oraz opcje max(s n, 0) max( S n, 0) max(s, 0) n max( S, 0) n (opcja call) (opcja put) (opcja call) (opcja put) Dla rozró»nienia, te drugie mo»na nazwa opcjami spot gowanymi (powered options). Wykorzystaj rezultaty tego rozdziaªu by wyprowadzi wzory na cen tych opcji w modelu Blacka-Scholesa-Mertona. 2.2 Opcje zªo»one Opcja dla której instrumentem bazowym jest inna opcja to tzw. opcja zªo-»ona. Mamy tu cztery mo»liwo±ci: opcje call na opcje call, call na put, put na call i put na put. Wªa±ciciel opcji ma prawo kupi (odpowiednio sprzeda ) w przyszªej chwili τ, za okre±lon dzisiaj cen κ (cena realizacji opcji zªo»onej) opcj b d c instrumentem bazowym. Cen realizacji tej ostatniej oznaczymy przez, a termin realizacji przez T > τ. Oczywi±cie warto± instrumentu bazowego naszej opcji nie ma rozkªadu log-normalnego i zastosowanie wzorów Blacka-Scholesa-Mertona dla zwykªych opcji byªoby naiwne. Mo»emy jednak potraktowa opcje zªo»one jako opcje egzotyczne na instrument bazowy instrumentu bazowego, czyli na S(t), i wyprowadzi wzór na cen wykorzystuj c wzór (1.6). Przypu± my,»e mamy opcj call na call na akcje bez dywidendy. Cen w chwili t opcji call na akcje oznaczamy przez C c (t). Je±li w chwili τ warto± opcji bazowej C c (τ) przekroczy Na pierwszy rzut oka mogªo by si wydawa,»e opcje na opcje to zb dna abstrakcja. Tymczasem pomysª opcji zªo»onych wcale nie jest nowy i pojawia si ju» w sªynnej pracy Blacka i Scholesa [3]. W ko«cu to, co uwa»amy za zwykªe opcje na akcje mo»na traktowa jako opcje zªo»one: akcje rmy z ograniczon odpowiedzialno±ci s opcjami call na aktywa tej»e rmy, zob. [R]. W takim razie opcje na akcje to opcje zªo»one których instrumentem bazowym s aktywa rmy. Inne zastosowanie opcji zªo»onych, to wykorzystanie ich jako narz dzia wyceny pewnych bardziej egzotycznych opcji na akcje, zob. 2.3.

2.2. OPCJE ZŠO ONE 37 cen realizacji κ, inwestor zrealizuje opcj zªo»on i kupi opcj bazow za cen κ. W przeciwnym razie nie wykona opcji zªo»onej. W takim razie w chwili T inwestor b dzie miaª wypªat max(s T ; 0) w pierwszym przypadku (pomniejszon κe r(t τ), czyli o warto± przyszª premii, któr musi zapªaci, je±li w chwili τ zrealizuje opcj zªo»on ). W drugim przypadku wypªata wyniesie 0. Znajdziemy opis funkcji wypªaty opcji zªo»onej, w którym nie b dziemy si odwoªywali do ceny opcji b d cej instrumentem bazowym. Oznaczmy w tym celu przez S tzw. cen krytyczn. Jest to cena akcji dla której opcja, b d ca instrumentem bazowym, warta jest κ w chwili τ. Wyliczamy j wykorzystuj c wzory Blacka-Scholesa-Mertona, i rozwi zuj c (numerycznie) równanie C c (S,, T τ) = κ. Zauwa»my,»e warto± ceny krytycznej znana jest w chwili 0. Opcja zªo»ona call zostanie wykonana, je±li S τ > S. Mamy wi c nast puj cy opis funkcji wypªaty dla opcji zªo»onej (call na call): S T κe r(t τ) je±li S τ S, S T, H cc (S T ) = κe r(t τ) je±li S τ S, S T <, 0 w przeciwnym razie. Jak wida, nie jest nam potrzebna cena realizacji κ, wystarczy znajomo± ceny krytycznej S by wyliczy wypªat binarnej opcji zªo»onej. Je±li instrumentem bazowym jest opcja put, to równanie na cen krytyczn ma posta C p (S,, T τ) = κ. Podsumowuj c, opcja zªo»ona zostanie zrealizowana, je±li S τ > S gdy jest to call na call, lub put na put. Dla opcji call na put, lub put na call, warunkiem jest by S τ < S. Upro±cimy nieco rozwa»ania zwi zane z wycen, wyprowadzaj c binarne opcje zªo»one. Mo»na z nich zbudowa klasyczne opcje zªo»one; przydadz si równie» do wyceny opcji na akcje, warunkowo zabezpieczonych przed dywidend (sekcja 2.3). 2.2.1 Binarne opcje zªo»one. Wªa±ciciel binarnej opcji zªo»onej call otrzymuje opcj b d c instrumentem bazowym za darmo, je±li w dniu wyga±ni cia τ jest ona warta co najmniej κ.

