VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w sensie Lapunowa i asymptotycznej stabilności zostało wprowadzone w rozdziale 1 części III (definicja 1.1). W rozdziale 2 części III zbadaliśmy stabilność punktów krytycznych układów liniowych o stałych współczynnikach na płaszczyźnie. W rozdziale 1 części IV w oparciu o twierdzenie Grobmana-Hartmana udało się określić stabilność punktów osobliwych równania nieliniowego x = f(x) na płaszczyźnie w przypadku, gdy punkty te są hiperboliczne. Obecnie przejdziemy do badania stabilności rozwiązań układów równań w przestrzeni R n. Przypomnijmy pojęcie stabilności i asymptotycznej stabilności rozwiązania ϕ(t; p) równania x = f(t, x) z f : R 2 R przechodzącego przez x(0) = p w oparciu o interpretacją geometryczną. Rys. Rozważamy równanie (1.1) x = f(t, x), gdzie f : I Q R n, I R - przedział na prostej, Q R n - otwarty podzbiór przestrzeni R n. Załóżmy, że f spełnia warunki, przy których dla każdego punktu p Q istnieje dokładnie jedno rozwiązanie zagadnienia x = f(t, x), x(0) = p, oznaczane przez ϕ(t; p). Dodatkowo przyjmijmy, że f(t, 0) = 0 dla t 0. Wówczas p = 0 jest punktem równowagi układu (1.1) i funkcja ϕ(t; 0) 0 jest stałym rozwiązaniem równania (1.1), które dalej będziemy też określać mianem rozwiązania trywialnego. Krzywa całkowa rozwiązania trywialnego pokrywa się z osią czasu t, zaś trajektoria fazowa składa się oczywiście tylko z punktu {0}. Zauważmy, że badanie stabilności dowolnego rozwiązania danego układu można sprowadzić do badania stabilności rozwiązania trywialnego pewnego układu przekształconego. Istotnie, niech ϕ(t; p) będzie rozwiązaniem układu (1.1), tzn. ϕ (t; p) = f(t, ϕ(t; p)). 1
Zdefiniujmy funkcję y(t) następująco skąd x(t) = y(t) + ϕ(t; p). Wówczas (1.2) y(t) := x(t) ϕ(t; p), y (t) = x (t) ϕ (t; p) = f(t, x(t)) ϕ (t; p) = f(t, y(t) + ϕ(t; p)) ϕ (t; p). Zatem przez podstawienie (1.2) sprowadziliśmy układ (1.1) z niewiadomą funkcją x(t) do układu y = f(t, y + ϕ(t; p)) ϕ (t; p) z funkcją niewiadomą y(t), przy czym rozwiązanie ϕ(t; p) przekształca się na rozwiązanie trywialne y(t) 0. Powyższe przekształcenie prześledzimy na przykładzie układu liniowego (1.3) x = A(t) x + b(t), Załóżmy, że ϕ(t; p) jest rozwiązaniem szczególnym układu (1.3). Podstawiając y(t) = x(t) ϕ(t; p) otrzymujemy y (t) = x (t) ϕ (t; p) = A(t) x(t) + b(t) ϕ (t; p) = = A(t) [y(t) + ϕ(t; p)] + b(t) ϕ (t; p) = = A(t) y(t) + A(t) ϕ(t; p) + b(t) ϕ (t; p) = A(t) y(t). Zatem układ liniowy niejednorodny (1.3) został przekształcony w układ jednorodny y = A(t) y z taką samą macierzą A(t). Stąd wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie 1.1. Rozwiązanie ϕ(t; p) układu x = A(t) x+b(t) spełniające warunek początkowy x(0) = p jest stabilne (asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązanie trywialne układu jednorodnego x = A(t) x jest stabilne (odpowiednio asymptotycznie stabilne). 2
