METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl
Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin w semestrze Warunki zaliczenia zaliczenie na ocenę pozytywną laboratorium (L) zaliczenie na ocenę pozytywną kolokwium z wykładu (W) Ocena końcowa O=0.5 W+0.5 L
Literatura podstawowa Majchrzak E., Mochnacki B.: Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, wyd. IV, Gliwice 2004.
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Algorytmy obliczeniowe Metody dokładne Metody iteracyjne Metoda Cramera Metoda Thomasa Metoda eliminacji Gaussa Metoda iteracji prostej Metoda Gaussa-Seidla Metoda nadrelaksacji
Metody dokładne rozwiązywania układów równań
Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n - równań liniowych zawierających n - niewiadomych a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an1x1 an2x2... annxn bn który można zapisać w postaci macierzowej AX B
Układy równań liniowych gdzie: A a a... a 11 12 1n a a... a 21 22 2n... a a... a n1 n2 nn X x x x 1 2 n B b b b 1 2 n macierz główna układu wektor niewiadomych wektor wyrazów wolnych
UWAGA: Układy równań liniowych Układ równań posiada jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy jest oznaczony macierz główna układu równań A nie jest osobliwa (wyznacznik z tej macierzy jest różny od zera)
Zastosowanie macierzy odwrotnej
Zastosowanie macierzy odwrotnej Przedstawiony powyżej układ równań liniowych zapisany w postaci macierzowej AX B można rozwiązać obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu. Jeżeli macierz główna układu równań nie jest osobliwa to wektor niewiadomych oblicza się z zależności: 1 X A B
Trójkątne układy równań liniowych
Trójkątny układ równań Jeżeli układ równań ma następującą postać a11x1 a1 2x2... a1 nxn b1 a22x2... a2nxn b2... annxn bn trójkątny układ równań
Trójkątny układ równań ALGORYTM ROZWIĄZANIA: x n b a n nn n b i ai s xs s i 1 xi, i n 1, n 2,..., 1 a ii Zakładamy, że a 0, i 1, 2,..., n ii
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Metoda Thomasa Algorytm Thomasa bywa nazywany w literaturze metodą progonki (przeganiania). Rozpatrujemy liniowy, trójprzekątniowy układ równań b1 c1 x1 d1 a b c x d 2 2 2 2 2 a3 b3 c3 x3 d3..... an1 bn 1 c n1 x n1 d n1 an bn xn dn
Metoda Thomasa który można zapisać również w następujący sposób ai xi 1 bi xi ci xi 1 di, i 1, 2,..., n a 1 0, c 0, Rozwiązania tego układu równań poszukuje się w postaci x n i βi xi 1 γi (1) lub inaczej zapisując x β x γ i 1 i 1 i i 1 (2) gdzie β i i γ i są nieznanymi współczynnikami.
Metoda Thomasa Po podstawieniu (2) do (1) i uporządkowaniu otrzymujemy: β i a β c i b i i 1 i γ i d a γ i i i 1 β a b i i 1 i
Metoda Thomasa Z danych przedstawionych w równaniu (1) można wyznaczyć wartości początkowe (dla i = 1) c d1 γ1 b 1 β 1, b1 1 oraz wartość ostatniej niewiadomej (dla i = n) x n d a γ n n n1 β a b n n1 n γ n Po wyznaczeniu wartości x n kolejne niewiadome obliczamy z równania x i βi xi 1 γi dla i = n1, n2,..., 1
Metoda eliminacji Gaussa
Układ równań liniowych a11 a12... a1 n a a... a A... a a... a 21 22 2n n1 n 2 n n Metoda eliminacji Gaussa a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an1x1 an2x2... annxn bn Macierz główną układu równań i wektor wyrazów wolnych: b b B b zapisujemy w postaci macierzy C, w której macierz główną A uzupełnia się dodatkową kolumną zawierającą wektor wyrazów wolnych B. 1 2 n
Metoda eliminacji Gaussa C c c c c c c c c c c c c 11 12 1n 1, n1 21 22 2n 2, n1 n1 n2 nn n, n1 a ij b i n - pierwszych kolumn stanowią elementy n + 1 - kolumnę stanowią elementy b i a ij
Metoda eliminacji Gaussa Podstawowy wariant metody eliminacji Gaussa: Pierwszy etap Przekształcenie macierzy C w taki sposób, aby n pierwszych kolumn tworzyło macierz trójkątną Drugi etap Rozwiązanie trójkątnego układu równań
Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy etap Krok 1 Jeżeli c11 0 Pierwsze równanie mnożymy przez: c i 1 c 11 Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego i - tego równania (i = 2, 3,, n) Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.
Metoda eliminacji Gaussa Otrzymujemy następujący układ równań c x c x c x... c x c 11 1 12 2 13 3 1n n 1, n1 c x c x... c x c (1) (1) (1) (1) 22 2 23 3 2n n 2, n1 c x c x... c x c (1) (1) (1) (1) 32 2 33 3 3n n 3, n1... (1) (1) (1) cn 2 x2 cn3 x3... cnn xn c (1) n, n1
Metoda eliminacji Gaussa Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C do C 1 C 1 c c c c c 0 0 0 c c c c 11 12 13 1n 1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 c23 c2 n c2, n1 (1) (1) (1) (1) c32 c33 c3 n c3, n1 (1) (1) (1) (1) n2 n3 nn n, n1 za pomocą wzorów określających nowe współczynniki c c c c (1) i 1 i j i j 1 j c11 dla i j 2, 3,..., n 2, 3,..., n1
Metoda eliminacji Gaussa Krok 2 Jeżeli c (1) 22 0 Drugie równanie mnożymy przez: (1) c i 2 (1) c22 Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego i - tego równania (i = 3, 4,, n) Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.
Metoda eliminacji Gaussa Otrzymujemy następujący układ równań c11x1 c12x2 c13x3... c1 nxn c1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 x2 c23 x3... c2 n xn c2, n1 (2) (2) (2) c33 x3... c3 n xn c3, n1... (2) (2) (2) cn3 x3... cnn xn cn, n1
Metoda eliminacji Gaussa Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C 1 do C 2 C 2 c c c c c 0 0 0 0 0 c c c 11 12 13 1n 1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 c23 c2n c2, n1 (2) (2) (2) c33 c3 n c3, n1 (2) (2) (2) n3 nn n, n1 za pomocą wzorów określających nowe współczynniki c c c c (1) (2) (1) i 2 (1) i j i j (1) 2 j c22 dla i j 3, 4,..., n 3, 4,..., n1
Metoda eliminacji Gaussa Kontynuując takie postępowanie, po wykonaniu n kroków dochodzimy do trójkątnego układu równań c11x1 c12x2 c13x3... c1 nxn c1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 x2 c23 x3... c2 n xn c2, n1 (2) (2) (2) c33 x3... c3 n xn c3, n1... c x c ( n1) ( n1) n n n n, n1
Metoda eliminacji Gaussa któremu odpowiada przekształcona macierz C n1 C n1 c c c c c 0 0 0 0 0 0 c c 11 12 13 1n 1, n1 (1) (1) (1) (1) c22 c23 c2n c2, n1 (2) (2) (2) c33 c3n c3, n1 ( n1) ( n1) nn n, n1
Metoda eliminacji Gaussa Przejście od układu równań liniowych do układu trójkątnego realizowane jest za pomocą następującego ciągu wzorów s1, 2,..., n1 i s 1, s 2,..., n ( s1) c ( s) ( s1) is ( s1) ci j ci j c, 1, 2,..., 1 ( s 1) s j j s s n css