38 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH Wracaj c do poprzedniego przykªadu, wypªata binarnej opcji zªo»onej call na call wynosi S T je±li S τ S, S T, H bcc (S T ) = 0 w przeciwnym razie. Wyprowadzimy wzór na cen tej opcji. Wiemy,»e C bcc = e rt E Q (H bcc ). Z równania 1.3 (pomijamy tyld nad W (t)) mamy: S τ = Se (r 1 2 σ2 )τ+σw (τ), S T = Se (r 1 2 σ2 )T +σw (T ). Interesuje nas sytuacja gdy S τ S oraz S T. Wyznaczaj c W (τ) i W (T ) z powy»szych wzorów i stosuj c przeksztaªcenia jak we wzorze 1.41 otrzymujemy: S τ > S 1 τ W (τ) < d (S, τ); S T > 1 T W (T ) < d (, T ). Šatwo sprawdzi, korzystaj c z wªasno±ci procesu Wienera,»e zmienne losowe X = 1 τ W τ, oraz Y = 1 T W T maj standardowy rozkªad normalny, korelacj ρ = τ T, oraz wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkªad normalny. Jego g sto± dana jest wzorem n 2 (x, y) = 1 e 2π 1 ρ 2 1 2(1 ρ 2 ) (x2 2ρxy+y 2 ).

2.2. OPCJE ZŠO ONE 39 Wyliczmy warto± oczekiwan wypªaty opcji: a b ( Se (r 1 2 σ2 )T yσ T ) n 2 (x, y)dxdy, przy czym, aby skróci zapis, stosujemy oznaczenie a ± = d ± (S, τ), b ± = d ± (, T ). (2.9) Skªadnik caªki podwójnej zawieraj cy wynosi oczywi±cie N 2 (a, b, ρ) (2.10) gdzie N 2 oznacza dystrybuant standardowego dwuwymiarowego rozkªadu normalnego n 2. Liczymy caªk drugiego skªadnika: a b = Se rt a = Se rt a+ Se (r 1 2 σ2 )T yσ T n 2 (x, y)dxdy b b+ e 1 2 σ2 T yσ T n 2 (x, y)dxdy e 1 2 σ2 T (y σ T )σ T n 2 (x σ τ, y σ T )dx dy (Mamy tu proste podstawienia: x = x+σ T oraz y = y+σ T). Wykªadnik funkcji exp w wyra»eniu n 2 (x σ τ, y σ T ) ma posta (x σ τ) 2 2ρ(x σ τ)(y σ T ) + (y σ T ) 2. (2.11) 2(1 ρ 2 ) Rozwini cie drugich pot g w liczniku i wstawienie ρ = τ T daje w wyniku Wobec tego caªka wynosi (x ) 2 2ρx y + (y ) 2 2(1 ρ 2 ) 1 2 σ2 T + y σ T. Se rt a+ b+ n 2 (x, y )dx dy = Se rt N 2 (a +, b +, ρ). Po uwzgl dnieniu caªki 2.10 i zdyskontowaniu dostajemy wzór na warto± binarnej opcji call na call: C bcc = SN 2 (a +, b +, ρ) e rt N 2 (a, b, ρ).