Uwaga 1.2. Stabilność rozwiązania układu liniowego zależy wyłącznie od macierzy A(t). Rozważmy układ liniowy jednorodny o stałych współczynnikach (1.4) x = A x, gdzie A = [a ij ] n n. Rozwiązania układu (1.4) zależą od wartości własnych macierzy A, czyli pierwiastków równania det (A λ I) = 0. Zatem własność stabilności rozwiązań również będzie zależała od tych wartości. Poniższe twierdzenie pozwala badać stabilność rozwiązań układu (1.4). Twierdzenie 1.3. (i) Jeżeli wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste, to każde rozwiązanie układu (1.4) jest asymptotycznie stabilne. (ii) Jeżeli istnieje przynajmniej jedna wartość własna o dodatniej części rzeczywistej, to wszystkie rozwiązania układu (1.4) są niestabilne. (iii) Jeżeli macierz A ma jednokrotne wartości własne z zerową częścią rzeczywistą, tj. równe zero lub czysto urojone, zaś pozostałe wartości własne, jeśli istnieją, mają ujemne części rzeczywiste, to wszystkie rozwiązania układu (1.4) są stabilne, przy czym nie jest to stabilność asymptotyczna. Istotnie, funkcje x i (t) składające się na rozwiązanie układu (1.4) wyrażają się wzorami m (1.5) x i (t) = e λ k t P k (t), gdzie m oznacza ilość różnych pierwiastków równania charakterystycznego macierzy A, P k (t) jest wielomianem stopnia równego krotności wartości własnej λ k = α k + iβ k. Jeżeli α k = Re(λ k ) < 0 dla każdego k, to wszystkie składniki funkcji x i (t) dążą do zera, czyli rozwiązanie trywialne (punkt krytyczny x = 0), a wraz z nim wszystkie rozwiązania układu (1.4) są asymptotycznie stabilne. k=1 Jeśli istnieje λ k z α k = Re(λ k ) > 0, to moduł tego składnika funkcji x i (t), w którym ten pierwiastek charakterystyczny występuje, będzie dążył do nieskończoności, co oznacza, że rozwiązanie trywialne jest niestabilne. 3
Pierwiastkom charakterystycznym o ujemnych częściach rzeczywistych odpowiadają w rozwiązaniu (1.5) składniki dążące do zera, zaś pierwiastkom jednokrotnym o zerowej części rzeczywistej odpowiadają składniki postaci c 1 cos(β k t) + c 2 sin(β k t), jeśli λ k = ±iβ k, lub postaci stałej c k, jeśli λ k = 0. Funkcje x i (t) będą ograniczone w przedziale [, ), lecz nie będą dążyły do zera. Stąd rozwiązanie trywialne będzie stabilne, ale nie asymptotycznie stabilne. Rozważymy układ x = A x, gdzie A = α β 0 β α 0 0 0 λ 3. W dalszej części tego rozdziału skoncentrujemy uwagę na badaniu stabilności rozwiązań równania liniowego jednorodnego rzędu n o stałych współczynnikach (1.6) x n + a 1 x n 1 +... + a n 1 x + a n x = 0, 0. Oczywiście funkcja stała x(t) 0 jest rozwiązaniem trywialnym równania (1.6). Ponadto wiemy, że równanie (1.6) można sprowadzić do układu n równań rzędu I-go. Istotnie, przyjmując otrzymujemy układ (1.7) czyli x = A x, gdzie x 1 = x, x 2 = x,..., x n = x n 1, (1.8) A = x 1 = x 2 x 2 = x 3. x n = a n a0 x 1 a n 1 x 2... a 1 x n, 0 1 0... 0 0 0 1... 0. a n. a n 1.... a n 2.... a 1. 4
Wtedy det (A λ I) = λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n = 0. Oczywiście rozwiązanie trywialne równania (1.6) będzie stabilne, asymptotycznie stabilne, niestabilne, jeśli punkt krytyczny x = 0 R n układu (1.7) będzie odpowiednio stabilnym, asymptotycznie stabilnym, niestabilnym punktem osobliwym. O stabilności rozwiązania równania (1.6) decyduje więc lokalizacja pierwiastków równania λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n = 0. Sformułujemy twierdzenie, które pozwala badać stabilność punktu krytycznego x = 0 układu x = A x z macierzą A, której wszystkie wartości własne mają niezerowe części rzeczywiste. Przypomnijmy, że układ taki nazywamy hiperbolicznym, a jego punkt osobliwy x = 0 hiperbolicznym punktem stałym. Twierdzenie 1.4. (Hurwitza) Dane jest równanie o współczynnikach rzeczywistych gdzie > 0. (1.9) λ n + a 1 λ n 1 +... + a n 1 λ + a n = 0, Każdy pierwiastek równania (1.9) ma ujemną część rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy macierz a 1 0 0... 0 a 3 a 2 a 1... 0 a 5 a 4 a 3 a 2... 0 H =........ 0 0 0 0... a n 2 0 0 0 0... a n jest dodatnio określona. Uwaga 1.5. Macierz H nazywamy macierzą Hurwitza. Konstrukcja macierzy Hurwitza: Na głównej przekątnej wypisać współczynniki a 1,..., a n. W każdym wierszu wypisać współczynniki w kolejności malejących numerów, przy czym współczynniki o numerach mniejszych od 0 lub większych od n zastąpić zerami. 5
Uwaga 1.5. Można wykazać, że dodatniość wszystkich współczynników a i jest warunkiem koniecznym, jednak nie wystarczającym, stabilności rozwiązania trywialnego równania różniczkowego (1.6). Zbadamy stabilność rozwiązania trywialnego równania (a) x (5) + x (4) + 7 x (3) + 4 x + 10 x + 3 x = 0, Równanie (a) można równoważnie zapisać w postaci układu pięciu równań liniowych jednorodnych z macierzą 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 A = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1, 3 10 4 7 1 której równanie charakterystyczne ma postać (1) λ 5 + λ 4 + 7 λ 3 + 4 λ 2 + 10 λ + 3 = 0. Mamy = 1, a 1 = 1, a 2 = 7, a 3 = 4, a 4 = 10, a 5 = 3. Wykorzystując wskazówkę z uwagi 1.5 konstruujemy macierz Hurwitza dla równania (1) i otrzymujemy 1 1 0 0 0 4 7 1 1 0 H = 3 10 4 7 1 0 0 3 10 4. 0 0 0 0 3 Pozostaje ustalić określoność macierzy H. Obliczamy minory główne macierzy H i otrzymujemy, że wszystkie te minory są dodatnie, skąd wynika, że macierz H jest dodatnio określona. Zatem na mocy twierdzenia Hutwitza wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste, co implikuje asymptotyczną stabilność punktu krytycznego x = (0, 0, 0, 0, 0) układu liniowego z macierzą A, a stąd dalej asymptotyczną stabilność rozwiązania trywialnego x(t) 0 równania (a). 6
2. Funkcja Lapunowa. Rozważamy równanie (2.1) x = f(x), gdzie f : Q R n jest klasy C 1 na otwartym podzbiorze Q R n zawierającym początek układu współrzędnych. Zakładamy, że f(0) = 0, czyli x = 0 jest punktem osobliwym układu (2.1). Metoda badania stabilności punktu krytycznego układu (2.1) na podstawie układu zlinearyzowanego zawodzi w przypadku, gdy punkt ten nie jest hiperboliczny, czyli w sytuacji, gdy jakobian D f(0) ma wartości własne czysto urojone. Wówczas możemy odwołać się do metody zaproponowanej przez Lapunowa, która to metoda pozwala w niekórych przypadkach ustalić stabilność punktu równowagi, nawet gdy nie jest on punktem hiperbolicznym. Metoda ta opiera się na pewnej funkcji pomocniczej, tzw. funkcji Lapunowa. Przyjmijmy następujące definicje. Definicja 2.1. Funkcję rzeczywistą V : Q R, gdzie Q R n i 0 Q, będziemy nazywać dodatnio określoną (ujemnie określoną) w zbiorze Q, jeśli V (0) = 0 oraz dla każdego x Q \ {0} zachodzi warunek V (x) > 0 (odpowiednio V (x) > 0). Definicja 2.2. Funkcję rzeczywistą V : Q R, gdzie Q R n i 0 Q, będziemy nazywać dodatnio półokreśloną (ujemnie półokreśloną) w zbiorze Q, jeśli V (0) = 0 oraz dla każdego x Q \ {0} zachodzi warunek V (x) 0 (odpowiednio V (x) 0). Definicja 2.3. Pochodną funkcji V : Q R wzdłuż krzywej x(t) danej parametrycznie, tj. x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) zadajemy wzorem V (x(t)) := d n dt V (x(t)) = V (x(t)) x x i(t). i 7 i=1