40 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH W podobny sposób mo»na wyprowadzi wzór na warto± opcji binarnej call na put: C bcp = e rt N 2 ( a, b, ρ) SN 2 ( a +, b +, ρ). W przypadku binarnej opcji zªo»onej put wªa±ciciel otrzymuje za darmo opcj b d c instrumentem bazowym je±li w chwili τ warto± tego» jest mniejsza ni» κ. Analogiczne wyliczenia daj : C bpc = SN 2 ( a +, b +, ρ) e rt N 2 ( a, b, ρ), dla opcji binarnej put na call, oraz C bpp = e rt N 2 (a, b, ρ) SN 2 (a +, b +, ρ). dla binarnej call na put. Wró my teraz do zwykªych opcji zªo»onych. Jedyne, co musimy dodatkowo (tzn. w porównaniu z opcjami binarnymi) uwzgl dni, to warunkowe premie: wªa±ciciel standardowej opcji zªo-»onej pªaci w chwili τ, je±li opcja zªo»ona zostanie wykonana, tzn. je±li S τ > S (opcja call na call lub put na put) lub je±li S τ < S (opcja call na put, put na call). Wªa±ciciel dªugiej pozycji w opcji zªo»onej ma zatem dodatkowo krótk pozycj w opcji binarnej typu gotówka albo nic. Standardowa opcja call na call lub Przeksztaªcenia w wyra»eniu (2.11) s elementarne, jednak do±»mudne. Mo»e warto je wykona samodzielnie bo zaskakuje w jaki sposób wszystkie skªadniki w magiczny sposób konspiruj si by si poskraca tak, by pod znakiem podwójnej caªki pozostaªa tylko g sto± dwuwymiarowego rozkªadu normalnego. To nie mo»e by przypadek! Rzeczywi±cie nieco inne podej±cie do problemu wyceny opcji daje rezultat w sposób równie prosty jak obliczanie skªadnika (2.10), zob. sekcja 2.4. call na put jest wi c portfelem skªadaj cym si z dªugiej binarnej opcji zªo-»onej call i krótkiej opcji gotówka albo nic. W przypadku zªo»onej opcji put mamy nieco inny zwi zek ni» dla call: w przypadku realizacji wªa±ciciel oddaje w chwili τ opcj bazow za cen realizacji κ, wi c (standardowa) zªo»ona opcja put jest równowa»na z portfelem skªadaj cym si z krótkiej binarnej zªo»onej opcji put i dªugiej opcji gotówka albo nic.