Zatem V = V f, jeśli x(t) jest rozwiązaniem równania (2.1). Definicja 2.4. Niech Q R n i 0 Q. Funkcję V : Q R spełniającą warunki: (i) V jest klasy C ( Q); (ii) V jest dodatnio określona w Q; (iii) V = V f jest ujemnie półokreślona w Q, nazywamy słabą funkcją Lapunowa dla układu (2.1). Definicja 2.5. Niech Q R n i 0 Q. Funkcję V : Q R spełniającą warunki: (i) V jest klasy C ( Q); (ii) V jest dodatnio określona w Q; (iii) V = V f jest ujemnie określona w Q, nazywamy silną funkcją Lapunowa dla układu (2.1). Uwaga 2.6. Warunek (iii) definicji 2.4 oznacza, że jeśli x(t) jest rozwiązaniem układu (2.1), to funkcja złożona V (x(t)) jest nierosnącą funkcją zmiennej t. Podobnie warunek (iii) definicji 2.5 będzie oznaczać, że jeśli x(t) jest rozwiązaniem układu (2.1), to funkcja złożona V (x(t)) jest malejącą funkcją zmiennej t. Twierdzenie 2.7. Załóżmy, że funkcja f : Q R n jest klasy C 1 na otwartym podzbiorze Q R n zawierającym początek układu współrzędnych oraz f(0) = 0. Wówczas jeśli dla układu (2.1) istnieje słaba (silna) funkcja Lapunowa, to rozwiązanie stałe x(t) 0, czyli punkt krytyczny x = 0, jest stabilne (odpowiednio asymptotycznie stabilne). 8
Uwaga 2.8. Zauważmy, że w przypadku, gdy punkt osobliwy x układu x = f(x) jest punktem różnym od zera, to wprowadzenie, tzw. lokalnych współrzędnych wokół tego punktu pozwala sprowadzić rozważany układ do układu, którego punkt krytyczny zostaje umiejscowiony w początku układu współrzędnych. Definicja 2.9. Lokalnymi współrzędnymi wokół punktu ξ = (ξ 1,..., ξ n ) dla współrzędnych x 1,..., x n nazywamy współrzędne y 1,..., y n określone wzorami y i = x i ξ i, i = 1,..., n. Wykażemy, że funkcja V (y 1, y 2 ) = y1 2 + y1 2 y2 2 + y2, 4 funkcją Lapunowa dla układu (y 1, y 2 ) R 2 jest silną (b) { x 1 = 1 3 x 1 + 3 x 2 1 + 2 x 2 2 x 3 1 2 x 1 x 2 2 x 2 = x 2 2 x 1 x 2 + x 2 1 x 2 x 3 2 i punktu krytycznego (1, 0). Twierdzenie 2.10. Niech funkcja f : Q R n będzie klasy C 1 na otwartym podzbiorze Q R n zawierającym początek układu współrzędnych oraz f(0) = 0. Załóżmy, że początek układu współrzędnych jest izolowanym punktem osobliwym układu (2.1) i w pewnym otoczeniu tego punktu istnieje słaba funkcja Lapunowa dla tego układu. Wówczas jeśli pochodna V (x) nie jest tożsamościowo równa zeru na żadnej trajektorii układu (2.1) z wyjątkiem trajektorii składającej się z punktu osobliwego, to punkt ten jest asymptotycznie stabilny. 9
Wykażemy, że wszystkie trajektorie układu { x (c) 1 = x 2 x 2 = x 1 (1 x 2 1) x 2, przechodzące przez punkty (x 1, x 2 ) spełniające warunek x 2 1 + x 2 2 < 1, dążą do punktu (0, 0) przy t +. Twierdzenie 2.11. Niech funkcja f : Q R n będzie klasy C 1 na otwartym podzbiorze Q R n zawierającym początek układu współrzędnych oraz f(0) = 0. Jeżeli istnieje ciągła funkcja rzeczywista W spełniająca warunki: (i) obszar określoności funkcji W zawiera pewne otoczenie N = {x : x r} punktu x = 0; (ii) dowolnie blisko punktu x = 0 istnieją punkty, w których W > 0; (iii) pochodna (iv) W (0) = 0, Ẇ jest dodatnio określona; to punkt krytyczny x = 0 układu (2.1) jest niestabilny. Wykorzystując funkcję W (x 1, x 2 ) = α x 3 1 + β x 2 1 x 2 + γ x 1 x 2 2 + δ x 3 2 z odpowiednio dobranymi współczynnikami α, β, γ, δ wykażemy, że punkt x = (0, 0) jest niestabilnym punktem osobliwym układu (d) { x 1 = x 2 1 x 2 = 2 x 2 2 x 1 x 2. Wykażemy, że punkt x = (0, 0) jest niestabilnym punktem osobliwym układów x 1 = x 2 { (e) x x 2 = x 2 x 3 1, (f) 1 = x 2 2 x 2 1 x 2 = 2 x 1 x 2. 10