2.3. CENA OPCJI WARUNOWO ZABEZPIECZONYCH 41 Mamy ostatecznie: C cc = SN 2 (a +, b +, ρ) e rt N 2 (a, b, ρ) κe rτ N(a ), C cp = e rt N 2 ( a, b, ρ) SN 2 ( a +, b +, ρ) κe rτ N( a ), C pc = e rt N 2 ( a, b, ρ) SN 2 ( a +, b +, ρ) + κe rτ N( a ), C pp = SN 2 (a +, b +, ρ) e rt N 2 (a, b, ρ) + κe rτ N(a ), gdzie a ± i b ± s analogiczne do d ± we wzorach Blacka-Scholesa-Mertona, zob. równanie (2.9). Uwaga 2.1 Podej±cie do wyceny opcji egzotycznych przez zastosowanie rozkªadu na opcje binarne mo»na znale¹ w [28]. 2.3 Cena opcji warunkowo zabezpieczonych przed wpªywem dywidendy Zastosujemy teraz przedstawion wy»ej wycen binarnych opcji zªo»onych do wyceny opcji na akcje, które byªy w latach 20052007 notowane na GPW. Byªy to opcje warunkowo zabezpieczone przed wpªywem dywidendy, zob. sekcja 1.2.3. B dziemy zakªada,»e znany jest ostatni dzie«notowania akcji z dywidend, oznaczany tu jako τ, oraz warto± D dywidendy. Przyjmiemy te»,»e D jest jedyn dywidend wypªacan w trakcie»ycia opcji. Wªa±ciciel opcji call, warunkowo zabezpieczonej przed dywidend, zaobserwuje,»e w chwili τ zamieni si ona w 1. opcj call o cenie realizacji D, je±li S τ 10D, 2. opcj call o cenie realizacji, je±li S τ > 10D. Wobec tego opcja ta ma tak wypªat jak portfel skªadaj cy si z dªugiej pozycji w dwóch zªo»onych opcjach binarnych wygasaj cych w chwili τ: 1. opcji call na call o cenie realizacji, 2. opcji put na call o cenie realizacji D. (Mamy tu do czynienia z binarnymi, a nie zwykªymi opcjami zªo»onymi gdy» w chwili τ wªa±ciciel nie musi za pªaci za otrzyman now opcj ze zmodykowan cen realizacji.)

42 ROZDZIAŠ 2. PRZYŠADY OPCJI EGZOTYCZNYCH Tak jak przedtem, nie jest potrzebna warto± ceny realizacji binarnej opcji zªo»onej; wystarczy znajomo± ceny krytycznej S akcji. Jest to wygodne, gdy» opcje zªo»one wchodz ce w skªad portfela maj ró»ne ceny realizacji, natomiast maj t sam, ªatw do wyliczenia warto± krytyczn instrumentu bazowego: wynosi ona oczywi±cie S = 10D. Zastosujemy model akcji z dywidend jak w równaniu (1.14). Mo»emy traktowa opcje na S(t) jako instrument pochodny którego instrumentem bazowym jest skªadowa ryzykowna S(t) instrumentu S(t) (zob. sekcja 1.2.1). Mamy zale»no± S τ = S τ + D, wobec tego cena krytyczna wynosi S = 9D i ceny opcji na akcje, warunkowo zabezpieczonych przed dywidend, mo»na zapisa jako C cdp.c ( S,, T, τ, D) = C bcc ( S,, T, 9D, τ) + C bpc ( S, D, T, 9D, τ), C cdp.p ( S,, T, τ, D) = C bcp ( S, D, T, 9D, τ) + C bpp ( S,, T, 9D, τ). Aby wyrazi ceny opcji jako funkcje ceny akcji notowanej w chwili t = 0, zauwa»my,»e S(0) = S(0) De rτ. W rezultacie otrzymujemy nast puj c formuª na cen opcji call warunkowo zabezpieczon przed dywidend : C cdp.c = (S De rτ )N 2 (a +, b +, ρ) e rt N 2 (a, b, ρ) + (S De rτ )N 2 ( a +, b +, ρ) ( D)e rt N 2 ( a, b, ρ). Warunkowo zabezpieczona opcja put jest portfelem skªadaj cym si z dªugiej put na put o cenie realizacji oraz dªugiej call na put o cenie realizacji D, wobec tego C cdp.p = e rt N 2 (a, b, ρ) (S De rτ )N 2 (a +, b +, ρ) przy czym + ( D)e rt N 2 ( a, b, ρ) (S De rτ )N 2 ( a +, b +, ρ). a ± = d ± (S De rτ, 9D, τ), b ± = d ± (S De rτ,, T ), b ± = d ± (S De rτ, D, T ). Je±li podstawimy D = 0 to b ± = b ± i otrzymamy standardowe równania Blacka-Scholesa-Mertona, wystarczy wykorzysta zale»no± N 2 (a, b, ρ) + N 2 ( a, b, ρ) = N(b).